1. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
1
Konsepkalkulus.
Tidakbanyak orang yang mengetahuiataupunpernahmendengar kata tersebut. Hal
sebaliknyaapabilakitatanyakankepadamahasiswa-mahasiswauniversiti
“apaitukalkulus?”,tentunyamerekamengenalnyasebagaipelajaran paling
memeningkansambilberkerutdahi. Dapatdifahamimemang,
keranakalkulusberorientasikandenganrumus.persamaan yang aneh yang
belumpernahdilihatketika di sekolahrendah.
Kalaudilihatdarisejarahnya,
kalkulussudahmunculribuantahunlalusejaksebelummasihisebagaikonsepdasar,
dimanabanyakbangsaYunani yang
mengembangkannyaterutamagolonganpemikirternamawaktuituseperti Archimedes, Zeno,
Phytagoras, dansebagainya.Kemudian, ilmu-
ilmuitudikembangkanlebihlanjutolehparapemikirasalEropahdanTimur Tengah. Selanjutnyahal-
halpentingdalamkonsepkalkulusakhirnyamulaidibukukanpadazaman Newton dan Leibniz,
namunpadamasatersebutterjadiperdebatansiapa yang mengusulkankalkuluspertamakalinya,
apakah Newton atau Leibniz?Inikerana, buku-bukuberkaitankalkulusdibukukanpadawaktu yang
hampirsama. Salah satubahagian yang dikenalpastidisebut “kalkulusdiferensial”
danbahagianlaindisebut “Kalkulus integral”.
Laluapaperbezaankeduapembahagiankalkulustersebut.
KalkulusIntegral
berkaitandenganluasdanisipadu.Bayangkanbagaimanaandamenentukanisipadusebuah
bola?Caranyadapatditentukanbegini;kitamulaidaribentuk yang paling sederhana yang
mudahdikira, misalnyapersegipanjang.
Sepertikitatahuuntukmenghitungluaspersegipanjangcukuppanjangdikalikandenganlebar.Lalubag
aimanauntukbentukbenda yang tidak rata tidaktepatdanjugamelengkung?.
Untukmenghitungbenda yang
lebihrumitsepertiinicukupdenganmemotongmodeltersebutdenganbanyakpersegipanjangsecarak
ecil-kecilan.Namunketikamelakukanini,
kitatidakakandapatberhasilsepenuhnyakarenaakanselaluadapotongandengansisimelengkung,
umumnya. Tapikunci
ideaadalahbahawajumlahbidangpotonganempatpersegipanjangakanmenjadisangatdekatperkira
anluassebenarnya. Dengan kata lainsemakinbanyakpotongan-potongan yang kitaperolehi,

2. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
2
semakindekat pula pendekatankitauntukmendapatluasmodel yang dimaksud. Dengankalkulus
Integral akanterjawab pula darimanaangka 4/3 padaisipadu bola.
KalkulusDiferensialberkaitandenganperubahansesaat. Samaseperti di atas,
bayangkanandamenaikikereta.Misalkanandainginmengetahuiposisiandasetiapsaatselamaperjal
anan. Padaakhirperjalanan, Andamenyedaribahawasetiapsaatselamaperjalanananda, meter
halajukenderaananda menunjukkanhalajukenderaananda. Dari
sinimunculpertanyaanapakahsayaselakupemandudapatmerekodhalajumenunjukkansetiapsaat?
Jawabannyaya, Andadapat,
dankalkulusdiferensialmenyediakansebuahmethoduntukmelakukanhalini.
Ideadasardarikalkulusdiferensialdaricontoh di atasadalahkitainginmenghitunghalaju yang
tercatat di meter halajupadakenderaanyang sedangdibawadenganlaju yang
samaatasseluruhjarak. Kemudian, denganmudahandadapatmenggunakanrumus:
halajusamadenganjarakdibagiwaktu.
Ternyatabiladikajikalkulusdekatsekalidengankehidupansehari-hari,
wajarlahkalkuluslahirdanberkembangmengikutiperadabanmanusia yang
membangundanmanusiasemakinbanyakmembangunkerananya.
Penggunaankalkulusdalamkehidupanseharian.
Kalkulusdigunakan di setiapcabangsainsfizik, sainskomputer, statistik, teknik, ekonomi,
perniagaan, kedoktoran, kependudukan, danbidang-bidanglainnya. Setiapkonsep di
mekanikaklasiksalingberhubunganmelaluikalkulus.Massadarisebuahbendadenganmassajenis
yang tidakdiketahui, momeninersiadarisuatuobjek,
danjumlahtenagadarisebuahobjekdapatditentukandenganmenggunakankalkulus.
Dalamsubdisiplinlistrikdanmagnetisma, kalkulusdapatdigunakanuntukmencari total
fluksdarisebuahmedanelektromagnetik . Contohsejarahlainnyaadalahpenggunaankalkulus di
hukumgerak Newton, dinyatakansebagailajuperubahan yang merujukpadaturunan:
Lajuperubahanmomentum darisebuahbendaadalahsamadenganhasilgaya yang
bekerjapadabendatersebutdenganarah yang sama.

3. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
3
Selaindariitu,rumusumumdarihukumkedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
menggunakanperumusankalkulusdiferensialkeranapercepatanbolehdinyatakansebagaiturunand
arikecepatan. Teorielektromagnetik
MaxwelldanteorirelativitasEinsteinjugadirumuskanmenggunakankalkulusdiferensial.
Terimakasihdiucapkankepadapensyarahpembimbing yang
telahbanyakmembeimbingsayadalammenyempurnakantugasaninitepatpadamasanya.Sebagaip
elajar yang menuntutdidalampengajianmatematik,
wajarsayakatanakanbahawakalkulusasasinibanyakmembantuparailmuwanmatematikdansaintis
kitamelakukankajian yang lebihmendalamwalaupunadatajuk-tajuk yang
sukaruntuksayafahamicarapenyelesaiannya.
Sepanjangmelakukantugasanini,
sayamengalamipelbagaibentukcabaranminda.Inikeranajujurnyabahawatugasaninisayatidakbole
haplikasikankepadamurid-muridsaya yang
masihmentahilmupengetahuannya.Tugasaninisesuaiuntuksayafahamdantahukepentingankalkul
usasasdalamkehidupansehariankita yang selamainidilingkaridenganteknologimaklumat,
teknologipembuatandanteknologimakanan.SemuanyaberkisarkankepadaMatematikdansainsse
mata-mata.
Akhirsekali, sayamengucapkanberbanyak-banyakterimakasihkepadarakan-rakan yang
sudiberkongsiilmupengetahuanketikamenyiapkantugasanini, sokonganahlikeluarga yang
tidakberbelahbahagiadisaatfikiranmulabercelarudengankiraan yang panjang, sertasesiapajua
yang membantusecaralangsungmahupuntidak.
SEKIAN, TERIMA KASIH,.

4. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
4
Soalan 1:
Diberifungsi f:x →2x + 5 danfg:x →13 – 2x. Carikan
a) Fungsi g(x)
fg(x) = f [ g (x) ]
13 – 2x = 2 [ g (x) ] + 5
13 – 2x - 5 = 2 [ g (x) ]
8 – 2x = 2 [ g (x) ]
–
= g (x)
= g (x)
4 – x = g (x)
Jadi, g (x) = 4 - x

5. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
5
b) Fungsigf(x)
gf (x) = g [ f (x) ]
= 4 – f (x)
= 4 – ( 2x + 5 )
= 4 – 2x – 5
= -1 – 2x
Jadi, gf (x) = -1 – 2x
c) Nilaigf(2)
Jikanilaigf (2), maka
gf (x) = -1 – 2x
gf (2) = -1 – 2 (2)
= -1 – 4
= -5
Hasilnyaadalah-5.
Soalan2 :
Diberifungsif : x → x + 3. Jikafungsigubahangfialahgf : x → x² + 6x + 4, carikan
a) Fungsi g (x)

6. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
6
gf (x) = g [ f (x) ]
x² + 6x + 4 = g [ x + 3 ]
y = x + 3 x = y – 3
g (y) = ( y – 3 )² + 6 ( y – 3 ) + 4
= (y² - 6y + 9 ) + 6y – 18 + 4
= y² - 6y + 6y + 9 – 18 + 4
= y² - 5
Jadi, g (x) = x² - 5
b) Nilai g² (0)
g² (x) = g g (x)
= g [ g (x) ]
= ( x – 5 )² - 5
= x² - 10x + 25 – 5
= x² - 10x + 20
g² (0) = 0² 10 (0) + 20
= 20
Jadi, nilainyaadalah20.
Soalan 3:
Diberifungsif : x → x + 4 , danfungsi g : x → , Carikan
a) (x)

7. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
7
(x) = y
f (y) = x
y + 4 = x
y = x – 4
Jadi, (x) = x – 4 .
b) Nilai g (3)
g (x) =
=
= – 4
=
Nilainyaadalah .
Soalan4 :
Diberif : x → dan fungsi songsang : x → carikan
a) Nilai h dannilai k
(x) =
y =
y ( 2 – x ) = 3x + 1
2y – xy – 1 = 3x
2y – 1 = 3x + xy
2y – 1 = x ( 3 + y )
= x

8. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
8
=
Jadi, nilaih = 2dannilaik = 1.
b) Nilai x dengankeadaan f (x) = 3
f (x) =
= 3
= 3 ( x + 3 )
= 3x + 9
= 9 + 1
= 10
= -10
Jadi, nilaix = -10 .
Soalan1 :
Bezakansetiapungkapanberikutterhadap
a)
=
=
b) ( 3x – 4 )²
= 2 (3x – 4) (3)

9. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
9
= 6 (3x – 4)
= 18x – 24
c) 3x²
u = 3x² v =
du = 6x dv =
= 15x² (x + 2)⁴ + 6x
d)
u = x² - 1
du = 2x
v = 4x + 1
dv = 4
=
=
=
=

10. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
10
e) (3x² - 1)
v =
du = 6x dv =
=
= (3x² - 1) + (6x)
f)
g)
h)

11. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
11
i)
Soalan2 :
Jika y = x² + 4x ,tunjukkanbahawa
4x² - 4x² - 8x + 8x
= 0
Soalan3 :
Jika tunjukkanbahawa

12. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
12
Soalan4 :
Carikanpersamaantangendangaris normal kepadalengkung y = x² - 8x + 12 dititik (5, -3).
Soalan1 :
Soalan2 :

13. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
13
Soalan3 :
Soalan4 :

14. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
14
Soalan5 :
Soalan6 :

15. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
15
Soalan7 :
Carikanluasarantau yang dibatasiolehlengkung dan paksi-x.
Apabila y = 0
x (x – 2)(x – 3) = 0
maka x = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = 0 atau x = 2 atau x = 3
jadi, lengkung y = x (x – 2)(x – 3) menyilangpaksi-x pada x = 0, x = 2 dan x = 3.
Luasrantau A
Luasrantau B =

16. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
16
Soalan8 :
Carikanluasrantau yang dibatasiolehlengkung dan garis lurus .
Mencarititik-titikpersilangan :
y = 3x ………………………………(1)
y = x (8 – x) ………………………..(2)
gantikan (1) dalam (2).
3x = x (8 – x)
= 8x - x²
x² - 5x = 0
x(x – 5)= 0
x = 0 atau x – 5 = 0
x = 5
Apabila x = 0, y = 0

17. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
17
Apabila x = 5, y = 3(5) = 15
Jadi, titik-titikpersilanganialah (0,0) dan (5,15).
Luasbentuk OABC
-------------------
Jadi, luasrantau yang dikehendaki = luasrantauberlorek
= luasbentuk OABC – luassegitiga OBC
Soalan9 :
Carikanisipadubongkahperkisaranapabilaluas yang dibatasiolehlengkung ,
diputarkan melalui empat sudut tegak pada paksi-x.
X = 1 x = 2

18. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
18
Soalan10 :
Carikanisipadubongkahperkisaranapabilaluas yang dibatasiolehlengkung ,
diputarkan melalui empat suduttegakpadapaksi-y.
y = 2 y = 1 y = 3 y =
Isipadujanaan

19. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
19
Soalan11 :
Denganmenggunakankaedah gentian, carikan
1 et u = x² - 1
du = 2x dx
= x dx

20. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
20
Soalan12 :
Denganmenggunakankaedah integration by parts, carikan .
Soalan13 :
Cariluasrantau yang dibatasiolehlengkung dangarislurus .

21. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
21
Soalan 1:
Pecutansuatuzarah yang bergerakmengikutsatugarislurusadalahdiberioleh .
Diberibahawaapabila , carikan
(a) Halajuzarahituapabila t = 3s
(b) Sesaranzarahituapabila t = 2s

22. Kalkulus Asas : Penulisan Refleksi.
22
Soalan 2:
Satuzarahbergerakmengikutsatugarislurusdansesarannya, meter, darisatutitiktetap o
diberioleh , di mana ialahmasadalamsaatselepasmelalui o. Hitungkan.
(a) Halajuzarahituapabila t = 3s
(b) Pecutanzarahituapabila t = 4s
(c) Sesaranzarahituapabilazarahituberhentiseketika.