Vetor

1. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
1
เวกเตอร์ในสามมิติ
(Vector In Three-Space)
1. ระบบพิกัดฉากสามมิติ
ตัวอย่าง จงเขียนจุด A (2 , 2 , –1), B (1 , –3 , 2 ), C (–1 , 3 , 3 ) ลงในระบบพิกัดฉากสามมิติ

2. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
2
แบบฝึกหัด 3.1
1. จากรูป จงหาพิกัดของจุด B, C, D, E, F และ G เมื่อกาหนดจุด A(3,5,4)
2. จงเขียนจุด A (3 , 1 , –1), B (2 , –1 , 1), C (–2 , 1 , 3 ) ลงในระบบพิกัดฉากสามมิติ

3. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
3
2. สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ และ
การคูณด้วยสเกลลาร์
ข้อแตกต่างของเวกเตอร์กับสเกลาร์ คือ ...............................................................
…………………………………………………………………………………………………………
สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์

4. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
4
ตัวอย่าง
นิยามเบื้องต้นของเวกเตอร์
นิยาม 1 u และ v จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ………………………………………………………..
นิยาม 2 u และ v จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ ………………………………………………………..
นิยาม 3 นิเสธของ u คือ ………………………………………………………………………

5. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
5
โปรดสังเกต
1. ……………………………………………………………………………………………………………
2. ……………………………………………………………………………………………………………
3. ……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
4. u จะขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ ..........................................................................................................................
แบบฝึกหัด 3.2
1.
2.

6. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
6
3.
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
การบวกเวกเตอร์
บทนิยาม
ถ้าจุดปลายของ u เป็นจุดเดียวกับจุดตั้งต้นของ v แล้ว vu  คือ เวกเตอร์ซึ่ง
มีจุดตั้งต้นเป็นจุดเดียวกับจุดตั้งต้นของ u และมีจุดสิ้นสุดเป็นจุดจุดเดียวกับจุดสิ้นสุดของ v
ตัวอย่าง

7. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
7
การลบเวกเตอร์
บทนิยาม
ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ ผลลบของ u และ v เขียนแทนด้วย
vu  และ )( vu 
จะเห็นว่าการลบ ก็คือ การบวกด้วยนิเสธนั่นเอง
ตัวอย่าง

8. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
8
แบบฝึกหัด 3.3
1.
2.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

9. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
9
3.
พร้อมให้เหตุผลประกอบ
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
4.
พร้อมให้เหตุผลประกอบ
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

10. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
10
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลลาร์
บทนิยาม ให้ a เป็นจานวนจริงและ u เป็นเวกเตอร์ ผลคูณระหว่าง a และ u เป็นเวกเตอร์ที่เขียนแทนด้วย
ua 
โดยที่ 1) ถ้า a > 0 แล้ว ua  จะมีขนาดเท่ากับ ua  และมีทิศทางเดียวกับ u
2) ถ้า a < 0 แล้ว ua  จะมีขนาดเท่ากับ ua  และมีทิศตรงกันข้ามกับ u
3) ถ้า a = 0 แล้ว 0ua

11. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
11
แบบฝึกหัด 3.4
1.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
กรณีสองมิติ

12. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
12
ตัวอย่าง จงวาดรูปคร่าวๆ ของเวกเตอร์ต่อไปนี้
1.
2. กาหนด A (1 , 2) และ B = (3 , 4) จงหา AB , BA
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.5
1. จงวาดรูปคร่าวๆของเวกเตอร์ต่อไปนี้
1. 





2
1
2. 





 2
3
3. 







2
2

13. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
13
2. กาหนด P (–5 , 1) และ Q = (3 , –2) จงหา PQ
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. กาหนด C(–2 , –3) และ D(5 , 6) จงหา CD และ DC
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
4. กาหนด T(1 , –3) และ G(-3 , 4) จงหา TG และ GT
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
5. กาหนด A(1 , 2) , B(2 , 3) และ C(5 , 6) จงหา BCAB 
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
6. กาหนด A(2 , 2) , B(1 , 3) และ C(7 , 6) จงหา BCAB 
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
7. (มช 36) จงหาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่ (0 , 0) มีความยาว 4 หน่วย และทามุม 
30 กับแกน x
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

14. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
14
กรณีสามมิติ
ตัวอย่าง ให้ P มีพิกัดเป็น (3 , 4 , –4 ) และ Q มีพิกัดเป็น (5 , 0 ,7 ) จงหาค่า PQ
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.6
1. ให้ A(2, 1,–3 ) และ B(1, 1, 1), C(2, 3, -2), D(3, 3, 3) จงหาค่า
1. AB 2. CD
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

15. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
15
3. CDAB  4. CDAB 
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. จงหาเวกเตอร์ต่อไปนี้
3.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
4.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

16. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
16
4. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)
ตัวอย่าง
1.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

17. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
17
2. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (1 , 2 , 0) และ จุดปลายที่ B (–2 , 3 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.7
1. จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูป i และ j
1. 





2
1
2. 





 2
3
3. 







2
2
4. 





0
5
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (3 , 2 , 1) และ จุดปลายที่ B (–1 , -1 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. AB มีจุดเริ่มต้นที่ A (0 , -2 , -1) และ จุดปลายที่ B (1 , 4 , 3) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
5. เวกเตอร์ที่ขนานกัน

18. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
18
ตัวอย่าง เวกเตอร์ต่อไปนี้เวกเตอร์ใดบ้างที่ขนานกัน
1. 











1
2
,
4
8
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. 











1
2
,
2
1
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3.




















2
4
2
,
1
2
1
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.8
เวกเตอร์ต่อไปนี้เวกเตอร์ใดบ้างที่ขนานกัน
1. 











0
8
,
0
7
2. 











3
1
,
3
9
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3.























2
4
2
,
1
2
1
4.




















5
4
3
,
0
2
1
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

19. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
19
6. ขนาดของเวกเตอร์
ตัวอย่าง
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

20. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
20
3.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
เรื่องนี้ชอบออกข้อสอบเข้ามหาลัย!!!!!!
ให้นักเรียนไปศึกษา แล้วนามาเสนอในชั้นเรียนนะครับ

21. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
21
7. ผลคูณเชิงสเกลลาร์
ตัวอย่าง
1.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2.
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3.

22. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
22
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.9
1. ถ้า jiu 43  , jiu 52  และ jiw 3 จงหา wuwvvu  ,,
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. ให้












2
2
1
a ,












2
4
0
b และ












1
2
3
c จงหา cacbba  ,,
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

23. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
23
3. ให้ 






2
1
u , 






1
3
v และ 






1
1
w จงหาค่าของ
1. vu 
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. uv 
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. uu 
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
4.  wvu 
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
5. wvu  )(
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
6. wvu  )(
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

24. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
24
เรื่องนี้ชอบออกข้อสอบเข้ามหาลัย!!!!!!

25. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
25
ตัวอย่าง
1.
2.
8. ผลคูณเชิงเวกเตอร์
ตัวอย่าง
ตัวอย่าง

26. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
26
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
แบบฝึกหัด 3.10
จงหา vu  เมื่อกาหนด
1. jiu 43  , jiv 2
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
2. jiu  , jiv 2
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
3. jiu 42  , jiv 23 
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......
……………………………………………………………………………………………………………......

27. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
27

28. เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล
28
ตารางการส่งงานเรื่องเวกเตอร์ในสามมิติ
วัน/เดือน/ปี งาน ลายเซ็นผู้ปกครอง ลายเซ็นครู
แบบฝึกหัดที่ 3.1
แบบฝึกหัดที่ 3.2
แบบฝึกหัดที่ 3.3
แบบฝึกหัดที่ 3.4
แบบฝึกหัดที่ 3.5
แบบฝึกหัดที่ 3.6
แบบฝึกหัดที่ 3.7
แบบฝึกหัดที่ 3.8
แบบฝึกหัดที่ 3.9
แบบฝึกหัดที่ 3.10
ประโยชน์ของการตรงต่อเวลา
1.ทาให้เรามีนิสัยขยันขันแข็งเอาการเอางานอย่างจริงจัง
2.ฝึกให้เราเป็นคนกระตือรือร้นมี่ชีวิตชีวา
3.ทาให้เรามีความซื่อตรงต่อตัวเองรักษาเกียรติยศของตนเอง
4.ทาให้เราทางานได้สะดวกรวดเร็วเรียบร้อยและมีผลดี
5.หน้าที่การงานประสบความสาเร็จชีวิตก้าวหน้า
6.สามารถกาหนดกิจกรรมต่างๆ ที่เราจะกระทาได้ในแต่ละวันทาให้ชีวิตมีระเบียบและมีวินัยกับตนเอง
7.เป็นที่เชื่อถือและไว้ใจของคนอื่น