SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  33
Télécharger pour lire hors ligne
Operasi Komposisi Fungsi
dan
Invers Fungsi
Oleh :
Franxisca Kurniawati, S.Si.
Operasi
Fungsi
Operasi Komposisi
Fungsi
Operasi Invers
Fungsi
Operasi Invers Komposisi
Fungsi
Komposisis fungsi dan invers fungsi
1. Pengertian Operasi Komposisi
Fungsi :
*Adalah metode menggabungkan dua atau lebih fungsi.
Jika 𝒇 suatu fungsi dari A ke B dan 𝒈 suatu fungsi dari B ke C,
maka fungsi 𝒎 dari A ke C disebut sebagai komposisi fungsi
dinyatakan oleh 𝒈𝒐𝒇 ditentukan oleh :
𝒙 𝒇(𝒙)
A B
𝒈 𝒇 𝒙
C𝒇 𝒈
𝒎
Contoh 1:
Diketahui 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏 dan 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟑
Tentukan :
a. (𝒈𝒐𝒇)(𝒙)
b. (𝒇𝒐𝒈)(𝒙)
Jawab :
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏 dan 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟑
a. 𝒈𝒐𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒇 𝒙 )
= 𝒇 𝒙 − 𝟑
= 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑
= 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟐
b. 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 )
= (𝒈 𝒙 ) 𝟐+𝟐. 𝒈(𝒙) + 𝟏
= (𝒙 − 𝟑) 𝟐+𝟐(𝒙 − 𝟑) + 𝟏
= 𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝟐𝒙 − 𝟔 + 𝟏
= 𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟒
2. Menentukan Fungsi Jika
Komposisi Fungsinya Diketahui:
Contoh 1:
Diketahui 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟏 dan 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟑
Tentukan 𝒈(𝒙):
Jawab :
𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑
𝒇 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑
𝟒. 𝒈 𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑
𝟒. 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟑 + 𝟏
𝒈(𝒙) =
𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟒
𝟒
𝒈 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙 𝟐 −
𝟏
𝟒
𝒙 + 𝟏
Diketahui 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟏 dan 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟑
Contoh 2:
Diketahui 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏 dan 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝟏
Tentukan 𝒇 𝒙 !
Jawab :
𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏
𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏
𝒇 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏
Misal : 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝒂 dengan 𝒙 =
𝒂+𝟏
𝟐
Maka : 𝒇 𝒂 =
𝒂+𝟏
𝟐
𝟐
+
𝒂+𝟏
𝟐
+ 𝟏
𝒇 𝒂 =
𝒂 𝟐+𝟐𝒂+𝟏
𝟒
+
𝟐𝒂+𝟐
𝟒
+
𝟒
𝟒
𝒇 𝒂 =
𝒂 𝟐+𝟒𝒂+𝟕
𝟒
Diketahui 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏 dan 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝟏
3. Komposisi Dari Tiga Fungsi:
Jika 𝒇 suatu fungsi dari A ke B, 𝒈 suatu fungsi dari B ke C dan
𝒉 suatu fungsi dari C ke D maka fungsi 𝒎 dari A ke D disebut
sebagai komposisi tiga fungsi dinyatakan oleh 𝒉𝒐𝒈𝒐𝒇
ditentukan oleh :
𝒙 𝒇(𝒙)
A B
𝒈 𝒇 𝒙
C𝒇 𝒈
𝒎
𝒉 𝒈 𝒇 𝒙
D𝒉
Contoh 1:
Diketahui :
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙
𝒉 𝒙 = 𝒙 𝟐
+ 𝟑
Tentukan :
a. (𝒇𝒐𝒈𝒐𝒉)(𝒙)
b. (𝒉𝒐𝒈𝒐𝒇)(𝟐)
Jawab :
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙
𝒉 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟑
a. 𝒇𝒐𝒈𝒐𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒉 𝒙
= 𝒇 𝒈 𝒙 𝟐 + 𝟑
= 𝒇 𝟒. 𝒙 𝟐 + 𝟑
= 𝒇 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐
= 𝟐(𝟒𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐) − 𝟏
= 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟐𝟒 − 𝟏
= 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟐𝟑
Jawab :
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙
𝒉 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟑
b.(𝒉𝒐𝒈𝒐𝒇)(𝟐) = 𝒉 𝒈 𝒇 𝟐
= 𝒉 𝒈 𝟐. 𝟐 − 𝟏
= 𝒉 𝒈 𝟑
= 𝒉 𝟒. 𝟑
= 𝒉(𝟏𝟐)
= 𝟏𝟐 𝟐 + 𝟑
= 𝟏𝟒𝟕
4. Sifat-Sifat Komposisi Tiga Fungsi
a. Tidak Komutatif :
(𝒇𝒐𝒈)(𝒙) ≠ (𝒈𝒐𝒇)(𝒙)
b. Asosiatif :
𝒇𝒐𝒈 𝒐 𝒉 = 𝒇 𝒐 (𝒈𝒐𝒉)
c. Mempunyai Fungsi Identitas:
𝑰 𝒙 = 𝒙
d. Komutatif Terhadap Fungsi Identitas :
𝑰𝒐𝒇 𝒙 = 𝒇𝒐𝑰 𝒙 = 𝒇(𝒙)
Contoh :
Diketahui :
𝒇 𝒙 =
𝟓𝒙+𝟐
𝟑
dan 𝑰 𝒙 = 𝒙
Tentukan :
a. (𝒇𝒐𝑰)(𝒙)
b. (𝑰𝒐𝒇)(𝒙)
a.(𝒇𝒐𝑰)(𝒙) = 𝒇 𝑰 𝒙
= 𝒇 𝒙
=
𝟓𝒙+𝟐
𝟑
Jawab :
b.(𝑰𝒐𝒇)(𝒙) = 𝑰 𝒇 𝒙
= 𝑰
𝟓𝒙+𝟐
𝟑
=
𝟓𝒙+𝟐
𝟑
Komposisis fungsi dan invers fungsi
1. Pengertian Operasi Invers pada
Fungsi :
Dua fungsi 𝒇 dan 𝒈 saling invers, apabila :
 𝒈𝒐𝒇 𝒙 = 𝒙 atau 𝒈 𝒇 𝒙 = 𝒙, untuk 𝒙 dalam domain 𝒇
 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 atau 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒙, untuk 𝒙 dalam domain 𝒈
𝒙 𝒇(𝒙)
A B𝒇
𝒈
Tunjukan bahwa dua fungsi di bawah ini saling invers:
a. 𝒈 𝒙 =
𝒙−𝟒
𝟓
dan 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝟒
b. 𝒈 𝒙 =
𝟑𝒙+𝟐
𝟓𝒙−𝟐
dan 𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙+𝟑
𝟓𝒙−𝟐
dengan 𝒙 ≠
𝟐
𝟓
Contoh :
Jawab :
a.(𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇 𝒈 𝒙
= 𝒇
𝒙−𝟒
𝟓
= 𝟓.
𝒙−𝟒
𝟓
+ 𝟒
= 𝒙
Karna 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 maka
saling invers
b.(𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇 𝒈 𝒙
= 𝒇
𝟑𝒙+𝟐
𝟓𝒙−𝟐
=
𝟐
𝟑𝒙+𝟐
𝟓𝒙−𝟐
+𝟑
𝟓
𝟑𝒙+𝟐
𝟓𝒙−𝟐
−𝟐
=
𝟔𝒙+𝟒+𝟏𝟓𝒙−𝟔
𝟓𝒙−𝟐
𝟏𝟓𝒙+𝟏𝟎−𝟏𝟎𝒙+𝟒
𝟓𝒙−𝟐
=
𝟐𝟏𝒙−𝟐
𝟓𝒙−𝟐
𝟓𝒙+𝟏𝟒
𝟓𝒙−𝟐
Karna 𝒇𝒐𝒈 𝒙 ≠ 𝒙 maka tidak
saling invers
Pendefinisian invers fungsi dapat ditulis juga sebagai berikut :
 𝒇−𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙, untuk 𝒙 dalam domain 𝒇
 𝒇 𝒇−𝟏
𝒙 = 𝒙, untuk 𝒙 dalam domain 𝒇−𝟏
Setiap fungsi memiliki invers, tetapi tidak semua fungsi
mempunyai fungsi invers, hanya fungsi bijektif yang mempunyai
fungsi invers.
2. Menentukan Formula Invers
𝒚 = 𝒇(𝒙) :
Langkah menentukan formula invers 𝒚 = 𝒇(𝒙) :
1. Tukar 𝒙 menjadi 𝒚,
yaitu 𝒚 = 𝒇(𝒙) ditukar menjadi 𝒙 = 𝒇(𝒚)
2. Selesaikan persamaan 𝒙 = 𝒇(𝒚) sehingga menjadi
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Tentukan invers dari fungsi berikut:
a. 𝒇 𝒙 = 𝟕𝒙 + 𝟑
b. 𝒇 𝒙 =
𝟑𝒙+𝟐
𝒙−𝟓
dengan 𝒙 ≠ 𝟓
Contoh :
Jawab :
a. 𝒇 𝒙 = 𝟕𝒙 + 𝟑
𝒇 𝒚 = 𝟕𝒚 + 𝟑
𝒙 = 𝟕𝒚 + 𝟑
𝒚 =
𝒙 − 𝟑
𝟕
𝒇−𝟏(𝒙) =
𝒙 − 𝟑
𝟕
b. 𝒇(𝒙) =
𝟑𝒙+𝟐
𝒙−𝟓
𝒇 𝒚 =
𝟑𝒚+𝟐
𝒚−𝟓
𝒙 =
𝟑𝒚+𝟐
𝒚−𝟓
𝒙(𝒚 − 𝟓) = 𝟑𝒚 + 𝟐
𝒙𝒚 − 𝟓𝒙 = 𝟑𝒚 + 𝟐
𝒙𝒚 − 𝟑𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟐
𝒚(𝒙 − 𝟑) = 𝟓𝒙 + 𝟐
𝒚 =
𝟓𝒙+𝟑
𝒙−𝟑
𝒇−𝟏
𝒙 =
𝟓𝒙+𝟑
𝒙−𝟑
dengan 𝒙 ≠ 𝟑
Komposisis fungsi dan invers fungsi
𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒚
A B
𝒈 𝒇 𝒙
= 𝒈 𝒚
= 𝒛
C𝒇 𝒈
(𝒈𝒐𝒇)−𝟏
(𝒈𝒐𝒇)
𝒇−𝟏 𝒈−𝟏
Dari kiri ke kanan:
 𝒇 ∶ 𝑨 → 𝑩 maka 𝒇 𝒙 = 𝒚
 𝒈 ∶ 𝑩 → 𝑪 maka 𝒈 𝒚 = 𝒛
 𝒈𝒐𝒇: 𝑨 → 𝑪 maka (𝒈𝒐𝒇) 𝒙 = 𝒛
Dari kanan ke kiri:
 𝒈−𝟏
∶ 𝑪 → 𝑩 maka 𝒈−𝟏
𝒛 = 𝒚 …(3)
 𝒇−𝟏 ∶ 𝑩 → 𝑨 maka 𝒇−𝟏 𝒚 = 𝒙 …(2)
(𝒈𝒐𝒇)−𝟏
: 𝑪 → 𝑨 maka (𝒈𝒐𝒇)−𝟏
𝒛 = 𝒙 …(1)
𝒈−𝟏 𝒛 = 𝒚 …(3)
𝒇−𝟏
𝒚 = 𝒙 …(2)
(𝒈𝒐𝒇)−𝟏
𝒛 = 𝒙 …(1)
Substitusikan (2) ke (1) :
(𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒛 = 𝒇−𝟏 𝒚 …(4)
Substitusikan (3) ke (4) :
(𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒛 = 𝒇−𝟏 𝒈−𝟏 𝒛
= (𝒇−𝟏 𝒐 𝒈−𝟏)(𝒛)
(𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒙 = (𝒇−𝟏 𝒐 𝒈−𝟏)(𝒙)
Dengan cara yang sama,
jika domain 𝒙, maka persamaan di atas dapat ditulis :
Tugas :
1. Diketahui 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙 − 𝟑 dan 𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟏
Tentukan :
a. (𝒈𝒐𝒇)−𝟏
𝒙
b. (𝒇𝒐𝒈)−𝟏
𝒙
2. Diketahui (𝒈𝒐𝒇)−𝟏
𝒙 =
𝟐𝒙−𝟏
𝟑𝒙+𝟒
dengan 𝒙 ≠ −
𝟒
𝟑
Dan 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟑
Tentukan :
a. 𝒈 𝒙
b. 𝒈 𝟕
Komposisis fungsi dan invers fungsi

Contenu connexe

Tendances

Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan LogaritmaFungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan LogaritmaFranxisca Kurniawati
 
Pertidaksamaan Rasional dan Irasional
Pertidaksamaan Rasional dan IrasionalPertidaksamaan Rasional dan Irasional
Pertidaksamaan Rasional dan IrasionalFranxisca Kurniawati
 
Vektor , matminat kelas 10
Vektor , matminat kelas 10Vektor , matminat kelas 10
Vektor , matminat kelas 10ElisabethYesi
 
PPT Trigonometri Kelas X SMA: I Putu Eka Prana Yoga
PPT Trigonometri Kelas X SMA: I Putu Eka Prana YogaPPT Trigonometri Kelas X SMA: I Putu Eka Prana Yoga
PPT Trigonometri Kelas X SMA: I Putu Eka Prana YogaI Putu Eka Prana Yoga
 
Fungsi Linear, Kuadrat dan Rasional (part1)
Fungsi Linear, Kuadrat dan Rasional (part1)Fungsi Linear, Kuadrat dan Rasional (part1)
Fungsi Linear, Kuadrat dan Rasional (part1)Franxisca Kurniawati
 
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS XPersamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS XAwanda Gita
 
Fungsi dan Grafik Fungsi Trigonometri
Fungsi dan Grafik Fungsi TrigonometriFungsi dan Grafik Fungsi Trigonometri
Fungsi dan Grafik Fungsi TrigonometriFranxisca Kurniawati
 
Perbandingan trigonometri segitiga siku siku
Perbandingan trigonometri segitiga siku sikuPerbandingan trigonometri segitiga siku siku
Perbandingan trigonometri segitiga siku sikuArikha Nida
 
Lingkaran dalam dan luar segitiga
Lingkaran dalam dan luar segitigaLingkaran dalam dan luar segitiga
Lingkaran dalam dan luar segitigaMathematicEducation
 
PPT LIMIT FUNGSI ALJABAR.pptx
PPT LIMIT FUNGSI ALJABAR.pptxPPT LIMIT FUNGSI ALJABAR.pptx
PPT LIMIT FUNGSI ALJABAR.pptxulfa76
 
Sejarah paradoks zeno rivoo
Sejarah paradoks zeno rivooSejarah paradoks zeno rivoo
Sejarah paradoks zeno rivoorivopratama
 
Persamaan Trigonometri Dasar
Persamaan Trigonometri DasarPersamaan Trigonometri Dasar
Persamaan Trigonometri DasarKristantoMath
 
Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)Mathbycarl
 

Tendances (20)

Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan LogaritmaFungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
 
Pertidaksamaan Rasional dan Irasional
Pertidaksamaan Rasional dan IrasionalPertidaksamaan Rasional dan Irasional
Pertidaksamaan Rasional dan Irasional
 
Vektor , matminat kelas 10
Vektor , matminat kelas 10Vektor , matminat kelas 10
Vektor , matminat kelas 10
 
Pembuktian sifat sifat logaritma
Pembuktian sifat sifat logaritmaPembuktian sifat sifat logaritma
Pembuktian sifat sifat logaritma
 
PPT Trigonometri Kelas X SMA: I Putu Eka Prana Yoga
PPT Trigonometri Kelas X SMA: I Putu Eka Prana YogaPPT Trigonometri Kelas X SMA: I Putu Eka Prana Yoga
PPT Trigonometri Kelas X SMA: I Putu Eka Prana Yoga
 
Fungsi Linear, Kuadrat dan Rasional (part1)
Fungsi Linear, Kuadrat dan Rasional (part1)Fungsi Linear, Kuadrat dan Rasional (part1)
Fungsi Linear, Kuadrat dan Rasional (part1)
 
Operasi pada vektor
Operasi pada vektorOperasi pada vektor
Operasi pada vektor
 
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS XPersamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
 
Dot Product dan Cross Product
Dot Product dan Cross ProductDot Product dan Cross Product
Dot Product dan Cross Product
 
Turunan fungsi aljabar
Turunan fungsi aljabarTurunan fungsi aljabar
Turunan fungsi aljabar
 
Fungsi dan Grafik Fungsi Trigonometri
Fungsi dan Grafik Fungsi TrigonometriFungsi dan Grafik Fungsi Trigonometri
Fungsi dan Grafik Fungsi Trigonometri
 
Fungsi rasional
Fungsi rasionalFungsi rasional
Fungsi rasional
 
Perbandingan trigonometri segitiga siku siku
Perbandingan trigonometri segitiga siku sikuPerbandingan trigonometri segitiga siku siku
Perbandingan trigonometri segitiga siku siku
 
Lingkaran dalam dan luar segitiga
Lingkaran dalam dan luar segitigaLingkaran dalam dan luar segitiga
Lingkaran dalam dan luar segitiga
 
PPT LIMIT FUNGSI ALJABAR.pptx
PPT LIMIT FUNGSI ALJABAR.pptxPPT LIMIT FUNGSI ALJABAR.pptx
PPT LIMIT FUNGSI ALJABAR.pptx
 
Trigonometri Kelas X
Trigonometri Kelas XTrigonometri Kelas X
Trigonometri Kelas X
 
Sejarah paradoks zeno rivoo
Sejarah paradoks zeno rivooSejarah paradoks zeno rivoo
Sejarah paradoks zeno rivoo
 
Persamaan Trigonometri Dasar
Persamaan Trigonometri DasarPersamaan Trigonometri Dasar
Persamaan Trigonometri Dasar
 
trigonometri Powerpoint
trigonometri Powerpointtrigonometri Powerpoint
trigonometri Powerpoint
 
Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)Lingkaran(PPT)
Lingkaran(PPT)
 

Similaire à Komposisis fungsi dan invers fungsi

Similaire à Komposisis fungsi dan invers fungsi (9)

Modul 1 . integral tak tentu aljabar
Modul 1 . integral tak tentu aljabarModul 1 . integral tak tentu aljabar
Modul 1 . integral tak tentu aljabar
 
Bangun datar dimensi tiga
Bangun datar dimensi tigaBangun datar dimensi tiga
Bangun datar dimensi tiga
 
Diferensial
DiferensialDiferensial
Diferensial
 
Fungsi komposisi & fungsi invers
Fungsi komposisi & fungsi inversFungsi komposisi & fungsi invers
Fungsi komposisi & fungsi invers
 
Dilatasi
DilatasiDilatasi
Dilatasi
 
Polinomial (1)
Polinomial (1)Polinomial (1)
Polinomial (1)
 
Polinomial (1)
Polinomial (1)Polinomial (1)
Polinomial (1)
 
Geometri Analitik Ruang (Tugas Kuliah)
Geometri Analitik Ruang (Tugas Kuliah)Geometri Analitik Ruang (Tugas Kuliah)
Geometri Analitik Ruang (Tugas Kuliah)
 
Notasi sigma
Notasi sigmaNotasi sigma
Notasi sigma
 

Plus de Franxisca Kurniawati

Sistempertidaksamaanduavariabel2122
Sistempertidaksamaanduavariabel2122Sistempertidaksamaanduavariabel2122
Sistempertidaksamaanduavariabel2122Franxisca Kurniawati
 
Sistem pertidaksamaan dua variabel (linear linear)
Sistem pertidaksamaan dua variabel (linear linear)Sistem pertidaksamaan dua variabel (linear linear)
Sistem pertidaksamaan dua variabel (linear linear)Franxisca Kurniawati
 
MTM/1C. Pertidaksamaan Eksponensial
MTM/1C. Pertidaksamaan EksponensialMTM/1C. Pertidaksamaan Eksponensial
MTM/1C. Pertidaksamaan EksponensialFranxisca Kurniawati
 
Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV)Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV)Franxisca Kurniawati
 
MTW/1D.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai Mutlak
MTW/1D.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai MutlakMTW/1D.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai Mutlak
MTW/1D.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai MutlakFranxisca Kurniawati
 
MTW/1C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
MTW/1C. Pertidaksamaan Linear Satu VariabelMTW/1C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
MTW/1C. Pertidaksamaan Linear Satu VariabelFranxisca Kurniawati
 
MTW/1B.persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak
MTW/1B.persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlakMTW/1B.persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak
MTW/1B.persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlakFranxisca Kurniawati
 
MTW/1A.persamaan linear satu variabel
MTW/1A.persamaan linear satu variabelMTW/1A.persamaan linear satu variabel
MTW/1A.persamaan linear satu variabelFranxisca Kurniawati
 
Menemukan Luas Bangun Datar Segiempat
Menemukan Luas Bangun Datar SegiempatMenemukan Luas Bangun Datar Segiempat
Menemukan Luas Bangun Datar SegiempatFranxisca Kurniawati
 

Plus de Franxisca Kurniawati (17)

Sistempertidaksamaanduavariabel2122
Sistempertidaksamaanduavariabel2122Sistempertidaksamaanduavariabel2122
Sistempertidaksamaanduavariabel2122
 
Contoh Soal Fungsi Kuadrat
Contoh Soal Fungsi KuadratContoh Soal Fungsi Kuadrat
Contoh Soal Fungsi Kuadrat
 
Persamaan Logaritma
Persamaan  LogaritmaPersamaan  Logaritma
Persamaan Logaritma
 
Sistem pertidaksamaan dua variabel (linear linear)
Sistem pertidaksamaan dua variabel (linear linear)Sistem pertidaksamaan dua variabel (linear linear)
Sistem pertidaksamaan dua variabel (linear linear)
 
MTM/1C. Pertidaksamaan Eksponensial
MTM/1C. Pertidaksamaan EksponensialMTM/1C. Pertidaksamaan Eksponensial
MTM/1C. Pertidaksamaan Eksponensial
 
Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV)Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan Linear Tiga variabel (SPLTV)
 
MTW/1D.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai Mutlak
MTW/1D.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai MutlakMTW/1D.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai Mutlak
MTW/1D.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Yang Memuat Nilai Mutlak
 
MTM/1B. Persamaan Eksponensial
MTM/1B. Persamaan EksponensialMTM/1B. Persamaan Eksponensial
MTM/1B. Persamaan Eksponensial
 
MTW/1C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
MTW/1C. Pertidaksamaan Linear Satu VariabelMTW/1C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
MTW/1C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
 
MTM/1A. Fungsi Eksponensial
MTM/1A. Fungsi EksponensialMTM/1A. Fungsi Eksponensial
MTM/1A. Fungsi Eksponensial
 
MTW/1B.persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak
MTW/1B.persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlakMTW/1B.persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak
MTW/1B.persamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak
 
MTW/1A.persamaan linear satu variabel
MTW/1A.persamaan linear satu variabelMTW/1A.persamaan linear satu variabel
MTW/1A.persamaan linear satu variabel
 
Pola Bilangan
Pola BilanganPola Bilangan
Pola Bilangan
 
Rasio Trigonometri
Rasio TrigonometriRasio Trigonometri
Rasio Trigonometri
 
Menemukan Luas Bangun Datar Segiempat
Menemukan Luas Bangun Datar SegiempatMenemukan Luas Bangun Datar Segiempat
Menemukan Luas Bangun Datar Segiempat
 
Perbandingan
PerbandinganPerbandingan
Perbandingan
 
Garis dan Sudut
Garis dan Sudut Garis dan Sudut
Garis dan Sudut
 

Dernier

materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahkrisdanarahmatullah7
 
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfPTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfSMP Hang Kasturi, Batam
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxSuGito15
 
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptxSasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptxFidelaNiam
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxFritzPieterMichaelNa
 
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxPPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxRestiana8
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUTeric214073
 
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdfkeutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdfatsira1
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf2210130220024
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKTaufik241763
 
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekaKisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekahellenchanel31
 
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptxMateri pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptxSuarniSuarni5
 
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptxMATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptxSuarniSuarni5
 
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media KristenSeminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media KristenSABDA
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridDonyAndriSetiawan
 
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdfKelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf2210130220024
 
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3sekolah9304
 
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxMATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxSuarniSuarni5
 

Dernier (20)

materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
 
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfPTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
 
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptxSasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
Sasaran dan Pengembangan Sikap Profesional Guru.pptx
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
 
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxPPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
 
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdfkeutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
keutamaan dan hikmah shaalat fardhu .pdf
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
 
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdekaKisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
Kisi-kisi PTS Kelas 8 semester 2 kurikulum merdeka
 
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptxMateri pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
 
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptxELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
 
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptxMATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
 
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media KristenSeminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
Seminar Seri AI Talks - AI dan Media Kristen
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
 
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdfKelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
 
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
 
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxMATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
 
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptxKOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
 

Komposisis fungsi dan invers fungsi

  • 1. Operasi Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi Oleh : Franxisca Kurniawati, S.Si.
  • 4. 1. Pengertian Operasi Komposisi Fungsi :
  • 5. *Adalah metode menggabungkan dua atau lebih fungsi. Jika 𝒇 suatu fungsi dari A ke B dan 𝒈 suatu fungsi dari B ke C, maka fungsi 𝒎 dari A ke C disebut sebagai komposisi fungsi dinyatakan oleh 𝒈𝒐𝒇 ditentukan oleh : 𝒙 𝒇(𝒙) A B 𝒈 𝒇 𝒙 C𝒇 𝒈 𝒎
  • 6. Contoh 1: Diketahui 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 dan 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 Tentukan : a. (𝒈𝒐𝒇)(𝒙) b. (𝒇𝒐𝒈)(𝒙)
  • 7. Jawab : 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 dan 𝒈 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 a. 𝒈𝒐𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒇 𝒙 ) = 𝒇 𝒙 − 𝟑 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐 b. 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) = (𝒈 𝒙 ) 𝟐+𝟐. 𝒈(𝒙) + 𝟏 = (𝒙 − 𝟑) 𝟐+𝟐(𝒙 − 𝟑) + 𝟏 = 𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝟐𝒙 − 𝟔 + 𝟏 = 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒
  • 8. 2. Menentukan Fungsi Jika Komposisi Fungsinya Diketahui:
  • 9. Contoh 1: Diketahui 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟏 dan 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 Tentukan 𝒈(𝒙):
  • 10. Jawab : 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 𝟒. 𝒈 𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 𝟒. 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑 + 𝟏 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟒 𝟒 𝒈 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝟒 𝒙 + 𝟏 Diketahui 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟏 dan 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟑
  • 11. Contoh 2: Diketahui 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏 dan 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 Tentukan 𝒇 𝒙 !
  • 12. Jawab : 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 𝒇 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 Misal : 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝒂 dengan 𝒙 = 𝒂+𝟏 𝟐 Maka : 𝒇 𝒂 = 𝒂+𝟏 𝟐 𝟐 + 𝒂+𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒇 𝒂 = 𝒂 𝟐+𝟐𝒂+𝟏 𝟒 + 𝟐𝒂+𝟐 𝟒 + 𝟒 𝟒 𝒇 𝒂 = 𝒂 𝟐+𝟒𝒂+𝟕 𝟒 Diketahui 𝒈 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏 dan 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏
  • 13. 3. Komposisi Dari Tiga Fungsi:
  • 14. Jika 𝒇 suatu fungsi dari A ke B, 𝒈 suatu fungsi dari B ke C dan 𝒉 suatu fungsi dari C ke D maka fungsi 𝒎 dari A ke D disebut sebagai komposisi tiga fungsi dinyatakan oleh 𝒉𝒐𝒈𝒐𝒇 ditentukan oleh : 𝒙 𝒇(𝒙) A B 𝒈 𝒇 𝒙 C𝒇 𝒈 𝒎 𝒉 𝒈 𝒇 𝒙 D𝒉
  • 15. Contoh 1: Diketahui : 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙 𝒉 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟑 Tentukan : a. (𝒇𝒐𝒈𝒐𝒉)(𝒙) b. (𝒉𝒐𝒈𝒐𝒇)(𝟐)
  • 16. Jawab : 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙 𝒉 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟑 a. 𝒇𝒐𝒈𝒐𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 𝟐 + 𝟑 = 𝒇 𝟒. 𝒙 𝟐 + 𝟑 = 𝒇 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟐(𝟒𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐) − 𝟏 = 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟐𝟒 − 𝟏 = 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟐𝟑
  • 17. Jawab : 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙 𝒉 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟑 b.(𝒉𝒐𝒈𝒐𝒇)(𝟐) = 𝒉 𝒈 𝒇 𝟐 = 𝒉 𝒈 𝟐. 𝟐 − 𝟏 = 𝒉 𝒈 𝟑 = 𝒉 𝟒. 𝟑 = 𝒉(𝟏𝟐) = 𝟏𝟐 𝟐 + 𝟑 = 𝟏𝟒𝟕
  • 19. a. Tidak Komutatif : (𝒇𝒐𝒈)(𝒙) ≠ (𝒈𝒐𝒇)(𝒙) b. Asosiatif : 𝒇𝒐𝒈 𝒐 𝒉 = 𝒇 𝒐 (𝒈𝒐𝒉) c. Mempunyai Fungsi Identitas: 𝑰 𝒙 = 𝒙 d. Komutatif Terhadap Fungsi Identitas : 𝑰𝒐𝒇 𝒙 = 𝒇𝒐𝑰 𝒙 = 𝒇(𝒙)
  • 20. Contoh : Diketahui : 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙+𝟐 𝟑 dan 𝑰 𝒙 = 𝒙 Tentukan : a. (𝒇𝒐𝑰)(𝒙) b. (𝑰𝒐𝒇)(𝒙) a.(𝒇𝒐𝑰)(𝒙) = 𝒇 𝑰 𝒙 = 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙+𝟐 𝟑 Jawab : b.(𝑰𝒐𝒇)(𝒙) = 𝑰 𝒇 𝒙 = 𝑰 𝟓𝒙+𝟐 𝟑 = 𝟓𝒙+𝟐 𝟑
  • 22. 1. Pengertian Operasi Invers pada Fungsi :
  • 23. Dua fungsi 𝒇 dan 𝒈 saling invers, apabila :  𝒈𝒐𝒇 𝒙 = 𝒙 atau 𝒈 𝒇 𝒙 = 𝒙, untuk 𝒙 dalam domain 𝒇  𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 atau 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒙, untuk 𝒙 dalam domain 𝒈 𝒙 𝒇(𝒙) A B𝒇 𝒈
  • 24. Tunjukan bahwa dua fungsi di bawah ini saling invers: a. 𝒈 𝒙 = 𝒙−𝟒 𝟓 dan 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝟒 b. 𝒈 𝒙 = 𝟑𝒙+𝟐 𝟓𝒙−𝟐 dan 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙+𝟑 𝟓𝒙−𝟐 dengan 𝒙 ≠ 𝟐 𝟓 Contoh : Jawab : a.(𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙−𝟒 𝟓 = 𝟓. 𝒙−𝟒 𝟓 + 𝟒 = 𝒙 Karna 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒙 maka saling invers b.(𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝟑𝒙+𝟐 𝟓𝒙−𝟐 = 𝟐 𝟑𝒙+𝟐 𝟓𝒙−𝟐 +𝟑 𝟓 𝟑𝒙+𝟐 𝟓𝒙−𝟐 −𝟐 = 𝟔𝒙+𝟒+𝟏𝟓𝒙−𝟔 𝟓𝒙−𝟐 𝟏𝟓𝒙+𝟏𝟎−𝟏𝟎𝒙+𝟒 𝟓𝒙−𝟐 = 𝟐𝟏𝒙−𝟐 𝟓𝒙−𝟐 𝟓𝒙+𝟏𝟒 𝟓𝒙−𝟐 Karna 𝒇𝒐𝒈 𝒙 ≠ 𝒙 maka tidak saling invers
  • 25. Pendefinisian invers fungsi dapat ditulis juga sebagai berikut :  𝒇−𝟏 𝒇 𝒙 = 𝒙, untuk 𝒙 dalam domain 𝒇  𝒇 𝒇−𝟏 𝒙 = 𝒙, untuk 𝒙 dalam domain 𝒇−𝟏 Setiap fungsi memiliki invers, tetapi tidak semua fungsi mempunyai fungsi invers, hanya fungsi bijektif yang mempunyai fungsi invers.
  • 26. 2. Menentukan Formula Invers 𝒚 = 𝒇(𝒙) :
  • 27. Langkah menentukan formula invers 𝒚 = 𝒇(𝒙) : 1. Tukar 𝒙 menjadi 𝒚, yaitu 𝒚 = 𝒇(𝒙) ditukar menjadi 𝒙 = 𝒇(𝒚) 2. Selesaikan persamaan 𝒙 = 𝒇(𝒚) sehingga menjadi 𝒚 = 𝒇(𝒙)
  • 28. Tentukan invers dari fungsi berikut: a. 𝒇 𝒙 = 𝟕𝒙 + 𝟑 b. 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙+𝟐 𝒙−𝟓 dengan 𝒙 ≠ 𝟓 Contoh : Jawab : a. 𝒇 𝒙 = 𝟕𝒙 + 𝟑 𝒇 𝒚 = 𝟕𝒚 + 𝟑 𝒙 = 𝟕𝒚 + 𝟑 𝒚 = 𝒙 − 𝟑 𝟕 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝒙 − 𝟑 𝟕 b. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙+𝟐 𝒙−𝟓 𝒇 𝒚 = 𝟑𝒚+𝟐 𝒚−𝟓 𝒙 = 𝟑𝒚+𝟐 𝒚−𝟓 𝒙(𝒚 − 𝟓) = 𝟑𝒚 + 𝟐 𝒙𝒚 − 𝟓𝒙 = 𝟑𝒚 + 𝟐 𝒙𝒚 − 𝟑𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟐 𝒚(𝒙 − 𝟑) = 𝟓𝒙 + 𝟐 𝒚 = 𝟓𝒙+𝟑 𝒙−𝟑 𝒇−𝟏 𝒙 = 𝟓𝒙+𝟑 𝒙−𝟑 dengan 𝒙 ≠ 𝟑
  • 30. 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒚 A B 𝒈 𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒚 = 𝒛 C𝒇 𝒈 (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 (𝒈𝒐𝒇) 𝒇−𝟏 𝒈−𝟏 Dari kiri ke kanan:  𝒇 ∶ 𝑨 → 𝑩 maka 𝒇 𝒙 = 𝒚  𝒈 ∶ 𝑩 → 𝑪 maka 𝒈 𝒚 = 𝒛  𝒈𝒐𝒇: 𝑨 → 𝑪 maka (𝒈𝒐𝒇) 𝒙 = 𝒛 Dari kanan ke kiri:  𝒈−𝟏 ∶ 𝑪 → 𝑩 maka 𝒈−𝟏 𝒛 = 𝒚 …(3)  𝒇−𝟏 ∶ 𝑩 → 𝑨 maka 𝒇−𝟏 𝒚 = 𝒙 …(2) (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 : 𝑪 → 𝑨 maka (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒛 = 𝒙 …(1)
  • 31. 𝒈−𝟏 𝒛 = 𝒚 …(3) 𝒇−𝟏 𝒚 = 𝒙 …(2) (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒛 = 𝒙 …(1) Substitusikan (2) ke (1) : (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒛 = 𝒇−𝟏 𝒚 …(4) Substitusikan (3) ke (4) : (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒛 = 𝒇−𝟏 𝒈−𝟏 𝒛 = (𝒇−𝟏 𝒐 𝒈−𝟏)(𝒛) (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒙 = (𝒇−𝟏 𝒐 𝒈−𝟏)(𝒙) Dengan cara yang sama, jika domain 𝒙, maka persamaan di atas dapat ditulis :
  • 32. Tugas : 1. Diketahui 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙 − 𝟑 dan 𝒈 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟏 Tentukan : a. (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒙 b. (𝒇𝒐𝒈)−𝟏 𝒙 2. Diketahui (𝒈𝒐𝒇)−𝟏 𝒙 = 𝟐𝒙−𝟏 𝟑𝒙+𝟒 dengan 𝒙 ≠ − 𝟒 𝟑 Dan 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟑 Tentukan : a. 𝒈 𝒙 b. 𝒈 𝟕