1. Carrera: UAX
Asignatura: Matemáticas
Fecha:
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Álgebra para ingenieros de la
Universidad Alfonso X
1-Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Operaciones con matrices:
 a 11 a 12 L a1n   b11 b12 L b 1q 
   
B=  21
L b2q 
A=  a 21 a 22 L a 2n  b b 22
 M M M M   M M M M 
   
a L a mn   b p1 L b pq 
 m1 a m2   b p2 
Suma:
- Las matrices a sumar tienen que tener la misma dimensión (m=p, n=q).
 a 11 + b11 a 12 + b12 L a 1n + b1 n 
 
A+B =  a 21 + b 21 a 22 + b 22 L a 2n + b 2n 
 M M M M 
 
a + b a m 2 + bm 2 L a mn + b mn 
 m1 m1 
Producto por un número (λ):
 λ a 11 λ a 12 L λ a1n 
 
λA=Aλ=  λa 21 λa 22 L λa 2 n 
 M M M M 
 
 λa λa m2 L λ a mn 
 m1 
Producto de matrices:
- El producto de matrices no es conmutativo (en ocasiones AB≠BA).
- Si multiplicamos AB, A tiene que tener la misma cantidad de columnas que B de filas
(n=p).
- La matriz resultante de la multiplicación tiene la misma cantidad de filas que A y de
columnas que B (dimensión de AB es igual a m×q).
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2. Carrera: UAX
Asignatura: Matemáticas
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AB=
 a 11 b11 + a 12 b 21 + L + a 1n b n 1 a 11 b12 + a 12 b 22 + L + a1 n b n 2 L a 11 b1 q + a 12 b 2 q + L + a 1n b nq 
 
 a 21 b11 + a 22 b 21 + L + a 2 n b n 1 a 21 b12 + a 22 b 22 + L + a 2 n b n 2 L a 21 b1 q + a 22 b 2 q + L + a 2 n b nq 
 M M M M 
 
 a m1 b 11 + a m 2 b 21 + L + a mn b n 1 a m 1 b12 + a m 2 b 22 + L + a mn b n 2 L a m 1 b1 q + a m 2 b 2 q + L + a mn b nq 
 
Traza de una matriz:
-La matriz a la que se halla la traza tiene que ser cuadrada (n=m).
-La traza es la suma de los elementos de la diagonal.
traza(A)= a11 + a 22 L a nn
Transposición de matrices:
-La transposición es el simple cambio de filas por columnas.
 a 11 a 21 L a n1 
 
A =  a 12
T a 22 L a n2 
 M M M M 
 
a L a nn 
 1n a 2n 
Tipos de matrices
Matriz fila: matriz con una sola columna (m×1).
Matriz columna: matriz con una sola fila (1×n):
Matriz cuadrada: matriz con la misma cantidad de filas que de columnas (n=m).
Matriz rectangular: matriz con un número diferente de filas que de columnas (n≠m).
Matriz nula: Matriz en la que todos sus elementos son ceros.
Matriz triangular superior (inferior): matriz cuadrada en la cual todos los elementos que
están por debajo (arriba) de la diagonal son ceros.
Matriz diagonal: matriz cuadrada en la cual son nulos los elementos por debajo y por arriba
de la diagonal.
Matriz regular: matriz que se puede invertir.
Matriz identidad: matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal son unos.
Matriz simétrica: matriz que es igual a su transpuesta (A= AT ).
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3. Carrera: UAX
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Matriz antisimétrica: A=- AT .
Matriz ortogonal: AT = A −1 .
Matriz idempotente: A 2 = A.
Matriz nilpotente: si existe un n tal que A n = O (O matriz nula).
Propiedades de los distintos tipos de matrices
- (A + B )T = A T + BT
- (AB )T = B T A T
- (AB) −1 = B −1 A −1
- IA=AI=A (I es la matriz identidad)
- OA=AO=O (O es la matriz nula)
Determinantes
- El determinante solo se le halla a una matriz cuadrada.
Determinantes de matrices de dimensión 2:
a b a b
A=   ,|A|=
c d  = ad − cb
  c d
Determinantes de matrices de dimensión 3:
 a1 b1 c1 
 
A=  a 2 b2 c 2  ,|A|= a1b 2 c3 + a 3b1c 2 + a 2 b3 c1 − (a 3b 2 c1 + a 2 b1c 3 + a1b3 c 2 )
a c3 
 3 b3 
Determinantes de orden mayor que tres:
Menor correspondiente al elemento ai j ,M i j: es el determinate formado al eliminar
la fila i y la columna j.
Adjunto al elemento aij : (-1)i+j M ij .
Determinante: cogemos cada elemento de una fila o columnas lo multiplicamos por su
adjunto y lo sumamos.
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4. Carrera: UAX
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Propiedades de los determinantes:
• |AT |=|A|
• |AB|=|BA|
• |A-1 |=1/|A|
• |A|=-|B|, siendo B la matriz formada al intercambiar dos filas o columnas
• |A|=0, si A tiene dos filas o columnas iguales, proporcionales o que una dependa
linealmente de las otras.
• |B|=k|A|, si todos los elementos de B son iguales a los de A menos una fila o columna
que se a multiplicado por k.
Matriz inversa
−1
- La matriz A es la matriz inversa de A si AA -1 = A -1 A = I
- La matriz A tiene inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero.
Matrices semejantes
- Dos matrices A y B cuadradas de orden n son semejantes si existe una matriz P regular tal
que B=PAP -1 .
Calculo de la matriz inversa
(adjA)t
-1
- A = , donde la matriz adjA es la matriz formada por los elementos adjuntos
|A|
de A.
- Otra manera de calcular la inversa de A es utilizando el método de Gauss- Jordan
Sistemas de ecuaciones lineales
Se denomina sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas a:
a11x1 + a12 x1 + ... + a1n x1 = b1
a21x1 + a22 x1 + ... + a2 n x1 = b2
..........................................
am1x1 + am 2 x1 + ... + amn x1 = bm
Forma matricial Ax=b, donde
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 a11 a12 .... a1n   x1   b1 
     
a a22 .... a2 n   x2  , b=  b2 
A=  21 , x=
 M .... .... M  M   M 

a 
  
x   
b 
 m1 am 2 .... amn   n  m
Clasificación de los sistemas
- Sistema compatible determinado: son los que tienen solución y es única.
- Sistema compatible indeterminado: son los que tienen infinitas soluciones.
- Sistema incompatible: son los que no tienen ninguna solución.
Rango de una matriz: orden del mayor determinante no nulo que se puede formar apartir de
la matriz.
Teorema de Rouché -Frobenius
 a11 a12 .... a1n b1 
 
%
Sea la matriz ampliada A =  a21 a22 .... a2 n b2 
 M .... .... M M 

a 

 m1 am 2 .... amn bm 
%
- Si rang A ≠ rang A entonces el sistema es incompatible.
%
- Si rang A = rang A =n entonces el sistema es compatible determinado.
%
- Si rang A = rang A < n entonces el sistema es compatible indeterminado.
Resolución de sistemas de ecuaciones
- Sistema de Cramer (compatible determinado) x = A -1b .
 a11 ... a1i −1 b1 a1i +1 ... a1n 
a ... a2i −1 b2 a2i +1 ... a2 n 
 21 
 M ... M M M ... M 

a 
 n1 ... ani− 1 bn ani+ 1 ... ann 
- Regla de Cramer xi =
|A|
- Otro método es el de eliminación de Gauss-Jordan.
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2-Espacios vectoriales
Definición
Diremos que un conjunto V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K si hay definidas dos
operaciones:
1- una ley interna, V×V→V, (x , y) →x+y, que denominamos suma de vectores
2- una ley externa K ×V→V, (α ,y) →α y, que denominamos producto por un escalar
de manera que verifican las siguientes propiedades:
1- x+y=y+x (conmutativa)
2- (x+y)+z=x+(y+z) (asociativa)
3- ∃0 ∈ V / x+ 0= x ∀ x∈ V (elemento neutro)
,
4- ∀x ∈ V, ∃ - x ∈ V / x + ( - x ) = 0 (elemento opuesto)
5- (α+β)x=αx+βx
6- α (x+y)= αx+αy
7- (αβ)x=α(β x)
8- 1x=x
∀α , β ∈ ¡ , x,y ∈ V
Combinación lineal: Sea {x 1 , x 2 ,..., x n } ∈ V y {a 1 , a 2 ,..., a n }∈ K se dice que la operación
α 1x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n forma una combinación lineal de dichos vectores.
Dependencia lineal: Se dice que {x 1 , x 2 ,..., x n } ∈ V es un conjunto linealmente dependiente
si ∃ {a 1 , a 2 ,..., a n }∈ K con al menos α i ≠ 0 , en el que α 1x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n =0.
Independencia lineal: Se dice que {x 1 , x 2 ,..., x n } ∈ V es un conjunto linealmente
dependiente de V si al ser α 1x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n =0 es necesario que a 1 = a 2 = ... = a n = 0 .
Sistema generador: Se dice que {x 1 , x 2 ,..., x n } ∈ V , forma un sistema generador de V si
∀x ∈ V , ∃ {a 1 , a 2 ,..., a n }∈ K /x = α 1x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n .
Base de un sistema generador: Se dice que B = {x 1 , x 2 ,..., x n } forma una base de V si se
cumple, que es un sistema generador de V y un conjunto linealmente independiente.
Coordenadas de un vector en una base dada: Sea B = {x 1 , x 2 ,..., x n } una base de V, y sea
x ∈ V ; se dice que ( a 1 , a 2 ,..., a n ) ∈ K n son las coordenadas de x en la base B si se cumple: x
= α 1x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n .
Cambio de base: Sean B = {x 1 , x 2 ,..., x n } y B1 = {y 1 , y 2 ,..., y n } dos bases de un espacio
vectorial V. Se dice ecuaciones del cambio de base a las que surgen de hacer
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7. Carrera: UAX
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α 1x 1 + α 2 x 2 + ... + α n x n = α 1 y 1 + α 2 y 2 + ... + α 1n y n siendo ( a 1 , a 2 ,..., a n ) y
1 1
( a 11 , a 12 ,..., a 1n ) las coordenadas de x en las bases B y B1 respectivamente.
Dimensión de V: numero de vectores que forman una base V.
Subespacio vectorial: Sea S un subconjunto de vectores de V, se dice que forma un
subespacio vectorial de V si en él se verifican: ∀x, y ∈ S y αx + βy ∈ S (el elemento neutro
siempre tiene que pertenecer a S).
Operaciones entre subespacio: Sean S1 y S2 dos subespacio de V, se dice:
- Suma. S1 + S2 = S1 ∪ S2 , es un subespacio de V, donde una base de S1 + S2 esta
formada por una cantidad maximal de vectores linealmente independiente del conjunto
de vectores formado al unir una base de cada uno de los subespacio.
- Intersección. S1 ∩ S2 , es un subespacio de V en el que si x ∈ S1 ∩ S2 entonces x ∈ S1
y x ∈ S2 .
- Suma directa. S1 ⊕ S2 , se dice si dim(S1 ∩S2 )=0
- dim(S1 + S2 )+dim(S1 ∩ S2 )=dim(S1 )+dim(S2 ).
3-Espacios vectoriales euclídeos
Producto interior: a cada par de vectores se le asigna un número real <u,v> que satisface:
1- < au1 + bu2 , v >= a < u1 , v > +b < u 2 , v > (linealidad)
2- <u,v>=<v,u>(simetría)
3- <u,v>≥0, <u,u>=0⇔u=0 (definida positiva)
Espacio euclideo: todo espacio vectorial en el que se le defina un producto escalar.
Longitud de un vector u: ||u||= < u, u > .
Desigualdad de Cauchy – Schawarz: < u , v > ≤ || u || ⋅ || v || .
< u,v >
Relación trigonométrica: cos(θ ) = , donde θ es el ángulo entre los vectores.
|| u || ⋅ || v ||
Ortogonalidad: dos vectores son ortogonales si su producto interno es igual a cero.
Complemento ortogonal: sea S un conjunto del espacio vectorial V, definimos complemento
ortogonal de S a:
S ⊥ = {v ∈ V :< u,v >= 0∀u ∈ S} , S ⊥ es un subespacio vectorial de V.
-Si S es un subespacio de V,V =S⊕ S ⊥ .
Conjuntos ortogonal: un conjunto es ortogonal si todos los elementos son ortogonales entre
si.
Conjuntos ortonormal: un conjunto es ortonormal si todos los elementos son ortogonales
entre si y la longitud de cada uno de ellos es uno.
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8. Carrera: UAX
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-Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente.
< V, W >
Proyección: la proyección del vector V en W es cW donde c = (c es llamado
|| W || 2
coeficiente de Fourier).
Proceso de ortonalización (Gram-Schmidt): Sea el conjunto de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn } que
queremos ortogonalizar, el proceso de ortogonalización es el siguiente:
W1 = V1
< V2 , W1 >
W2 = V2 − W1
|| W1 || 2
< V3 , W1 > < V3 , W2 >
W3 = V3 − 2
W1 − W2
|| W1 || || W2 || 2
.................... ............................................
< Vn , W1 > < Vn , Wn−1 >
Wn = Vn − 2
W1 − ... − Wn−1
|| W1 || || Wn −1 || 2
Representación del producto interno en una base {V1 ,V2 ,....Vn }:
 < V1 , V1 > < V1 , V2 > ... < V1 ,V n > 
 
 < V2 , V1 > < V2 , V2 > ... < V 2 ,V n > 
 M M ... M 
 
 < V , V > < V , V > ... < V ,V > 
 n 1 n 2 n n 
4-Aplicaciones lineales
Aplicación lineal: sean V y W dos espacios vectoriales, decimos que la aplicación
f : V → W ∀x ∈ V, ∃ y ∈ W tal que y = f ( x) es lineal si
f (x + y) = f (x ) + f (y )
f (α x) = α f (x )
-A toda aplicación lineal se le puede asociar una matriz y esta depende de las bases a escoger
en los espacios V y W.
Endomorfismo: W=V.
Núcleo: se dice núcleo o Ker de f a: Ker(f)={ x ∈ V : f (x ) = 0 }.
Imagen: se dice que imagen de f :Im(f) {y ∈ W : ∃x ∈ V / f (x ) = y} .
-dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(V).
Inyectiva: Ker(f)=0.(f es un monomorfismo)
Sobreyectiva: Im(f)=W . ( f es epimorfismo)
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9. Carrera: UAX
Asignatura: Matemáticas
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Biyectiva: aplicación inyectiva y sobreyectiva. (f es un isomorfismo)
5-Diagonalización
Autovector: Sea f : V → V un endomorfismo, se dice que x es un autovector de f si se
cumple f(x)=λx.
Autovalor: es el valor λ de la definición de autovector.
Calculo de Autovalores y autovectores
Autovalores: son las soluciones del polinomio det(A-λI)=0 (polinomio característico),
siendo A una matriz asociada a la aplicación lineal f.
Autovectores: son los vectores que conforman las bases de cada subespacio (subespacio
propio) formado por las soluciones de los sistemas (A- λi I)x=0, i=1..r, donde λi son los
autovalores y r es la número de valores propios distintos.
- Una aplicación es diagonalizable si la multiplicidad de sus autovalores es igual a la
dimensión del subespacio propio.
Matriz diagonal asociada a la aplicación f, D: es la matriz diagonal en la cual su
diagonal está formada por los autovalores de f. Además D= P −1 AP, donde P es una matriz
cuyas columnas están formada por los autovectores.
Propiedades:
- A y A⊥ tienen los mismos autovalores.
- Si λ es autovalor de A, kλ es autovalor de kA (los autovectores son los mismos).
- Si λ es autovalor de A, λ −1 es autovalor de A−1 (los autovectores son los mismos).
- Si λ es autovalor de A, λ n es autovalor de An (los autovectores son los mismos).
- Si λ es autovalor de A, Ker(f)≠0.
- Si p(x) es el polinomio característico de A entonces p(A)=0, Teorema de Cyley-
Hamilton.
- Si A es simétrica es siempre diagonalizable y sus autovectores forman un conjunto
ortogonal.
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