Introdução aos Derivativos Exóticos

Introdução aos
Derivativos Exóticos
Centro Educacional BM&FBOVESPA
José Augusto Carvalho Filho
Julho 2012

 Derivativos:
Listados versus OTC
 Racional de um produto Exótico
 O problema de Apreçamento
 Opções vanila em apenas 1 minuto
 Opções Exóticas

Derivativos:
Listados versus
OTC

Particularidades do Mercado de Swaps
Fonte: Série Introdutória Mercado de Derivativos. Disponível em:
http://www.bmfbovespa.com.br/pt-br/educacional/download/serie-introdutoria_mercados-derivativos.pdf

O mercado costuma dividir os
produtos financeiros em duas
categorias:
Produtos Listados
Produtos de OTC (Over-the-
counter) ou Balcão

 Produtos Listados - Produtos padronizados
negociados em Bolsa de Valores.
Características Típicas:
• Modelagem relativamente consensual
• Apreçamento não complexo
• Preços e Volatilidades implícitas cotadas por
bolsas, corretoras e banco de investimentos.

 Produtos OTC – Por definição, produtos não
padronizados negociados em sistemas de de registro.
Características Típicas:
• Produtos cuja a modelagem não
é, necessariamente, consensual.
• Apreçamento complexo.
• Preços e Volatilidades implícitas não informadas por
bolsas, corretoras e banco de investimentos.

 Produtos OTC – Por definição, produtos não
padronizados negociados em sistemas de de registro.
Sistemas de Registro:
Brazil
• BM&FBVOESPA
• CETIP
Exterior
• DTCC
• LCH.Clearnet
• Ice Clearing – The Clearing Corporation

fonte: http://www.bis.org/statistics/derstats.htm

(I)Racional
de um
Produto
Exótico

Componentes Típicas de Derivativos (opções) Exóticos
• Exercício antecipado
• Dependência de Caminho Fraca
• Dependência de Caminho Forte
• Dependência Temporal
• Dimensionalidade

• Exercício antecipado
Ex: Opções Americanas , Títulos Conversíveis, etc.

• Dependência de Caminho Fraca
Ex: Opções com Barreira (Knock-in, Knock-out)

• Dependência de Caminho Forte
Ex: Opções Asiáticas

• Dependência Temporal
Ex: Opções das Bermudas

• Dimensionalidade
Ex: Opções de mais de um ativo-objeto

• Ordem
Ex:
• Opção de Compra de uma opção de venda
• Opção de Compra de Ação
• Copção de Venda de Futuro de ççnao

Se não houvesse risco no preço de um ativo, poderíamos
escrever que:
,
cuja solução é uma exponencial.
dS = mSdt
S = S0emT
Modelando o Preço

Se no caso de um ativo de risco, como podemos
escrever o modelo de preço?
dS = mSdt +?
Modelando o Preço

dS = mSdt +sSdz
A parte
puramente
determinística do
retorno é
semelhante ao
rendimento da
conta bancária.
A componente
estocástica do
retorno é
representada por
um movimento
browniano
Variação do
Preço possui
duas
componentes:
determinística
e aleatória.

Portanto, quando se fala de ativo de risco, o modelo de preço
padrão adotado é o seguinte:
onde:
µ = taxa de retorno esperada,
σ = volatilidade.
Modelando o Preço
dS = mSdt +sSdz

Considere a ação da Petrobrás com volatilidade de 30% (a.a.) e retorno
esperado de 15% a.a.
Como poderíamos representar o processo estocástico do
preço da Petrobrás ?
Modelando o Preço
Exemplo

Considere a ação da Petrobrás com volatilidade de 30% (a.a.) e retorno
esperado de 15% a.a.
O processo estocástico do preço dessa ação seria modelado da seguinte
forma:
Fazendo a ‘tradução’ para o mundo discreto, temos:
,
onde z é uma variável aleatória contínua distribuída de acordo com uma
normal de média ZERO e desvio UM.
Modelando o Preço
Exemplo
DS
S
= 0,15Dt + 0,3z Dt
dS = mSdt +sSdz

Atenção para a a unidade de tempo.
Considerando o valor inicial da ação como sendo 100 e o intervalo de
tempo igual a 1 dia, temos Δt=1/252, tem-se:
Lembrando: z é distribuída de acordo com uma normal de média ZERO e
desvio UM.
Modelando o Preço
Exemplo
DS
S
= 0,15Dt + 0,3z Dt
DS =100× 0,15×0,0040 + 0,3×z×0,063( )
= 0,06 +1.8898z

Opções vanila
em apenas 1
minuto

Opção
Representando os Payoffs

Opção
Comprado (Longo) em Call
Payoﬀ
S(T)
K
p

Opção
Comprado (Long) em Call
Payoﬀ
S(T)
K
p
Payoﬀ
S(T)
K
p

Opção
Vendido (Short) em Call
Payoﬀ
S(T)K
p
Payoﬀ
S(T)K
p

Opção
Vendido (Short) em Call
Payoff
S(T)K
p
Payoff
S(T)K
p
Payoff
S(T)K
p

Opção
Comprado (Long) em Put
Payoﬀ
S(T)
K
p

Opção
Comprado (Long) em Put
Payoﬀ
S(T)
K
p
Payoﬀ
S(T)
K
p

Opção
Vendido (Short) em Put
Payoﬀ
S(T)K
p

Opção
Vendido (Short) em Put
Payoﬀ
S(T)K
p
Payoﬀ
S(T)K
p

Opção
Representando os Payoffs
Comprado
(long)
Vendido
(short)
Call Put

• Opções Americanas Exóticas
• Opção a Termo
• Opção de Opção (Compound Option)
• Opção Com Barreira
• Opção Asiática
• Opção de Escolha
Opções Exóticas Básicas

Normalmente tais opções possuem algumas características as quais
transferem o termo Exótico:
• Exercício antecipado restrito a algumas datas específicas (Opções das
Bermudas)
• Exercício antecipado permitido em apenas uma parte da vigência do
contrato de opção. Nesse caso, o período proibido é chamado de “Lock
out”.
• O preço de exercício pode mudar ao longo da vigência do contrato.
Apreçamento: Árvore binomial.
Opções Americanas Exóticas

• Opções cujo início da vigência inicia-se numa data futura T.
• Opções Executivas podem ser entendidas como opções a termo.
Apreçamento:
Suponha opção de compra a termo com início em T1 e vencimento em T2.
Essa opção será sempre iniciada “no dinheiro”. O valor do ativo-objeto é S0 e
S1 nas datas T0 e T1 , respectivamente e c é o prêmio da opção de duração
(T2 –T1) e vencimento em T2.
Opções a Termo
C t0 ,T1,T2( )= e-rT1
E c
S1
S0
é
ë
ê
ù
û
ú = e-rT1
c
1
S0
E S1[ ]
= e-rT1
c
1
S0
S0e r-q( )T1
= ce-qT1
Exemplo:
https://www.cetip.com.br/informacao_tecnica/regulamento_e_manu
ais/manuais_de_operacoes/Swap/Cetip_WebHelp/Exercicio_Opcao.ht

Calcule o preço de uma opção a termo de ação da Petrobrás com início em 2
meses e vencimento em 10 meses sabendo-se que, o preço da opção à vista
com mesmo prazo (8 meses) é de R$ 2,30 e a taxa de dividendos da ação é
de 3,5% a.a (continuamente composta).
Opções a Termo
Resolução
C t0 ,T1,T2( )= ce-qT1
= 2,30 ´ e
-
3,5
100
×
2
12
æ
èç
ö
ø÷
= 2,29

Calcule o preço de uma opção a termo de ação da Petrobrás com início em 2
meses e vencimento em 10 meses sabendo-se que, o preço da opção à vista
com mesmo prazo (8 meses) é de R$ 2,30 e a taxa de dividendos da ação é
de 3,5% a.a. Se a taxa informada não é continuamente composta basta usar
a capitaização composta.
Opções a Termo
Resolução:
C t0,T1,T2( )=
c
1+ q( )T1
=
2,30
1+
3,5
100
æ
èç
ö
ø÷
2
12
= 2,29

• Possíveis combinações:
• Opção de Compra sobre opção de Compra
• Opção de Compra sobre opção de Venda
• Opção de Venda sobre opção de Compra
• Opção de Venda sobre opção de Venda
• Possuem 2 preços de exercícios e 2 vencimentos
• Preço da opção extremante baixo quando comparado com a opção
convencional.
Opções sobre Opção
compound option

Apreçamento:
Suponha uma call sobre call cujo primeiro e segundo vencimento é T1 e T2, e
preços de exercício, K1 e K2, respectivamente. No primeiro vencimento, o titular
tem o direito de pagar K1 pela opção. Caso exerça tal direito, o titular passa a ter
uma opção sobre um ativo-objeto que vence em T2 cujo preço de exercício é K2.
compound option
C t0,S0,r,q,s,k1,k2,T1,T2( )= ?

onde:
• t0 = data de cálculo do preço da opção sobre opção,
• S0 = preço do ativo-objeto na data de cálculo do preço da opção sobre opção,
• r = taxa de juros livre de risco,
• q = taxa de dividendos do ativo-objeto (no caso de ação),
• σ = volatilidade do ativo-objeto.
• K1 = preço de exercício (1º strike) da opção sobre opção,
• K2 = preço de exercício (2º strike) da opção,
• T1 = vencimento do (1º vencimento) da opção sobre opção,
• T2 = vencimento do (2º vencimento) da opção .
compound option
C t0,S0,r,q,s,k1,k2,T1,T2( )= ?

onde:
• M(a,b,c) = distribuição acumulada bivariada normal com coeficiente de
correlação “c”. Para calcular essa distribuição bivariada, utilize a planilha
<bivar.xls> disponibilizada na biblioteca eletrônica.
• S* = Preço do ativo-objeto na data T1 tal que o preço da opção na data T1 seja
igual a K1.
C = S0e-qT2
M a1,b1,
T1
T2
æ
è
ç
ö
ø
÷ - K2e-rT2
M a2,b2,
T1
T2
æ
è
ç
ö
ø
÷ - e-rT1
k1N a2( )
a1 =
ln S0 S*
( )+ r - q +
s 2
2
æ
èç
ö
ø÷ T1
s T1
;a2 = a1 -s T1
b1 =
ln S0 k2( )+ r - q +
s 2
2
æ
èç
ö
ø÷ T2
s T2
;b2 = b1 -s T2

Seguindo esse racional, tem-se ainda as expressões para as outras 3
combinações de opções sobre opções:
Put sobre uma Call
Call sobre uma Put
Put sobre uma Put
Puts/Call = -S0e-qT2
M -a1,-b1,-
T1
T2
æ
è
ç
ö
ø
÷ + k2e-rT2
M -a2,-b2,-
T1
T2
æ
è
ç
ö
ø
÷ + e-rT2
k1N -a2( )
Calls/Put = -S0e-qT2
M -a1,-b1,
T1
T2
æ
è
ç
ö
ø
÷ + k2e-rT2
M -a2,-b2,
T1
T2
æ
è
ç
ö
ø
÷ - e-rT2
k1N -a2( )
Puts/Put = S0e-qT2
M a1,-b1,-
T1
T2
æ
è
ç
ö
ø
÷ - k2e-rT2
M a2,-b2,-
T1
T2
æ
è
ç
ö
ø
÷ + e-rT2
k1N a2( )

Seja uma Call sobre Call de ação, que não paga dividendos, com preços de
exercício R$3 e R$ 25 e vencimentos em 2 e 6 meses, respectivamente. O preço
do ativo-objeto é R$ 22. Assumindo que a volatilidade é de 20% e a taxa de juros
livre de risco é 10% a.a., calcule o preço teórico dessa opção.
Ex:

Resolução:
Input
Opção de Compra sobre Opção de Compra
1a data Exercício T1 (meses) 2
1o Preço Exercício K1 R$3.00
Ativo-Objeto (Call)
2a data Exercício T2 (meses) 6
2o Preço Exercício K2 R$25.00
Preço Ativo-Objeto em t0 22
Vol 20%
r(a.a.) 10%
q 0%

Resolução:

• Opção cujo payoff depende se o preço do ativo-objeto atinge um
determinado nível durante um certo período de tempo.
Classificação quanto a vigência:
• Knock-in - Opção começa a existir quando o preço do ativo-objeto atinge
atinge a barreira.
• Knock-out – Opção deixa de existir quando o preço do ativo-objeto
atinge atinge a barreira.
Classificação quanto a barreira:
• Up – Preço atinge a barreira por baixo.
• Down – Preço atinge a barreira por cima.
Portanto, há 8 combinações de opções com barreira, 4
Combinações para cada tipo de opção (Call e Put).
Opção com Barreira

Call Down-and-in (Cdi):
• É um tipo de opção com Knock-in, ou seja, uma opção que passa a existir
se o preço atinge a barreira (H).
Se H ≤K
Call Down-and-out (Cdo):
• É um tipo de opção com Knock-Out, ou seja, uma opção que deixa de
existir se o preço atinge a barreira (H), que é menor do que o preço do
ativo-objeto S0.
Apreçamento
Cdi = S0e-qT H
S0
æ
èç
ö
ø÷
2l
N(y)- Ke-rT H
S0
æ
èç
ö
ø÷
2l-2
N(y -s T )
l =
r - q +
s 2
2
æ
èç
ö
ø÷
s
;y =
ln
H2
S0K
æ
èç
ö
ø÷
s T
+ ls T
cdo = c- cdi

Call Down-and-out (Cdo):
Se H ≥K
Call Down-and-in (Cdi):
Apreçamento
Cdo = S0N(x1)e-qT
- KN(x1 -s T )e-rT
- S0e-qT H
S0
æ
èç
ö
ø÷
2l
N(y1)- Ke-rT H
S0
æ
èç
ö
ø÷
2l-2
N(y -s T )
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
x1 =
ln
S0
H
æ
èç
ö
ø÷
s T
+ ls T ;y1 =
ln
H
S0
æ
èç
ö
ø÷
s T
+ ls T
cdi = c - cdo

Se H ≤K
Call Up-and-in (Cui):
• É um tipo de opção com Knock-in, ou seja, uma opção que deixa de existir
se o preço atinge a barreira (H), que é maior do que o preço do ativo-
objeto S0.
Call Up-and-Out (Cuo):
• É um tipo de opção com Knock-Out, ou seja, uma opção que deixa de
existir se o preço atinge a barreira (H).
Apreçamento
cuo = 0
cui = c

Se H ≥K
Call Up-and-in (Cui):
Call Up-and-Out (Cuo):
Apreçamento
cuo = c - cui
Cui = S0N(x1)e-qT
- KN(x1 -s T )e-rT
- S0e-qT H
S0
æ
èç
ö
ø÷
2l
N(-y)- N(-y1)[ ]
+Ke-rT H
S0
æ
èç
ö
ø÷
2l-2
N(-y +s T )- N(-y1 +s T )é
ë
ù
û

• Opção cujo payoff depende da média de preço do ativo-objeto durante
pelo menos alguma parte da vigência da opção.
Payoff Típico
• Payoff da Call = Max(0, Smed-K)
• Payoff da Put = Max(0, K-Smed)
Características
• Mais baratas que as opções convencionais.
• Seu uso pode evitar que o preço do ativo não seja facilmente
manipulado próximo ao vencimento da opção.
• São opções altamente dependentes do “caminho” do preço
do ativo.
• Fórmulas analíticas são aproximadas.
• Alternativa é abordar o preço através de simulação
Monte Carlo.
Opção Asiática

• Opção cujo titular, após um determinado período, pode escolher se o
derivativo é uma call ou put.
Apreçamento:
Na data de escolha T1 tem-se que o valor da opção é
que consiste em uma carteira de opções com:
• 1 opção de Compra com Strike K e vencimento T2,
• e-q(T2-T1) opções de Venda com Strike Ke-(r-q)(T2-T1) e
vencimento T1.
Opção de Escolha (as you like option)
max c, p( )= max c,c + Ke
-r T2 -T1( )
- S1e
-q T2 -T1( )
( )
= c + e-q T2-T1( )
max c,c + Ke- r-q( ) T2 -T1( )
- S1( )
Put Call

• Opção cujo titular, após um determinado período, pode escolher se o
derivativo é uma call ou put.
Apreçamento:
Na data de escolha T1 tem-se que o valor da opção é
que consiste em uma carteira de opções com:
• 1 opção de Compra com Strike K e vencimento T2,
• e-q(T2-T1) opções de Venda com Strike Ke-(r-q)(T2-T1) e
vencimento T1.
Esse tipo de opção é interessante para um investidor fazer um hedge de um evento que pode não acontecer.
Investidores aguardam uma decisão do senado que poderá afetar a cotação do dólar, por exemplo.
Opção de Escolha
max c, p( )= max c,c + Ke
-r T2 -T1( )
- S1e
-q T2 -T1( )
( )
= c + e-q T2-T1( )
max 0,Ke- r-q( ) T2 -T1( )
- S1( )
Put Call

Um investidor deseja adquirir uma opção de escolha da Vale do Rio Doce
cujo strike da Put e Call é igual a R$ 57. Sabendo-se que o preço da ação é R$
52, taxa de juros livre de risco 10% a.a. e volatilidade e 20%, calcule o valor
da opção vencimento em 4 meses cuja data de escolhe ocorre aos 2
meses, considerando a taxa de dividendos igual a 2% a.a.
Opção de Escolha
Ex:
Put Call

Um investidor deseja adquirir uma opção de escolha da Vale do Rio Doce cujo strike
da Put e Call é igual a R$ 57. Sabendo-se que o preço da ação é R$ 52, taxa de juros
livre de risco 10% a.a. e volatilidade e 20%, calcule o valor da opção vencimento em 4
meses cuja data de escolhe ocorre aos 2 meses, considerando a taxa de dividendos
igual a 2% a.a.
Nesse caso, basta aplicar o Black-Scholer convencional para avaliar o preço dessa
opção.
Opção de Escolha
Resolução:
max c, p( )= c + e-2% 4/12-2/12( )
max 0, 57e- 10%-2%( ) 4/12-2/12( )
- 52( )
= Call + 0.96×max 0, 56.25 - 52( )
Put Call
1 unidade de Call
com Strike R$57 e
Vencimento em 4
meses
0,96 unidade de Put
com Strike R$56,25 e
Vencimento em 2
meses

 Hull, C. John, Options, Futures and Other Derivatives, 6th Edition.
 Wilmott, Paul, Quantitative Finance, 2nd Edition.
 Carvalho Filho, José Augusto, Modelo Exponencial para a Distribuição
de Retornos do IBOVESPA.
 Bank of International Settlements (BIS), http://www.bis.org
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