1. Espacio afín
2º Bachillerato

3. Coordenadas en el espacio
→ → →
• Un punto O y una base B = { i , j , k } de los vectores libres del
espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
→ → →
Se escribe S = {O; i , j , k }.
• En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas
→ → → →
[OP] = x . i + y . j + z . k
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto
del sistema de referencia S.

4. Ejes coordenados. Planos coordenados
• Los tres vectores de la base B
determinan con el origen O
tres ejes de coordenadas
OX, OY, y OZ.
• Los planos OXY, OYZ y OZX
se denominan planos
coordenados del sistema de
referencia.

5. Coordenadas de un vector libre cualquiera
• Los puntos P y Q determinan el
→
vector fijo PQ
→ → →
• OP + PQ = OQ
→ → →
• PQ = OQ – OP
→ → →
• [PQ] = OQ – OP =
= (b – a, b' – a' , b" – a")
→ →
Las coordenadas de un vector libre u = [PQ] respecto de la base B =
→ → →
{ i , j , k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las
→ → →
correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O; i , j , k }.

6. Coordenadas del punto medio de un segmento
→ → → →→ 1
m = a + AM = a + AB =
2
→ → 1 →
1 → →
= a + (b–a)= (a+b)
2 2
x m = 1
 (x + x )
2 1 2
 1
ym = (y + y )
2 1 2
 1
zm =
 (z + z )
2 1 2

7. Elementos geométricos
Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los
puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.
Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétrica. La
dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.
Rectas y curvas
(dimensión 1)
Dimensión
Planos y superficies
(dimensión 2)

8. Rectas en el espacio: ecuación vectorial
• Una recta viene determinada por un punto
y una dirección. La dirección está
→
marcada por un vector libre u llamado
vector director.
→
• Un punto X está en la recta si y sólo si PX
→ → →
y u son proporcionales: [PX] = t · u
→ →
• Si p es el vector de posición de P, x es
el vector de posición de X, quedará:
→ → → → → →
x – p = t · u es decir: x = p + t · u
→ → →
La expresión x = p + t · u con t ∈ R es la ecuación vectorial de la recta que
→
pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.

9. Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas
•La recta que pasa por P de vector director
→
v (v1, v2, v3) se puede poner así:
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3)
•Al igualar coordenadas obtenemos:
x = xo + t.v1

y = yo + t.v2
z = zo + t.v3

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
x = xo + t.v1

→
por vector director v (v1, v2, v3) son y = yo + t.v2
z = zo + t.v3


10. Rectas en el espacio: ecuación en forma continua
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y
tienen por vector director (v1,v2,v3) son:
x = x 0 + tv1

 y = y 0 + tv 2
z = z + tv
 0 3
Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de
la recta que no dependen de ningún parámetro
Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que
tiene por vector director (v1, v2, v3) son:

11. Rectas en el espacio: ecuación implícita
Las ecuaciones en forma contínua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que
→
tiene por vector director v (v1, v2, v3) son x – xo y – yo z – zo
= =
v1 v2 v3
De aquí obtenemos tres ecuaciones:
x − x1 y − y1 z − z1 x − x1 y − y1 z − z1
= = =
v1 v2 v3 v1 v2 v3
Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo
una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos:
v2 x − v1 y + y1v1 − x1v2 = 0

v3 y − v2 z + z1v2 − y1v3 = 0
Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita.
En general :
 Ax + By + Cz + D = 0

A' x + B' y + C' z + D' = 0

12. Ecuaciones de los ejes coordenados
Vectorial Paramétrica Continua
→ →
 =t
x x y z
Eje OX x = t i  =0
y = =
1 0 0
 =0
z
 =0
x
x y z
→ →
Eje OY x = t j  =t
y = =
0 1 0
 =0
z
 =0
x
x y z
Eje OZ → →  =0
y = =
x =t k 0 0 1
 =t
z

13. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
La recta r queda determinada por la siguiente
−− → −− →
(b1, b2, b3) determinación lineal: r(A, AB) o por(B, AB)

(a1, a2, a3)
Por tanto la ecuación de la recta será:
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )

14. Planos: ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente
independientes. Se dice que a (A, → → ) es una determinación lineal del plano
v, w
alfa.
X está en α si y solo si AX es
→ →
combinación lineal de v y w. Por tanto
existirán dos números reales s y t tales
que: → → →
AX = s v + t w
→→ → →
Por tanto x – a = s v + t w
Y de aquí se obtiene la ecuación
vectorial del plano:
→ → → →
x = a + s v + t w, con s ∈R y t ∈R
→ →→ → →→
Se observa además que X ∈α ⇔ rango (AX, v, w) = 2 ⇔ det (AX, v, w) = 0

15. Planos: ecuaciones paramétricas
Partiendo de la ecuación vectorial del plano:
(x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')
obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con
ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones
paramétricas del plano son las siguientes:
x = x1 + ta + sa'

y = y1 + tb + sb'
z = z + tc + sc'
 1

16. Vector normal a un plano
Como A (x1,y1,z1)∈ π y B (x2,y2,z2)∈ π
tenemos que:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0
ax2 + by2 + cz2 + d = 0
Observamos que:
→
AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Restando término a término obtenemos:
a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0
→ →
n . [AB] = 0
→
El vector n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es
decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de
vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)

17. Planos: ecuación normal
Sea M un punto cualquiera del plano α, y
sea (A, B, C) un vector normal al plano.
Un punto X(x, y, z) está en el plano si y
→ →
sólo si n es perpendicular a MX. Por tanto:
→ → → → →
n · MX = 0 ⇔ n · ( x – m ) = 0
que es la ecuación normal del plano.
Desarrollando la expresión anterior
obtenemos:
(A, B, C) · (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0
A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0
o bien
Ax+By+Cz+D=0
donde A, B, y C son las componentes
del vector normal al plano.

18. Planos: ecuaciones de los planos coordenados
VectorialParamétrica Implícia
 =t
x
Plano OXY → t → s →  = s
x = i + j y z=0
 =0
z
 =t
x
Plano OXZ → t → s →  = 0
x = i + k y y=0
 =s
z
 =0
x
Plano OYZ → t → s →
x = j + k  =t
y x=0
 =s
z

19. Ecuación del plano que pasa por tres puntos
→ →
Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no
son paralelos.
La determinación lineal de dicho plano
será:
→→
(a", b", c") (x, y, z)
α AB, AC)
(A,
X Como los tres vectores están en el mismo
')
', c
plano, son dependientes y por lo tanto su
', b
ecuación se obtendrá desarrollando el
(a
siguiente determinante:
(a, b, c)
→ → →
det (AX, AB, AC) = 0
Si A(a, b, c), B(a', b', c') y C(a", b", c") entonces α de ecuación:
tendrá
x–a y–b z–c
a'–a b'–b c'–c = 0
a"–a b"–b c"–c

20. Posiciones relativas: recta y plano
Sean el plano p: ax + by + cz + d = 0 y la recta r dada como intersección de
p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0 .
Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número
de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B
las matrices asociadas a dicho sistema.
1 2 3
Recta y plano Recta contenida Recta y plano
secantes en el plano paralelos
Sistema compatible Sistema compatible
Sistema incompatible
determinado indeterminado de rango 2
rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3

21. Posiciones relativas: dos planos
Sean dos planos p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices
asociadas a dicho sistema.
1 2 3
Sistema compatible Sistema compatible
indeterminado de rango 2
Sistema incompatible
indeterminado de rango 1
rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1
a b a c
a' ≠ b' ó a' ≠ c' ó
a b c d a b c d
b c = = c' ≠ = = c' =
≠ c' a' b' d' a' b' d'
b'

22. Posiciones relativas: tres planos (I)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
2 2
1
a b
Prisma Dos planos paralelos
Triedro y un tercero secante a ellos
Los tres planos tienen Los tres planos no tienen Los tres planos no tienen
un punto en común puntos en común puntos en común
Sistema compatible
determinado Sistema incompatible Sistema incompatible
de rango 3
rango(A) = rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango(B) = 3

23. Posiciones relativas: tres planos (II)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
3a 3
4
b
Dos planos coincidentes
Tres planos distintos y un tercero secante a ellos Tres planos coincidentes
Los tres planos tienen Los tres planos tienen Los tres planos tienen
una recta en común una recta en común infinitos puntos
en común
Sistema compatible Sistema compatible Sistema compatible
indeterminado indeterminado indeterminado
de rango 2 de rango 2 de rango 1
rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

24. Posiciones relativas: tres planos (III)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
5 5
a b
Dos planos coincidentes
Tres planos paralelos y un tercero paralelo a ellos
Los tres planos no tienen Los tres planos no tienen
puntos en común puntos en común
Sistema incompatible Sistema incompatible
rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2

25. Posiciones relativas: dos rectas (I)
Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0.
Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a
dicho sistema.
1 2
Rectas coincidentes Rectas paralelas
Las rectas tienen todos Las rectas no tienen
sus puntos comunes puntos en común
Sistema compatible
indeterminado de rango 2 Sistema incompatible
rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 2; rango(B) = 3

26. Posiciones relativas: dos rectas (II)
Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0.
Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a
dicho sistema.
3 4
Rectas secantes Rectas que se cruzan
Las dos rectas tienen Las rectas no tienen
un punto en común puntos en común
Sistema compatible
determinado Sistema incompatible
rango(A) = rango(B) = 3 rango(A) = 3; rango(B) = 4

27. Haces de planos
1 Haz de planos paralelos 2 Haz de planos secantes
Dado ≡Ax+By+Cz+D=0 Dados π≡Ax+By+Cz+D=0
π ′≡ A′x+B′y+C′z+D ′ =0
Los haces de planos se pueden expresar
Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+D+ λ (A′x+B′y+C′z+D ′)=0
como Ax+By+Cz+λ =0 con λ є R. Para que el haz quede completo hay que
añadir: A′ x+B′ y+C′ z+D ′ =0