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Mecânica Dinâmica Momento Inércia
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Mecânica Dinâmica Momento Inércia
1.
MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido: Força e Aceleração Cap. 17
2.
Objetivos Introduzir os
métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2
3.
17.1 Momento de
Inércia Movimento de translação: F = m a Movimento de rotação: M = I a onde I é o momento de inércia. O momento de inércia é uma resistência do corpo à aceleração angular enquanto que a massa mede a resistência do corpo à aceleração TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 3
4.
17.1 Momento de
Inércia O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo momento de massa em relação a um eixo: 2 I r dm m r é o braço de momento ou a distância perpendicular do eixo considerado até o elemento de massa dm. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 4
5.
17.1 Momento de
Inércia Para um corpo de densidade variável r, dm = rdV e: 2 I r rdV V E para r constante: 2 I r r dV V TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 5
6.
Exemplo 17.1 Determine
o momento de inércia do cilindro mostrado em relação ao eixo z. Considere a densidade do material constante. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 6
7.
Exemplo 17.1 -
Solução Usando o elemento de casca cilíndrica: dV r h dr dm r dV dm r r h dr 2 2 (2 )( ) I r dm r r h dr R I h r dr R h TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 7 z R m z 4 0 3 0 2 2 (2 )( ) (2 )( ) r r r
8.
Exemplo 17.1 -
Solução 2 Como a massa do cilindro m dm r r h dr r R h 0 2 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 8 1 2 é: (2 )( ) Assim: z R m I mR
9.
17.1 Momento de
Inércia Teorema dos Eixos Paralelos 2 I z IG md onde: IG = momento de inércia em torno do eixo z’ passando pelo centro de massa G m = massa do corpo d = distância perpendicular entre os dois eixos TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 9
10.
17.1 Momento de
Inércia Raio de Giração I mk2 ou I k m Observe-se a semelhança com a equação do diferencial do momento de inércia: dI r dm 2 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 10
11.
17.1 Momento de
Inércia Corpos compostos Usa-se o Teorema dos Eixos Paralelos 2 I z IG md Portanto para uma somatória de corpos: 2 z G I I md TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 11
12.
Exemplo 17.3 Determine
o momento de inércia da placa em relação ao eixo z perpendicular a placa passando pelo ponto O. A placa possui densidade constante de 8000 kg/m3 e espessura 10 mm. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 12
13.
Exemplo 17.3 -
Solução A placa consiste de duas partes, um disco sólido e um furo: Portanto para uma somatória de corpos: I I O d O f O I I m d I I m TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 13 2 2 d O d d f O f f d I
14.
Exemplo 17.3 -
Solução I I m m V d . 8000 (0.25) (0.01) 15.708 kg O d d d 0 25m 1 1 (15.71)(0.25) 0.49087 I m r 2 2 0.49087 15.708(0.25 1.4726 kg. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 14 Disco: 2 2 2 2 2 2 ) m d d d d d O d d O d I I d r
15.
Exemplo 17.3 -
Solução I I d O f m V d . 8000 (0.125) (0.01) 3.9270 kg I m TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 15 Furo: 2 2 2 2 2 2 0 25m 1 1 (3.9270)(0.125) 0.030680 2 2 0.030 0.27612 680 3.9270(0. k m 2 . 5) g f f f d f f d d d d O O r I m I r
16.
Exemplo 17.3 -
Solução I I I I O d f O 1.4726 0.27612 1.20 kg.m TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 16 Placa: 2 O O O I
17.
Objetivos Introduzir os
métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 17
18.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Nosso estudo será restrito para corpos rígidos que possuem simetria em relação a um plano de referência. Assim todas as forças (e momentos) atuantes no corpo poderão ser projetadas neste plano e o movimento a ser estudado será planar. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 18
19.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Translação: G m F a Esta equação define que a soma de todas as forças atuantes no corpo é igual a massa do corpo vezes a aceleração do seu centro de massa G. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 19
20.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação Planar do Movimento de Translação: F m a F m a x G x y G y TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 20
21.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: i i i i r F r f r m a Diagrama de corpo livre da partícula Diagrama cinético da partícula TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 21
22.
16.3 Rotação em
Torno de um Eixo Fixo Movimento do Ponto P Resumo: v ωr a r a ω 2 r 2 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 22 t n P P P ω a v ω r v ω r a α r ω ω r a α r r
23.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: M r m a P i i i M m r ( a α r ω 2r ) P i i P Desenvolvendo o produto vetorial, usando os componentes cartesianos do momento e aceleração: 2 M m y a x a αr P i i P x P y TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 23
24.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação Integrando sobre toda a massa do corpo: P M ydm a xdm a α r dm 2 m P y m P x m TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 24
25.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: P M ydm a xdm a α r dm 2 m P y m P x m SMP representa somente momentos externos desde que os momentos internos se anulam. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 25
26.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: P M ydm a xdm a α r dm 2 m P y m P x m A primeira integral é a ordenada do centro de massa vezes a massa TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 26
27.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: P M ydm a xdm a α r dm 2 m P y m P x m segunda integral é a coordenada do centro de massa vezes a massa TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 27
28.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: P M ydm a xdm a α r dm 2 m P y m P x m A terceira integral é o momento de inércia de massa do corpo. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 28
29.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: P P x P y P M ym a xm a αI TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 29
30.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Se o ponto P coincide com o centro de massa G: MG αIG ou seja: a soma de todos os momentos externos atuantes no corpo, calculados em relação ao centro de massa G é igual ao produto da aceleração angular do corpo pelo momento de inércia em relação a um eixo que passa por G. TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 30
31.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação escrita em função do momento de inércia em relação ao centro de massa G: P G x G y G M ym a xm a αI Diagrama de corpo livre Diagrama cinético TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 31
32.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano P P x P y P M ym a xm a αI P G x G y G M ym a xm a αI Equação do Movimento de Rotação escrita de uma forma geral em função do momento cinético: P k P M M TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 32
33.
17.2 Equações Dinâmicas
do Movimento Plano Resumo: P k P F m a F m a x G x y G y G G M αI M M TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 33
34.
Problema 17.A Uma
empilhadeira é constituída de uma estrutura com uma massa de 800 kg e centro de massa em G , conforme mostrado na figura. Se a aceleração vertical da estrutura é de 4 m/s 2 , determine as reações horizo A B ntal e vertical nos pinos e quando a carga de elevação é de 1250 kg. 0.25 1.00 2.00 0.30 1.20 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 34
35.
Problema 17.A -
Solução Diagrama de Corpo Livre a=4 m/s2 0.25 1.00 2.00 0.30 1.20 BX AX AY PC xCG PE g=9.81 m/s2 CG TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 35
36.
Problema 17.A -
Solução m PC g PE g 1250 800 1250 1250 9.81 800 8 2050.0 kg 00 9.81 78 0 x x 7848.0 12263 2 0 A B A B 7848 12262.50 2050 4 1.5 G 12263 N 2050 0 28.3 kN 48. 1.00 1.2195 0 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 36 0 0 N 1.2195 m 28310 N CG C C G x x x x y x y y G x y y x y A M m PC PE x A A F ma m A F A a A 1.50 28310 1.00 1.2195 0 A B 41.9 kN x x x
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