Mecánica de fluidos II, Francisco Ugarte

FRANCISCO UGARTE PALACIN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
MECANICA
D E
FLUIDOS
11
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
L I M A - P E R Ú

M e c á n ic a d e F lu id o s II
FRANCISCO UGARTE PALACIN
© Francisco ligarte Palacio
Diseño de Portada: Francisco Ligarte
Composición de interiores: Francisco ligarte
Responsable de edición: Francisco Ugarte
© Editorial San Marcos E.I.R.L., editor.
RUC 20260100808
Jr. Dávalos Lissón 135 - Lima.
Telefax: 331-1522
E-mail: informes@editorialsanmarcos.com
Primera edición: 2008
Primera reimpresión: Agosto 2010
Tiraje: 700 ejemplares
Hecho el Depósito Legal
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ISBN 978-9972-38-393-9
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en la Biblioteca Nacional del Perú

Como c.<'ntlnuacló n del tlbnu MECANICA DE FLUIVOS , pAe.Ar nto (¿.¿tu
jb ’i.a denominada MECANICA VE FLUIVOS II , en la. cual pAeAento teoAlaA y pAo-
üíemoA 'ie.Aue.lto.ó que. Aenán de g.Aan ¿nteAfo a pAoíeAOAeé y e¿iud,ia>ile.¿ de. ca
si todaA ¿ai ncunas de. 1nge ru.e’ila .
En eX pAimeA capítato Ae de.AcuiA.otta la te.on.la del AnátcAiA Vimen
6¿(mal y lUlcviidad, ACAaltando la aplicación de.i1 TEOREMA VE BUCKINGHAM.
d& m tA w é s de. e.bte. capitulo que t i lecton encontAaAá ¿sentido del ponqué, ¿e
’¿levasea cabo laA p-uie.baA en modele 6 anteA de conAtiu^Ae una máquina , una
$ ''
pAe¿a, &tc.
En el Atgundo capitulo te Analiza el e¿tucUo del Fiajo /íacü6o,
citando texa d e fin id o neA báA¿caj> de. laA matemátlcaA. Aai también ¿e ha deta
llada l a de.duc.cion de. taA ECUACIONES VE NAI/1ER-5T0KES pana luego aplicaría
a dLivéJLéüA cciaoa.
En el teA.cex capitulo he. de.AcutAoliado el ESTUDIO VEL FLUJO INTER
NO con bsteveA teoAlaA, ex.pllcadoneA, tabtaó y cuavoa pana el disejio de tu-
beA,ía¿> y empleo de. acceAodoA.
En el cuanlo capítulo üiato AobAe el ESTUV10 VE LA CAPA LIMITE,
teófila que in icia la nueva ionma del análisis de. lo a FiJJJOS REALES.
En el qcunto capitulo Ke.atl.zo el estudio de. lo A FLUJOS COMPRES!
BLES, que bnlnda leo Ala y pAoblemaó acética de la VINAMIGA VI GASES.
Agnadezco a lo a pAoie.ACAeA del Area de TuAbcmcíquauiA de t'a Facul
tad de INGENIERIA MECANICA de la UNI poA Au de.Aempeno y eAmnc cu i'a enót-
ñanza de. la MECANICA VE FLUÍVOS. A¿l también deAeo ex.pAc¿an mi agnadednuen
ti m¿6 comparieAi’ó del CC PABLO BONER de la F.Z.M. de. ia UNI, y a todo6
l o 6 pAOieAoaqj> y ,itumno¿ de laA di^e.AenteA unlvaAAidadeA del. pal6 wue me han
hecJio llegan, óua ¿ugeAenciaó y aliento paAa contAnuaA escribiendo eAte tipo
de obAaA, a nivel unlveAAilaAlo y pAofae^ólonal.
Lima, 23 de SetlembAe de 1991 FAanc.'lco Manuel Uganle Palacln

Í N D I C E
CAPITULO 1 ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILARIDAD
Introducción .. 1
Teorema de BUCKINGHAM . .. 3
Método a seguir para aplicar el Teorema de Buckingham .. 4
TABLA 1 : " Dimensiones de lascantidades de Mecánica de Fluidos " 6
Significado físico de algunos de los parámetros adimensionales más
importantes en Mecánica de Fluidos 9
TABLA 2 : " Grupos adimensionales en Mecánica de Fluidos" .. ' 13
Semejanza y estudios enmodelos 14
Tipos de semejanza 14
GRUPO DE PROBLEMAS M° 1 . . 2 2
CAPITULO 2 ESTUDIO DEL FLUJO VISCOSO
Introducción 30
Viscosidad 31
Flujo .. 33
Campo de Velocidades , 33
Lineas de Corriente .. 33
Representación de un vector (en diferentes coordenadas) .. 33
Operador V 34
EL Gradiente . . 3 4 '
La Divergencia 34
El Rotacional .. 35
El Laplaciano 36
Identidades Vectorialesimportantes 36
Derivada Sustancial o Total .. 36,
Aceleración de una partícula de fluido enun campo develocidades 37
Fuerzas que actúan scbre una partícula fluida en uncampo de velo
cidades 38
Ecuación de la Cantidad deMovimiento (NAVIER - STOKES) 40

Flujo Laminar y Flujo íurbulento .. r¿
Flujos Desarrollados •• 43
Aplicación de las ecuaciones de NAVIER-STOKES al Fiujo laminar
completamente desarrollado entre dos placas planas paralelas
y en ductos ¿e#dS^c íc ;¡ circular .. 44
GRUPO DE,#ÓBLEMAS N° 2 .. 54
CAPITUIJ 3; ESTUDIO DEL F L Ü # INTERNO
Intrortucción •• 73
Pérdidas Primarias •• 74
Evaluación del Factro ,de Fricción (f) .. 75
Diagrama del M000Y N° 1 . . 7 6
Diagrama (e/p) - (D) 77
Pérdidas Secundarias * .. 79
Evaluación de la constante de pérdida ÍK) (DIAGRAMAS) .. 79
Longitud Equivalente .. 84
Diámetro Equivalente .. 84
Sistema de Tuberías . . 8 4
GRUPO DE PROBLEMAS N° 3 . . 8 6
CAPITULO „ ESTUDIO DE LA CAPA LIMITE
4.1 Introducción .. 122
4.2 Capa Limite .. 123
4.2.1 Contorno de la Capa Límite .. 124
4.2.2 Espesor de Capa Limite .. 124
4.2.3 Espesor de Capa Limiteaproximado .. 124
4.2.4 Subcapa Laminar .. 124
4.3 Espesor de Capa Limitepordesplazamiento .. 125
4.4 Espesor,de la Capa Limite por deformación de la energía cinética 128
4.5 Espesor de la Capa Limite por deformación de la cantidad de
movimiento ..
4.6 Ecuación de Cantidad deMovimiento deVPN KARMAN .. 130
Velocidad de Corte .. 132
L

I
4.7 Solución exacta de BLASIUS
'1.8 Valor Medio temporal
4.9 Longitud de Mezcla de PRANDTL
4.10 Distribución de Velociadades para números de REYNOLDS
elevados
4.11 Ley de la Pared
4.12 Estudio de la Capa Limite Turbulenta '
4.13 Fenómeno de Separación de la Capa Limite
4.14 Determinación del Gradiente de Presión
4.15 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos
4.15.1 Fuerza de Arrastre
4.15.2 Fuerza de Sustentación
4.15.3 Flujo perpendicular a una placa plana
4.15.4 Flujo sobre una placa plana
4.15.5 Flujo alrededor de una esfera y de un cilindro
4.16 Perfi 1 Aerodinámico
4.16.1. Características del perfil aerodinámico
4.16.2 Diagrama polar (LILIENTHAL)
GRUPO DE PROBLEMAS N° 4
135
136
137
140
142
145
148
149
150
151
152
153
154
154
154
155
157
158
CAPITULO 5 FLUJOS COMPRESIBLES
Estudio del Flujo Compresible .. 183
Definiciones importantes en el estudio del Flujo Compresible 185
Expresión para hallar el flujo de masa a través de un ducto
de sección variable .. 194
Flujo isoentrópico en ductos de sección variable .. 195
Tobera convergente - divergente o tobera amplia
o Tobera de LAVAL .. 200
Posiciones relativas de un objeto dentro de un ambiente gaseoso .. 201
Estudio del Flujo Adiabático con fricción (FLUJO FANN0) .. 203
Estudio del Flujo Diabático (FLUJO RAYLEIGH) .. 206
Ondas de Choque .. 211
Choques en una Tobera convergente - divergente ..- 214

Análisis dimensión;: I y sirai];?iiclad
CAPÍTULO I
ANALISIS DIMENSIONAL
Y
, SIMILARIDAD
|
I INTRODUCCION
El análisis dimensional a estudiar es un método que permite redu-
j cir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción
de un fenómeno físico dado, con ayuda de una serie ue técnicas.
Como el objetivo del análisis dimensional es reducir variables y
agruparlas en forma adirnensional, nos presenta las siguientes ventajas:
1”) Un enorme ahorro de tiempo y dinero.
2°) Nos ayuda a pensar y planificar un experimento o teoría. Suqir-
re fórmulas adirnens ional es de las ecuaciones, ante;-, de gastar tiempo y dinero
nara encontrar las soluciones con ordenador. Indica las variables que doDen
descartarse; algunas veces se puede rechazar variabl'es, o -¡rupos de variables,
mediante el análisis dimensional, haciendo algunos ensavos que mué..tren a>;rj
son poco importantes. También nos dá gran información sobre las relaciones fí
sicas que estamos intentando estudiar.
3°) Proporciona las leyes de escala jue pueden convertir los datos
obtenidos sobre un pequeño modelo de información para el di:,eño do un prot.oti-
oo grande. Por ejemplo, antes de construir una nave espacial la debemos de pro
bar en base a un pequeño modelo y no en base a un prototipo, con el tamaño de

z Análisis dimensional y similaridad
la nave a construir, pues seria muy costoso hacer esto último. Cabe mencionar
que no siempre el modelo tendrá que ser de menor tamaño que el prototipo, y a
que puede suceder lo contrario.
Establece que todo fenómeno es posible de ser experimentado medi
ante una relación análi tica, la misma que deoe cumplirse en cualquier sistema
de unidades.
MOTAS :
- El análisis dimensional se sustenta en el "PRINCIPIO DE LA H
NEIDAD DIMENSIONAL", que establece : "Cualquier ecuación deducida analTtica
mente y que represente un fenómeno físico, debe satisfacerse en cualquier sis_
terna de unidades''.
- La desventaja del análisis dimensional radica en que se requ
el conocimiento previo del fenómeno a estudiarse, para seleccionar adecuada
mente las variables que han de conformar el o los grupos adimensionales.

Análisis dimeKsicmal y similaridad
TEOREMA DE BUCKINGHAM
Dado un problema fínico en el cual el parámetro denendiente es una
función de los ( n - 1 ) parámetros independientes, podemos expresar la rela
ción entre las variables de la siguiente manera funcional :
91 ~ f(clp » q^ > q¿|» .................... » ~ ^
donde : = parámetro dependiente
q2 ’ ^3 * ^4 * ...... , qn = son los ( n - 1 ) parámetros i ndepend.
Matemáticamente podemos expresar la relación funcional de manera e
quivalente como :
9^ql ’ q2 ’ q3 ’q4 ............... . qn)= 0
donde g es una función conocida diferente de f.
El TEOREMA DE BUCKINGHAM establece : dada una -'elación de la forma
g(qi , q2 , q3 ,q4 , .................... q j - 0
entre n parámetros, éstos se pueden agrupar en ( n - m ) parámetros adimensio
nales independientes, generalmente representados con el si¡obolo t t ; dicha re
lación tiene la forma funcional :
G(tt1 , tt2 ,tt3 ,7Ta ................................................................l'n ) = 0
o bien : = G1 (tt7 , tt3 ,ir4 , ........................................... ,7 ^) = 0
Usualmente (pero no necesariamente siempre), el número m es igual
al número mínimo de dimensiones independientes necesarias para especificar
las dimensiones de todos 'los parámetros , ....... . , qp .
H teorema no predice la forma funcional de G o . Esta relación
entre los parámetros tt adimensionales independientes deberá determinarse ex
perimentalmente.
Un parámetro tt no es independiente si se puede formar mediante el

4 Análisis dimensional y similaridad
producto o el cociente de otros parámetros en el problema. Por ejemplo, si :
~ 1/2 ■ r '
3 TT 5 7T
------ , o bien „ resulta evidente que ni tt ni tt^ son
712 V 713 ^4 •
independientes de los demás parámetros adimensionales , t;2 , tt , tt, .
El análi sis dimensional de un problema se lleva a cabo en las sigm
entes tres etapas :
- Se establece una lista apropiada de parámetros»
- Los parámetros ir adimensionales se obtienen utilizando el teorema
de BUCKINGHAM.
- La relación funcional entre los parámetros tt se determina mediante
experimentos.
METODO A SEGUIR PARA APLICAR EL fBORHMA DE BUCKINGHAM
- Clasificación de parámetros :
Para llevar a cabo ésta clasificación o selección de parámetros que
afecten, directamente al fenómeno bajo estudio» es necesario tener cierta expe*
riencia en dicho aspecto. En el caso de personas inexpertas se le recomienda
seleccionar la mayor cantidad posible de parámetros, para que tenga la menor
probabi1idad de errar.
Cualquier parámetro que se sospecha que influye en el fenómeno a es
tudiar, debe ser seleccionado. Si el parámetro, después de los experimentos,
resulta ajeno al fenómeno en estudio i el análisis dimensional establecerá un
parámetro u adimensional que se debe eliminar completamente.
- Método para determinar los parámetros
Io) Indicar todos los parámetros de los que se sospechan influir en
el fenómeno. Si no se indican todos los parámetros mencionados, al final S’ólo
se logrará obtener relaciones que no refléjen una imagen completa del fenómeno

Análisis dimensional y símilariaad 5
í 2o) Determinar un conjunto fundamental de dimensiones, llamado con-
| junto de dimensiones primarias. Por ejemplo : masa (M)» longitud (L) y tiempo
¡ (T); fuerza (F), longitud (L) y tiempo (T)$ etc.
I ' 1
3o) Expresar a todos los parámetros citados en el primer paso, en
función de las dimensiones primarias,
4o) De todos los parámetros indicados en el primer paso, se selec
cionará una cantidad de parámetros repetitivos* Dicha cantidad de parámetros
repetitivos estará dado por el valor del rango de la matriz de dimensiones 8
( ver ejemplo ),
Al seleccionar los parámetros repetitivos se tendrá cuidado en que
estos no tengan las mismas dimensiones netas; por ejemplo, no deberá incluirse
■" 3
en los parámetros repetitivos a una longitud { L ) y a un volumen ( L ).
Los parámetros adimensionales que resulten del procedimiento de BU-
CKINGHAM son independientes pero no son los únicos. Porque, si se selecciona
un conjunto diferente de parámetros repetitivos, se obtendrán diferentes pará
metros adimensionales. Los parámetros que se prefieren en la realidad, es la
practica quién lo determina,
NOTA Sí el rango de la matriz de dimensiones es la unidad, entonces sólo se
| obtiene un parámetro adimensional ir* En dicho caso, el teorema de BUCKINGHAM
indica que el parámetro ir ánico debe de ser una constante»
5o) Crear ecuaciones dimensionales entre los parámetros repetitivos
seleccionados en el cuarto paso, con cada uno de los demás parámetros, tratan-
do de formar parámetros adimensionales,
6o) Comprobar que cada parámetro obtenido resulte adimensional. Tal
comprobación se acostumbra realizarlo utilizando o ero conjunto fundamental de
dimensiones.
H E M d ^ A continuación se presenta la TABLA N°], cuyo contenido se recomien
da anal izarlo y aprenderlo para proceder a resolver problemas í

6 _____ ______ ________ Análisis dimensional y similaridad
T A B L A N" 1
DIMENSIONES DE LAS CANTIDADES DE MECANICA ¡DE FLUIDOS
CANTIDAD SIMBOLO M L T F L i
Longitud L L L
L2Area A L
2
Volumen ¥ L
3
L1
Velocidad V L T-l L T 1
Velocidad del sonido c . L r 1 L r 1
Flujo volumétrico V . Q L3
T-i
l 3 r 1
Flujo más ico
Pregón, Esfuerzo
m
P , Cf
M '
M L
I'1
-V 2
F L~!T
F L-2
Velocidad de deformación £ T
-1
r 1
Angulo 0 no existe no existe
Velocidad angular ÜJ / T
-1
T" 1
Viscocidad w M F L-2T
Viscocidad cinemática V
i
L r 1 i„2 r 1
Tensión superficial ,T M T 1 L'1
Fuerza F M i
_7
L T ~ F
Momento, Par M M L2 F L
Potencia P M 1
7 ,.T
L T J f l r 1
Densidad P M L“3 f r V
Temperatura
Calor específico
Conductividad térmica
0
CP ’Cv
K
■e--
7 _' 1
L" T -0-
m l r V 1
-9-
7 _■;> _
L“ T -9-
F T ' V
Coeficiente de expansión ■e**
-1
0 - 1
Tiempo T T T
Peso especifico T M L'
-2T-2
F L‘3
Aceleración de gravedad g L r 2 l r ¿

Análisis dimensional y simllarldacl 7
1. EJEMPLO
Se estima que el desempeño de un anillo de aceite lubricante depen
de de las siguientes variables: f1ujo volumétrico 0, diámetro interno del ani_
lio D, velocidad de rotación N (RPM), viscocidad absoluta del aceite densj_
dad del aceite p v tensión superficial a,
Determine Ud, un conjunto conveniente de coordenadas para organi
zar los datos*
SOLUCION
| r ) Q , D , N , y , p , a
2o ) M , L , T
3°)[ Q ]« L 3 r 1 [ N ]= T ' 1
[ D ] = L [ p J = M L”1 T "1
4o) La "MATRIZ DE DIMENSIONES" es la siguiente :
[ P 1=
[ o ] =
M L
M T
-3
Q D N )j p at
M 0 0 0 1 1 1
L 3 1 0 1 -3 0
T -1 0 -1 1 0 ~2
Recordar que el rango de una matriz esta dado por el orden de su
determinante no nulo de mayor orden.
= 0 [ ( l ) ( - l ) - ( 0 ) ( 0 ) ] - 0 f ( 3 ) ( - I ) - ( - 1 ) ( 0) ] + 0 [ ( 3 ) ( 0 ) - ( - l ) ( l ) > 0
0 0 0
3 1 0
0 -1
0 0 1
3 1 -1
-1 0 -1
- 1 ¿ Q ; entonces : RANGO = 3
Como el rango de la matriz de dimensiones es 3, se seleccionará 3

B Análisis dimensional y nimilaridarf
parámetros repetitivos. Estos serán ; p, D, N
5°) TTa= px Dy N2 CT = M° L° T° = 1
C M L~3)x ( L )y ( r 1)^ M r 2) = M° L° T°
El parámetro adirnensional será :
'■_ ' 0
M : x + 1 = 0
L : ~3x + y = 0
T : -z - 2 = 0
x = -*1
y = •>■3
z = -2
1 p D3 N2
it2= px Dy N* ¿j= M° '0 T° = 1
-3x
( M L-J)x { L )y ( T"1)2 ( M L_1r l) = M° L° T° = 1
M : x + 1 = 0 x ="-1
L : -3x + y - 1= 0 y = -2
T : -z - 1 = 0 z =
El parámetro adirnensional será
y__tt2=
p D2 N
u 3= px Dy Nz Q = M° L° T° = 1
{ M L"3)x ( L )y ( T_1)z ( L3 T_1 ) = M° L° T°
M : x = 0 ' x = 0 El parámetro adirnensional será :
L : -3x + y H 3 = 0 y = -3 ^
T : - z - 1 = 0 2 . - 1 *
6°) Para la verificación, vease la TABLA N°1
-1
1
F L"
1 p D3 N2 (F L"4T2) (L)3 (T"3”)2
1I2=
F I-2!
p N (F L_/*T2) (L)2 ( T 1)2
Q
= 1
L3 T-1
DJ N (L)3 (T_1)
= 1
RPTA El conjunto { ^ coordenadas es el conveniente para organi
zar los datos.

Análisis dimensional y similaridad 9
SIGNIFICADO FISICO DE ALGUNOS DE LOS PARAMETROS ADIMENSIONALES MAS
IMPORTANTES EN LA MECANICA DE FLUIDOS
se presentan con gran frecuencia en el análisis dimensional :
1. NUMERO DE REYIIOLD (Re)
Se le define como el cociente entre las fuerzas de inercia y las fu
erzas viscosas
L = Longitud característica, descriptiva del campo de flujo.
Un valor crítico de éste parámetro permite distinguir entre el re-
gimen laminar y el regftner. turbulento en un escurrímiento dado; p o r ejemplo ,
a través de un tubo, en la capa límite o en un f l u j o al rededor de un cuerpo sjj
mergido. El valor de este nOmero de Reynold crítico depende de 1a situación
que se tenga. *
En un flujo compresible, el numero de Mach suele ser más significa
tivo que el nümero de Reynold,
Al nümero de Reynold se le considera, como el más impórtate para des^
cribir al flujo incompresible.
Indicaciones para el cálculo de Re
A continuación se citará algunos parámetros adimensionales que se
Re *
2 2
p V L p V L (Presión dinámica) x (área) F* Inercia!
—----- a ----- ™ —
Vi (u V / L) L (Esfuerzo viscoso) x (área) F. Viscosas
r b
■>
a) Re = — -
y
V
2
P V2 b

b) Para flujos en ductos :
p v
D = Diámetro hidráulico
H
Forma de calcular el diámetro hidráulico ( D„ ) :
H
En general :
4 S
V
P = Perímetro mojadom
°H =
Tt D
tr D
4 a b
D = ---------
H 2( a + b
2. NUMERO DE EULER (Eu)
Se le define como el cociente entre las fuerzas de presión y la fu
erza de inercia.
Ap Ap JL Fuerza de presión
2 2 /
p V p V / L Fuerza de inercia
Ap = Presión local menos la corriente libre
p y V son la densidad y velocidad del flujo de la corriente libre.

En los ensayos de tipo práctico se utiliza normalmente el coefici-
2
ente de presión p/(pV / 2 ) , igual al doble del nOmero de Euler.
El número de Euler se aplica en todos aquellos casos en donde la
fuerza de presión sea importante (diseño de antenas, chimeneas, cascos de bu
ques, automóviles, alabes).
3. NUMERO DE FROUDE (Fr)
Se le define como el cociente entre la fuerza de inercia y, la fue_r
za de la gravedad.
2 o
V p T/L Fuerza de inercia
Fr * — — -----— = „-----_ _ — ---- „
L g p g Fuerza de gravedad
En una superficie libre, tál como en los casos de los ríos* la forma
de ésta superficie, al formarse ondas, se verá afectada directamente por la
fuerza de la gravedad, y, por tanto, en éste tipo de problemas el número de
Froude será significativo. Generalmente el número de Froude se emplea en el
estudio de fluidos de canales abiertos o,en todo caso en donde las fuerzas
gravitacionales sean importates. También el Fr resulta de gran utilidad en
el cálculo de sal tos hidráulicos y en eldiseño deestructurashidráulicas y
de barcos.
4. NUMERO DE WEBER (Sfe)
Es la relación entre las fuerzas de inercia y la fuerza debida a
la tensión super— ficial.
9 2
p V“ L p V /L Fuerza de inercia
We = --- — — — =* — — « — --- — — t— •
or or/L Fuerza de tensión superficial
cr = Tensión superficial del flujo
L = Longitud característica del flujo

12 Análisis dimensional y ainriilaridad
El número de Weber juega un papel importante sólo si es de orden
unidad o menor. Si el número de Weber es grande, sus efectos son despreciables
*Se le emplea en los fenómenqs de pulverización y atomización de par
tículas ( diseño de toberas, spray, inyectores, eyectores ).
5. m n ero de m m (n) .*■
Se le define como la relación de la raíz cuadrada de la fuerza de i
nercia entré la raíz cuadrada de la fuerza que tiene su origen en la compresi-
bil idad del fluido.
c V p c /L 'V F
Fuerza de inercia
Fuerza de compresibilidad
c = Velocidad de sonido
V = Velocidad relativa
El número de Mach es el importante de los parámetros adimensio-
nales, para el estudio de los fluidos compresibles ( p ^ cte ). Por ejemplo, a
los flujos compresibles se les clasifican : t
Flujo subsónico si M < 1 ( V < c )
Flujo sónico si M = 1 - ( Vv= c )
Flujo supersónico si M > 1 ( V > c
Flujo transÓnico si ( V ^ c )
Flujo hipersdnico si M > 1 ( V » c )
Si el número de Mach se eleva al cuadrado y se multiplica por pf/¿
y se divide entre pA/2, el numerador será la fuerza dinámica y e) denominador
constituirá la fuerza dinámica del sónido. Se puede interpretar como una medi
da de la relación entre la energfa cinética y la energía interna deT flujo.

TABLA M *l
13
GH U P O S ADIMBKSIONALBS P.M MRCANfCA DE FLUIDOS
PARAMETRO DEFINICION RELACION CUALITATIVA IMPORTANCIA
DE EFECTOS
Número de Reynolds Re . p VL Inercia Sier-spre
V Viscocidad
Número de Mach Ha * ~
Velocidad flujo Flujo compresible
' 'C Velocidad sonido
Número de Froude. V 2
Fr ■
Inercia Flujo con super
19 Gravedad ficie libro
Número de Weber We . - ^
Inercia Flujo con super
o Tensión superficial ficie libre
Número de Euler W - AP..P.PV Presión
Pruebas aerodi
(número de cavitación) . py2 v2 Inercia
námicas
Número de Cauchy Cu » ,
Módulo Volumétrico
PV2 Inercia
Coeficiente de presiones C * A P/f Presión estítica
V2/2g Presión de velocidad
Número de Prandtl pr , J*&L Disipación Convección de
k Conducción calor
Número de Eckert V2£c - Energía cinética Disipación
Cp To Entalpia
Relación de calores Y . Entalpia Flujo compresi
específicos a Energía interna ble
Número de Strouhal st « — — Oscilación flujo oscilato
V Velocidad media rio
Rugosidad relativa JÉ Rugosidad Turbulento, pa
L Longitud del cuerpo red rugosa
Número de Grashof Gr - ■ 8 A T q L V Flotabilidad
Convección na
v 2 Viscosidad tural
Temperatura de la
Relación de temperaturas
Tw pared . * Transporte de
Temperatura de la calor
corriente

SEMEJANZA Y ESTUDIOS Eli MODELOS
Debido a que a todos los fenómenos físicos no se les puede explicar
a través de una expresión matemática, se hace necesario realizar experimentos
para poder predecir y conocer alguna propiedad en particular; es por ésta ra- I
zón en que nace la denominada "TEORIA DE MODELOS'1, la cuál permitió trasladar i
el comportamiento del MODELO al denominado PROTOTIPO, a través de un factor de j
semejanza llamado "ESCALA" ( puede ser escala de longitudes, de velocidades, ¡
de aceleraciones, de tiempos, de fuerzas, etc),
MODELO Es una reproducción a escala adecuada del denominadoprototipo. No ;
siempre el modelo es más pequeño que el prototipo.
PROTOTIPO Es aquel objeto construido para ser sometido a condiciones rea
les de trabajo.
• ■ ' • ■ ' ' ' ' ' ! V m
TIPO DE SEMEJANZA
Semejanza geométrica Un modelo y prototipo son geométricameríte semejantes
si, y sólo si, todas las dimensiones espaciales en las trescoordenadas tie
nen la misma relación de escala lineal'.
En la semejanza geométrica todos los ángulos se consevan. Todas las ¡
direcciones de flujo se conservan. La orientación del modelo y el prototipo, >
con respecto a los objetos de los alrededores debe ser auténticamente idéntica,!
Todas las condiciones mencionadas indican que, sólo habrá semejatiza
geométrica si el modelo fuera una fotografía del prototipo (tomada de cualqui
er posición, en forma reducida ó ampliada ).
En las figuras que se muestran a continuación, habrá semejanza geo
métrica entre el modelo y el prototipo si:

PR O TO TIPO HODELO
Semejanza cinemática Para que exista semejanza cinemática, necesariamente
debe existir semejanza geométrica. Además, que todas las relaciones entre ti -
empos homólogos tengan un valor comün, relación de escala de tiempos. Esto se
puede expresar : "Los movimientos de dos sistemas son cinemáticamente semejan^
tes si partículas homólogas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos".
Lm
t m lm t p
vp Lp Lp t m
TP
Lm Tm
Si : — Si- = a = ESCALA LINEAL y - 2 - = g = ESCALA DE TIEMPOS
LP 1P
V V
= a (f1 — = Y = ESCALA DE VELOCIDADES ó CINEMATICA
V V
P P

16 Análisis dimensional y similaridad Análisis dimensional y similaridad 17
Las equivalencias de las escalas de tiempos puede exigir considera,
clones dinámicas adicionales, tales como la igualdad de los nOmeros de Reynold
y de Mach.
Un flujo de fluido incompresible, sin fricción y sin superficie li-j
bre, es cinemáticamente con escalas de longitud y tiempos independientes, y no!
son necesarios parámetros adicionales.
Los flujos sin fricción y con superficie libre, son cinemáticamente^
semejantes si sus números de Froude son iguales.
Si ios efectos de viscosidad, tensión superficial o de la compres i4
bilí dad son importantes, 1 a semejanza cinemática está condicionada a que haya ¡
semejanza dinámica,
'■ ' 1
Semejanza dinámica ^ Para que exista semejanza dinámica, es necesario que ex-|
ista semejanza geométrica ( en caso contrario no se debe proseguir ). La seme-S
janza dinámica existe simultáneamente con la semejanza cinemática, si ¿odas I
las fuerzas aplicadas en el modelo y el prototipo, en puntos correspondientes,i
guardan la misma proporción.
Si se desea lograr la semejanza dinámica completa, deberán conside-
rarse todas las fuerzas que sean importantes en determinada situación. De este!
modo, deben tenerse presentes los efectos de las fuerzas viscosas, de las fuer
zas de presión, de las fuerzas de tensión superficial, etc.
También a la semejanza dinámica se le denomina “simi 1itud de fuerza!
gP
mp aP
Sean
í = <¡> - ESCALA DE FUERZAS
M-
77777777777777777777777
Las figuras muestran una semejanza dinámica en el flujo por debajo
de una compuerta. El modelo y prototipo tienen poligonos de fuerzas semejantes
en puntos homólogos, si los números de Reynold y Froude son Í9U3Ies en ambos ca^
sos.
OBSERVACIONES ;
a) La similitud dinámica implica que se verifica la similitud geonré
trica y la cinemática,
b) La semejanza IDEAL, es aquella en la cual todos los números adi
mensionales, apiicados al modelo y al prototipo, se verifican.
c) Si un objeto está sumergido en el mismo fluido ( como modelo y
como prototipo )f y la escala es igual a la unidad, entonces se c¡imple que to
dos los grupos adimensionales se verifican.
d) No siempre el modelo está inmerso en el fluido en el cual se en
cuentra el prototipo.
e) ,Cuando se apiica la semejanza a las diferentes TURBOMAQUINAS o
en general a máquinas que trabajan con fluidos, se asume la eficiencia total
( mecanica, volumétrica.e hidráulica ). n = n n ri .
p I m v n

2. EJEMPLO
Se cree que la potencia alimentada a una bomba de flujo axial depen
de del gasto volumétrico, de la carga, de la velocidad y del diámetro de la
bomba, así como de la densidad del fluido, es decir,
0 0
3 2
-1 «2
- 4 ^ 0 ; entonces : RANGO
P - f(Q, H, N, D, p)
donde Q = gasto volumétrico
H = carga (r>j energía por unidad de masa )
N = velocidad angular
D = diámetro
i
p = densidad
_
o
Se requiere una bomba de flujo axial para proveer 25 pies /s de agua;
con una carga de 150 pies Ibf/slug, El diámetro del rotor es 1 pie y se debe o¡
perar a 500 rpm. El prototipo se debe modelar er, un pequeño aparato de pruebasj
que tiene 3 caballos de potencia disponible operando a 1000 rpm. Calcule la {
carga, el gasto volumétrico y el diámetro del modelo para que el funcionamien-j
to resulte semejante entre el prototipo y el modelo. ’ i
SOLUCION
Cálculo de los parámetros adimensionales ( TEORCMA DE BUCKINGHAM ) :
[ D > [ L ]
[ p ] = [ H L-3 ]
Como el rango de la ¡natriz de dimensiones es 3, se seleccionará tres
parámetros repetitivos. Estos serán : p, D, N
5°) TTj= Px & Nz P = f f L° 1° = 1
( M L~3)x ( L Y ( T-1)2 ( M L2 T~3) = hf L° 1°
M : x + 1 = 0
L : -3x + y = 0
T : -z - 3 = 0
x ■= -1
y --- -5
z = -3
El parámetro adimensional será
P
V
p D5 N3
tt2* px D7 Nz Q;a mP L° T° * 1
m r 3)x ( l f ( r 1)2 ( l3 r 1) = l° t°
1°) p, Q, H, N, D» P
2o) M. L, T
3o)[ P ]= [ M L2 T'-3 ] [ H ] = [ L 2 r 2 ]
[ Q ]= [ L3 T'1 3 [ N ]= [ T-1 J
4o ) La -MATRIZ DE DIMENSIONES" es la siguiente :
0
2
-2
M : x = 0
L : y +,3 = 0
T : -z - 1 = 0
x = 0
y - ~3
z = -1
El parámetro adimensional será :
Q
V
— *—
D N
tt3= px D5' Nz H = M° L° T° = 1
( m l-3)x ( l y { T-1)2 ( L2 T'2) = if L° 1°
M : x = 0
L . y + 2 = 0
1 : -c - 2 = 0
6°) Verificando :
x * 0
y - ~2
z = -2
F L T
El parámetro adimensional será ;
H
D2 N2
-1
( F L“V ) ( L )5 ( r 1)3
= 1

L3 T"1
v r r ? T F T
« 1
L2 T"2
v T T T T F 1? ’
Para que exista similitud entre el prototipo y el modelo s
satisfacer
/ l P " 111M
P P
--- §— 3=--- f - y
Pp DP NP Pm °M " J
1T2P= ,r2M
D3 N D3 N
P P M M
n 3P= 113M
Hp Hm
D N ü¿ N
P P M M
Observese que :Jhq]s L5 T 3
Reemplazando en (I )
hp pp
°P NP PM °M NM
DATOS : Q = 25 pie
H = 150 P ie - M = 4 .6 6 E Í £ - l b f
slug Ib
D = 1 o le

Análisis dimeasiou.a.1 y mmiimrí.dmd 21
e debe d
. ( i )
. ( i i )
»
. ( n i
. ( rv )
Asumiendo : pm= pR Q= 62.4 1b/pie~
Despejando y reemplazando datos en
Np= 500 rpm
p„= ph n = 52,4 lb /P ie3
p = 3 hp = 1650
M seg
1000 rpm
en ( IV ) : Dm
en ( II ) :
en (III ) : “m
slug
SEMEJANZA CUANDO SE CONOCE LA ECUACION DIFERENCIAL
En aquellos casos en que sé conozca la ecuación diferencial, que va
ha describir el fenómeno en estudio, pueden deducirse los parámetros adimensio^
nales y las leyes de semejanza de su invarianza resultantes, aunque la ecuaci
ón diferencial no esté resuelta.
Para establecer la semejanza partiendo de las ecuaciones diferencial
les que describen el flujo, es un procedimiento bastante riguroso. Si se comi-
enza de las ecuaciones apropiadas y se efectúa cada paso de manera correcta,se
puede asegurar que todas las variables pertinentes han quedado incluidas.
A continuación se presenta un grupo de problemas con sus soluciones
indicadas ó sólo con sus respuestas, con el afán de que el 1ector conozca más
acerca del presente capitulo. Por ello, es que se le recomienda resol verlos.

zz Análisis dimensional y similar idad
GRUPO DE PROBLEMAS NQ1
01. PR0B.~ En el transcurso del desarrollo de la MECANICA DE FLUIDOS, las va
riables que frecuentemente participan son 8 : la diferencia de presiones ( A
la longitud característica ( L ), la velocidad ( V ), la densidad ( p ), la
viscosidad absoluta ( y ), la aceleración de la gravedad ( g ), la velocidad
del sonido ( c ), y la tensión superficial ( a ), Determinar los números adi
mensionales que caracterizan a los flujos.
SOLUCION
Matriz de dimensiones: Ap .L V p y g c cr
M r- 0 0 1 i 0 0 1
L -i 1 1 -3 -i i 1 0
T -2 0 -1 0 -i -2 -1 -2
RANGO = 3, entonces : p, V, L parámetros repetitivos
Los números adimensionales son ; >
Ap
"i* ~ 7 T
= Eu
P V a
c
tr = ---- = M
4 V
Tr2=
p V L
-1
Re
= We'
l g
T —- Fr~
p V L
02. PROB,- Al sumergir un pequeño tubo en un recipiente que contiene un 1íqui
do, se forma un menisco en la superficie libre deMdo a la tensión superfici
al. Los experimentos realizados señalan
que la magnitud de este efecto capilar
(Ah ) es una función del diámetro del
tubo ( D ), del peso específico del lí
quido ( If ), y de la tensión superfici
al ( (T ). Determinar el número de pará-
Ah
■^TUBO
t

Análisis dimensional y siroilaridad 23
nietros repetitivos y hallar los parámetros adimencionales correspondientes.
SOLUCION
Matriz ele dimensiones : Ah D Y a
M 0 0 1 1
L 1 i -2 0
T 0 0 -2 -2
Cálculo del rango de la matriz de dimensiones
0 0 1 0 0 1 0 1 1
1 1 -2
o
1!
0 .'• 0 0
!1
O
1 «2 0
0 0 -2 0 0 -2 0 *“2 -2
= 0
Podemos observar que de todas las matrices de ordén 3x3 formadas, sus determi^
nantes son nulos, razón por la cual el rango no va a ser 3 ( bastaba con que
uno de ellos tenga un determinante no nulo para que el rango sea 3 ). Probemos
con las matrices de ordén 2x2 ;
0 0 1 1 0 0
= 0 * 0
1 1 0 0 0 0
0 1 1 «2 0 1
= - 1 * 0 - «2 i 0
1 «2
0
1
ro
0 -2
Existe dos matrices de ordén 2x2 con determinantes no nulos, entonces el
rango es 2. (bastaba con una de las matrices).
Se seleccionará dos parámetros repetitivos : D, y
Los parámetros adimensionales son :
Ah a

03. PROB.- Se cree que la potencia ( P ) necesaria para mover un ventilador de
pende de la densidad del fluido ( p )» del gasto volumétrico ( Q ), del diáme
tro del impulsor ( D ), y de la velocidad angular ( w ). Utilizando el análi
sis dimensional, determine la dependencia de la potencia con las otras varia
bles. Selecciónese la densidad, diámetro del impulsor y la velocidad angular
como grupo de variables independietes.
SOLUCION
Matriz de dimensiones J P p Q D OJ
M 1 1 0 0 0
t 2 «3 3 1 0
T -3 0 -1 0 -1
RANGO = 3 , entonces : p, D, to son los parámetros repetitivos.
Los parámetros adimensionales serán :
n5 3
p D oí
Q .
■1r2= _3
D 03
Hacemos : ir1= f(tt2) P = p D5 u3 fí-*—
D - ü)
04. PROB.- En los sistemas de inyección y aspersión de combustible, el chorro
de liquido inyectado se rompe formando pequeñas gotas de combustible. El diá
metro de las gotas resultantes (. d ), se supone que depende de la densidad del
1íquido ( p ), la viscosidad ( p )» la tensión superficial ( cr ), la velocidad
del chorro ( V ), y el diámetro del chorro ( D ). Determine la dependencia del
diámetro de las gotas de combustible en función de las otras variables;
SOLUCION
Matriz de dimensiones

Análisis dimensional y similaridad ZS
d P P 0 V D
Q 1 1 1 0 0
L 1 .~3 -1 0 1 1
T 0* 0 -1 •1 0
RANGO = 3 , entonces : p, V, D son los parámetros repetitivos.
Los parámetros adimensionales son :
d y a
V "
D
Hacemos : 7^= f(tt2 »
tt2=
p V D
d - D f(«
p V D
Tr3r *
p V
p v2 D
D
05 PROB.- £i coeficiente de arrastre para un flujo alrededor de un tubo cilín
drico es 1 y para un ducto cuadrado es 2. Calcular la relación de momentos
f]actores en la base de dos chimeneas, una de sección recta circular y otra de
sección recta cuadrada; diseñados para igual flujo y velocidad de descarga, sí
ambas están sometidas a igual velocidad del viento y tienen la misma al tura.
NOTA
F = — C p V2 A
F = fuerza de arrastre
p = densidad del fluido
V .= velocidad del flujo
A = área proyectada
SOLUCION
“ 1
L
Recordamos que el momento está dado por : M = F L/2
77777777777777

Zi> Análisis dimensional y similaridad
Í vp
Co - 1
M0 = F0 h n
1 « p" ñ h
— - o ro o o-—
Por lo tanto :
o 2
Mo=FoV2
V - i CapD Vq Aa ^ cd Aa
2 2
C h D
o
Cp h a
Observese que : p = p
o 0
V = V
o o
Q—. = Q
sn ^o
Cómo : Qn= Qq
y ? D
Reemplazando C. » 1 2 1
D 2 Jí? J ?

06, La fuerza de resistencia al movimiento de un barco ( F ), es funci
ón de su longitud ( L ), velocidad ( V ), gravedad ( g ), densidad ( p ) y vis
COsidad ( i ). Escriba dicha relación en forma adimensional.
Respuesta : F = p L2 V2 f( L i , — tí— )
V p V L
OJ'. PR0B.~ Un modelo de ala tipo placa plana tiene un ancho de 1.5 m y una
longitud (cuerda) de 0.3 m. El modelo se prueba totalmente sumergido en agua,
a una velocidad de 6 m/s, con un ángulo de ataque 0o, la temperatura del agua
es 20°C (v= 1.007 x 10’”7 m2/s , p = 1000 Kg/m3 ), y se midió una fuerza de
4.5 N. Calcular las dimensiones del prototipo, que se moverá en aire a 1 bar
y 15°C ( v = 1.6 x K f 6 m /s )» con una velocidad de 36 m/s y un ángulo de a-
taque de 0o. ¿ Cuál es la fuerza de arrastre del prototipo ?
aM= 0.3 ¡n
í = 1,5 m
M
v = 1.007 x 10-7 m2/s
M
PM- 1009 Kg/n?
F = 4 .5 N
M
VM= 6 m/s
Vp= 36 m/s
Vp= 1,6 x 10* mz/$
Observando los parámetros que intervienen en el problema,nos damos
cuenta que podemos formar los números adimensionales Re y Eu mediante el análj[
sis dimensional. Además, Ud. podrá notar que el flujo que participa en éste
problema puede ser descrito por Re y Eu ( revise l a parte teórica ).
SOLUCION
:1

ZB Análisis dimensional j similaridai!
Api icando Reynold ;
Re = X = — = 0.377625
VM VP LP
Entonces : £p= 3,972 m ap* 0.794
Aplicando Euler :
a PM . &Pp V : APm . %
PM VM PP VP ’ PM VM AP PP VP
Fm Fp ’ Ft>= FM ^ (^l)2. 0.939 N ; '2- ^
A ~ a . »2 P M
X
AM PM VM V pp v; PM A« VM AP
R T „ K1
p = .— _£. = 0.82656 Kg/m , R = 0.287-Jü- , T = J5°C = 288°K , P = 100 KPa
Pp V Kg *K 1
08. PROB»- se requiere simular el flujo.de aire ( p =1,3 Kg/m3, p -1.8 x lü~5
N-s/m2 ) en un duelo, mediante un flujo de, agua { p =990 Kg/m3, y =1.34x 10~J
N-s'/m2 ); a escala 1/4* Si el gas tiene una velocidad media de 26 rn/s : deter
minar la velocidad en el modelo,
SOLUCION
■ Pp ’ Dp
Aplicando Reynold : V = V x — x — -£■ x -— — = 10.167 m/s
M * » p,
PM M
09. PRQB»-. Unos estudiantes de la U,N,I, al estar viajando sobre aguas profun
das, después de varios dfas de estudio*concluyerón que la velocidad ( V ) de
una onda gravitacional en la superficie libre es una función de la longitud de
onda.( X }, de la aceleración déla gravedad ( g ), de la profundidad ( h ) y

Análisis dimensional j similaridad 29
de la densidad del agua ( p ), Determinar la dependencia funciona] de la velo
cidad ( V ) con respecto a las otras variables,
Respuesta : V = VgTh f(x/h)
10. PROB.- Las variables independientes en una turbomáquina son la velocidad
angular ( a> )» el diámetro del impulsor ( D )? la densidad y la viscosidad ab
soluta del fluido. Las variables dependientes son el gasto volumétrico ( Q ),
la carga eqival ente a energía por unidad de masa ( H ), y la potencia alimen
tada ( P ). Utilizando u, y D como parámetros repetitivos efectúese un análi
sis dimensional.
(a) Determine los parámetros adimensionales que caracterizan este
problema,
(b) ¿ Bajo que condiciones resultarán semejantes los flujos en dos
maquinas diferentes?
(c) Determine la velocidad de operación de la máquina 2 para el
mismo flujo que la máquina 1, si D / D ^ y si los efectos vis
cosos no son importantes. ¿ Cuál será la razón de cargas (al tu
ra piezométricas) bajo estas condiciones ?
Respuestas :
W2 = (ül/8 * H2 = Hi/16

30 Estudio del flujo viscoso
CAPITULO 2
ESTUDIO DEL FLUJO VISCOSO
INTRODUCCION
Dentro de la subdivisión de flujos viscosos, podemos considerar dos
clases, principales : flujos llamados incompresibles, en los cuales 'la Variaci
ón de la densidad es pequeña y relativamente poco importante; y loc- flujos co
nocidos como compresibles, en donde las variaciones de Ja densidad .1ucean un
papel muy importante, como en el caso de los gases a velocidades muv
En el presente capítulo se estudiará a los flujos vIscosos iricomprp
sibles, dejando para después el estudio detallado de los flu.jos compres ic ies t
que se verá en proxirnos capítulos.
Para empezar el estudio del flujo viscoso incompresible, só hará c )
ta de los conceptos y definiciones básicas de las matemáticas y de lo va estu
diado en el libro "MECANICA DE FLUIDOS".
El 1ibro Mecanica de Fluidos tt tiene como objetivo, al desarrol lar e 1
estudio del flujo viscoso, dar lo necesario para que el lector pueda resolver
'problemas referidos al presente capitulo. Si el lector desea mayor información;

Estudio del flujo viscoso 31
se ie recomienda leer textos que tratéln con mayor detalle el ESTUDIO DE LOS
FLUJOS i por ejemplo el libro ''ADVANCED MECHANÍCS OF FLUIDS" por D. W.Appel, P.
G. Hubbard, L. Landweber, E. M, Laursen, J . S. McNown, H. Rouse, T. T, Siao, A.
Toch, y C. S, Yih; como también otras obras, Pero desde yá, los estudiantes de
ingeniería deben recordar que bastará tener muy en claro la deducción y conclu-
ción de los análisis que se real izarán en éste capítulo, para poder apiicar las
fórmulas que se vana deducir,
VISCOSIDAD
- Es una medida de la resistencia del fluido al corte cuando esta en
movimiento.
- Es una propiedad dinámica de desequilibrio.
- Es la resistencia al desplazamiento relativo entre elementos flui
dos adyacentes.
- Es una propiedad de los fluidos que causa fricción, es decir, es la
propiedad de lo fluidos que ocasiona los esfuerzos cortantes en un flujo , asi
también, constituye uno de los medios para que se desarrollen las pérdidas e i-
rreversabilidades Si no existiese viscosidad, no se tendría resistencia al flij
jo.
- Se llama flujo newtoniano a áquel flujo cuyo esfuerzo cortante, al
que esta somet-^ nn©Ho valuar mediante la >iguíente relación:
/
/
/ /
7* *7 u - velocidad del fluido en
la dirección x.
j f r m r j n 'i i m r h r r TTTrr m
t = esfuerzo cortante
y = viscosidad absoluta

32 Estudio del flujo viscoso Estudio del flujo viscoso
- Para el caso general» la deformación de un fluido en el espacio
los esfuerzos cortantes deben ser evaluados en cada plano (xy, yz» xz), según
las ecuaciones de Stokes :
/ 3VX 3VY X
txy= + --------) = f.
W ’ 3y 3x ' ‘ YX
( 3Vy + 9Vz
tyz~ :— + ~ )= T
XZ
dz 3y
dz ax
ZY
zx
- También la ley de viscosidad de Stokes relaciona Tos esfuerzos
normales con el campo de velocidades *
• > o _ 3V
°xx= _P " — l) V,V + 2v¡ ~
3 3x
3V
íT V * ~P “ ~~P V *V +
77 3 3y
? „ 3V
0 = -p V,V + 2pi — -
ZZ 3 az
en donde p es la presjón termodinámica, Ademad :
= ^-(o + a + a ) = -p
3 x x yy z z r
* Esfuerzo promedio
F L U J O Se denomina de esa manera, en forma genérica* al movimiento de un flu
ido,sea cual fuera su origen.
CAMPO DE VELOCIDAD!®
El campo de velocidades V- V(x, y, z, t), define la distribución de
velocidades como función de las coordenadas del espacio XYZ para un instante t
cualquiera.
El campo de velocidades.puede ser
expresado;en coordenadas cilindricas
y en coordenadas-esféricas.'Ello de
penderá de la situación en que ros err
contremós.
LINEAS DK CORRIENTE
Se denomina de esta forma a la envolvente de los vectores velocidad
de las patfculas fluidas en el flujo»
REPRESENTACION DE UH VECTOR
V = V i + V j + V k = (V. V , V )
x y z x y 2
Ud* también puede representar a cualquier
vector en coordenadas cilindricas ó esféri-
cas :
ICxi'j,z) o
r~y ....
x = r eos 6- r =V x + y
y = r sen % # 3 arcotan(y/x)
z = z 1 = 7

34 Estudio del Alijo. viscoso Estudio del Atrio--«tecbgfr- M
■Coordenadas esféricas S
_ ■1,1"r1j'„-|
x * r sen# cos-fr r a y x + y + z
■ * x / x T T T '
y = r sen# sen# 0 * arcotang V «
0 ,»< x ,V >
z = r cosí? •0* = arcotang (y/x)
OPERADOR V-,. V
í
Es un operador vectorial definido por ¡
3V 3V 3V
v , y - - £ + - J L + — 2-
3x 3y 3z
(coordenadas rectangulares)
7 . t ¿ - + ji- + k2-
ax ay az
( Coordenadas rectangulares )
7 = 1r ¿ - + 1e
T 3r
+ í2 — ( Coord. ci 1fndricas
r 30 3z
EL GRADIENTE
Se llama así a la operación entre el operador V y una función (o car
po) escalar derivable E
7E = i — + j — + k —
3x 3y 3z
El significado de VE es :nrapidez de cambio espacial máximo de la
función escalar E en magnitud,dirección y sentido?
Nótese que E es un campo escalar p^ro que el gradiente de E, es de
cir VE, es un campo vectorial,
LA DIVERGENCIA
Se llama así al producto escalar entre 1 y una funqión (o campo) vec
tor'ial V.
ar r ae az
) • ( i v + + í v )
i % ( i 1 av av ^y y = JL Í J > r yr ) + ± — 2. + L (coordenadas cilindricas)
r ar r ae az
La divergencia de V, es decir V*V , representa el gasto volumétrico
neto de fluido que pasa por un volumen de control infinitesimal, en la unidad
de volumen. Para un flujo incompresible, V.V = G, es decir, el flujo neto del
fluido desde un volumen de control diferencial debe anularse.
E L ROTACIONAL
Es el producto vectorial entre el operador V y un campo vectorial V.
V x V = r o t V =
i j k
j t . L . JL
ax ay ax
v v vx y z
av av av av av av
= 1(__5--- 3L)+ j(__*--- í)+ k( _ X _ _ 5 )
ay az ■az ax ax. av
(coordenadas rectangulares)
En coordenadas cilindricas
av1 av av0n 7i • í 1 z 6
V X V “ 1 ( •**“““™"/ - 'a i v 2
r r ae az az ar r ar ae
También se demuestra que : V x V = 2uT , doVide w es el vector de rota
ción de una partícula fluida. Por lo tanto, el rotacional de un campo de veloci
dades se relaciona con la rotación de un campo de flujo. -

EL L A P L A C 1 A N O
Es el operador 1 elevado al cuadrado :
2 V - s2 32
V = V , V s -2— + . + — y (coordenadas rectangulares)
3x 3y 3z
72= — — (r ¿-) + i» + - ¿ W (coordenadas cilindricas)
r 3r 3r r2 96 3z
IDENTIDADES VECTORIALES IMPORTANTES
Io) Para toda función continua y derivable <f> ; V x V<j> 53 0
derivable, el brden en su derivación nc
ü U L c J L í L ^
3x 3z 3z 3x 3y 3z 3z 3y
2o) (V.V)V = - V(V.V-) 4 x ( ! x V)
. 2 •
DERIVADA SUSTANCIAL o TOTAL
La derivada sustancial ó total de una función F, se define :
K * 1L <!*. + ü£ Éí + U L ¿L + SL
Dt 3x dt 3y dt 3z dt 3t
Para señalar el hecho de que laderivada respectoal tiempod
al izarse siguiendo a la partícula, de que se trate, seútil iza la notación
D d
— en vez de — «
Dt dt
Ademas en toda función continua y
es importante*, es decir :
2 ?
3 <f> _ 3_é■.mwmnmimmm — ^ ^
3x 3y 3y 3x

ACELERACION DE UNA PARTICULA DE FLUIDO EN ON CAMPO DE VELOCIDADES
Conociendo el campo de velocidades V- V (x, y, z), se va a determi
nar la aceleración ( a ) de una partícula de fluido
El cambio de velocidad, de la partícula, al moverse de la posición
ra la posición (r + dr) está dado por :
dV * — dx + — dy + — dz i+Ü L dt
3x 3y dz dt
■- dV
Como la aceleración es : a - — , entonces
dt
a ¿i 'Él + i i É L + ñ. ÉL + II
3x" dt By dt 3z dt 3t

38 Estudio del flujo viscoso Estudio:del ■flujo yUtcjotio 11
FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE UNA PARTÍCULA DE FLUIDO EN UN CAMPO DE
VELOCIDADES
Las fuerzas que actúan sobre una partícula de fl uido se pueden cía.
sificar como fuerzas volumétricas y fuerzas superficiales. Las fuerzas volumé.
tricas, son aquellas que actúan sin contacto físico, y que se distribuyen so
bre el volumen de fluído. Las fuerzas superficiales, son aquel las que actúan
a través del contacto directo, sobre 1as fronteras del volumen de fluido; las
fuerzas superficiales incluyen a las fuerzas normales y a las tangenciales o
cortantes.
Teniendo en consideración el siguiente volumen de control diferenc
al de fluido, vamos a establecer las relaciones que nos ayuden a calcular las
fuerzas actuantes sobre una partícula de fluido :
£1 diferencial del vector fuerza está dado por ;
Sus componentes rectangulares son :
dF = dm
dV
dt
dF
dF
dm( V
dm( V
av•% + v
3V
■ x
+ v
avX +
av
_JL )
3x
y z
3Z 3t
av
_ L + V
3V
_JL + v
3V
—JL +
av
_ Z )
3x y 3y
z
3z 3t
avz
+ V
avz
+ v
avz
+
av
*—— )
ax y
sy
z
az at
dF * dm( V
z x
Cálculo de la fuerza superficial en la dirección x ;
)dy dz — (adF - (cr +
Sx xx
+ (x +
y x
+ (t +
zx
3aXX dx
3X 2
3t
y x d/
ay 2
3t
zx dz
3z 2
3a
xx ¿i )dy dz
3x 2
9t
y x
)dx dz
3y 2
)dx dy - (t
3t
3z 2
)dx dy
é 3a 3t 3t
• • dFS x = ( — ♦ + — ~ ) d x dy dz
3x ay az
Corno la fuerza volumétrica por unidad de masa es : B = B i 4- B i 4* B k
x y z
entonces la fuerza volumétrica en la dirección x es :
,dm = B .p.dV< x «

r
Estodio del flujo viscoso 41
Por lo tanto» la fuerza total en la dirección x será :
3a Bx Bt
dFx= dFsx + dFBx = C p.B_ + + — + ~ )dx dy dzx bx jxx X By Bz
Análogamente :
Bt 30 3t
d v = dF^ + dF^ = ( p.B, + — SL + -22. + _ 5 L )dx dy dz
3x ay
3t
3z
3 t 3 t 3 o
dK = dFc¡y + dPBz = ( P-Bz + + ~ ~ + — -)<** dy dz
z 3x 3y dz
o 3V „ 3V 3V , 3V 3V
+ i _ ( . p _ 1 „V.V + 2U - i ) + 2 - b í - 2 - + -J L )) + M H ( + - * ) ) = P -
F x 3X 3 3x 3y 3y 3x 3z 3z 3x
p 8
, _ 3V . , 3V 3V „ . , 3V 3V
+ i-(« p --í-p v .v + 2p— *-) + -5-(p(— 5-+ — + ~ ( ) i ( — M ) = p.a
y sy 3y 3x 3y 3x 3z 3y
pB+-L(-p-i-yV.V+2yÜ£) +JL(p(.Ü*+^)) +_L(ll( i +IÜ¿)) - p.a?
r z Bz 3 Bz Bx 3z 3x By 32 By
ECUACION DE LÁ.CANTIDAD B E MOVIMIENTO
Como dF * dm . — = p. d¥ . f luego de reemplazar en cada componente de'
dt dt I
dF y simplificar el diferencial de volumen d¥ ~ dx dy dz , nos queda : I
p.B +
x
30
y,
3X
3t
3t
3y
Bx
3z
3V
p ( - £ - + »
Bt
3V
Bx
BV 3V
+ V
y By z 3z
p.b .+ - j a + -jüL..
y 3x By Bz
30 Bt .
Bt Bt da 3V
p.B + — 21 + -J L £ + _ 5 * . . p (
2 Bx By Bz Bt
i
+ V
av
Bx
* v
BV
*>y
+ v
3V.
Bz
Ahora, recordemos que los esfuerzos normales y cortantes se pueden expresar el
términos del gradiente de velocidad y la viscosidad dei fluido (ver ecuacioneí
de Stokes de viscosidad)* Reemplazando ;
Las tres ecuaciones anteriores reciben el nombre de "ECUACIONES DE NAVIER-STO
KES. Bajo ciertas cons ideraciones, que se hacen para resolver un problema, és
tas ecuaciones se simplifican. Por ejemplo, cuando se aplican a flujos incom
presibles en donde la variación de la densidad es cero y la variación de la
viscosidad del fluido se puede despreciar, las ecuaciones quedan simplificadas
corno sigue :
— + V — ) = p . a x
BV 3Vw BV BV • I
~ p( — * V — — h V — ¿L + V — 3L) - p.a.
^ Bt x Bx y By z Bz X ' !.
p.a_
p(
p(
p(
BV BV 3V
_ * + V — 2L+ y
Bt
X
Bx y s y
BV BV BV
_2L + V - J L + V -JL +
Bt
X
Bx y
BV BV
»
BV
_ J L + V — *- + V — 5.+
3t
X
Bx y 3y
BV
__x
Bz
3V
■) = pB «* + )j{
b 2v b2v . 32V
Bx-
Bz
BV
__ z_
Bz
) . PB - Í E . + p(
ay
} = pB ~-2£. + ¡j(
z 3z
0
Bx"
2
3y 3z2
32V 32V
">
a v
y ■4-_ x .
Bx2
0
3y" Bz"
b 2v a2v 32V
z 4.___L.V z
Bx2 3y2 Bz?
= > j>á = - Vp + yV V ..........(Ec. S in te tiz a d a )
Si el flujo además de ser incompresible es un flujo si rozamiento ( p = O )
entonces las ecuaciones de NAVIER-STOKES se reducen a :
p — » pB - Vp
Dt ) ECUACION DE EULER

FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO
También los flujos viscosos se pueden clasificar en flujos lamina-
res y flujos turbulentos, 1
Flujo laminar Son aquellos en el cual el f1uido se mueve en laminas paral e-j
las, donde no existe un mezclado macroscópico de las capas de fluido adyacen- ;
tes. i
j
Flujo turbulento La estructura del flujo en un regimen turbulento, se carao*
terizan por los movimientos tridimensionales, aleatorios, de las partículas de|
fluido, supuesto al movimiento promedio. Es decir, se denomina flujo turbulen-;
to cuando las trayectorias de las partículas fluidas se cruzan y entre cruzan
i
continuamente, sin guardar ningún orden. f
DIFERENCIAS ENTRE UN FLUJO LAMINAR Y UN FLUJO TURBULENTO |
- Para un flujo laminar estacionario, la velocidad en un punto permanece cons-j
tante* A cambio en un flujo turbulento, el registro de velocidad indica una
fluctuación aleatoria de
la velocidad instantanea,
u, alrededor del valor m£
dio temporal u. De éste
modo, en un flujo turbu^-
lento : u = u + u'
Debido a que el flujo
es estacionario, la velo
cidad media, ü, no cambia
con el tiempo.
- En un flujo laminar unidimensional, el esfuerzo cortante se relaciona con el
gradiente de velocidad mediante la ley de viscosidad de Newton.
- Para un flujo turbulento, en el cual el campo de velocidades medias es unidi
mensional, no existe relaciones tan simples como las señaladas, u' ,v' ,w' son ve
locidades (en los tres ejes respectivamente), que transportan cantidad de movi
ill
------

miento transversal a las líneas de corriente de flujo medio» incrementando el
esfuerzo cortante efectivo. En consecuencia, no existe una relación universal
para anal izar el comportamiento de un flujo turbulento. El estudio de este ti
po de flujos se basa de modo substancial en teorías semiempíricas y en resulta
dos experimentales.
FLUJOS DESARROLLADOS
Para expli car a los flujos desarrollados se tomará en consideración
la figura que a continuación se muestra, en el cual se presenta a un flujo la
minar que ingresa y recorre un tubo de sección transversal circular :
L O N G I T U D DE ENTR AD A (L)
En esta parte del flujo el
perfil de velocidades recien
se estádesarrollando, es de
cir, dicho perfil vá cambiari
do de forma mientras avanza
el flujo.
— ---- — De aquí para ade
lante el perfil de velocida^
des se encuentra completa- /
/
mente desarrollado, es de/
cir, ya no vá a cambiar de
forma. Esta forma dependerá
del tipo de flujo» laminar
o turbulento. También, de a
.quí para adelante la acele-
total es cero.
- Para un flujo incompresible, la velocidad en el centro del tubo debe de in
crementarse con la distancia desde 1a entrada, con el objeto de satisfacer la

ecuación de continuidad ( A.« cte )„ Además, debe do satisfacer la sitú
ente relación :
el que se dá entre dos placas planas paralelas infinitas.
Consideraciones
- — l u.dA ~ constante /
A JArea '
V = velocidad constante
Para un flujo laminar
D
í0*06 Re
Cómo para flujo laminar dentro de un tubo : Re 4 2300
Las0.06 Re D é 0,06 x 2300 D = > L¿ 138 D
-JA
- Si el flujo es turbulento, el mezclado entre diferentes capas de fluido ori-f
gina que el crecimiento de la capa límite sea mucho más rápido, Los exp~r imerv
tos señalan que el perfil de velocidades medias resulta totalmente desarrolla*
do en una distancia a partir de la entrada que vá de 25 a 40 veces el diámetri
del tubo. Sin embargo, las características del movimiento turbulento pueden n|
desarrollarse sino hasta 80 ó más veces el diámetro del tubo.
(pEir.Ta dirección z las placas son
compTetmnente 1nfini tas. Se conside
ra;constante las propiedades;'del
fTuido en tal dirección z..
@ E - 1".flujo es 'éstacioiiarto/'é-r-incorn^
,:.presib1e { y 'no varía y - p c t e ).
© N o existe componente de la veloci
dad en las direcciones “y" o Hz:'.
@ L a velocidad sólo es función de "yM más no de Sfx % porque el flujo es comple
tamente desarrollado.
(5)Las fuerzas volumétricas se desprecian, es decir : B ~ 0
Por consideración 2 las ecuaciones de Navier-Stokes sintetizadas es i
APLICACION DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOK ES AL FLUJO LAMINAR
COMPLETAMENTE DESARROLLADOS |

En esta parte del curso trataremos de obtener información detallad
relativa al campo de' velocidades, en un flujo laminar completamente desarrolT
do. Su conocimiento nos ayudará a calcular los esfuerzos contantes, la caída
de presión y el gasto volumétrico.
A. Flujo laminar completamente desarrollado entre dos placas planas paralelas
A„l„ Ambas placas sin movimiento
Cuando el espacio entre las placas *s bastante pequeña (menor que
0.005 mm), el campo de velocidades resultante se puede suponer corno si fuera j
0 , flujo desarrollado
p.'IL ■- vp + uv2v ~
^ 0 , por (5)
Por (3) y (5), la ecuación se reduce a : - + (
oX
Vp + uV V = o
entonces
32V
ay
9x
J L
y
32V
3y
i
)v = o
O, p o r © * 0 , por ©
RELACION PARA HALLAR LA DISTRIBUCION
DE PRESIONES
8 0 V X )
3y ay
3(3VX)
3y
3y

BV K
Integrando consecutivamente : ~ — - y + C.. .....................( I
3y y
V = y2 + Cy -f C ...............(II
x 2y ii
Por condición de contorno ;
si y = 0— Vx = 0
si y =h .fr» V = 0
J X
Reemplazando en ( I ) : - 0
en ( II ) : 0 = — h2 + C. h r = i > C - - —
2y 1 1 2y
Por lo tanto : V = — J U U L v = — k [(^) -
X 2y 2y x 2y 1 h h .
ECUACION DE
[DISTRIBUCION
DE VELOCIDADES
Cálculo de la distribución de esfuerzos cortantes
dy 1 ECUACION DE
t = y ---- = y( - J Ü L ) ------S T = h K( - — ) VDISTRIBUCION DE
dy 2u 2w h 2 JESFUERZOS CORTANTES
Cálculo del caudal_J Q )
Q « | Vx . b. dy = b í — ( y2- h y ) dy Q = - h3
2(1 12 v¡
Cálculo de la velocidad media ( V
ECUACION
DEL CAUDAL

¿ Donde ocurre la velocidad máxima ?
dVx K
para responder derivamos :— ^ = Q = > — *-( 2y « h ) = 0 y = h/2;esto
dy 2 p
quiere decir que, la velocidad máxima se dá en la 1inea central del flujo,
pjjgjlo de la velocidad máxima ( Vmáx )
= - i < _ ( ü i _ ü i ) v s
IT'ax 2 y 4 2 ^ máx 8y
3
Ahora, Ud. puede comprobar que : f^x = —
Cálculo de la caída de presión :
v' h2 12 V p . 12 V i
V = - JLÍL K --------- g---- dp --------- E---dx
m 12 y h2 dx h2
12 Vm n
integrando : Ap = -
h2
-►Todo lo calculado lo podemos expresar en función de la linea central; trans
formando coordenadas :
' U
Th
Pasamos xy a x y 1 :
w h
y - y + —

A. 2 Placa superior moviéndose con velocidad VQ y placa inferior estacionarla
Bajo las mismas condiciones, las ecuaciones que describen éste ca:
son las ecuaciones (I) y (II) del caso A.1 ; es decir :
y *
mzzzzzzzzzznt^^
i
3V
x _ K
ay y
•d!
> x x 2 y
K y2 + Cx y + C2 ■di:
T -H
Condiciones de contorno : si y = 0 V = 0
si y = h ---- > Vx = Ve
Reemplazando y resolviendo (I) y (II)
V = J jl- y + i L k Tí ^ ) -
2y L h. h
ECUACION DE
■DISTRIBUCION
VELOCIDADES
Ahora, siguiendo un procedimiento analogo al caso ^ 'iterior A .1 , se vá a encc
trar los parámetros determinados en dicho caso :
x = p-^_+ h K ( X _ ¿ ) DISTRIBUCION DE ESFUERZOS CORTANTES
h h 2
Q =
V0 h b
b K h3 ECUACION DEL CAUDAL
12 y
V = - L = JL. - __L _ K h2 VELOCIDAD MEDIA
A 2 12 p

Estudio del flujo viscoso ü
ia velocidad máxima ocurre en : y = J l -
1 2 (1/jj)K
Ap = ü u ( Vo j L J.CAIDA DE presión
A.3 Ambas placas moviéndose con velocidad VQ en sentidos opuestos
^ — £ -----------
T si y = 0
Condiciones de contorno
si y = h
V = -V»
X
Vx = +V„
A.4 Ambas placas moviéndose con velocidad V0 en sentidos iguales
si y = 0
si y = h ■
H**V.
Vx = +v„
V = +Vo
X
B, FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE DESARROLLADO EN DOCTOS DE SECCION CIRCULAR
Condiciones :
(T) El flujo es estacionario e incompre
sible ( y no varia y p = cte )
( D No existe componentes de la veloci
dad en las direcciones r y 0.

50 Estudio dbel flujo viscoso Estudio del flujo viscoso
i av
© La velocidad sólo es función de r más no de z, porque el flujo es compl| Haciendo un cambio de variable ♦ ^ p + r ^ ~ y
tamente desarrollado.
(4) Las fuerzas volumétricas se desprecian.
| Efectuando ;
Por consideración (T) las ecuaciones de Navier-Stokes sintetizada* e~ :
0, flujo desarrollado
Vp + pV2V ~-Vp + yV2?= 0
"0 , por ©
r dm + m dr J<
r dr u
K 2
Integrando : r , m ~ r + C^ ................................. ( I I I )
! 2y
d(r , m) = — r.dr
8 z K 2 -
Luego : r ----------- — r + C
3r 2]i
K_
2v
dV^ = — r dr + ™ dr
51
! K 2
Cómo el f1ujo tiene simetria, expresemos la última ecuación en coordenadas cii integrando : V = — r + C. ln(r) + C9
z 4u
1índricas : M
-U> +
3z pí“ 7 (L r ar
av
2 ?
azv a vz , 1 " z , z
r --- )+ ~ 2--- T " + — 7 “
ar r2 39 , azz
^ 0 . por
3Z “[7
-UU J i-l_(rüi)J . o
3r 8r
an , a v ■* av x
y( — | + 1 _ I = k
3z ar r 8r
RELACION
PARA HALLAR
LA VARIACION
DE PRESION
Cálculo de la distribución de velocidades puntaales
De la última ecuación escrita : J _ A ) + i -
y Br r 3r 3r ar r 3r
Por condiciones de contorno :
-S i r = O : V = O + C, ln(0) + C
IV
2
si C J O = ± > V = O + C, x 00 + C = 00 ABSURDO
1 z 1 z
si C.= O = = > V = O + O x 00 + C,= C, ACEPTABLE
1 T z ¿ L
• V O
-Si r = Ro V » O = Velocidad de las partículas fluidas adyacentes a
la pared del tubo
reemplazando en ( IV ) :
o = JL r2 + o + c, = > C = - -i- R*
4y 1 1 4y
.Finalmente :

[ - ‘í ’2 ]
ECUACION DE
1
v J L ( r2 — Ro ) ¡ 1 - ( — V ¡ } DISTRIBUCION
z 4 u 4y
DE VELOCIDADES
¿ Donde ocurre lavelocidad máxima ? ¡
Pararesponder derivamos i 1
dV I
— — =0 zzz^> r = 0 ; esto quiere decir que, la vele!
dr ' 1
cidad máxima sedá en la línea?
central del flujo.
Cálculo de la velocidad máxima ( V ^ x )
Si r = 0 = > V , = — -ü-!¿
mSx 4 p
k R0 r i / ^ ^2i , ,]..2p r dr
4y
Q = - ~ Ro
8 v
Cálculo de la velocidad media ( Vm )
vm - X - J L _ = * vm = -m « z m q
A ttRo o y
Ahora, Ud. puede comprobar que :

CSleulo de la distribución de esfuerzos cortantes
S .
dp
Cálculo de la caída de presión ( Ap )
V = — -Ü-BÍ = > K = - % V = = = » dp = - V dz
m 8w Ro 3z Ro
OBSERVACIONES :
- Debido a que el perfil de velocidades no cambia a través del tiempo , ni con
respecto a las coordenadas, se deduce que en un flujo completamente desarrollé!
do la aceleración total es cero.
- En un flujo completamente desarrollado, el gradiente de presión K = 8p/3x
es constante. Por lo tanto :
^ * ÍP? ~ Pi)/L
3x ' z 1
- Sélo en el caso en que un flujo se encuentre dentro de un tubo :
Si Re < 2300 el flujo es laminar
Si Re > 2300 el flujo es turbulento
Al valor de Re = 2300 , se le conoce con el nombre de número de Reynold cri
tico.

GRUPO DE PROBLEMAS N° 2
1. PROB.- A través de las dos placas planas paralelas fluye en régimen
unelaminar á^ua a 40°C ( f>= 992.2 k<j/m3 , 0.656 JO ' toj/m.s),con
caída de presión de 34.5 kPa/r». Para los siguientes casos determinar el
caudal, y el número de Reymold.
a) Vv =0 (velocidad de placa 1)
VjisO (Velocidad de placa 2)
tí V| = + 3 m/s ,
c) Vj = + 3 m/s ,
V2 = 0
Vji = 4 tr/s
SOLUCION
Datos: Ap- ^ 34.5 kPa =-34.S«1Q3 fl/W
m
a) Caso A.1 Ambas placas sin movimiento
A b = _ 12 Vm R , _ _ 12 ÍQ /b-h) H ,
H h2 L ~ ~ Í F ~
=rrr-> Q_ _ (- 34.5*10* N/m3) (0.08 ffl) (0-00
12 (0.656x103 *9 )
m.s
Q - (Ap/0 bhB
12 M
^ Q=0.000iSm3A
fc= t
V D
a
__= 4.3?5 m /s
b h
Re_ 992.2 y m 3 k 4.31-5 vYs , 0.0020m
0 . 6 5 6 , JÓ3 kg/m.5
D - 4 bh = 0.0020-m
2 (b fh )
=> R e=13234

b) Caso A.2 Placa superior moviéndose con velocidad V« y plata Inferior quieta
=>0,(0.08X0.001) f _1 _ (-34.5 x1o3) . O.OQ12 ^ Q=0.0004 7 rr^s
2 12<0.65&x -lO >
V = = 5 . 8 7 5 tn. R p - W . 2 » 5.S75«0.002.q 17772
fcb 5 O.feSé x iO'3
c) Caso A. 3 Ambas placas moviéndose en sentidos opuestos
condiciones de contorno: si y=o = > Vx=-4 Vs
si y = h = > Yx=+Bm/s
Empleando la ecuación (II) del caso A.1 : V*=JL_ n/2 4. G| y + C¿
= * , -H = 0 + 0 + C¿ = > Cj = - 4
= * 3= j i _ h2 + q h - 4 = * c1 =7 . i h
2JI F 2 ^
cañedo del caudal Q. :
,h

=> Q _ ('O.OQ1)(O.Q8)„ 34.5 xlO3) (O.OOIÜO.08) --- > Q - 0.00039 irrfié
2 12*0.é56xldy
Cálculo del Re :
V= J L = 4.835 m/s Re= 992.2» 4.635 >0.0020 _ H Wfe
bh (USUlfl*-
2. PROB.- Un fluido viscoso circula con régimen laminar por una rendija ío
rnada por dos paredes plana? separadas una distancia "2 a ". Ver figura.
a) Determinar la ecuación de distribución
de velocidad y esfuerzo cortante.
b) Para a=4rnm , b= 60nim, L=50cm,
kPa , |[=0.018 kg/m.s
Calcular el Caudal
c) Determinar el porcentaje de error
en el calculo del caudal cuando se
utiliza el concepta de dta'metro
kdtd'ulico.
SOLUCION
a

5e trata del Caso A.1 Ambas placas sin m ovim iento
^ - T - h K f - f - H
b) Datos: b =0.0ém L -0 .5 tti h-2a=0.008m Ap^-WOO^jM/rn2
>L=0.018 Vg/m.s
3
At> =- ^ Vm M i = _ J2 (fl/b-h) H. i — >. Q=._ aP ' ^
h5 h2 3 2 L
(_ 1900k# JbJ ) (0.0foim) (0.008™? „ , ,
Q r_ __________ Ü E : __________________a = 0.54 m V s
12 ( 0.018 J«L) (0.5 un)
Tn.S
C) Si utilizam os el diámetro hidráulico , debemos emplear las relacio
nes encontradas para el Caso B Flujo laminar completamente desa-
rro.lado m duelos dt «cció, circular: ^ ^ ^ ^ ^ L
' R? ;í
Dh = 4 b K , 4,O.Ofc»O.OQ8 _ 0.0141tn==> RH= _dJl =0.00353 w
2(b + b) 2(0.04+0.008) 4
Rn : radio hidráulico
reemplazando:
-1900 y. Ol - 8.0.018 /m (0.5) = = > V^n = 328.83 W s
0.003532 2
Q= JLD h Vm =0.051 nv’/s
4
E rro r = I 0-051-0.541 . m =
0.54

3. PROB.- ¿ A que distancia t* del centro de un tubo de radio
se tiene una velocidad igual a U velocidad promedio,
para un flu jc laminar ?
SOLUCION
V* = V,m
K ( r 2. R.z ) - XR„2
4 n 8 H
> r2- R02 , _ ¿ = > r = y | ? R.
r= 0.70? R.
-Rpta.
4. PROB«- Determínese el esfuerzo cortante máximo em la pared para un
flujo laminar a través de un tubo de diim elro D, si las propiedades dei
fluido son )jl y p
SOLUCION
Sabemos c^ue : Tu _L„ ¡<
= _ M Vm
L R2
— s. I - 4 H. Vm r
~ r T "
El esfucv zo máximo se produce cuando r _R<. = W z

5. PROB-- Determínese e! esfuerzo cortante en la pared de un tub^ de
H/ií, pug de diámetro cuando a través de el escurre agua a 80°F
( l.f'W * 10’ 5 ibfx seg/píe2) ton velocidad de 1 ple/se§.
SOLUCION
-5
o „ w 8 * l . W . l ü lbf»sea.x ipil?
x --TWx = - A ü J k =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _é&L__
D -J ___ pie
ié>xi2
= > T - O.027& Ibí/pie*
PROB.-Determínese la caída de presión por cada metro para el escurrurúeri
to de un líquido, )j.-í>0 CP, gravedad específica =0.83, a través de un tu
bo de 3 imn de diámetro 'onterto* st Re =100,
SOLUCION
Ap = - iL £ _ Vyr, L - — > &P _ _ 8 H f Vm D _U_ ( verifique e l
L ~ Rf A jP-2R. ar t ifiá o
= = > AP 4 £ D
— ---- T T
L p Rf
Datos: u r 60 CP = 60 * ]Q~3 h _ p - 830 Ko/m3 R.= 0.0015-m Re---100
’ tn. seg
L (830 K3/ms) , (0.0015m)3

f- PROB.- A través de un tubo de 3/8 de pukj de diámetro escurre gHcJ
riña a 80°F ( 10'2 Ib x seg/pie2) con una caída de presión de 5 psl/piej
Determinar . el caudal.
SOLUCION
A P - . Ü L V m =
D ato s : < T = 5 5 Ib f/p ie 5 H =ÜJ Poise = 0.1 (2.09 x 10 Ibf* se3)
D - 1/4 pu z 1/48 pie
L = 16 pie
Af> = - 20pie x 55 Ibf = _ 1100 Ibf/W '
pie4-
píe3
5 I k f M 2 __ 8 - ,¿ i
¡ Sabemos qae: A f - . I B Vm L
! = = » - . . o o M 8 [ n < * » . « » « f e ? » ] ^ K p¡e
pi,i ü i - r
= * = 4.4SI6 pies/se^
Luecjo : Q z JL D2 Vn, = 0.00152 pteVseg
9. P R Q B .- E n la figura: H=10m, L = 2 0 m ,4 = 3 0 °,D =8Trnn,í=10K ^Ti?
¡ y Ji= 0.08 kg/m.s. Determínese la perdida por unidad de longitud de! tubo
y el caudal en litros por minuto.
pie
-.V,
pie
Vjf) - 1.953 pie/seg
3x12
Q= 11. o2 Vm = 0.0015 pieVseq
4
8 . PROBCalcúlese el caudal en e! sistema mosteado en la figura, despre
ciando todas las perdidas, excepto las de fricción del tubo.
:l-Z-£7 fe 55 ibf/pie3 ~ Z ~ .
[-
fe pie :
[ 2C
^ V 4 p u ^
[ de diain
) pie
f e - u*C. 1 Poise Z£H r
SOLUCION

62
SOLUCION
A f J r - í H =-10 J<N , iOm = -lOOkN/m2
rrF
100 -kM. _ ^ / ] Perdida por unidad
DE LONGITUD
^ / l = a ? = - 5 M m 2 - -5 kPa/m
20 irn ™
Calculo del cauda! :
A M - . 8 H .V m L = * . - 100. 103JI = . Vra . 20m
R. ™ (i.0,CH)8m)
= > Vm = 0.125 m/s
Q Vm = 6.283 * 1 0 fc - 0.37? ih s /W n
4 s
10. PROB.~ Determínese H en el problema anterior si. la velocidad es 3>tn/s.
SOLUCION
Datos: L=20th Q = 30° D= Brotn =0-008mVxn^ 3 m/s
&= 10 kU¡v? j-t =. 0.08 ^ / ^ . s
- A H - &p= - yTn,i_ = > - i 0*103 H = _ 8^0.08 r 3 „ 20
(£,o.oos)2
H ^ 2 4 0 m

Estindio del flujo viscoso 63
11.prob.- Dos fluidos iwnisibles 1 y 2, cuyas viscosidades son y
i fluyen en re'gimen laminar entre dos placas paralelas horizonta
¡es situados a una distancia 2a. Sí el ancho de las placas es b y
el grosor de ambas capas de líquido es a, dem ostrar que el caudal
del fluido A es ;
Q ^ Ü l -
« w , 1-
L; longitud de las placas
7 M a + H b
( - A p )
Por ecuación (II) del presente capítulo :
-p a ra A . = + ^ ^ + c¿ ....................... {o<) .
•Ha
- f ” B ; V B S J L - ^ C 3 y + C +
¿H
:(P)
Condiciones de co n to rn o :
1o) y = 0 = > V A= 0
2o) y-.a = * VA r_VB , T A- T fc

3o) y-2ar^> Vg-0
CoTidLcLon 1° en ( I) : 0 = 0 4-0 -v- = > C2.=0
Condición 3o en (j3): OzJS— ( 2a)2 4. C3 ( 2a) 4.C4.
2^ b
C4 =-2aC3 - 2k a2
* h
Por condicion 2° : ^ - V B para y=a
d2 + Cj a = a2 + c5 a + Ci¡j ........
2 H a 2 K b
adem ás, Ta = T b para y -a ==$ TA - | i ft dVA - eH
dj dy
M a
fea
K a
t-C, » H » *? t t 3 = í C3 = 4 - c'
i1» .Hb
De (J) en (0 ): _ka + C, - - C 3 - 3 Kb ...
2 H a 2 H b
De (to) en C¿) ' / 3Ma
2 H a I K a + H b /
Cálculo de QA ; QA - J VA- b. dy = J (JL_ y¿ 4- Ct y j b . dy
Qa j J
•U)
•(0 )
■U)
M
A í V i * 2]--
U k a J
Como : k ^ fe - fí _ Al3
L ~ L
t) Xa3 j<a. 1^AHa + H b ^ 2— b A 7Ha + He
3Ka 2>*a '^ -H-a + H b/ 12^ a _ H a + H b,
jL q a3b r 7Ha+Hb
■r A ^ a + h b
(-A ¡d)

i l Xrob- Establezca Ud. una relación para evaluar la distribución de velod
dades en un flujo laminar
entre dos cilindros concép
tríeos. Ver figura.
SOLUCION
U tilizad o la ecuación (E ) del presente capítulo •
V z ;= ~ r z + Q Ltí r -K ,
4 H ¿
Por coTidiciones de coTitortio:
- Si r =3 —►Vz = 0 .. ■> 0 - _Ü_ aZf C, h a +C2 ..
4h
-Sí r = b — +VZ=0 = $ 0=JL_¡,2j.C Lnb+C¿ ...
4ji
(BT)
.(1)
.12)
De 11)- (2) : C< = Ü . (a2-b ¿)
4>i LiKb/a)
(3) Ltí b -Lna=LnCb/a)
=-Ln(a/b)
De (3) e n d ): C, = -J L a 2 - * (a2-b2 3 h a ......................... (4)
LnCb/aJ
De (B) V (4) en ( E l ) : V. = J<_ [V - a ( a 2 - 1 > 1 ) L n (r/a )'
^ i í [ Lníb/a)
COTTtO K - jj-f? - AIa : DISTRIBUCION DE VELOCIDADES
L L V - - ^ a2_ r2+ Ca2- b¿) L-nCá/rt
LnCb/a)

13. PROS»- Para el caso abalizado en el problema a n te rio r^ d e te rm in e u^l
relación para evaluar el flujo volumétrico.
SOLUCION
Q= f v ? d A = V-,. 2 T fr d r - - IÍ..A l
I 2 ) 8fi L
a - b4_(a2-b2)2
Ü W b l
14. prob.- Eti una tu b e ría horizontal ^.ue posee dos tubos coaxiales fluje
un fluido viscoso, Incom presible y en ream en lam inar por el in te rio r
del a n illo . D em ostrar <|ui? e! p e rfil de velocidades es:
Vz = Ü R¡
4 j i l
Estudio del flujo viscoso
67
15. PR0£ :' ^'n Ia f ’ 3lira i u.T>a placa se mueve con respecto a la o tra , como
se indica. }i= 0.80 Poise ; j>= 1.7 slu^s/pie5. D eterm ínese la d is trib u -
cio'n de V elocidades, el caudal ¡ el esfuerzo cortsnte ejercido sobre
|a placa s u p e rio r. ( ancho - ' 2 pul^)
Donde:
l - Longitud de la tubería
R= Radio del tu b o e x te rio r
tR = Radio del tubo in te rn o
íj , P2 = Presión en los extrem os del tubo
|4. = Viscosidad
Vz -Velocidad en la dirección axial
f>= 1 2 p 5 Í
SOLUCION
Resuelva Ua. este problema siguiendo
el procedim iento de solución del p ro
blema 2 .
SOLUCION
El problema pertenece al caso A.2 de placas p lanas:
h - b ,fQh - 20 Ibf . ^ 4 pula2- + 1.7 s lu a , 32.2 fte 10pie =3427 M
■A p>ul<^ 1 pie pie5 sec¡ |>i£
| - p 4. 'j>gh = 12 x 144 + 0 = 1728 Ibf/pte2
1 7 28-3417. i?n.m lbf/bie5
l joJ2 - /r
- - - • .

R e e m p l a z a d o : y _ 3 ^ C~ m m ) [(o j)~ ia b )
* ~ ~ 0.02 2*Q.aPoi5e 1 lbf.s/pie^
47S Poise
Vx = 5(>9 V/ _ y 1 j OISTRSB. VELOCID.
Ca'lculo del caudal:
0.02 .0.02 ;
G U ^ Vx .b d | = b [2 8 5 .5 y 2~ 11ít88y3]j = 1. [0.018296] = 0.018296
C alculo del esfuerzo co rta n te en j = ao2 :
T r u M , .- U [ 5 W - * 1 9 3 2 ^ 1 = M i [ 5 ^ * - 0.02] = u 1.952
3 S ^ 479
M
I fe. prob.- Eti la f ija r a se m aestra un sistema c ilin d ro - p is tó n ,a m
bos están sin m ovim iento. El sistem a hidráulico opera a una presión
m anórnétrica de 20 MPa y 558C. El fluido hidráulico es aceite (j> ::920
k g /m 3 j u 0.016 kcj/m .s). D e te r
mínese el caudal û e se fuâ por
la knlrt»»**’**» í“ - ’'
T ' J r ^
la holgara, si ia presión manóme'
tric a en el e xtre m o de más ba
ja presión del em bolo es 1MPa.
SOLUCION
71L=0.0IS1H¡
i
|¡> _20MPa
0= 0.02 5 m
PB=1 MPa
•h=5xlÓ j|
Debido a que la holguTa es bastante pequeña,el flu jo se puede ana-
69
Zar como si se tra ta ra de uti flu jo e n tre dós placas paralelas (casoA.1)
ktisideídc iones: , ■ .
I - flu jo perm anente e uKomprestbte
- f l u jo lam inar com pletam ente d e s a r r o lla d o ^ - 3,000)
Ba)o tales co-ndkio*-. Q r K b f e , | ; ) b ,i
12.A 12J4.L
Cowo ancho = b r WD *
Q - D h3 _ ( 1 - 2 0 ) ^ ^ ,Q .0 2 5 m x ( 5 x10b)m
jt'L 12*0.018 K<j/m .S*0.ol5-m
Q =57.5íí2 x .l0 ^ m ^
Y e tif>peim os s i el flu jo es lanu-nar:
V-m = - ^ _ rO .W G fcm /s
■ TÍDH
R g - f-Vm -h - 0.03*7 4UU -¿12300 ^ El flu jo es la m in a r
R p ta : Q = 57.572 x l o V
17. prob.- La chumacera de un cigüeñal de automóvil se lubrica me
diante aceite a 215“F. ( =2x10'^ Ibfs/pie2). La chumacera tie
ne 3pukj de diámetro, con una hoûra de 0.00125pulg ■y cîra a
3G00 rptn. Tiene un ancho de 12.5pul<^.Mo encontrándose ia chu
macera bajo carcha se puede coTtsiderar ^.ue la holgura es stm étri-
ca. Oetermvnar e torûe necesario para hacer girar el eje y la
potencia disipada. ( f- 1. slug/pte3)

70
S O L U C I O N
Como la holgura es bien p e d e ría , el problema seta an alizad o co^,
s i se t r a t a r a deun flu jo e n tre dos placas paralelas (caso k.Z)
h=.0.0125" ■aU“iíi'-Consideraciones:
© flujo la m in a r, p e rm a n en te e in co m p res ib le . |
© flu jo completamente desa rrollado
d ) ancho in fin ito (n ó te s e ûe l /^ - joocf) '^ w rrr^ ^ l=i d
(7s i/ ”v^ '
® ^ = - ° > p o ^ u e el flujo es sim e'trico en ia chum acera al
P ftf'AYtl'V»«kY**A y* J -»
encontrarse cardada.
2 x i0'4 IbfxSeg 3É.00 H £ a cL 3 p u lo « l,
p u ¿ r x 30 seg r o z
no
Cálculo del torcjup:
ñT^J-r— r- = 90.*l78M
0 . 0 0 1 2 5 ^ j3i¿<
T = K £ z (T , TT D L )„|L = £ T D2L ^ 90.478* (A )2X 1.25^11.1 Ibfxpu]
2 Z “ 2
Cálculo de la Potencia disipada ;
P = T . a = (11.1 W . p u l g ) ( 3400.3L rad/seo„ AjiS. , hp , se3
P = 0.634 hp J ,2pul8 “ o T íTpies. Ib f
Verificación:
R ^ f J U u í^_, ,.™ j g . 340030 5 M « Jpul8»a o °125f>ulg
i ^ - n r - c . M j e £ . H3>& a— ^ t j r ---------- - K ^ -1 _____ . ^ IDT.
2 *10 Ibf,seg ^ 4 pulcF 5lu^. pie
18. pROB.-En la f igura se m a e stra una banda transportadora , cê sirve pa
ja recocer petroleo por ejemplo de la su p e rficie del m a r . Realizando las consi-
Ji
PERFIL DE
VELOCIDADES
deraciones -necesarias,determine
U A la rapidez con tûe se puede
transportar el petróleo por u-
nidad de ancKo de la banda, en
función de a velocidad U de
‘U S U ba^ da i de 1 de * * de
SOBRE Jf del petróleo .
fc&UA '
So lu c ió n
Consideraciones:
© La película de p e tró le o es lo su ficie n te m e n te gruesa como para tener
Un s u m in is tro 'ilim ita d o , re s p e c to de la operación del a p a ra to
@ La banda es lo su ficie n te m e n te lartja , de ta l modo ûe el flu jo
se desarrolla com pletam ente.
© El flujo es permanente e incompresible Cy i=cte . , j>=.cte.)
@ V=Vx = f( y ) j es decir V y= V 2 =0
© F lu jo lam inar
Bajo tales co n sid e ra cio n e s, el problema puede ser analizado como un
flujo completamente desarrollado e n tre dos placas p la n a s:
V - f . v S q v + Cz ...
2£
( n )

Estudio do! flujo interno
Por condiciones de contorno:
a) Si )¡--0 Vx =0 , en (H) : C2 =U
b) Si v jr a — ► T = o = > T = _ ^ M l L o = » C
d ^l l * a
• V V x = ^ r ^ ^ V + U - - U ^ ( a y _ i 2 )
- Ü a _
H
DISTRIBUCION
DE VEL0C10ADE:
Cálculo del raudal
f - j W U y . ^ l V 3) — s ÍL - Ua - Ü i-
/ b K 3
Com o: K = fe - LSettft) ^ ^ Sexi-o-
L ~ L " '
^ Q_ _ Ua_ y Sene a
W b " H ?PTí
19. PROB.- y-pa chumacera sellada esta formada por dos cilindros concéntri
cos. Los tadios de estos últim os son, respectivamente 25 ¡ 26 Tirm j la
chumacera tie n e una longitud de lOOmvm ¡ gira con velocidad de
2800 T p m . E l espacio entre los dos cilindros esta* lleno de aceite ct
m ovim iento laminar. t ! p e rfil de velocidades es lineal en dicha sepaw
cion. El m omento de to rs ld n para ^ue ^ ire la chumacera es 0.2 MxHi
Calcule la viscosidad del aceite , d Crece o dism inuye, el momento torso;
respecto al tie m p o ? ¿jjor ^ u e 7.
j> ^ = W K j / m 3 Rpta: (Í.0M5 .N-s/rt
CAPITULO 3
ESTUDIO DEL FLUJO INTERNO
INTRODUCCION
Se denomina flujos internos a aquellos que quedan completamente li
mitados por superficies sólidas (por ejemplo, flujos a través de tuberías» de
conductos, etc).
En el presente capítulo, pondremos atención a los flujos a través
de tuberías; pues ello nos ayudará, más luego, al diseño de redes de tuberías
con sus respectivos accesorios; muy frecuente en el campo de trabajo de los in
genieros .
Antes de empezar, el lector debe recordar que tubo es una pieza ci
lindrica hueca, mientras que tubería es un conjunto de tubos dispuestos de al
guna forma.
Iniciaremos mencionando que, cuando un flujo incompresible o compre
sible viaja a través de una tubería, se producen caídas ó pérdidas de presión.
Bichas pérdidas se pueden subdividir en primarias y secundarias.

74 Estudio del flujo interno
A continuación se muestra el paso de un flujo permanente (incompresi
ble) por una tubería :
y P rín a ria s
PERDIDAS PRIM ARIAS
Son aquellas queestán relacionadas con las pérdidas de energía,que
se generan por la fricción entre partículasdel mismo fluido al desplazarse
dentro de la tubería y la fricción del fluido con las paredes de dicha tubería
La magnitud de las pérdidas primarias se evalúa haciendo uso de la
ecuación de DARCY-WEISBACH :
L V2
h = f ----- ( en unidades de altura de fluido )
p D 2g
L V2Ap = f J:-- 2— ( en unidades de presión )
Donde : f = factor de fricción
D = diámetro hidráulico
n
V = velocidad media en el tramo de tubería considerado

EstiMio del flujo mtertio 75
L s longitud de toda la tubería, donde se genera la pérdida
p - densidad del fluido
Evaluación del factor de fricción (f)
1 , Para flujo laminar completamente desarrollado en conductos (tuberías lisas
o rugosas :
f ,-S L .
Re
2. Cuando Re > 4000 ;
— - - 2 10g(-S& + -£¿£i-) .... ECUACION DE C0LEBR00K
JT 3.7 Re J?
Esta ecuación graficada, es la que recibe el nombre de DIAGRAMA DE MOODY. Al
examinar la ecuación deColebrook se deduce que si el valor de las asperezas
de superfic i e n e s pequeño comparado con el diámetrodel tubo (e/D -*• 0), entoii
ces el factor de fricción es una función solamente del numero de Reynold. Una
tubería lisa es aquella en la cual la relación (e/D)/3.7 es pequeña comparada
con 2.51/(Re/f), Por otra parte, si el número de Reynold aumenta hasta que
2.51/(Re%/P) -*-0 , entonces el factor de fricción llega a ser una función sola
mente de la aspereza relativa de la tubería, y se llama tubería rugosa. Por lo
tanto, la misma tubería puede ser lisa para unas condiciones de flujo y áspera
para otras.
NOTA : El factor de fricción (f) depende de la rugosidad relativa (e) y de.nú
mero de Reynold, si es que el flujo se encuentra en regimen de transición de
laminar a turbulento.
e = ; £ - rugosidad absoluta

I
3. Parra flujos turbulentos a través de tubos lisos se emplea la ecuación de
Blasius :
1/4Re
4. Para un regtmen conocido como flujo completamente rugoso, se emplea la ec
ción de Von Karman :
1
4(0.57 - log(£/D}]:
Estudio del flujo interno 79
NOTA : aparte de*las relaciones mencionadas, para evaluar el factor de fricc-
ón (f), existen otras más.
OBSERVACIONES :
a) En conductos cerrados el flujo se clasifica de la siguiente forma :
0 < Re < 1 ; en este caso el flujo es lento y altamente viscoso
2 5
1 < Re < 10 ; en este caso el flujo es laminar y su estudio depende bás?
camente del número de Reynold. [
b) Un flujo homógeneo en una tubería ó un ducto,se considera laminar si el
número de Reynold es menor que 2300,
c) Un flujo se encuentra en transición (transito de laminar a turbulento ) cu
ando 2300 < Re < 4000 .
cj) un flujo es turbulento si Re > 4000 ,
PÉRDIDAS SECUNDARIAS
y»
L1amadas también pérdidas menores,son aquel las caídas o pérdidas de
de presión que se producen cuando el flujo atravieza una válvula, codos, cam
bio de sección en la tubería (contracción o expansión), etc.
Las pérdidas secundarias se evalúan mediante la siguiente relación:
hs = ; donde, K : constante de pérdida del accesorio
V : velocidad del fluido
Evaluación de la constante de pérdida ( K )
- Para entradas de tuberías :
¡i:. 2 3 |
10 < Re < 10 ; en este caso también es lamfnar y su estudio depende de i Tipo de entrada detalle K
1 capa límite. 1
f I v^v
f 3 4 ' I
1 10 < Re < 10 1 ; en este caso el flujo se encuentra en un' estado de transí*; Tubería proyectan ¡frém zz 1
i ción, de laminar a turbulento. * do hacia adentro
¡
¡ 104 < Re < 106 ; en este caso el flujo es turbulento y depende muy poco dé
Bordes afilados 1 0.5
i número de Reynold. yrrrnTTTT
i : 6 ' ' 7' ' 1
10 < Re < «o ; en este caso el flujo es turbulento totalmente desarrol lacj
Entrada redondeada fy¿tti¿UÜU 0.04m6 0.05
y su estudio depende de la rugosidad relativa. [
Mr: i
'$7777777777
L

Para descarga de tuberías
JL
Tipo de salida detalle K
'A
Tubería proyectando
hacia afuera
¿ m M L ülu k.....
7nr/rm rrrn7J^''...
1
Borde afilado ó iluijjjilloÁ
1
cuadrado rrTrrnnm rm /^
Borde redondeado 1
’7?7?77777777m^
~ Para expansiones y contracciones
Contracción Experwíón
y/////s//A
A — — A% / Ai — - A 2
A R = Á 2IA1 A R * A!A%
Para contracciones graduarles
Detalle Angulo -0- K
d
o
O
ro
0.02
45° 0.04
i.__+
--------—.— --- -d
60* 0.07

Estudio del flujo mtemo 81
, Carta de diseño para el cálculo de la resistencia en co
dos angulares de tubería circulares con flujo turbulento completa
mente desarrollado a la entrada (

82 Estudio del flujo Interno
- Para la recuperación de presión en difusores cónicos con flujo turbulento
sarrollado completamente en la tubería de acceso
longitud odimansional, N/Ri
R E D U C C I O N GR AD UAL
K * 0.05
r x .
D V
j___/ ■
E N S A N C H A M I E N T O SUBITO
Td 0 K = f 1 - (d /0 )
_ 1
E N S A N C H A M I E N T O 6R ADUAL
X _ I
K K*[.l - (d/D)2 ] 2
(D * d)/2L
K»
0.05
0.14
0.10
0.20
0:20
0.47
0.30
0.76
0.40
0.95T

Contracción súbita
D/d 1,5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
X 0.28 0* 36 0.40 0.42 0.44 0.45
LONGITUD equivalente representativa en diahetros DE TUBERIA L/D ,
PE DIVERSAS VALVULAS Y CONEXIONES
Válvulas de globo, completamente abiertas..... .............. ..... 450
Válvulas de ángulo, completamente abiertas ........... ........... 200
Válvulas de compuerta, completamente abiertas .... ............... 13
abiertas 3/4 .................... 35
abiertas 1/2 ........ ........... 160
abiertas 1/4 ............. ...... 900
Válvulas de columpio reprimido, completamente abiertas .......... 135
Válvulas de bola reprimida, en línea, completamente abiertas .... 150
Válvulas de mariposa, de 6 pulgadas y mayores, completamente-
abiertas .......... 20
Codos estándares de 90° .......................................... 30
Codos estándares de 45® ......... ............ .................... 16
Codos de radio largo, de 90° .................................... 20
Codos de calle, de 90° .......... ............................... . 50
' Codos de calle, de 45® . .... ................ .................... 26
Te estándares :
Flujo a través de la línea principal ............. 20
Flujo a través d? un ramal .......................■ 60

LONGITUD EQUIVALENTE (L*^)
E s a q u e l l a l o n g i t u d d e t u b e r í a q u e o c a s i o n a r í a l a s m ¡ s
m a s p é r d i d a s q u e al gún a c c e s o r i o .
2 g D 2 g
e q
(-)D
DIAMETRO EQUIVALENTE
E s el d i á m e t r o d e u n a t u b e r í a d e s e c c ió n ci r c u l a r q u e
h a i g u a l d a d d e c a u d a l , l o n g i t u d y f l u i d o g e n e r a n la m i s m a c a í d a
d e p r e s i ó n q u e o t r a t u b e r í a d e s e c c i ó n n o c i r c u l a r .
SISTEMAS DE TUBERIAS
Tuberías en serie
L, D, u3 d3
hp, hp. hp,
Se debe c ump li r : hp T » h p 1 + h p 2 + hp^
Q - Q, « Q2 - Q3
. Tuberías en paralelo
Q — ► -q2 l2 0 .
L3 °3
Se debe de c u m p l í r :
Q, + Q, + Q, “ Q
hp. - hp, - hp, « h p n

f
-------, . ^
GRUPO DE PROBLEMAS Ntt 3
1. PROB.- En la figura se muestra un bomba que entrega agua, a razón de 0.02a?
3
m /$, a un dispositivo hidráulico* a través de una tubería de 0.1524
metros de diámetro. Si la presión manómetrica de descarga de la bomba es de
2
7.03 Kgf/cm , ¿cuál debe ser la presión del flujo a la entrada B del dispositi
vo ?
fH20 a 15®C
lv « 0.0113 * 1 0 " V / s
So l u c ió n
Datos : Q = 0.023 tn3/s
D = 0.1524 m
L p 804.6 + 321.9 + 804.6 = 1,931.1 m
V * s 1.551 m/s
PA= 7.03 x 104 Kgf/m2
y = y = 1,000 Kgf/m3
' 'agua 3

Estudio del flujo Interno 87
ecu ación de la energía
por ~~ ? ?
J a . + _!a _ + z = A - + _!b _ + z b + h
Y Zg Y 2g
como. VA = V , entonces ;, -fS- + ZB + h ......................... ( 1 )
Y Y
ralr.Ltlo del nOmero de ReynoId ( Re )
V D 1.551 x 0.1524 OAn
Re =
-
- *— — -------- — — — j— w 209,179
v 0.0113 x 1 0 ^
cómo Re > 2,300 zr^el flujo es turbulento
Cálculo del factor de frfcctón i f )
Debido a que el flujo es turbulento, el valor de uf,( se evaluará empleando el
diagrama de Moody ;
*Con D ~ 15.24 cm ~ 6 pulg se ingresa al diagrama de Moody y se encuentra
(.para tubo de acero comercial ] :
e/D = 0.0003
-Con Re ~ 209,179 =¡ 2.09 x 105 y e/D=0.0003, ingresamos al diagrama de Moody
y se encuentra :
f * 0.017
Cálculo de las pérdidas primarías ( h^)
i v2
h a f i . JL . = 26.4115 m
P D 2g
Cálculo de las pérdidas secundarlas C 1
. v2 V2 <r2
h r K — + K — - « 2K— * 9.81 x 10 m
2g 2g 2g

m
Estudio del Pujo interno
Cálculo de las pérdidas totales ( h )
Reemplazando en ( 1 } :
4 p_ x 10*
1000 1000
+ 321.9 x Sen(5o) + 26.5096
PB =» i.57 Kgf/cm (manomét;
2 . PROB.- En la figura se muestra una bomba que extrae agu& de un gran depds
to y lo entrega al dispositivo. Si la bomba desarrolla una potencia
de 200 CV sobre el flujo l cuál será la presión en B si se mantiene un ce,
dal de 0.283 m3/s.
f
Depósito
45.75 m
Entrada
redondeada
21 m
(K =0.05)
f A
CERO A *
61 m-
61 m-
B
DISPOSITIVO
n i . . ..
Tubería de acero .
comercial, toda de
20.3 de diámetro
con dos codos de 9(|
( K2 - 0.9
Agua a 15*C
v =• 0.0113 x 10"4 m 2/s
SOLUCION
SOLUCION
Datos ; L = 61 + 21 + 61 = 143 m
D = 20.3 m ¡= 0.203 m
p = 200 CV
Q * 0.283 m /s
V = i-i r. 8.744 m/s
■n D
Por ecuación de la energía
,2
~ + ^ + ZA + HB = “ + ^ + Z B + hE
y ¿g Y 2g
cómo VA = VB , entonces ; pB = Hg.y + pA - y( ZB + h ) ..........................
cálculo del nfimero de Reynold ( Re )
Re = L £ = 157,825 > 2,300 > Flujo Turbulento
V
Cálculo del factor de fricción ( f )
Con D o 20.3 cm * 8 pulg, vamos al diagrama de rugosidad de Moody :
e/D = 0.0002
(1 )
Con e/D « 0,0002, vamos al diagrama de Moody :
Cálculo de las pérdidas primarias (. h )
2
h = f _L 11 = 40.353 m
p D 2g
f = 0.0147

i
I Estudio del flujo interno
Cálculo de las pérdidas secundarias ( h$ )
h ^ K 2 ^ - + 2 K — 7.029 m
S 2g 2 2g
Cálculo de las pérdidas totales ( h )
h n h f h « 47.562 m
p s
Cálculo de la altura de la bomba ( )
= > H 7 5 _ P , J ü i 0 0 ---- 53 m
75 . y 1000 x ° - 283
Cálculo de la presión en A
PA c y x 45.75 ^---- es incorrecto, debido a que no| exis
te el equilibrio apropiado en la
proximidad de la salida del depositj
Consideremos un flujo sin rozamiento para aplicar la ecuación de Bernoul 1i :
0 , man
+ 45.75 + p = 41,853.082 Kaf/i
2g Y A
í - .
| Reemplazando en la ecuación (1) :
pB » 53 x 1,000 * 41,853,082 - 1,000 x ( 21 + 47.562 )
PB = 26,291.182 Kgf/m
p„ = 2.623 Kgf/cm2
D
1

■3 ptfOB.- Haciendo uso de un sistema de tuberías, se transporta agua desde un
gran depósito, para descargargarlo en forma de chorro libre?, ¿ Cuál
¿era el caudal en la salida B , si se utiliza un tubería de acero comercial
¿g 0.203 m de diámetro con los accesorios indicados ?
Datos : L = 143 m
D = 0.203 m
Z = 21 m
Z = 30.5 m
A
p_ -- p = 0» manométricamente
B ratrn
Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos A y
Y 2g
2a - Ze
Pb vb+ l = _JL + _JL + l + h
A / B
y ¿g
2Va V‘ V2 V2
f —---- + K, -2-+ 2K„-£• + - !
D 2g 2g ‘ 2g 2g
Reemplazando datos ; 9.5 g = f
V2 V2
— x 704.433 + 2.85 -- (i )

Cómo sólo tenemos una ecuación pero con dos incógnitas, debemos realizar ite
raciones trabajando conjuntamente con los dos diagramas de Moody, de la siguió
ente forma :
- con d =? 28.3 cnr s¡* 8 pulg — ► a diag. de rozamiento : e/D = 0.00022
- se asume un valor de f, por ejemplo f - 0.014 , y se reemplaza en
la ecuación (1 ) :
V, * 3.823 m/s
- Ahora, se halla el nOmero de Reynold :
Re * = 6*86 x 105
0.0113 x 1 0 ^
- Con los valores e/D = 0.00022 y Re = 6.B6 x 105encontramos en el
diagrama de Moody :
f = 0.0155
- Cómo el valor deNXf" asumido es diferente al * f " hallado, se asume
otro valor para* f" y se procede de igual forma :
f asumido VB en ec.(1 ) Re f hallado
0.014 3.823 6.86 x 105 0.0155
0.0155 3.67*1 6.61 x 105 0.015
0.153 3.698 6.64 x 105 0.0153
Por lo tanto ; la respuesta es : V. ~ 3.6^8 m/s
J3
Cálculo del caudal

j^p rob .-S e requiere simular el flu jo de aire (^>-13 kg/m3, j^ U x IO ' 5
N-sAn2) en un d u d o , m ediante un flu jo de agua (j> = K ^/m 3 ,
H -1 .3 4 M -S /m 2) a escala 1 /4 . Si el gas tie n e utvs velocidad media
¡je 26 m/s •• (a) D e te rm in a r la velocidad en el modelo, (b) ¿ Cuál sera'
la p é rd id a de presión en el ducto, si en el m odelo es de 0.22 bar
por m e tro de lo n g itu d ?
SOLUCION
D atos: fp = 1..3 y m 3 , j4 p= 1.8 x 10*5 N- s/m 2 , ‘ Vp = 21 m /s
j>M = <N0 kg/m 3 , x10"3 *i--s/mz , X = l/4 , App =0.22bar
(a) Aplicando Rp x Í v d : $ VP - fe v m Dm
H Hp H m
VM z l _ . J±M ,_2e. Vp z i - Ü ü . 1 . Vp = > VM - 10.1^7m/s
Si considero que e( flu jo es viscoso lam inar 6 tu rb u le n to , ettor>-
ces f = 64/R e o f =0.31b/Re1/Í4 re s p e c tiv a m e n te . Par lo to n to :

5. P rob- H allar la distribución de velocidades y de esfuerzos cortan
te s en irn fluido se encuentra e n tre dos cilindros conceTitncos;de
radios R, ¡ mj>ectiv-aTnente , ^Tafitamente ( R¿>R1). ¿ En don
de es m ayor el esfuerzo c o rla n te , sabiendo <^ue el cilin dro sólido
^ ira a velocidad sncjular constante ?
SOLUCION
El e s fu m o cortante m áxim o, ocurre
en la pared in te rio r del cilin dro h»
co de radio •
fe. P ro b .- Por la tubería m ostrada
C t f i c a i0 u a t a 0 .9 2 , a razón d
do.
(3) ¿ e l flu jo es la m in a r?
Cb) ¿ cuál es la viscosidad
absoluta del aceite ?
(c) Si el flu jo es en sentido
contrario pero con eí mistao
caudal ¿cuál sera la lec
tu ra del inanórnetro ?
flu y e u.n a c e ite , de gravedad espe
I tr /h r en el se n tid o indica-
'l

SOLUCION
Asum iendo flu jo perm anente e incom presible, a d ia b á tico j uniform e.
Por ecuación de la energía e n tre 1 y 2 ■
_L+.¿ + z2+b„
í 29 f 29
Por ec. de c o n tin u id a d : Q ,-Q 2 =*>V, A, = V2AZ ; pero A,=AZ = > V,
h,, = -t- L f k . v f J? _ J L + l .........................(1)
2 ¡r ¡r d 2 9 í í + 111
Por m a n o m e tría :l? + (L + 0 .2 5 -|-X )# -0 .2 5 X. —Xif =
Hg
L 1 - . 0 .2 5 i ü - L -0 .2 5
í y £
A - A . - 0.25 JÜ L -1.2 .0.25 = 2.2MÍ) m de aceite
Ü * 0.92
Reemplazando en (1) : f L . : 2 .2 % + 1.2 =. 3. HHí>to de aceite
V-HQ — s f 12 ÍH x 1.83x10^ _1_ 3,. 446
tT ? 0.025 l i r » 0.025 / 2x^.81 "
NOTA :Q= 1.83*10 m %
f -10.0978
Cálculo de Re : Asumiendo c^ue el flujo es lam inar
f_ ¿ 4 --------v Rp = Ü - fe. 338
' Re f
0) El flujo es Lami-nar , porgue Re< 2300

Si. Re hubiese sido m ayor que 2.300, n u e s tra suposición esta^
m a l) entonces te n d ría m o s <^ue u t il iz a r o tra re lación en vez de
f = 6H / Re.
(b) Re = ± W = > X - - f V ¡ > - ^ 0 « ( ^ l8 3 a Ó % Q .0 2 S 2 ) , o . n n
H Re 6 .3 3 8
_3
m - 5
Ce) Ec. de la energía e n tr e 2 ^ 1
1 +. z2 = 1 + V l+ 2, V i = > i . i = u % n á n
í 2? S *3 D 23 $ $
Por manómet r í a :
t £ - W - y ^ h8 - (l + x + v )!í = ?
j = 0.2 1 & tn
-Rpta.
MAN&UEftA
7. prob.- En la fig u ra , ei barreno <^ue se m u e stra recibe aire compti-
m ido a razón de 0.25 K^/s a una presión m anom étrica de fe50kPa
La presión m anornetrica m áxim a de descaiga del compresor es &R0 kPa.
El aire sale del compresor a HO“C. D e term inar la longitud más grande
de manguera que se
|>uede u tiliz a r en la
in sta íacio'n, desprecíese
los cambios de densi
dad ^ cualquier efecto
ocasionado por ¡a cur
v a tu ra de la manguera.
0=ü.04m
-j|- 1.8 * 10 S H A -

Solución "C o n sid e ra n d o flu jo perm anente "
Datos • = °-25 K ^/s p KPá 1 101,3kPd = ^ 1* ios H/m1
0r cte* C
J , .5 K. b =:í»50KPd+101.3^KPa r Ix io N /rn z
ü - 1.8 x10 J 3 _ ‘2
r Tnv-S Ti = 4 0 “C= 313°K
Por ecuación de la eneroía : J l + J í Í . z., = J L + Va.. l ¿ + .,
3 ¿ 29 1 r z g 12
Poi contin uid ad •' - ñ i2 ^>V, A, - p A* ^ V, = V i = V= H _ 22¿m.
Despreciando las pendidas secu n d a ria s:
i - l - ' - . f - L X 2 ...................( „
S J D 23
ca'culo dg f • Rp - j f Y D _ H. 42x10^ ¡ de diaojTaTna de W ood'j :
. •** í = 0.0134
De ecuación C í): L - Jl~ % _2D _ 53 .1 m
t í Y 2 _______
NOTA : - >.^1x105N _ 8<g1 k. ^ 3
1 r t; 7fl? * 9 - * x 3 m ~ J/
N - m
8. PROB.- E n la ficju ia se m uestra dos codos de Indique cuál de
____ ¿ eÜos tie n e m ayor coeficiente
í?' ,fT t r r

Estudio del flttjojgtS lfL
99
SOLUCION
M ' p
Le^ =_Jíl D
Como > R-i zzz> Le^. > Leg zz=} K¿ > Kj
z
T a m b ién •• Q0= 80 p íe 3/ n 'm
Q' - f ( - k h
por Ecuación de la energía • (Tubería horizontal)
= < ( £ ) £ . » .................... v»
' 2 (y)
^ ' 2S 2
A P . P a t ^ - P x - f 2 ( k ) ^ -
¿3,
(0 )* n p _p _ f / UA Va v
S. PROB.-t Um com bustible de viscosidad 0.667 cp y densidad espec({j a r ¿t-m x 3 v p3/ 2^
ca 0.76 , flu v e a razón de 80 bie3/m in en una tu b e ría horiaonU , , . , , ¿p rsd* una
de 0.5 pies * tó m r t r 0 . En su L t C ™ fin a . U tu b e ría se , « OjO: * « * " * * ■ " « * ls3 * * * * *
fica en tre s líneas de 1 , 2 ^ 3 pulgada de d iá m e tro . Si las 'as ^ u^ >r^as m caTn ia ‘
longitudes de las tre s^ últim as tu b e ría s son 125, 3 2 5 y 700 ptós, ^ xiTnaci0n in ic ia l *• ^ = *3
v descarqan a la a tm ó s fe ra , d e te rm in a r el caudal de com bustible
— De / W :
en cada una de las tubería s.
1/2
V
X
-------------.-----------ll----------— .— — -----------------=*■
___________ _______________________
£.=O.OOl8p¡es
—............................................... -.......^ssfr—»-
r€>
De ip) y tí*) •
1/2
Reemplazando en í«) *•
80 JPjL - H •J ___
fcO seg “ 4 H 4 -
1/2
1 + 4 ( § t )
0 /2
V,
SOLUCION
Considerado flu jo perm anente e incom presible
P or continuidad t Q0 = QA+ Qz + Q 3 ................. ^
V, = 2 2 .0 3 p ie s /s V , = 1^.32. pies/s pies/s
f^hota tenem os ^u e v e r if ic a r s i

Cálculo de R e - f V D / } i : 0.6b7xfc.?2 *10~4
O.U *í2A Ib /p ie 3
diacy H 00üj
Re 6/D f D L
1.rl4 x 105 0.0018 0 .0 2 4 0 1" 125'
3.23 x 105 o.oooq 0 .0 2 0 5 2" 325'
4 .2 0 * 105 O.OOOfe 0 .0 1 8 5 3" 700'
Ud. observará q u e : ^ f f f 3 j por tai raion debemos de Teca]
cular dichos {actores de fricc'ioTi.
^ A s u m ie n d o - f^ - 0.024 , f z =0.0205 ) -0.0185
1/2De (p) ¡ C^T) :
De (/i) ¡ (0 ) •
V _ V, A . J l_
l2 D, _
v ,-_ v I _ L l _Sl I
l 3 d , fa
1/2
Reemplazando en (<*):
t k 3: _L
tO Seg . 4 144
'/2 . t/z-i
2 1 5 . M M _
?00 0.0185/
V
V1=2o.40 pies/s V2 = 11.7 pies/se^ V3 = 17.1 pies/seg
R ecalculando los v a lo re s de Re ^ los de ¡ f 3 ha
ciendo uso del diatjraTna de M o o d j *.

Re e /o f D L
1.6 k10S 0.0018 0.01< 1" 125'
3.3h 105 o.oooq 0.020 2" 325'
4.5 x105 0.0006 0.018 3" 700'
Debido a (^ue los valores de , f¿ y f3 hallados son cercanos
a los a s u m id o s . se pueden considerar correctos,
r e c u lo de los caudales ;
- 11 ( l/ iz ) Z x 20.4 =. O .W pie3/s e g /= t . 1? p ie |m n
Q2 - 21 ( 2/ i z ) iq .8 ^ 0 .4 ZZ pie^/seg = 26 pie3/nvm
Q3^X (3/jzfx 17.1 -0.&2>q pieYse^_50.4 pie^-mui
c á c u lo d el p o rc e n ta je de e r r o r
QT •= Q 1 + Q¿ + = 83.1 pLG^/mir»
% error = .Qt-Q. - 83.1-80 v100 -3.8?S%
Qo 80
Como el e r r o r es pequeño , n u e s tro cálculo es c o rre c to .
IQprob.-Dqs tuberías de acero comercial de D-,=5cTn, y
D¿=12cm, L2=40Tn.,se encuentran conectadas en seriea través de
las cuales circula un caudal de 0.2 m% de un cierto fluido CD.R.=
0*75). Asumiendo los factores de ■fricción f prácticamente guales,
deter-minar el diátnetro equivalente eti una tubería del inisTno ma_

IQ2 Estudio del flujo interno
te ria i q.ue debe te n e r una lo n g itu d de 30 ttv
SOLUCION
Datos
-w
Se debe cu m p lir : hp. ~ hp fh[>
H !2
,2
f l a . . L = f j í .!¿ + f
2g D, z<¡ p2 29
02
L>j 18 mn L ¿ = 40 tt
Q - 0.2. rríVs
D.R. = 0.75
Le^ - BOrn
a Q ~ Q 1 ■=.
2
P ero : V. ^ Ü Q
t r c f Tí
V z l % _
Tt De^.
=> if l - J¿ J>§L +
i r ^ o, n 2 t f d2 r t £
D ea =
T
D D
1/5
De<}. = 5 .5 0 7 cm.

PR0B.~ Las puntas de un aspersor de un sistema de -riego agrícola, se
alimenta-0 con aoûa mediante conductos de 500 pies hecbos de alumiTúo des
¿s una bomba operada por un -motor de combustión interna. En el intervalo
^ opexación de Tnaijor rendimiento, la descarga de la bomba es 3.3.4
piesy sa una ¡cestón que no exede 6 5 p s i. Paia urna operación s a lu -
factoi'2 , los aspersores debeTi operar a 30 psi o a uta presión "manoT. Las per
áidaí menores v¡ tas cambios de nivel en este sistema se pueden despreciar.
Oriefmi'naT el diámetro de lubm a mas peûeío <ûe se puede utiliiar estandar.
•Considexat tubería Üsa. V = 1.2 * id 5pieVs . f - .tMslutj /pie3
SOLUCION
La caída de presión máxima es: Ap> = <05-3.0 - 2.5 bsi
Tnáx
Ta-mbieM.* ^ } I = iL -v ^ í - + í t 4- hp
23 * * 28
CoflsideiactoTies: l) Flujo perTrianemle e incooptesiWe
2) ^ pérdidas secundarias ^
3) D= cié => VJ==V2

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