SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  11
RELA ŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC PROBLEME REZOLVATE C lasa  a VII-a .
P roblema   1 Fie triunghiul ABC dreptunghic  î n A  ,  AB = 10cm  ş i AD = 5  3cm, AD  BC. Afla ţ i lungimea lui BD, BC  ş i AC. Rezolva r e: A B C D 10cm 5  3cm 1) Aplic ă m teorema lui Pitagora  î n   ABD pentru a afla BD: BD 2  = AB 2  – AD 2     BD 2  = 100 – 75 = 25    BD =   25 =  5 c m . 5cm 2) Aplic ă m teorema catetei  (pentru cateta AB)  pentru a afla BC: AB 2  = BD  BC    100 = 5  BC    BC = 100:5 = 20cm. 20cm 3) Pentru a afla lungimea  catetei  AC aplic ă m teorema lui Pitagora  î n   ABC: AC 2  = BC 2  – AB 2     AC 2  = 400 – 100 = 300    AC =   100 = 10  3cm. 10  3cm Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi dreptunghic,  î ncercati s ă  rezolva ţ i problema aplic â nd  ş i teorema  î nal ţ imii. .
Fie ABCD un p ă trat de latur ă  AB = 10cm; punctul E se afl ă î n interiorul p ă tratului astfel  î ncat   AEB s ă  fie echilateral. Afla ţ i lungimea lui [EC].  Rezolvare: Problema  2 A B C D E Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E. F G Î n   EGB avem: BE=10cm, BG=5cm.  10 5 GE 2  = BE 2  – BG 2     GE 2  = 100-25=75 5  3 FE = GF – GE = 10 - 5  3cm. Î n   CEF:  CE 2  = FE 2  + FC 2 .
Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 2  5cm  ş i DE = 4cm ,  unde DE  AB .  Afla ţ i lungimile celor dou ă  diagonale. Rezolvare: Problema  3 A B C D E 2  5 10 4 Î n   ADE afl ă m pe AE: AE 2  = AD 2  – DE 2  = 20 – 16 = 4. AE =   4 = 2cm. 2    BE = AB – AE = 10 – 2 = 8cm. 8 Î n   BDE afl ă m pe BD: BD 2  = BE 2  + AD 2  = 64 + 16 = 80.    BD =   80 = 4  5cm. Cobor â m o perpendicular ă  din C pe dreapta AB: F BF = AE = 2cm. 2 CF = DE = 4cm. 4 Î n   ACF avem:  AC 2  = AF 2  + CF 2  = 12 2  + 4 2  = 144+16=160. .
Problema 4 Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm  ş i CD = 8cm. S ă  se calculeze perimetrul trapezului  ş i lungimile diagonalelor. Rezolvare: A B C D 16 8 O Dac ă  trapezul este isoscel atunci  ş i triunghiurile AOB  ş i COD sunt isoscele. Aplic ă m teorema lui Pitagora  î n   BOC BC 2  = BO 2  + OC 2  = 128 + 32 = 160 .
Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi  a  si  b  si m ă sura unghiului cuprins  î ntre ele egal ă  cu   . S ă  se afle lungimea celei de-a treia laturi.  Rezolvare: Problema 5 a b  Construim  î nal ţ imea pe latura de lungime  b . O notam cu  h . h Î n triunghiul din st â nga avem: h =  a  sin    ş i  x  =  a  cos  x y c Î nseamn ă  c ă   y  =  b – x  =  b - a  cos  Aplic ă m teorema lui Pitagora  î n triunghiul din dreapta: c 2  = h 2  + y 2  = (a  sin  ) 2  + (b - a  cos  ) 2 c 2  = a 2 sin 2   + b 2  – 2ab  cos   + a 2 cos 2  c 2  = a 2 (sin 2   + cos 2  )+b 2  – 2ab  cos  Dar sin 2   + cos 2   = 1, a ş adar     ( Teorema lui Pitagora generalizat ă  sau teorema cosinusului ) . c 2  = a 2  + b 2  – 2ab  cos 
Problema 6 Fie triunghiul ABC cu m ă sura unghiului B de 60 0 , m ă sura unghiului A de 75 0   ş i AB = 8cm. Se cere s ă  se afle perimetrul  ş i aria triunghiului. Rezolvare: A B C 60 0 45 0 8cm m(<BAC) = 180 0  – m(<B) – m(<C) = 180 0  – 60 0  – 45 0  = 75 0 . D Î n   ABD:  BD = AB  cos60 = 8  0,5 = 4cm.    AD = AB  sin60 = 8  3/2 = 4  3cm. Î n   ADC:  CD = AD = 4  3cm. (  ADC=isoscel  ş i  dreptunghic.)      AC = CD  sin45 = 4  3  2/2 = 2  6cm. P ABC  = AB + AC + BC =  = 8 + 2  6 + 4  3 + 4 =  = 12 + 4  3 + 2  6cm. .
Problema 7 Trapezul ABCD cu baza mic ă  CD = 3cm are AD = 4cm  ş i m ă sura unghiului A de 60 0  ,  iar m ă sura unghiului B de 30 0 . Se cere s ă se calculeze  perimetrul  ş i aria trapezului. Rezolvare: A B C D 4cm 3cm 8cm 60 0 30 0 E F AE = AD cos 60 = 4  0,5 = 2cm. DE = CF =  AD sin 60 = 4  3/2 = 2  3cm. BC = CF:sin30 = 2  3/0,5 = 4  3cm. BF = BC cos 30=4  3  3/2=6cm. EF = CD = 3cm. .
Problema 8 Fie triunghiul ABC cu AB =  c  = 7cm, BC =  a  = 9cm  ş i AC =  b  = 8cm. S ă  se afle sinA, sinB si sinC. Rezolvare: A B C 7cm 9cm 8cm Folosim urm ă toarea formul ă  de calcul a ariei unui triunghi: u nde  p  = semiperimetrul triunghiului. p  = (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12 Folosim alt ă  formul ă  de calcul a ariei unui triunghi: Analog vom calcula la fel si sin  B  sau sin  C. Se poate aplica  î n continuare si  teorema sinusului: .
Problema 9 Printr-un anume procedeu calcula ţ i  tg15 0   . Rezolvare: Lu ă m un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 0  si construim bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui  BC = 2 si apoi urmari ţ i pa ş ii de rezolvare: A B C 30 0 D bisectoarea 15 0 Dac ă  BC =2, atunci: AC = 2BC = 4.  AB = AC  cos30 0  = 4  3/2 = 2  3. Aplic ă m teorema bisectoarei: . Calcula ţ i singuri  ş i  sin 15 0   ş i  sin 75 0 .
Problema   10 Far ă  a utiliza tabele trigonometrice, calcula ţ i  sin 75 0 . Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 75 0 , 45 0   ş i 60 0 . A B C 7 5 0 45 0 60 0 D Not ă m BD = 1 1 Rezult ă : AB = 2; AD =   3; CD =   3; AC =   6. 2  3  3  6 Aria triunghiului ABC: Dar aria   ABC cu formula sinusului este: A ş adar avem: .

Contenu connexe

Tendances

Subiectul 2 romana
Subiectul 2 romanaSubiectul 2 romana
Subiectul 2 romanaDenis105318
 
Triunghiul teorie
Triunghiul teorieTriunghiul teorie
Triunghiul teoriedoamneisuse
 
Prezentare ppt - Sistemul respirator
Prezentare ppt - Sistemul respiratorPrezentare ppt - Sistemul respirator
Prezentare ppt - Sistemul respiratorSimonne Chirilă
 
tabel derivate si integrale
tabel derivate si integraletabel derivate si integrale
tabel derivate si integraleClimenteAlin
 
Matematica in viata cotidiana
Matematica in viata cotidianaMatematica in viata cotidiana
Matematica in viata cotidianaDarstaru Gheorghe
 
Formule matematice cls. v viii
Formule matematice cls. v viiiFormule matematice cls. v viii
Formule matematice cls. v viiiGherghescu Gabriel
 
Formule matematice cls. v viii in doua pagini
Formule matematice cls. v   viii in doua paginiFormule matematice cls. v   viii in doua pagini
Formule matematice cls. v viii in doua paginiGherghescu Gabriel
 
Ecuații de gradul Ii
Ecuații de gradul IiEcuații de gradul Ii
Ecuații de gradul Iioles vol
 
Problemele ecologice cu care se confruntă orașul
Problemele ecologice cu care se confruntă orașulProblemele ecologice cu care se confruntă orașul
Problemele ecologice cu care se confruntă orașulGabrielBunescu
 
Sinteza geometriei cls. a vii a
Sinteza geometriei cls. a vii aSinteza geometriei cls. a vii a
Sinteza geometriei cls. a vii aGherghescu Gabriel
 
Linii importante in triunghi 1
Linii importante in triunghi 1Linii importante in triunghi 1
Linii importante in triunghi 1Elena Georgescu
 
Numere reale.pptx
Numere reale.pptxNumere reale.pptx
Numere reale.pptxoles vol
 
TRAPEZUL Proprietati.pptx
TRAPEZUL  Proprietati.pptxTRAPEZUL  Proprietati.pptx
TRAPEZUL Proprietati.pptxcdiaconu
 
Neculai stanciu exercitii rezolvate
Neculai stanciu exercitii rezolvate Neculai stanciu exercitii rezolvate
Neculai stanciu exercitii rezolvate Gherghescu Gabriel
 
Teorema Pitagora
Teorema PitagoraTeorema Pitagora
Teorema PitagoraFelicity10
 

Tendances (20)

Subiectul 2 romana
Subiectul 2 romanaSubiectul 2 romana
Subiectul 2 romana
 
Triunghiul teorie
Triunghiul teorieTriunghiul teorie
Triunghiul teorie
 
Prezentare ppt - Sistemul respirator
Prezentare ppt - Sistemul respiratorPrezentare ppt - Sistemul respirator
Prezentare ppt - Sistemul respirator
 
Geometrie
GeometrieGeometrie
Geometrie
 
tabel derivate si integrale
tabel derivate si integraletabel derivate si integrale
tabel derivate si integrale
 
Matematica in viata cotidiana
Matematica in viata cotidianaMatematica in viata cotidiana
Matematica in viata cotidiana
 
Prezentare Pi
Prezentare PiPrezentare Pi
Prezentare Pi
 
Formule matematice cls. v viii
Formule matematice cls. v viiiFormule matematice cls. v viii
Formule matematice cls. v viii
 
Formule matematice cls. v viii in doua pagini
Formule matematice cls. v   viii in doua paginiFormule matematice cls. v   viii in doua pagini
Formule matematice cls. v viii in doua pagini
 
Ecuații de gradul Ii
Ecuații de gradul IiEcuații de gradul Ii
Ecuații de gradul Ii
 
Problemele ecologice cu care se confruntă orașul
Problemele ecologice cu care se confruntă orașulProblemele ecologice cu care se confruntă orașul
Problemele ecologice cu care se confruntă orașul
 
Functii derivabile
Functii derivabileFunctii derivabile
Functii derivabile
 
Sinteza geometriei cls. a vii a
Sinteza geometriei cls. a vii aSinteza geometriei cls. a vii a
Sinteza geometriei cls. a vii a
 
Linii importante in triunghi 1
Linii importante in triunghi 1Linii importante in triunghi 1
Linii importante in triunghi 1
 
Numere reale.pptx
Numere reale.pptxNumere reale.pptx
Numere reale.pptx
 
Geometrie VI
Geometrie VIGeometrie VI
Geometrie VI
 
TRAPEZUL Proprietati.pptx
TRAPEZUL  Proprietati.pptxTRAPEZUL  Proprietati.pptx
TRAPEZUL Proprietati.pptx
 
Neculai stanciu exercitii rezolvate
Neculai stanciu exercitii rezolvate Neculai stanciu exercitii rezolvate
Neculai stanciu exercitii rezolvate
 
Corpuri geometrice
Corpuri geometriceCorpuri geometrice
Corpuri geometrice
 
Teorema Pitagora
Teorema PitagoraTeorema Pitagora
Teorema Pitagora
 

En vedette

Culegere probleme gimnaziu
Culegere probleme gimnaziuCulegere probleme gimnaziu
Culegere probleme gimnaziuzanvas
 
Culegere evaluare nationala 2012.pdf
Culegere evaluare nationala 2012.pdfCulegere evaluare nationala 2012.pdf
Culegere evaluare nationala 2012.pdfNicoleta Serban
 
Arii Cls A VII - Aaa
Arii Cls A VII - AaaArii Cls A VII - Aaa
Arii Cls A VII - Aaamihismonica
 
Frumusetea matematicii
Frumusetea matematiciiFrumusetea matematicii
Frumusetea matematiciipetrucodric
 
Curiozitati matematice
Curiozitati matematiceCuriozitati matematice
Curiozitati matematicemkovacsbarac
 
Matematica oglindita prin desen
Matematica oglindita prin desenMatematica oglindita prin desen
Matematica oglindita prin desenCarmen Voican
 
Calcul de arii si volume
Calcul de arii si volumeCalcul de arii si volume
Calcul de arii si volumeGeta Ion
 
0 fractii o_altfel_de_prezentare
0 fractii o_altfel_de_prezentare0 fractii o_altfel_de_prezentare
0 fractii o_altfel_de_prezentareVicky Rusu
 
39673221 fractii-caiet-de-lucru-pentru-clasa-a-v-a
39673221 fractii-caiet-de-lucru-pentru-clasa-a-v-a39673221 fractii-caiet-de-lucru-pentru-clasa-a-v-a
39673221 fractii-caiet-de-lucru-pentru-clasa-a-v-aDimitriu Carmen
 
251802758 manual-matematica-clasa-a-9-a(4)
251802758 manual-matematica-clasa-a-9-a(4)251802758 manual-matematica-clasa-a-9-a(4)
251802758 manual-matematica-clasa-a-9-a(4)cristinavladescu
 
Test geometrie - clasa a vi-a - 1
Test   geometrie - clasa a vi-a - 1Test   geometrie - clasa a vi-a - 1
Test geometrie - clasa a vi-a - 1Pop Peter
 
Linii imp in triunghi
Linii imp in triunghiLinii imp in triunghi
Linii imp in triunghiescorteanu
 

En vedette (20)

Culegere probleme gimnaziu
Culegere probleme gimnaziuCulegere probleme gimnaziu
Culegere probleme gimnaziu
 
Trucuri matematice
Trucuri matematiceTrucuri matematice
Trucuri matematice
 
Culegere evaluare nationala 2012.pdf
Culegere evaluare nationala 2012.pdfCulegere evaluare nationala 2012.pdf
Culegere evaluare nationala 2012.pdf
 
Arii Cls A VII - Aaa
Arii Cls A VII - AaaArii Cls A VII - Aaa
Arii Cls A VII - Aaa
 
Frumusetea matematicii
Frumusetea matematiciiFrumusetea matematicii
Frumusetea matematicii
 
Matematica Vietii
Matematica VietiiMatematica Vietii
Matematica Vietii
 
Curiozitati matematice
Curiozitati matematiceCuriozitati matematice
Curiozitati matematice
 
Matematica oglindita prin desen
Matematica oglindita prin desenMatematica oglindita prin desen
Matematica oglindita prin desen
 
Curiozitati Matematice
Curiozitati MatematiceCuriozitati Matematice
Curiozitati Matematice
 
Calcul de arii si volume
Calcul de arii si volumeCalcul de arii si volume
Calcul de arii si volume
 
Ppt matematica
Ppt matematicaPpt matematica
Ppt matematica
 
0 fractii o_altfel_de_prezentare
0 fractii o_altfel_de_prezentare0 fractii o_altfel_de_prezentare
0 fractii o_altfel_de_prezentare
 
Formule calcul prescurtat VII-VIII
Formule calcul prescurtat VII-VIIIFormule calcul prescurtat VII-VIII
Formule calcul prescurtat VII-VIII
 
FRACTII
FRACTIIFRACTII
FRACTII
 
39673221 fractii-caiet-de-lucru-pentru-clasa-a-v-a
39673221 fractii-caiet-de-lucru-pentru-clasa-a-v-a39673221 fractii-caiet-de-lucru-pentru-clasa-a-v-a
39673221 fractii-caiet-de-lucru-pentru-clasa-a-v-a
 
Numere rationale VII
Numere rationale VIINumere rationale VII
Numere rationale VII
 
251802758 manual-matematica-clasa-a-9-a(4)
251802758 manual-matematica-clasa-a-9-a(4)251802758 manual-matematica-clasa-a-9-a(4)
251802758 manual-matematica-clasa-a-9-a(4)
 
Test geometrie - clasa a vi-a - 1
Test   geometrie - clasa a vi-a - 1Test   geometrie - clasa a vi-a - 1
Test geometrie - clasa a vi-a - 1
 
Linii imp in triunghi
Linii imp in triunghiLinii imp in triunghi
Linii imp in triunghi
 
Fractii
FractiiFractii
Fractii
 

Similaire à Probleme rezolvate

probleme an I .2
probleme an I .2probleme an I .2
probleme an I .2dsy_93
 
Mate.Info.Ro.5587 SIMULAREA 1 - EVALUAREA NATIONALA 2024 - ILFOV - MATEMATICA...
Mate.Info.Ro.5587 SIMULAREA 1 - EVALUAREA NATIONALA 2024 - ILFOV - MATEMATICA...Mate.Info.Ro.5587 SIMULAREA 1 - EVALUAREA NATIONALA 2024 - ILFOV - MATEMATICA...
Mate.Info.Ro.5587 SIMULAREA 1 - EVALUAREA NATIONALA 2024 - ILFOV - MATEMATICA...AnaVeronicaBurteaKot
 
SUBIECT_SIMULARE_EN_MATEMATICA-www.matematicaromania.ro_.pdf
SUBIECT_SIMULARE_EN_MATEMATICA-www.matematicaromania.ro_.pdfSUBIECT_SIMULARE_EN_MATEMATICA-www.matematicaromania.ro_.pdf
SUBIECT_SIMULARE_EN_MATEMATICA-www.matematicaromania.ro_.pdfMadalinaNicodim
 
Test asemanare_7.docx
Test asemanare_7.docxTest asemanare_7.docx
Test asemanare_7.docxBiancaIgnat5
 
Teoremaluipitagora
TeoremaluipitagoraTeoremaluipitagora
Teoremaluipitagoraolimpiaanca
 
Test final asemanare
Test final asemanareTest final asemanare
Test final asemanareAndrici Cezar
 
Test final asemanare
Test final asemanareTest final asemanare
Test final asemanareAndrici Cezar
 
0teoremaluipitagora
0teoremaluipitagora0teoremaluipitagora
0teoremaluipitagoravyo20
 
In loc de fituica
In loc de fituicaIn loc de fituica
In loc de fituicailonaf2
 
Aria triunghiului - Prezentarea PowerPoint a figurilor.ppt
Aria triunghiului - Prezentarea PowerPoint a figurilor.pptAria triunghiului - Prezentarea PowerPoint a figurilor.ppt
Aria triunghiului - Prezentarea PowerPoint a figurilor.pptssuserb9efaa
 
EN_VIII_Matematica_2022_Test_01.pdf
EN_VIII_Matematica_2022_Test_01.pdfEN_VIII_Matematica_2022_Test_01.pdf
EN_VIII_Matematica_2022_Test_01.pdfCarmenPripon
 
Geometria plană și în spațiu
Geometria plană și în spațiu Geometria plană și în spațiu
Geometria plană și în spațiu oles vol
 
Prisma
PrismaPrisma
Prismalipanf
 
olm-2014_sm_cls_vii.pdf
olm-2014_sm_cls_vii.pdfolm-2014_sm_cls_vii.pdf
olm-2014_sm_cls_vii.pdfGeorgeStancu12
 
teste initiale a 7-a VAR 1 si 2 an 2022-2023.doc
teste initiale a 7-a VAR 1  si 2 an 2022-2023.docteste initiale a 7-a VAR 1  si 2 an 2022-2023.doc
teste initiale a 7-a VAR 1 si 2 an 2022-2023.docAdrianGheorghi3
 

Similaire à Probleme rezolvate (20)

probleme an I .2
probleme an I .2probleme an I .2
probleme an I .2
 
Mate.Info.Ro.5587 SIMULAREA 1 - EVALUAREA NATIONALA 2024 - ILFOV - MATEMATICA...
Mate.Info.Ro.5587 SIMULAREA 1 - EVALUAREA NATIONALA 2024 - ILFOV - MATEMATICA...Mate.Info.Ro.5587 SIMULAREA 1 - EVALUAREA NATIONALA 2024 - ILFOV - MATEMATICA...
Mate.Info.Ro.5587 SIMULAREA 1 - EVALUAREA NATIONALA 2024 - ILFOV - MATEMATICA...
 
SUBIECT_SIMULARE_EN_MATEMATICA-www.matematicaromania.ro_.pdf
SUBIECT_SIMULARE_EN_MATEMATICA-www.matematicaromania.ro_.pdfSUBIECT_SIMULARE_EN_MATEMATICA-www.matematicaromania.ro_.pdf
SUBIECT_SIMULARE_EN_MATEMATICA-www.matematicaromania.ro_.pdf
 
Test asemanare_7.docx
Test asemanare_7.docxTest asemanare_7.docx
Test asemanare_7.docx
 
Teoremaluipitagora
TeoremaluipitagoraTeoremaluipitagora
Teoremaluipitagora
 
Test final asemanare
Test final asemanareTest final asemanare
Test final asemanare
 
Test final asemanare
Test final asemanareTest final asemanare
Test final asemanare
 
0teoremaluipitagora
0teoremaluipitagora0teoremaluipitagora
0teoremaluipitagora
 
In loc de fituica
In loc de fituicaIn loc de fituica
In loc de fituica
 
Aria triunghiului - Prezentarea PowerPoint a figurilor.ppt
Aria triunghiului - Prezentarea PowerPoint a figurilor.pptAria triunghiului - Prezentarea PowerPoint a figurilor.ppt
Aria triunghiului - Prezentarea PowerPoint a figurilor.ppt
 
Metoda-bisecției
Metoda-bisecțieiMetoda-bisecției
Metoda-bisecției
 
EN_VIII_Matematica_2022_Test_01.pdf
EN_VIII_Matematica_2022_Test_01.pdfEN_VIII_Matematica_2022_Test_01.pdf
EN_VIII_Matematica_2022_Test_01.pdf
 
Geometria plană și în spațiu
Geometria plană și în spațiu Geometria plană și în spațiu
Geometria plană și în spațiu
 
Prisma
PrismaPrisma
Prisma
 
Presentare cos
Presentare cosPresentare cos
Presentare cos
 
Geometrie partea 1
Geometrie partea  1Geometrie partea  1
Geometrie partea 1
 
olm-2014_sm_cls_vii.pdf
olm-2014_sm_cls_vii.pdfolm-2014_sm_cls_vii.pdf
olm-2014_sm_cls_vii.pdf
 
En sim-ii-barem-buc
En sim-ii-barem-bucEn sim-ii-barem-buc
En sim-ii-barem-buc
 
teste initiale a 7-a VAR 1 si 2 an 2022-2023.doc
teste initiale a 7-a VAR 1  si 2 an 2022-2023.docteste initiale a 7-a VAR 1  si 2 an 2022-2023.doc
teste initiale a 7-a VAR 1 si 2 an 2022-2023.doc
 
En sim-ii-barem-buc
En sim-ii-barem-bucEn sim-ii-barem-buc
En sim-ii-barem-buc
 

Probleme rezolvate

  • 1. RELA ŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC PROBLEME REZOLVATE C lasa a VII-a .
  • 2. P roblema 1 Fie triunghiul ABC dreptunghic î n A , AB = 10cm ş i AD = 5  3cm, AD  BC. Afla ţ i lungimea lui BD, BC ş i AC. Rezolva r e: A B C D 10cm 5  3cm 1) Aplic ă m teorema lui Pitagora î n  ABD pentru a afla BD: BD 2 = AB 2 – AD 2  BD 2 = 100 – 75 = 25  BD =  25 = 5 c m . 5cm 2) Aplic ă m teorema catetei (pentru cateta AB) pentru a afla BC: AB 2 = BD  BC  100 = 5  BC  BC = 100:5 = 20cm. 20cm 3) Pentru a afla lungimea catetei AC aplic ă m teorema lui Pitagora î n  ABC: AC 2 = BC 2 – AB 2  AC 2 = 400 – 100 = 300  AC =  100 = 10  3cm. 10  3cm Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi dreptunghic, î ncercati s ă rezolva ţ i problema aplic â nd ş i teorema î nal ţ imii. .
  • 3. Fie ABCD un p ă trat de latur ă AB = 10cm; punctul E se afl ă î n interiorul p ă tratului astfel î ncat  AEB s ă fie echilateral. Afla ţ i lungimea lui [EC]. Rezolvare: Problema 2 A B C D E Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E. F G Î n  EGB avem: BE=10cm, BG=5cm. 10 5 GE 2 = BE 2 – BG 2  GE 2 = 100-25=75 5  3 FE = GF – GE = 10 - 5  3cm. Î n  CEF: CE 2 = FE 2 + FC 2 .
  • 4. Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 2  5cm ş i DE = 4cm , unde DE  AB . Afla ţ i lungimile celor dou ă diagonale. Rezolvare: Problema 3 A B C D E 2  5 10 4 Î n  ADE afl ă m pe AE: AE 2 = AD 2 – DE 2 = 20 – 16 = 4. AE =  4 = 2cm. 2  BE = AB – AE = 10 – 2 = 8cm. 8 Î n  BDE afl ă m pe BD: BD 2 = BE 2 + AD 2 = 64 + 16 = 80.  BD =  80 = 4  5cm. Cobor â m o perpendicular ă din C pe dreapta AB: F BF = AE = 2cm. 2 CF = DE = 4cm. 4 Î n  ACF avem: AC 2 = AF 2 + CF 2 = 12 2 + 4 2 = 144+16=160. .
  • 5. Problema 4 Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm ş i CD = 8cm. S ă se calculeze perimetrul trapezului ş i lungimile diagonalelor. Rezolvare: A B C D 16 8 O Dac ă trapezul este isoscel atunci ş i triunghiurile AOB ş i COD sunt isoscele. Aplic ă m teorema lui Pitagora î n  BOC BC 2 = BO 2 + OC 2 = 128 + 32 = 160 .
  • 6. Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi a si b si m ă sura unghiului cuprins î ntre ele egal ă cu  . S ă se afle lungimea celei de-a treia laturi. Rezolvare: Problema 5 a b  Construim î nal ţ imea pe latura de lungime b . O notam cu h . h Î n triunghiul din st â nga avem: h = a  sin  ş i x = a  cos  x y c Î nseamn ă c ă y = b – x = b - a  cos  Aplic ă m teorema lui Pitagora î n triunghiul din dreapta: c 2 = h 2 + y 2 = (a  sin  ) 2 + (b - a  cos  ) 2 c 2 = a 2 sin 2  + b 2 – 2ab  cos  + a 2 cos 2  c 2 = a 2 (sin 2  + cos 2  )+b 2 – 2ab  cos  Dar sin 2  + cos 2  = 1, a ş adar  ( Teorema lui Pitagora generalizat ă sau teorema cosinusului ) . c 2 = a 2 + b 2 – 2ab  cos 
  • 7. Problema 6 Fie triunghiul ABC cu m ă sura unghiului B de 60 0 , m ă sura unghiului A de 75 0 ş i AB = 8cm. Se cere s ă se afle perimetrul ş i aria triunghiului. Rezolvare: A B C 60 0 45 0 8cm m(<BAC) = 180 0 – m(<B) – m(<C) = 180 0 – 60 0 – 45 0 = 75 0 . D Î n  ABD: BD = AB  cos60 = 8  0,5 = 4cm. AD = AB  sin60 = 8  3/2 = 4  3cm. Î n  ADC: CD = AD = 4  3cm. (  ADC=isoscel ş i dreptunghic.) AC = CD  sin45 = 4  3  2/2 = 2  6cm. P ABC = AB + AC + BC = = 8 + 2  6 + 4  3 + 4 = = 12 + 4  3 + 2  6cm. .
  • 8. Problema 7 Trapezul ABCD cu baza mic ă CD = 3cm are AD = 4cm ş i m ă sura unghiului A de 60 0 , iar m ă sura unghiului B de 30 0 . Se cere s ă se calculeze perimetrul ş i aria trapezului. Rezolvare: A B C D 4cm 3cm 8cm 60 0 30 0 E F AE = AD cos 60 = 4  0,5 = 2cm. DE = CF = AD sin 60 = 4  3/2 = 2  3cm. BC = CF:sin30 = 2  3/0,5 = 4  3cm. BF = BC cos 30=4  3  3/2=6cm. EF = CD = 3cm. .
  • 9. Problema 8 Fie triunghiul ABC cu AB = c = 7cm, BC = a = 9cm ş i AC = b = 8cm. S ă se afle sinA, sinB si sinC. Rezolvare: A B C 7cm 9cm 8cm Folosim urm ă toarea formul ă de calcul a ariei unui triunghi: u nde p = semiperimetrul triunghiului. p = (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12 Folosim alt ă formul ă de calcul a ariei unui triunghi: Analog vom calcula la fel si sin B sau sin C. Se poate aplica î n continuare si teorema sinusului: .
  • 10. Problema 9 Printr-un anume procedeu calcula ţ i tg15 0 . Rezolvare: Lu ă m un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 0 si construim bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui BC = 2 si apoi urmari ţ i pa ş ii de rezolvare: A B C 30 0 D bisectoarea 15 0 Dac ă BC =2, atunci: AC = 2BC = 4. AB = AC  cos30 0 = 4  3/2 = 2  3. Aplic ă m teorema bisectoarei: . Calcula ţ i singuri ş i sin 15 0 ş i sin 75 0 .
  • 11. Problema 10 Far ă a utiliza tabele trigonometrice, calcula ţ i sin 75 0 . Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 75 0 , 45 0 ş i 60 0 . A B C 7 5 0 45 0 60 0 D Not ă m BD = 1 1 Rezult ă : AB = 2; AD =  3; CD =  3; AC =  6. 2  3  3  6 Aria triunghiului ABC: Dar aria  ABC cu formula sinusului este: A ş adar avem: .