OSN Guru Matematika

Pembahasan Soal OSN Guru Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2015
Mohammad Tohir: Guru SMP Islam Sabilillah Malang
Mathematics Sport; http://m2suidhat.blogspot.com/ 1
Naskah Soal dan Pembahasan
OSN Guru 2015
OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMP
OSN Guru Matematika SMP
(Olimpiade Sains Nasional)
Diketik Ulang Oleh:
Mohammad Tohir

NASKAH SOAL
OSN GURU MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
MARET 2015
1. Jika √ √ √ , maka nilai ab adalah ...
2. Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ...
3. Nilai dari adalah ...
4. Jika 4x
+ 4–x
= 7, maka nilai 8x
+ 8–x
adalah ...
5. Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Bilangan itu adalah ...
6. Bilangan asli n terbesar yang memenuhi ( ) ( ) ( ) ( ) kurang dari 2015
adalah ...
7. Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi
terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas
segitiga adalah … satuan luas.
8. Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan
asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2
yang berbeda adalah ...
9. Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5.
Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah ….
10. Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan
bilangan asli terkecil.
11. Jika diketahui ( )
( )
untuk n = 1, 2, 3, ....., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...
12. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H
yang beranggota dua bilangan adalah …

13. Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling
persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar
persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah …. Satuan.
14. Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi
Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah …
15. Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1
jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta
mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta
itu adalah ….
16. Jika x2
+ xy + 6x = –3 dan y2
+ xy + 6y = –6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah …
17. Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya
menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu
sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).
Jari-jari lingkaran kecil adalah ….

18. Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari
kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri
antara 100 dan 2015 adalah …
19. Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti
pada gambar berikut.
Luas daerah yang diarsir dalam cm2
adalah ….
20. Jika 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari
bilangan-bilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah ….
21. Selesaikan n2
+ m2
, jika , untuk m dan n bilangan asli.
Diketik Ulang oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://m2suidhat.blogspot.com/

SOAL DAN PEMBAHASAN
OSN GURU MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN/KOTA
MARET 2015
1. Jika √ √ √ , maka nilai ab adalah ...
Pembahasan:
√ = √ √
(√ ) = (√ √ ) (kedua ruas dikuadatkan)
= √
√ = 0
= 0
Jadi,
2. Jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan kelipatan 3 adalah ....
Pembahasan:
Mencari pola penyelesaian jumlah semua bilangan genap positif < 2015 dan mencari pola
penyelesaian jumlah kelipatan tiga genap < 2015, yakni sebagai berikut:
1) Bilangan genap positif < 2015, yakni bilangan genap terbesar dari 2015 dibagi 2.
Sehingga banyak bilangan genap positif < 2015 = = 1007
Dengan demikian nilai a = 2, b = 2 dan n = 1007 , maka Un = 2014
Sn = ( )
S1007 = ( )
= ( )
= 1.015.056
2) Mencari banyaknya bilangan kelipatan 3 genap positif < 2015, yakni bilangan kelipatan 3
genap terbesar dari 2015 dibagi 6 atau tepatnya banyaknya bilangan kelipatan 6 < 2015.
Sehingga banyak bilangan kelipatan 6 < 2015 = = 335
Dengan demikian nilai a = 6, b = 6 dan n = 335 , maka Un = 2010
Sn = ( )
S335 = ( )
= ( )
= 337.680
Dengan demikian, jumlah semua bilangan genap positif yang kurang dari 2015 dan bukan
kelipatan 3 = 1.015.056 – 337.680 = 677.376
Jadi, jumlah semua bilangan genap positif yang dimaksud adalah 677.376

3) Tentutkan nilai dari
Pembahasan:
= ( ) ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( )
= ( )
= ( )
Jadi, nilai dari
4) Jika 4x
+ 4–x
= 7, maka tentukan 8x
+ 8–x
!
Pembahasan:
Diketahui 4x
+ 4–x
= 7
Mencari pola penyelesaian untuk 8x
+ 8–x
, yakni sebagai berikut:
(2x
+ 2–x
)2
= (2x
)2
+ (2–x
)2
+ 2(2x
)(2–x
)
= (22
)x
+ (22
)–x
+ 2
= 4x
+ 4–x
+ 2
= 7 + 2
= 9
(2x
+ 2–x
) = 3
Kemudian, mencari pola penyelesaian langkah berikutnya, yakni sebagai berikut:
(2x
+ 2–x
)3
= 8x
+ 8–x
+ 3(2x
× 2–x
)(2x
+ 2–x
)
8x
+ 8–x
= (2x
+ 2–x
)3
– 3(2x
+ 2–x
)
= (3)3
– 3(3)
= 27 – 9
8x
+ 8–x
= 18
Jadi, 8x
+ 8–x
= 18
5) Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu. Tentukan bilangan itu!
Pembahasan:
Diketahui Setengah suatu bilangan ditambah 5 sama dengan kali bilangan itu.
Misalkan bilangan tersebut adalah a, maka
a + 5 = a  a – a = 5
 = 5
 = 5
 a = 30
Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 30

6) Bilangan asli n terbesar yang memenuhi ( ) ( ) ( ) ( ) kurang dari 2015
adalah ...
Pembahasan:
Diketahui ( ) ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) artinya nilai n < 2015, apabila (2015 – 1) × 2 = 4028, yakni
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (n = 4028)
= ( )
< 2015
Jadi, Bilangan asli n terbesar yang memenuhi adalah 4028
7) Pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua kali sisi
terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas
segitiga adalah … satuan luas.
Pembahasan:
Diketahui pada suatu segitiga siku-siku berlaku bahwa panjang sisi terpanjang sama dengan dua
kali sisi terpendek dan panjang sisi yang lain 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Misalkan sisi terpendeknya = x.
Dengan Teorema Pythagoras didapat sebagai berikut.
(2x)2
= x2
+ (x + 1)2
4x2
= x2
+ x2
+ 2x + 1
2x2
– 2x – 1 = 0
Kemudian mencari nilai x dengan menggunakan rumus kuadratik
√
( ) √ ( )( )
( )
diketahui a = 2, b = –2, dan c = –1
√
√
√
nilai x yang memenuhi adalah
√
2x
x
x + 1

Dengan demikian luas segitiga yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Luas segitiga = (x)(x + 1)
= (x2
+ x)
= [(
√
)
√
]
= *(
√
)
√
+
= *(
√
)
√
+
= (
√ √
)
= ( √ )
Luas segitiga = ( √ )
Jadi, Luas segitiga adalah ( √ ) satuan luas.
8) Keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm dan ukuran sisi-sisinya dalam cm merupakan bilangan
asli. Banyaknya ukuran luas dalam cm2
yang berbeda adalah ...
Pembahasan:
Diketahui keliling suatu persegipanjang adalah 26 cm
No.
Keliling (K) Panjang (p) Lebar (l)
Luas (L)
2(p + l) = 26 p l
1 p + l = 13 12 1 12
2 p + l = 13 11 2 22
3 p + l = 13 10 3 30
4 p + l = 13 9 4 36
5 p + l = 13 8 5 40
6 p + l = 13 7 6 42
Jadi, Banyaknya ukuran luas dalam cm2
yang berbeda adalah 6
9) Satu-satunya cara menuliskan 15 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah 1+2+3+4+5.
Banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah ….
Pembahasan:
Misalkan 5 bilangan yang dimaksud adalah a + b + c + d + e = 20
Nilai a yang mungkin adalah 1 dan 2, yakni sebagai berikut.
Jika nilai a = 1 dan b = 2, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 3 dan 4
Untuk nilai c = 3
(1) 1 + 2 + 3 + d + e = 20
d + e = 14  maka nilai d = 4 dan e = 10  1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20
 maka nilai d = 5 dan e = 9  1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20
 maka nilai d = 6 dan e = 8  1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20

Untuk nilai c = 4
(2) 1 + 2 + 4 + d + e = 20
 maka nilai d = 6 dan e = 7  1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20
Jika nilai a = 1 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4
(3) 1 + 3 + 4 + d + e = 20
Jika nilai a = 2 dan b = 3, maka kemungkinan nilai c minimal adalah 4
(4) 2 + 3 + 4 + d + e = 20
Dengan demikian nila a + b + c + d + e = 20 seluruhnya adalah
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20
2. 1 + 2 + 3 + 5 + 9 = 20
3. 1 + 2 + 3 + 6 + 8 = 20
4. 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20
5. 1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 20
6. 1 + 2 + 3 + 5 + 7 = 20
7. 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20
Jadi, banyaknya cara menuliskan 20 sebagai jumlah dari 5 bilangan asli berbeda adalah
sebanyak 7
10) Suatu bilangan asli habis dibagi 8 dan 12. Bila bilangan itu dibagi oleh 11 bersisa 1, tentukan
bilangan asli terkecil.
Pembahasan:
Perhatikan tabel berikut
Kelipatan sama
8 24 48 72 96 120 144 ....
12 24 48 72 96 120 144 ....
Di kurangi 1 23 47 71 95 119 144
Dibagi 11 sisa 2 3 5 7 9 1
Jadi, bilangan asli terkecil yang dimaksud adalah 144
11) Jika diketahui ( )
( )
untuk n = 1, 2, 3, ....., dan f(1) = 2, maka f(2015) adalah ...
Pembahasan:
Diketahui ( )
( )
dan f(1) = 2
Untuk n = 1  ( )
( )
 ( )
( )
=
Untuk n = 2  ( )
( )
 ( )
( )
=

Untuk n = 3  ( )
( )
 ( )
( )
=
Untuk n = 4  ( )
( )
 ( )
( )
=
Untuk n = 5  ( )
( )
 ( )
( )
=
. . .
. . .
. . .
Untuk n = n  ( )
( )
 ( )
Sehingga f(2015)  ( ) = 1009
Jadi, nilai dari f(2015) = 1009
12) Misalkan H adalah himpunan semua faktor positip dari 2015. Banyaknya himpunan bagian dari H
yang beranggota dua bilangan adalah …
Pembahasan:
Diketahui H = {semua faktor positif dari 2015}
H = {1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015}
Banyaknya anggota bagian dari H sebanyak = 2n(H)
= 28
= 256
Sedangkan banyaknya anggota bagian dari H yang beranggotakan 1 sebanyak = 8
Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari H yang beranggotakan 2 bilangan atau lebih adalah
sebanyak 256 – 8 = 248
13) Diberikan suatu persegi panjang yang memuat tiga lingkaran seperti gambar di bawah. Sekeliling
persegi panjang menyinggung lingkaran dan semua lingkaran saling bersinggungan. Jika lebar
persegipanjang 4 satuan, maka panjangnya adalah …. Satuan.
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut
P
C
1
1
2
2A B2
Q 4 satuan
2

Perhatika ABC!
AC2
= AB2
+ BC2
32
= AB2
+ 12
AB = √
AB = √
Dengan demikian panjang persegi panjang adalah PQ = PA + AB + BQ
= (2) + (2√ ) + (1)
PQ = 3 + 2√
Jadi, panjangnya adalah 3 + 2√ satuan
14) Masing-masing kotak pada gambar berikut adalah persegi
Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah …
Pembahasan:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14
15 16 17 18
19 20 21 22 23
24 25 26 27 28
Untuk ukuran 1 × 1 ada sebanyak 28
2 × 2 ada sebanyak 15
Dengan demikian total cara seluruhnya = 28 + 15 + 6 + 1 = 50
Jadi, Banyaknya persegi yang berbeda dari gambar di atas adalah 50

15) Dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar, dinilai – 1
jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong). Jika seorang peserta
mendapat nilai 23, maka banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta
itu adalah ….
Pembahasan:
Diketahui dalam suatu ujian yang terdiri dari 20 soal akan dinilai 3 jika dijawab dengan benar,
dinilai – 1 jika dijawab dengan salah, dan dinilai 0 jika tidak dijawab (kosong)
Misalkan nilai yang dicapai = N
nilai benar = b
nilai salah = s
nilai tidak menjawab = t
3b – s + t = 23
3b – s = 23 karena nilai t = 0
Kemudian kita coba nilai s dari yang terkecil, yakni sebagai berikut
Jika s = 0,  3b – 0 = 23 (tidak mungkin, karena nilai tidak bulat)
Jika s = 1,  3b – 1 = 23
3b = 24
b = 8
Jadi, banyaknya soal paling banyak yang dijawab dengan benar oleh peserta itu adalah 8
16) Jika x2
+ xy + 6x = –3 dan y2
+ xy + 6y = –6, maka kemungkinan nilai untuk x + y adalah …
Pembahasan:
Diketahui x2
+ xy + 6x = –3 dan y2
+ xy + 6y = –6
Kemudian, kita mencari pola penyelesaian dari kedua persamaan tersebut untuk menentukan nilai
x + y, yakni sebagai berikut.
x2
+ xy + 6x = –3
y2
+ xy + 6y = –6
x2
+ y2
+ 2xy + 6(x + y) = –9
(x + y)2
+ 6(x + y) = –9 [mengingat bentuk (x + y)2
= x + y + 2xy]
(x + y)2
+ 6(x + y) + 9 = 0
[(x + y) + 3]2
= 0
(x + y) + 3 = 0
x + y = –3
Jadi, x + y = –3
17) Dua lingkaran yang masing-masing berjari-jari 10 cm saling bersinggungan dan keduanya
menyinggung suatu garis. Sebuah lingkaran kecil bersarang diantara kedua lingkaran dan garis itu
sehingga lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran besar dan garis (perhatikan gambar).
Jari-jari lingkaran kecil adalah ….

Pembahasan:
Misalkan jari-jari lingkaran kecil = x cm
Perhatikan BCD!
BC2
= BD2
+ CD2
(10 + x)2
= (x – 10)2
+ 102
100 + 20x + x2
= x2
– 20x + 100 + 100
40x – 100 = 0
x = 2,5
Jadi, Jari-jari lingkaran kecil adalah 2,5 cm
18) Bilangan simetri adalah bilangan yang angka penyusunnya dibaca dari kiri ke kanan dan dari
kanan ke kiri merupakan bilangan yang sama. Sebagi contoh 3553. Banykny bilangan simetri
antara 100 dan 2015 adalah …
Pembahasan:
Diketahui bilangan asli simetri antara 100 dan 2015
Perhatikan tabel berikut
Bilangan Bentuk Rincian Keterangan
Ratusan
100 – 999
aba
a sebanyak 9
b sebanyak 10
sebanyak 9 × 10 = 90
Ribuan
1000 – 1991
abba
a sebanyak 1
b sebanyak 10
sebanyak 1 × 10 = 10
Ribuan
2000 – 2015
abba
a sebanyak 1
b sebanyak 1
sebanyak 1 × 1 = 1
Total sebanyak 101
Jadi, banyaknya bilangan asli simetri antara 100 dan 2015 adalah 101
19) Dua persegipanjang kongruen yang masing-masing berukuran 7 cm dan 3 cm, diletakkan seperti
pada gambar berikut.
Luas daerah yang diarsir dalam cm2
adalah …
A B
C D
10 cm
x

Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Misalkan panjang BE = a
Panjang CE = b
Sehingga AB = a + b = 7 ..... (1)
Perhatikan BCE!
CE2
= BC2
+ BE2
b2
= 32
+ a2
b2
– a2
= 9
(b – a)(b + a) = 9
Sehingga, karena a + b = 7, maka
(b – a)(7) = 9
7b – 7a = 9 ..... (2)
Berdasarkan persamaan (2) dan (1) didapat
7b – 7a = 9 | × 1  7b – 7a = 9
a + b = 7 | × 7  7a + 7b = 49
–14a = – 40
a =
Luas BCE = × a × 3
= × × 3
=
Dengan demikian, luas yang di arsir didapat sebagai berikut.
Luas arsir = Luas persegi panjang – 2 × Luas BCE
= 7 × 3 – ( )
= 21 –
=
=
Luas arsir = 12
Jadi, Luas daerah yang diarsir dalam cm2
adalah 12 cm2
a
3
3
a
b
b
A B
CD
E
F
b

20) Jika 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015 dinyatakan sebagai hasilkali dari
bilanganbilangan berurutan. Banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah ….
Pembahasan:
Bentuk dari 101 × 102 × 103 × 104 × 105 × … × 2013 × 2014 × 2015. Hal ini dapat ditulis dalam
bentuk 2015! – 100!
Untuk mengetahui banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015!, carilah pangkat dari 5 yang
memenuhi pada bilangan 2015!, kemudian carilah pangkat dari 5 yang memenuhi pada bilangan
100! Yakni sebagai berikut:
a) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 2015! adalah
 
5
2015
+  
2
5
2015
+  
3
5
2015
+  
4
5
2015
= 403 + 80 + 16 + 3 = 502
b) Pangkat 5 dalam faktorisasi prima 100! adalah
 
5
100
+  
2
5
100
= 20 + 4 = 24
Dengan demikian Banyaknya pangkat 5 dari bilangan 2015! – 100! = 502 – 24 = 478
Jadi, banyaknya pangkat 5 dari bilangan itu adalah sebanyak 478
21) Selesaikan n2
+ m2
, jika , untuk m dan n bilangan asli.
Pembahasan:



Dengan demikian  n = 14
 m = 2
Jadi, n2
+ m2
= 200
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://m2suidhat.blogspot.com/
n2
+ m2
= 142
+ 22
= 196 + 4 = 200

OSN Guru Matematika

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à OSN Guru Matematika

Similaire à OSN Guru Matematika (20)

Dernier

Dernier (20)

OSN Guru Matematika