Este documento presenta un ejercicio de cálculo de áreas máximas de un rectángulo. Uno de los vértices del rectángulo se encuentra en la parábola y= -12 - x^2 y los otros tres están en el eje x. Se calcula la derivada del área del rectángulo con respecto a x y se determinan los puntos críticos. El punto que maximiza el área es cuando x=2, dando dimensiones de 4 para la base y -16 para la altura.

1. FUNDACION UNIVERSITARIA UNICLARETIANA
Taller De Optimización
Calculo Diferencial
Kelly Jeniffer Becerra Serna
Grupo 4
• Ángel Gabriel Córdoba Palacios
• José Luis Mena Álvarez
• Luis David Lemus Perea
• Rober Esneider Lozano Palacios

2. Ejercicio
Un rectángulo tiene dos vértices en el eje “X” y los otros dos sobre la parábola y x= −12 -x2, con y >= 0. Halla
las dimensiones del rectángulo de área máxima. (Observa que en la ecuación de la parábola su término lineal “y” indica que su
eje focal es “Y” y su término cuadrático tiene coeficiente negativo; por tanto, la parábola es cóncava hacia abajo. Llama (x, y) a un vértice del
rectángulo que está sobre la parábola.)
y= -12 –x2
x
y
(x, y)
-12-x2 = 0 x2=-12 x= ±√12
-√12 ≤ x ≤ √12

3. Área: A(x)= -24x -2x3
A(x) = 2x(-12-x2)
= -24x – 2x3
Derivada: A’(x)= -24 -6x2
Puntos Críticos
P. Fronteras =
X= √12 , X=√-12
P. Singulares =
No Hay
P. Estacionales =
A’(x)=0
-24 -6x2=0
-24 = 6x2 x2=
24
6
X2=4 x= ±2
Criterio de 2 derivada
A’’(x)= -12x
A’’(2)= -12(2) = -24 < 0
Máximo
-12 – (2)2= -16
2(2)=4
Dimensiones= 4, -16
R/: Las Dimensiones que hacen máxima el
área del rectángulo = 4x-16