1. El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
El problema de existencia y regularidad para las Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
ecuaciones de Navier-Stokes: uno de los siete ecuaciones de
Navier-Stokes?
problemas del milenio ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
Descripci´n del
o
problema
Nicol´s Bourbaki
a Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Departamento de Matem´ticas
a Navier-Stokes
Universidad de Antioquia El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Copyleft c 2008. Reproducci´n permitida bajo los
o Referencias
t´rminos de la licencia de documentaci´n libre GNU.
e o

2. Contenido El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
Introducci´n
o
¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
¿C´mo surgen?
o ecuaciones de
Navier-Stokes?
Problema matem´tico
a ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
Descripci´n del
o
Descripci´n del problema
o problema
Las ecuaciones
Las ecuaciones de Euler de Euler
Las Ecuaciones
Las Ecuaciones de Navier-Stokes de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

3. Contenido El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
Introducci´n
o
¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
¿C´mo surgen?
o ecuaciones de
Navier-Stokes?
Problema matem´tico
a ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
Descripci´n del
o
Descripci´n del problema
o problema
Las ecuaciones
Las ecuaciones de Euler de Euler
Las Ecuaciones
Las Ecuaciones de Navier-Stokes de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Enunciado del problema Referencias

4. Contenido El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
Introducci´n
o
¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
¿C´mo surgen?
o ecuaciones de
Navier-Stokes?
Problema matem´tico
a ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
Descripci´n del
o
Descripci´n del problema
o problema
Las ecuaciones
Las ecuaciones de Euler de Euler
Las Ecuaciones
Las Ecuaciones de Navier-Stokes de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Enunciado del problema Referencias
Referencias

5. Contenido El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
Introducci´n
o
¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
¿C´mo surgen?
o ecuaciones de
Navier-Stokes?
Problema matem´tico
a ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
Descripci´n del
o
Descripci´n del problema
o problema
Las ecuaciones
Las ecuaciones de Euler de Euler
Las Ecuaciones
Las Ecuaciones de Navier-Stokes de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Enunciado del problema Referencias
Referencias

6. ¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
◮ Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales Nicol´s
a
Bourbaki
que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
◮ Modelan una gran variedad de fen´menos f´
o ısicos complejos: ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
◮ clima Problema
matem´tico
a
Descripci´n del
o
problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

7. ¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
◮ Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales Nicol´s
a
Bourbaki
que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
◮ Modelan una gran variedad de fen´menos f´
o ısicos complejos: ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
◮ clima Problema
matem´tico
a
◮ corrientes oce´nicas
a Descripci´n del
o
problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

8. ¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
◮ Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales Nicol´s
a
Bourbaki
que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
◮ Modelan una gran variedad de fen´menos f´
o ısicos complejos: ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
◮ clima Problema
matem´tico
a
◮ corrientes oce´nicas
a Descripci´n del
o
problema
◮ aerodin´mica
a Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

9. ¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
◮ Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales Nicol´s
a
Bourbaki
que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
◮ Modelan una gran variedad de fen´menos f´
o ısicos complejos: ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
◮ clima Problema
matem´tico
a
◮ corrientes oce´nicas
a Descripci´n del
o
problema
◮ aerodin´mica
a Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
◮ movimiento de estrellas de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

10. ¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
◮ Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales Nicol´s
a
Bourbaki
que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
◮ Modelan una gran variedad de fen´menos f´
o ısicos complejos: ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
◮ clima Problema
matem´tico
a
◮ corrientes oce´nicas
a Descripci´n del
o
problema
◮ aerodin´mica
a Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
◮ movimiento de estrellas de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
◮ No se conoce una f´rmula que resuelva las ecuaciones (soluci´n
o o problema
anal´
ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos. Referencias

11. ¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
◮ Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales Nicol´s
a
Bourbaki
que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
◮ Modelan una gran variedad de fen´menos f´
o ısicos complejos: ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
◮ clima Problema
matem´tico
a
◮ corrientes oce´nicas
a Descripci´n del
o
problema
◮ aerodin´mica
a Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
◮ movimiento de estrellas de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
◮ No se conoce una f´rmula que resuelva las ecuaciones (soluci´n
o o problema
anal´
ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos. Referencias
◮ Es necesario recurrir al an´lisis num´rico para determinar
a e
soluciones aproximadas.

12. ¿Qu´ son las ecuaciones de Navier-Stokes?
e El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
◮ Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales Nicol´s
a
Bourbaki
que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).
Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
◮ Modelan una gran variedad de fen´menos f´
o ısicos complejos: ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
◮ clima Problema
matem´tico
a
◮ corrientes oce´nicas
a Descripci´n del
o
problema
◮ aerodin´mica
a Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
◮ movimiento de estrellas de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
◮ No se conoce una f´rmula que resuelva las ecuaciones (soluci´n
o o problema
anal´
ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos. Referencias
◮ Es necesario recurrir al an´lisis num´rico para determinar
a e
soluciones aproximadas.

13. ¿C´mo surgen?
o El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
Introducci´n
o
Daniel Bernoulli (1700 - 1782) ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Durante la primera mitad del siglo XVIII el Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
matem´tico suizo Daniel Bernoulli muestra c´mo
a o Problema
matem´tico
a
adaptar los m´todos del c´lculo para analizar c´mo
e a o
Descripci´n del
o
fluyen los fluidos. problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Leonhard Euler (1707 - 1783) Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Basado en el trabajo de Bernoulli, Leonhard Euler
Enunciado del
formula un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones problema
decriben precisamente el movimiento de un fluido Referencias
hipot´tico no viscoso.
e

14. ¿C´mo surgen?
o El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
Introducci´n
o
Daniel Bernoulli (1700 - 1782) ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Durante la primera mitad del siglo XVIII el Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
matem´tico suizo Daniel Bernoulli muestra c´mo
a o Problema
matem´tico
a
adaptar los m´todos del c´lculo para analizar c´mo
e a o
Descripci´n del
o
fluyen los fluidos. problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Leonhard Euler (1707 - 1783) Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Basado en el trabajo de Bernoulli, Leonhard Euler
Enunciado del
formula un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones problema
decriben precisamente el movimiento de un fluido Referencias
hipot´tico no viscoso.
e

15. ¿C´mo surgen?
o El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
Introducci´n
o
Claude-Louis Navier (1785 - 1836) ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
En 1822 Navier modifica las ecuaciones de Euler para Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
abarcar el caso m´s realista de un fluido con
a Problema
matem´tico
a
viscosidad. Aunque su razonamiento matem´tico fue
a Descripci´n del
o
incorrecto, obtuvo las ecuaciones correctas. problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
George Gabriel Stokes (1819 - 1903) Navier-Stokes
El desaf´
ıo
En 1842 Stokes deduce por medio de un razonamiento Enunciado del
problema
correcto las ecuaciones que 20 a˜os antes Navier hab´
n ıa
Referencias
obtenido y extendi´ la teor´
o ıa.

16. ¿C´mo surgen?
o El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
Introducci´n
o
Claude-Louis Navier (1785 - 1836) ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
En 1822 Navier modifica las ecuaciones de Euler para Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
abarcar el caso m´s realista de un fluido con
a Problema
matem´tico
a
viscosidad. Aunque su razonamiento matem´tico fue
a Descripci´n del
o
incorrecto, obtuvo las ecuaciones correctas. problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
George Gabriel Stokes (1819 - 1903) Navier-Stokes
El desaf´
ıo
En 1842 Stokes deduce por medio de un razonamiento Enunciado del
problema
correcto las ecuaciones que 20 a˜os antes Navier hab´
n ıa
Referencias
obtenido y extendi´ la teor´
o ıa.

17. Problema matem´tico
a El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Los matem´ticos aun no consiguen demostrar si para el caso en
a Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
tres dimensiones siempre existir´n soluciones (existencia).
a ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
Problema
◮ En caso de existir, ¿contendr´n dichas soluciones
a matem´tico
a
discontinuidades o singularidades (regularidad)? Descripci´n del
problema
o
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

18. Problema matem´tico
a El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Los matem´ticos aun no consiguen demostrar si para el caso en
a Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
tres dimensiones siempre existir´n soluciones (existencia).
a ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
Problema
◮ En caso de existir, ¿contendr´n dichas soluciones
a matem´tico
a
discontinuidades o singularidades (regularidad)? Descripci´n del
problema
o
Las ecuaciones
de Euler
◮ El instituto Clay de Matem´ticas ha denominado a ´ste como
a e Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
uno de los siete problemas del milenio. El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

19. Problema matem´tico
a El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Los matem´ticos aun no consiguen demostrar si para el caso en
a Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
tres dimensiones siempre existir´n soluciones (existencia).
a ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
Problema
◮ En caso de existir, ¿contendr´n dichas soluciones
a matem´tico
a
discontinuidades o singularidades (regularidad)? Descripci´n del
problema
o
Las ecuaciones
de Euler
◮ El instituto Clay de Matem´ticas ha denominado a ´ste como
a e Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
uno de los siete problemas del milenio. El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
◮ El instituto Clay ofrece la suma de un mill´n de d´lares a
o o Referencias
quien presente una soluci´n o un contraejemplo a este dif´
o ıcil
problema.

20. Problema matem´tico
a El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Los matem´ticos aun no consiguen demostrar si para el caso en
a Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
tres dimensiones siempre existir´n soluciones (existencia).
a ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
Problema
◮ En caso de existir, ¿contendr´n dichas soluciones
a matem´tico
a
discontinuidades o singularidades (regularidad)? Descripci´n del
problema
o
Las ecuaciones
de Euler
◮ El instituto Clay de Matem´ticas ha denominado a ´ste como
a e Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
uno de los siete problemas del milenio. El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
◮ El instituto Clay ofrece la suma de un mill´n de d´lares a
o o Referencias
quien presente una soluci´n o un contraejemplo a este dif´
o ıcil
problema.

21. Problema matem´tico
a El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Anuncio del Instituto Clay de Matem´ticas
a Bourbaki
Navier-Stokes Equation Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and Problema
matem´tico
a
physicists believe that an explanation for and the prediction of both
Descripci´n del
o
the breeze and the turbulence can be found through an problema
understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although Las ecuaciones
de Euler
these equations were written down in the 19th Century, our Las Ecuaciones
de
understanding of them remains minimal. The challenge is to make Navier-Stokes
El desaf´
ıo
substantial progress toward a mathematical theory which will unlock Enunciado del
the secrets hidden in the Navier-Stokes equations. problema
Referencias
http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes Equations/

22. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido
hipot´tico sin viscodidad que se extiende de manera infinita en
e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
todas las direcciones. ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
◮ Asumimos que cada punto P = (x, y, z) en el fluido est´ sujeto a
a
Descripci´n del
o
fuerzas que var´ con el tiempo en cada direcci´n: fx (x, y, z, t),
ıan o problema
fy (x, y, z, t) y fz (x, y, z, t). Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

23. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido
hipot´tico sin viscodidad que se extiende de manera infinita en
e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
todas las direcciones. ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
◮ Asumimos que cada punto P = (x, y, z) en el fluido est´ sujeto a
a
Descripci´n del
o
fuerzas que var´ con el tiempo en cada direcci´n: fx (x, y, z, t),
ıan o problema
fy (x, y, z, t) y fz (x, y, z, t). Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
◮ El fluido experimenta una presi´n p(x, y, z, t) en el punto P al
o El desaf´
ıo
tiempo t. Enunciado del
problema
Referencias

24. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido
hipot´tico sin viscodidad que se extiende de manera infinita en
e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
todas las direcciones. ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
◮ Asumimos que cada punto P = (x, y, z) en el fluido est´ sujeto a
a
Descripci´n del
o
fuerzas que var´ con el tiempo en cada direcci´n: fx (x, y, z, t),
ıan o problema
fy (x, y, z, t) y fz (x, y, z, t). Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
◮ El fluido experimenta una presi´n p(x, y, z, t) en el punto P al
o El desaf´
ıo
tiempo t. Enunciado del
problema
Referencias
◮ El movimiento del fluido en el punto P al tiempo t queda
determinado por la velocidad con que fluye en cada direcci´n:
o
ux (x, y, z, t), uy (x, y, z, t) y uz (x, y, z, t).

25. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido
hipot´tico sin viscodidad que se extiende de manera infinita en
e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
todas las direcciones. ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
◮ Asumimos que cada punto P = (x, y, z) en el fluido est´ sujeto a
a
Descripci´n del
o
fuerzas que var´ con el tiempo en cada direcci´n: fx (x, y, z, t),
ıan o problema
fy (x, y, z, t) y fz (x, y, z, t). Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
◮ El fluido experimenta una presi´n p(x, y, z, t) en el punto P al
o El desaf´
ıo
tiempo t. Enunciado del
problema
Referencias
◮ El movimiento del fluido en el punto P al tiempo t queda
determinado por la velocidad con que fluye en cada direcci´n:
o
ux (x, y, z, t), uy (x, y, z, t) y uz (x, y, z, t).

26. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Asumimos que el fluido es incompresible: no se puede
“comprimir” o “expandir” cuando act´an fuerzas sobre ´ste.
u e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
◮ La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
∂ux ∂uy ∂uz
+ + =0 (1) Descripci´n del
o
∂x ∂y ∂z problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

27. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Asumimos que el fluido es incompresible: no se puede
“comprimir” o “expandir” cuando act´an fuerzas sobre ´ste.
u e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
◮ La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
∂ux ∂uy ∂uz
+ + =0 (1) Descripci´n del
o
∂x ∂y ∂z problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
◮ El problema presupone que conocemos c´mo es el movimiento
o Navier-Stokes
El desaf´
ıo
del fluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux (x, y, z, 0), uy (x, y, z, 0) Enunciado del
y uz (x, y, z, 0) son conocidas (condiciones iniciales). problema
Referencias

28. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Asumimos que el fluido es incompresible: no se puede
“comprimir” o “expandir” cuando act´an fuerzas sobre ´ste.
u e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
◮ La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
∂ux ∂uy ∂uz
+ + =0 (1) Descripci´n del
o
∂x ∂y ∂z problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
◮ El problema presupone que conocemos c´mo es el movimiento
o Navier-Stokes
El desaf´
ıo
del fluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux (x, y, z, 0), uy (x, y, z, 0) Enunciado del
y uz (x, y, z, 0) son conocidas (condiciones iniciales). problema
Referencias
◮ Estas funciones iniciales deben satisfacer ciertas hip´tesis de
o
“suavidad” o regularidad que m´s adelante en la secci´n (??)
a o
precisaremos.

29. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Asumimos que el fluido es incompresible: no se puede
“comprimir” o “expandir” cuando act´an fuerzas sobre ´ste.
u e Introducci´n
o
¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
◮ La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de ¿C´mo surgen?
o
Problema
matem´tico
a
∂ux ∂uy ∂uz
+ + =0 (1) Descripci´n del
o
∂x ∂y ∂z problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
◮ El problema presupone que conocemos c´mo es el movimiento
o Navier-Stokes
El desaf´
ıo
del fluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux (x, y, z, 0), uy (x, y, z, 0) Enunciado del
y uz (x, y, z, 0) son conocidas (condiciones iniciales). problema
Referencias
◮ Estas funciones iniciales deben satisfacer ciertas hip´tesis de
o
“suavidad” o regularidad que m´s adelante en la secci´n (??)
a o
precisaremos.

30. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la Introducci´n
o
ecuaci´n de la incompresibilidad (??) Euler obtuvo
o ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
∂ux ∂ux ∂ux ∂ux ∂p Problema
+ ux + uy + uz = fx (x, y, z, t) − (2) matem´tico
a
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x Descripci´n del
o
∂uy ∂uy ∂uy ∂uy ∂p problema
+ ux + uy + uz = fy (x, y, z, t) − (3) Las ecuaciones
∂t ∂x ∂y ∂z ∂y de Euler
Las Ecuaciones
∂uz ∂uz ∂uz ∂uz ∂p de
+ ux + uy + uz = fz (x, y, z, t) − (4) Navier-Stokes
∂t ∂x ∂y ∂z ∂z El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

31. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la Introducci´n
o
ecuaci´n de la incompresibilidad (??) Euler obtuvo
o ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
∂ux ∂ux ∂ux ∂ux ∂p Problema
+ ux + uy + uz = fx (x, y, z, t) − (2) matem´tico
a
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x Descripci´n del
o
∂uy ∂uy ∂uy ∂uy ∂p problema
+ ux + uy + uz = fy (x, y, z, t) − (3) Las ecuaciones
∂t ∂x ∂y ∂z ∂y de Euler
Las Ecuaciones
∂uz ∂uz ∂uz ∂uz ∂p de
+ ux + uy + uz = fz (x, y, z, t) − (4) Navier-Stokes
∂t ∂x ∂y ∂z ∂z El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias
◮ Las ecuaciones diferenciales parciales (??) – (??) son conocidas
como las ecuaciones de Euler para el movimiento de un fluido.

32. Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la Introducci´n
o
ecuaci´n de la incompresibilidad (??) Euler obtuvo
o ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
¿C´mo surgen?
o
∂ux ∂ux ∂ux ∂ux ∂p Problema
+ ux + uy + uz = fx (x, y, z, t) − (2) matem´tico
a
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x Descripci´n del
o
∂uy ∂uy ∂uy ∂uy ∂p problema
+ ux + uy + uz = fy (x, y, z, t) − (3) Las ecuaciones
∂t ∂x ∂y ∂z ∂y de Euler
Las Ecuaciones
∂uz ∂uz ∂uz ∂uz ∂p de
+ ux + uy + uz = fz (x, y, z, t) − (4) Navier-Stokes
∂t ∂x ∂y ∂z ∂z El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias
◮ Las ecuaciones diferenciales parciales (??) – (??) son conocidas
como las ecuaciones de Euler para el movimiento de un fluido.

33. Las Ecuaciones de Navier-Stokes El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar Introducci´n
o
el caso m´s realista de un fluido con viscosidad..
a ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
◮ Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de ¿C´mo surgen?
o
Problema
fricci´n en el interior del fluido.
o matem´tico
a
Descripci´n del
o
problema
Las ecuaciones
de Euler
Las Ecuaciones
de
Navier-Stokes
El desaf´
ıo
Enunciado del
problema
Referencias

34. Las Ecuaciones de Navier-Stokes El problema de
existencia y
regularidad para
las ecuaciones de
Navier-Stokes
Nicol´s
a
Bourbaki
◮ Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar Introducci´n
o
el caso m´s realista de un fluido con viscosidad..
a ¿Qu´ son las
e
ecuaciones de
Navier-Stokes?
◮ Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de ¿C´mo surgen?
o
Problema
fricci´n en el interior del fluido.
o matem´tico
a
Descripci´n del
o
problema
◮ Agregan al lado derecho de las ecuciones de Euler (??) – (??) Las ecuaciones
de Euler
una fuerza adicional (debido a la viscosidad), dada en el caso de Las Ecuaciones
(??) por de
Navier-Stokes
∂ 2 ux ∂ 2 ux ∂ 2 ux El desaf´
ıo
ν 2
+ 2
+ Enunciado del
∂x ∂y ∂z 2 problema
Referencias