סיכום בנושא לוגיקה למדעי המחשב. קשרים, טבלאות אמת, שקילויות וזהויות לוגיות.

1. ‫לוגיקה‬
‫הגדרה: פסוק בסיסי (אטום) הוא ביטוי שיכול לקבל או אמת או שקר ולא יכול להתפרק למשהו בסיסי יותר.‬
‫דוגמא:‬
‫פסוק בסיסי – "היום חם", "השולחן ירוק".‬
‫לא פסוק בסיסי – "למה אנחנו בחדר הזה?", "היום חם והשולחן ירוק".‬
‫הגדרה: פסוק מורכב הוא פסוקים בסיסיים המחוברים ביניהם ע"י קשרים.‬
‫קשרים בסיסיים:‬
‫- שלילה‬
‫- או‬
‫- וגם‬
‫- גורר‬
‫- אם ורק אם‬
‫מושגים:‬
‫‪ ‬טבלת אמת: טבלה שבה מוצגות כל האפשרויות לערכים של הביטויים בהתאם לפסוקים הבסיסיים‬
‫שמופיעים בו.‬
‫‪ ‬בטבלת אמת של ביטוי שבו משתתפים ‪ K‬פסוקים בסיסיים שונים, יהיו 2 שורות (כל ביטוי תורם חזקה‬
‫‪k‬‬
‫אחת של 2).‬
‫‪ ‬קשר אונרי – קשר שפועל על פסוק אחד (שלילה).‬
‫‪ ‬קשר בינרי – קשר שמחבר בין שני פסוקים (או, וגם, גורר, אם ורק אם).‬
‫‪ ‬אמת=‪ ,T‬שקר=‪F‬‬
‫קשר "שלילה" (קשר אונרי, סימון: ~ ,‪) ‬‬
‫הקשר "שלילה" הופך את הערך של הפסוק עליו הוא פועל.‬
‫טבלת האמת של הקשר "שלילה"‬
‫‪P P‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫קשר "או" (קשר בינרי, סימון: ‪) ‬‬
‫הקשר "או" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "אמת", אם אחד משניהם לפחות הוא "אמת".‬
‫טבלת האמת של הקשר "או"‬
‫‪P Q Q P‬‬
‫‪T T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T F‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F F‬‬ ‫‪F‬‬

2. ‫קשר "וגם" (קשר בינרי, סימון: ‪) ‬‬
‫הקשר "וגם" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "אמת", רק אם ערך שני הפסוקים המחוברים הוא "אמת".‬
‫טבלת האמת של הקשר "וגם"‬
‫‪P Q QP‬‬
‫‪T T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F T‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F F‬‬ ‫‪F‬‬
‫קשר "גורר" (קשר בינרי, סימון:‪) ‬‬
‫הקשר "גורר" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "שקר", אך ורק כאשר ‪" P‬אמת" ו‪" Q‬שקר".‬
‫"אם היום ירד גשם, לא נצא לטיול.." – נוכל לסתור את המשפט אם ירד גשם ובכל זאת יצאנו לטיול. בכל מצב‬
‫אחר המשפט מתקיים. מה שחשוב ‪ F ‬רק כאשר סותרים "ברגל גסה" את המשפט, כאשר "לא אכפת לי"‬
‫הערך הוא ‪.T‬‬
‫טבלת האמת של הקשר "גורר"‬
‫‪P Q QP‬‬
‫‪T T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F F‬‬ ‫‪T‬‬
‫קשר "אם ורק אם" (קשר בינרי, סימון: ‪) ‬‬
‫הקשר "אם ורק אם" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "אמת", אם ורק אם, ערך שני הפסוקים המחוברים הוא‬
‫זהה.‬
‫טבלת האמת של הקשר "אם ורק אם"‬
‫‪P Q Q P‬‬
‫‪T T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F T‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F F‬‬ ‫‪T‬‬
‫דוגמאות לחישוב טבלאות אמת של פסוקים מורכבים:‬
‫1) ‪(P  Q)  P‬‬
‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P  Q‬‬ ‫‪(P  Q)  P‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬

3. ‫2) )‪( P  (Q  R‬כאן יש 3 פסוקים בסיסיים, לכן בטבלה יש 8 שורות)‬
‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪Q R‬‬ ‫)‪P  (Q  R‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫הגדרה: נאמר שפסוק מורכב הוא "טאוטולוגיה", אם בכל שורות טבלת האמת שלו מתקבל הערך "אמת",‬
‫כלומר, לכל הצבת ערכים על הפסוקים הבסיסיים, התוצאה המתקבלת היא "אמת".‬
‫מצד שני, נאמר שפסוק מורכב הוא "סתירה", אם בכל שורות טבלת האמת שלו מתקבל הערך "שקר",‬
‫כלומר, בכל הצבת ערכים על הפסוקים הבסיסיים, התוצאה הסופית היא "שקר".‬
‫דוגמא:‬
‫שייקספיר: "להיות או לא להיות" ‪P  P‬‬
‫‪P P‬‬ ‫‪P  P‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫טאוטולוגיה‬
‫"להיות ולא להיות" ‪P  P‬‬
‫‪P P‬‬ ‫‪P  P‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬
‫סתירה‬
‫שקילות לוגית (סימון ‪) P  Q‬‬
‫הגדרה: נאמר ששני פסוקים, ‪ P‬ו‪ Q‬הם שקולים לוגית, אם טבלאות האמת שלהם זהות.‬
‫ז"א, לכל הצבה של ערכים בפסוקים הבסיסיים של הביטויים, התוצאה המתקבלת ב‪ P‬ו‪ Q‬היא זהה.‬
‫דוגמא: ‪P  Q  P  Q‬‬
‫נבדוק זאת ע"י הצגת טבלת האמת:‬
‫‪P Q P  Q P P  Q‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫שקולים לוגית‬

4. ‫טענה:‬
‫‪ P, Q‬שקולים לוגית אם ורק אם הביטוי ‪ P  Q‬הוא טאוטולוגיה.‬
‫ז"א, טאוטולוגיות "מיוחדות" נותנות לנו זהויות/שקילויות לוגיות.‬
‫הוכחה:‬
‫סימון: לשם ציון כיוון ההוכחה, אם נרצה להוכיח טענה א' ‪ ‬טענה ב', נוכיח קודם ‪ ‬ולאחר מכן ‪. ‬‬
‫)‪ (‬נתון ש ‪ P, Q‬שקולים לוגית. צריך להוכיח ש‪ P  Q‬טאוטולוגיה.‬
‫המשמעות של שקילות לוגית של ‪ , P, Q‬היא שבכל שורה של טבלת האמת, הערכים של הביטוי ‪ P‬והביטוי ‪ Q‬הם‬
‫זהים. לכן, כיוון שהגדרת הקשר ‪ ‬היא שהוא מחזיר ערך אמת, כאשר הביטויים זהים נקבל שתוצאת הביטוי‬
‫‪ P  Q‬היא אמת לכל אחת משורות הטבלה, שכן ידוע שערכי ‪ P, Q‬הם זהים ולכן ‪ P  Q‬הוא טאוטולוגיה.‬
‫)‪ (‬נתון שהביטוי ‪ P  Q‬טאוטולוגיה – פירושו שהביטוי מקבל ערך ‪ T‬בכל שורה של טבלת האמת. לכן, עפ"י‬
‫הגדרת הקשר ‪ ‬נובע מכך שהערך של הביטוי ‪ P‬והביטוי ‪ Q‬זהים בכל אחת משורות טבלת האמת, אבל זוהי‬
‫בדיוק ההגדרה לכך ש ‪ P, Q‬שקולים לוגית.‬
‫רשימה של זהויות לוגיות:‬
‫1) ‪(P)  P‬‬
‫2) ‪( P  Q  Q  P‬חילוף)‬
‫3) )‪( ( P  Q)  R  P  (Q  R‬קיבוץ)‬
‫4) ‪) T  T  T ; F  F  F ( P  P  P‬‬
‫5) ‪P  F  P‬‬
‫‪P T  T‬‬
‫6) ‪P  P  P‬‬
‫7) ‪( P  Q  Q  P‬חילוף)‬
‫8) )‪( ( P  Q)  R  P  (Q  R‬קיבוץ, בגלל תכונות קיבוץ, אין צורך בסוגריים בהפעלת קשרים זהים ‪.) ,‬‬
‫9) ‪P  F  F‬‬
‫‪P T  P‬‬
‫01) )‪( P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R‬פילוג)‬
‫)‪( P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R‬פילוג)‬
‫11) ‪( P  ( P  Q)  P‬בליעה)‬
‫‪( P  ( P  Q)  P‬בליעה)‬
‫21) ‪( ( P  Q)  P  Q‬כללי דה מורגן)‬
‫‪( ( P  Q)  P  Q‬כללי דה מורגן)‬
‫31) ‪P  Q  P  Q‬‬
‫41) ‪( P  Q  Q  P‬מעין דרך השלילה, במקום להוכיח שא'‪ ‬ב', אנו מוכיחים ששלילת ב'‪ ‬שלילת א'‬
‫51) )‪P  Q  ( P  Q)  (Q  P)  (P  Q)  (Q  P)  ( P  Q)  (P  Q‬‬
‫61) ‪P  P  T‬‬
‫‪P  P  F‬‬
‫כל הזהויות דורשות הוכחה ע"י טבלאות אמת.‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬