Mantık Devreleri

KBUZEM
Karabük Üniversitesi
Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM221
MANTIK DEVRELERİ
Prof. Dr. Mehmet Akbaba
mehmetakbaba@karabuk.edu.tr
1. HAFTA

Temel Kavramlar
• Sayı Sistemlerinin İncelenmesi
• Sayı Sayı Sistemlerinin Dönştürülmesi
• Sayı Sistemlerinde Hesaplama
Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 29/22/2014

Sayı Sistemlerinin İncelenmesi
Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 3
• SAYI SİSTEMLERİ
• 1. Sayı Sistemlerinin İncelenmesi
• Bir sayı sisteminde sayıyı S, taban değeri R
ve katsayıyı (ağırlık katsayısı) da d ile
gösterirsek tam sayı sistemi,
• S = dnRn + dn-1Rn-1 +... + d1R1 + d0R0
• formülü ile gösterilir. Kesirli sayıları ifade
etmek için aşağıdaki formül kullanılır.
• S = dn Rn + dn-1 Rn-1 +... + d1R1 + d0R0 + d-1R-1
+ dn-2R-2 +... olur.
• d katsayılarının en büyük değeri R-1 olabilir.
9/22/2014

Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221 4
• 1.1 Onlu (Decimal) Sayı Sistemi
• Onlu sayı sisteminde taban değer R=10’dur ve
10 adet rakam (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) kullanılır.
Eğer onluk sayıyı D ile gösterirsek genel
denklem,
• D = dn 10n + dn-110n-1 +... + d1 101 + d0100 + d-110-1
+ d -210-2 +... olur.
• Örnek: D = (69.3)10
• = d1R1 + d0R0 + d-1R 1
• = 6.101+ 9.100+3.10-1 = 69.3
9/22/2014

0 ve 1 rakamlarından meydana gelen ve taban
değeri 2 olan sayı sistemidir. İkili sayı
sisteminde her bir basamak BİT (Bİnary DigiT),
en sağdaki basamak en düşük değerli bit
(Least Significant bit- LSB (en anlansız bit)), en
soldaki basamak ise en yüksek değerli bit
(Most Significant bit-MSB (en anlamlı bit))
olarak ifade edilir. İkili sayı sisteminde sayı B
ile gösterilirse genel ifade;
B= dn 2n + dn-12n-1 +... + d1 21 + d0 20 + d-1 2+
d-2 2-2 +... şeklinde olur.
1111.10= 1x23 + 1x22 + 1X21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2
9/22/2014

• MSB 1110011 LSB
• İkili sayı sistemleri bilgisayar gibi sayısal
bilgi işleyen makinalarda kullanılmaktadır.
Fakat bu sayı sistemi ile bir sayının ifade
edilmesi için çok fazla sayıda basamak
kullanmak gerekir. Bu nedenle ikili sisteme
kolay çevrilebilen (veya tersi) sekizli (octal)
ve onaltılı (hexadecimal) sayı sistemleri
geliştirilmiştir.

1.3 Sekizli (Octal) Sayı Sistemi
• Taban değeri sekiz olan ve 0-7 arası (0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7) değer alan sayı sistemidir.
Genel ifadesi;
• O= dn 8n + dn-18n-1 +... + d1 81 + d0 80 + d-18-1 +
d-2 8-2 +... şeklinde olur.
• Örnek: X= (47.2)8
• X= 4x81+7x80+2x8-1

1.4 Onaltılı (Hexadecimal) Sayı
Sistemi
Taban değeri 16 olan ve 0-15 arası (0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) değer alan sayı
sistemidir. Genel ifadesi;
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12,
D=13, E=14, F=15)
H= d n16n + d n-116n-1 +... + d1 161 + d0 160 +
d -116-1 + d -216-2 +... olur.
9/22/2014

• Örnekler:
• a) H=(2A.C)16 =2x161+10x160+12x16-1
• b) H= (26.75)16= (2x161+6x160+7x16-1+5x16-2 )10
• c)
H=(A5D.2C)16=(10x162+5x161+13x160+2x16-1
+12x16-2)10

Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi
• 2. Sayı Sistemlerinin Dönüştürülmesi
• 2.1 Onluk sayıların ikili, sekizli ve onaltılı
sayılara dönüştürülmesi
• Onluk sayı sisteminde bir tamsayıyı diğer
sayı sistemine dönüştürmek için onluk sayı
dönüştürülecek sayıya sürekli bölünür ve her
bölme işleminden kalan sayı sondan başa
doğru (alttan yukarıya doğru) yazılır
(sıralanır).

• Onluk sayıların ikilik sayılara dönüştürülmesi
• ÖRNEK 1 : (53)10 sayısını ikili sayı sistemine
çeviriniz.
• 53 / 2 = 26, kalan = 1 En küçük bit (LSB: Less
Significant Bit)
• 26 / 2 = 13, kalan = 0 En küçük bit (LSB)
• 13 / 2 = 6 , kalan = 1
• 6/ 2 = 3, kalan = 0
• 3 / 2 = 1, kalan = 1
• 1/ 2 = 0, kalan = 1 En büyük bit (MSB)

• Tam sayı kısmı için sıralama aşağıdan
yukarıya doğrudur.
• (53)10 = (110101)2
• Örnek 2: (1271)10 sayısını ikili sayıya
dönüştürelim.
• Çözüm:

• İşlem Bölüm Kalan
• 1271 / 2 = 635 1
• 635 / 2 = 317 1
• 317 / 2 = 158 1
• 158 / 2 = 79 0
• 79 / 2 = 39 1
• 39 / 2 = 19 1
• 19 / 2 = 9 1
• 9 / 2 = 4 1
• 4 / 2 = 2 0
• 2 / 2 = 1 0
• 1 1

Sonuç olarak kalan kolonunu aşağıdan
yukarıya doğru sıralarsak;
(1271)10 = (10011110111)2
eşitliği bulunur.
Kesirli onluk sayılar ikili sayıya
dönüştürülürken kesirli kısım sürekli 2 ile
çarpılır. Çarpım sonucunda elde edilen sayının
tam sayı kısmı yazılır. kesirli kısım 2 ile
yeniden çarpılır. Bu işleme kesirli kısım ‘0’
değerine (veya 0’a çok yakın bir değere)
ulaşıncaya kadar devam edilir.
9/22/2014

Kesirli onlu sayılar ikili sayılara dönüştürülürken
kesir kısmı 2 ile çarpılır ve sadece tam sayı kısmı
kaydedilir. Sonucun sadece kesirli kısmı tekrar 2 ile
çarpılıp işleme devam edilir.
ÖRNEK 2 : (41.6875)10 sayısını ikili sisteme
çeviriniz.
Tamsayı kısmı
41 / 2 = 20, kalan = 1
20 / 2 = 10, kalan = 0
10/ 2 = 5 , kalan = 0
5/ 2 = 2, kalan = 1
1/ 2 = 1, kalan = 0
1/ 2 = 0, kalan = 1
9/22/2014

Kalan kolonu aşağıdan yukarıya doğru sıralanırsa:
(41)10 = (101001)2
Kesirli kısım
0.6875 *2 = 1.3750 tamsayı = 1
0.3750 *2 = 0.7500 tamsayı = 0
0.7500 *2 = 1.5000 tamsayı = 1
0.5000 *2 = 1.0000 tamsayı = 1
Kesirli kısım için sıralama yukarıdan aşağıya
doğrudur.
(0.6875)10 = (1011)2
(41.6875)10 = (101001.1011)2
9/22/2014

Örnek 3: (0.65)10 sayısını ikili sayı sistemine
çevirelim.
Tam sayı Kısım yok. Sadece kesirli kısım
vardır.
0.65 * 2 = 1.30 1 (s1)
0.30 * 2 = 0.60 0 (s2)
0.60 * 2 = 1.20 1 (s3)
Sıralama yönü yukarıdan aşağıya doğru
olduğundan s1, s2, s3 sıralaması takip edilir.
Sonuç; (0.65)10 ≅ (0.101)2
9/22/2014

Onluk sayıların sekizlik sayılara dönüştürülmesi
ÖRNEK 1: (46)10 sayısını sekizli sayıya
dönüştürün
46 / 8 = 5, kalan = 6
58 , kalan = 5
(46)10 = (56)8
Kesirli sayılar sekizli sayıya çevrilirken kesirli
kısım 8 ile çarpılarak devam edilir. Tam sayı
kısımlar alınıp yukarıdan aşağıya sıralanır.
9/22/2014

ÖRNEK 1: (46.15)10 sayısını sekizli sayıya
dönüştrün.
Tamsayı Kısmı Kesirli Kısım,
46/ 8 = 5, kalan = 6 0.150* 8 = 1.200 tamsayı= 1
58 , kalan = 5 0.200 * 8 = 1.600 tamsayı =1
0.600 * 8 = 4.800 tamsayı = 4
(53.15)10 = (56.114)8
(Daha fazla hassasiyet istenirse kesirli kısım için
işlem devam ettirilebilir)
9/22/2014

Onluk sayıların onaltılık sayılara dönüştürülmesi
ÖRNEK 1: (46)10 sayıyı onaltılık sayıya
dönüştürün.
46/16 = 2, kalan = 14
216, kalan = 2
(46)10 = (2E)16
Kesirli kısım 16 ile çarpılarak çikan sayının tam
sayı kısmı alınıp yukarıdan aşağıya doğru
sıralanır.
9/22/2014

ÖRNEK 2: (220.975)10 sayıyı onaltılık sayıya
dönüştrün.
Tamsayı kısmı
220 / 16 = 13 kalan = 12 (C)
13  16 kalan = 13 (D)
Kesirli kısım
0.975x16 = 15.600 tamsayı = 15 (F)
0.600x16 = 9.600 tamsayı = 9
0.600 x16 = 9.600 tamsayı = 9
(220.975)10 = (DC.F99)16
9/22/2014

2.2. İkili Sayıların Dnüştürülmesi
İkili sistemdeki bir sayı her basamağının ağırlık
katsayısı ile çarpılıp bulunan değerlerin
toplanması ile onlu sayı sistemine
dönüştürülür.
ÖRNEK: (10111.101)2 sayısını onlu sayıya
dönüştürünüz.
(10101.101)2 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1
x 20, 1 x 2-1+ 0 x 2-2 + 1 x 2-3 = 16 + 4 + 1, 0.5 +
0.125 = (23.625)10
9/22/2014

İkili Sayıların Sekizli Sayılara Dönüştürülmesi
İkili sayılar sekizliye dönüştürürken sayıların
tam kısmı sağdan sola doğru, kesirli kısım ise
soldan sağa doğru üçerli grup olarak
düzenlenir. Sonra her bir sayı katsayısı ile
çarpılarak sonuç bulunur.
ÖRNEK: (10101.101)2 sayısını sekizli sayıya
dönüştürün.
(10101.101)2 = (010 101 . 101) = (25.5)8
9/22/2014

İkili Sayıların Onaltılı Sayılara Dönştürülmesi
İkili sayılar onaltılı sayıya dönüştürürken sayıların tam
kısmı sağdan sola doğru, kesirli kısım ise soldan sağa
doğru dörderli grup olarak düzenlenir. Sonra her bir
sayı kendi katsayısı ile çarpılarak sonuç bulunur.
ÖRNEK: (11101.101)2 sayısını onaltılı sayıya
çeviriniz.
(11101.101)2 = (0001 1101 .1010)=(1 13 . 10)16
= (1D.A)16
9/22/2014

2.3 Sekizli Sayıların Dönüştürülmesi
Sekizli Sayıların İkili Sayılara dönüştürülmesi
Sekizli sayılar ikili sayılara dönüştürürken her
basamağın ikili sayıdaki karşılığı yazılır.
ÖRNEK: (673.124)8 sayısını ikili sayıya
dönüştürün.
610= 1102, 710 = 1112, 310 = 0112, 110 = 0012,
210 = 0102 , 4 10= 1002
(673.124)8 = (110 111 011.001 010 100)2
9/22/2014

9/22/2014
Sekizli Sayıların Onlu Sayılara dönüştürülmesi
Sekizli sayı onlu sayıya dönüştürürken her bir
basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve
toplam bulunur.
ÖRNEK : (32.12)8 sayısını onlu sayıya çeviriniz
(32.12)8 = 3 x 81 + 2 x 80 +1 x 8-1 + 2 x 8-2
= 24 + 2+0.125 + 0.03125 = (26.15625)10

9/22/2014
Sekizli Sayının Onaltılı Sayıya dönüştürülmesi
Sekizli sayıyı onaltılı sayıya dönüştürmenin en
kolay yolu sekizli sayıyı ikili sayıya dönüştrüp
sonra onaltılı sayıya dönştürmektir (İkili sayıya
dönüştürüldükten sonra 4’lü guruplar alınır).
ÖRNEK : (32.12)8 sayısını onaltılı sayıya
dönüştürün.
, 310 = 0112, 210 = 0102 , 110 = 0012, 210 = 0102
(32.12)8 = (011 010.001 010)2
= (0001 1010 . 0010 1000)2 = (1 10 . 2 8)16= (1A.28)16

9/22/2014
2.4 Onaltılı sayıların Dönüştürülmesi
Onaltılı sayıların ikili sayılara dönüştürülmesi
Onaltılı sayılar ikili sayılara dönüştürürken
onaltılı sayının her basamağındaki sayının ikili
sayı karşılığı 4 bit olarak yazılır.
ÖRNEK: (32.12)16 sayısını ikili sayıya
dönüştürün
310 = 0112, 210 = 0102 , 110 = 0012, 210 = 0102
(32.12)16 = (0011 0010. 0001 0010)2

9/22/2014
Onaltılı sayıların sekizli sayıya dönüştürülmesi
Onaltılı sayıları sekizli sayıya dönüştrmenin en
kolay yolu onaltılı sayıyı önce ikili sayıya
dönüştürüp sonra sekizli sayıya
dönüştürmektir.
ÖRNEK: (32.12)16 sayısını sekizli sayıya
dönüştürün.
= (0011 0010. 0001 0010)2
(32.12)16 = (62.044)8

9/22/2014
Onaltılı sayıların onlu sayıya dönüştürülmesi
Onaltılı sayı onlu sayıya çevrilirken her bir
basamaktaki sayı kendi katsayısı ile çarpılır ve
toplam bulunur.
ÖRNEK: (32.12)16 sayısını onlu sayıya
dönüştürün
(32.12)16 = 3 x 161 + 2 x 160, 1 x 16-1 + 2 x 16-2
= 48 + 2, 0.0625 + 0.00781
= (50.0703)10

9/22/2014
Sayı Sistemlerinde Hesaplama
3.0 Sayı Sistemlerinde Hesaplama
Bütün sayı sistemlerinde işaret (+ veya -)
kullanılabilir ve aşağıdaki bağıntılar bütün sayı
sistemlerinde uygulanabilir.
1) +a + (+b) = a + b 2) +a + (-b) = a - b
3) +a - (+b) = a - b
4) +a - (-b) = a + b

9/22/2014
3.1 İkili (Binary) Sayı Sisteminde Toplama
İkili sayılarda toplama onlu sayılarda olduğu gibi
basamak basamak toplamak suretiyle yapılır.
Binary (ikili) sayı sisteminde toplama kuralı
aşağıdaki gibidir:
0 + 0 =0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1= 0 ve bir önceki kolona 1 ekle
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1,
1+1=0 ve bir önceki (bir soldaki) kolona 1 ekle

9/22/2014
ÖRNEK 1: (111)2 sayısı ile (011)2
sayısını toplayınız.
1 1 1 Eklemeler
1 1 1
+ 0 1 1
10 1 0

9/22/2014
ÖRNEK 2: (1101.110)2 + (0110.101)2 + (1111.111)2
sonucunu bulunuz.
1101.110
0110.101
+ 1111.111
100100.010
Örnek 3: Desimal 64 ve 99 sayılarını binary
(ikili) sayı sistemi kullanarak toplayınız.
(carrie: elde)

9/22/2014
1 Carrie
6410 = 1 0 0 0 0 0 0
+ 9910 = 1 1 0 0 0 1 1
16310 = 1 0 1 0 0 0 1 1
1x27+0x26+1x25+0x24+0x23+0x22+1x21+1x20
=128+0+32+0+0+0+2+1=16310
(10100011)2=(163)10
(binary 10100011 = desimal 163)

9/22/2014
1.İkili (Binary) Sayı Sisteminde Çıkarma
İkili sayılarda çıkarma onlu sayılara benzer
olarak yapılır.
0 - 0 = 0, 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0, 0 - 1 = 1 (Borç
(barrow) 1, (bir soldaki kolondan 1 borç alınır) )
ÖRNEK: (1101.110)2 - (0110.101)2 sonucunu
bulunuz.
1101.110
- 0110.101
0111.001

9/22/2014
İkili sayılarda sayının sıfırdan küçük olması
durumunda doğrudan çıkarma işlemi
uygulanamamaktadır. Bunun yerine tümleyen
aritmetiğine göre çıkarma işlemi
uygulanmaktadır.
ÖRNEK 1: (11)2 sayısını (111001)2 sayısından
çikartınız. (barrow: Borç)

9/22/2014
ÖRNEK 1: (11)2 sayısını (111001)2
sayısından çikartınız. (barrow: Borç)
1 1 borrows
1 1 1 0 0 1
- 1 1
1 1 0 1 1 0

9/22/2014
1 1 1 1 borrows
1 0 0 0 0
- 1 1
1 1 0 1
Örnek 2:

İkili Sayı Sisteminde (Binary) Çarpma
Binary çarpmanın temeli aşağıdaki gibidir:
0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1
409/22/2014 Prof. Dr. Mehm Akbaba BLM221

1310 ve 1110 sayılarının binary çarpımını bulalım:
Örnek 1
1 1 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 0 1
0 0 0 0
1 1 0 1
1 0 0 0 1 1 1 1
=14310

9/22/2014
Örnek 2: Binary çarpma yaparken eldeleri şaşırmadan
doğru yapmak için ara çarpımlar yapmak kolaylık
sağlar.
1 1 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1 1. ara çarpım
(0 1 1 1 1) 1. ve 2. ara çarpımların toplamı
(1 0 0 1 0 1 1) 3. ara çarpımdan sonraki toplam
1 1 0 0 0 0 1 1 Sonuç

İkili (Binary) Sayı sisteminde Bölme
Binary bölme normal ondalık sayıdaki
bölme gibidir
Örnek 1: 1102 sayısını 102 sayısına
bölelim ( binary bölme)
1 1
1 0 1 1 0
1 0
0 1 0
1 0
0 0
(Sonuç)

9/22/2014
Örnek 2: Sayısını 2510 810 sayısına binary olarak
bölelim (=3.12510)
11.001
1000 11001
1000
01001
1000
0001000
1000
0000

KAYNAKÇA
1. Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim
Yayınları, 4. Baskı, 2005
2. Lojik Devre Tasarımı, Taner Arsan, Rifat
Çölkesen, Papatya Yayıncılık, 2013
3. Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals,
Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006
4. M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital
Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997
5. Hüseyin Demirel, Dijital Elektronik, Birsen
Yayınevi, İstanbul, 2012
9/22/2014

Teşekkür Ederim
Sağlıklı ve mutlu bir hafta
geçirmeniz temennisiyle, iyi
çalışmalar dilerim…

KBUZEM
BLM221
MANTIK DEVRELERİ
Prof. Dr. Mehmet Akbaba
mehmetakbaba@karabük.edu.tr
2. HAFTA

Temel Kavramlar
• Tümleyen Aritmetiği
• r Tümleyeni Aritmetiği
• r-1 Tümleyeni Aritmetiği
• İkili Sayı Kodları
• BCD Kodu
• Ağırlıklı Kodlar
• Ağırlıksız Kodlar
Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 222.09.2014

Tümleyen Aritmetiği
• Öncelikle bilmek gereken konu sadece
negatif (-) sayıların tümleyeninden
bahsediliyor. Tümleyenini alcağımız sayıların
negatif sayılar olduğunu varsaycağız.
• Tümleyen ifadesini örneklemek için sayıcıları
kullanabiliriz. Sayıcılar yukarı doğru
sayarken 01, 02 diye artar. Aşağı doğru
sayarken ise 09, 08 diye azalır. Burada 09’un
tümleyenine 01, 08’in tümleyenine de 02
denilmektedir.

• İkili sayı sisteminde iki tümleyen
kullanılmaktadır. Bunlar 1’in tümleyeni ve
2’nin tümleyeni r tabanlı bir sayı sisteminde
tümleyenler r (r:radix (tümleyeni ve r-1
tümleyeni olarak ifade edilir.
• ÖRNEK: 10 tabanlı bir sayı sisteminde r
tümleyeni 10, r-1 tümleyeni 9 dur.
•

2.1.1 r-Tümleyeni
r tabanlı bir tam sayı sisteminde n
basamaklı pozitif tamsayı N ile gösterilirse
N sayısının r tümleyeni Nr=rn-N olarak
tanımlanabilir (n: kullanılan bit veya
basamak sayısı.)
ÖRNEK 1: (125.456)10 sayısının 10
tümleyenini bulunuz.
(125)10 sayısının tamsayı kısmı 3
basamaklıdır. Bu nedenle rn = 103 tür.
Nr=rn- N = 103 -125.456 = 874.544
22.09.2014

22.09.2014
Örnek 7: (21.426)10 sayısının 10’a tümleyenini ve
9’a tümleyenini bulunuz.
10’a tümleyeni:
Nr=10n-N=100.000-21.456=78.544 olur.
9’a tümleyeni:
r-1 tümleyen=Nr-1=rn-r-m-N
Nr-1=102-10-3-21.426=100-0.001-21.426=78.543
olur.

• ÖRNEK 2: (110010.1011)2 sayısının 2’ye
• (110010.1011)2 sayısının tamsayı kısmı 6
basamaklıdır. Bu nedenle rn = 26 dır.
• Nr=rn- N = 26 – 110010.1011 = 1000000-
110010.1011 = 0001101.0101 olur.
• İkili sayı sisteminde 2’nin tümleyeni iki şekilde
bulunabilir (ikili sayı sisteminde r=2 dir).
• N sayısındaki bitlerin tersi alınır (1’ler 0, 0’lar 1
yapılır) ve LSB’e 1 eklenir.

• ÖRNEK 3: (110010)2 sayısının r (r=2)
• (110010)2 sayısında 1’ler 0, 0’lar 1 ile
değiştirilirse (001101)2 sayısı elde edilir.
LSB’e 1 eklenirse (001110)2 sayısı bulunur.
• (110010)2 sayısının r tümleyeni (001110)2 dir.
• N sayısındaki LSB’ten itibaren sıfırdan farklı
ilk sayıya kadar (ilk sayı dahil) alınır, kalan
bitlerin tersi alınır. (1’ler 0, 0’lar 1 yapılır)
Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221i 8
22.09.2014

ÖRNEK 4: (110010)2 sayısının r (burada r=2)
2’ye tümleyenini bulunuz.
(110010)2 sayısında 0’dan farklı ilk sayıya
kadar bitler yazılır ve kalan bitlerin tersi
alınırsa (001110)2 sayısı elde edilir.
(110010)2 sayısının 2 tümleyeni (001110)2 dir.
Veya rn-N fomülü uygulanırsa:
Nr=26-110010=1000000-110010=001110
elde edilir.
22.09.2014

PPProf. Dr. M. Akbaba BLM 221i 10
2.1.2 r-1 Tümleyeni
• Bir N tam sayının r-1 tümleyeni Nr-1=rn-1-N olur.
• Kesirli bir N sayının tümleyeni Nr-1=rn-r-m-N dir.
• n: tamsayı kısmındaki basamak (digit) sayısı
• m: kesirli kısımdaki basamak (digit) sayısı
• ÖRNEK 5 : 2314 desimal sayısının 9’a tümlenini
bulalım. Çözüm n=4, r=10. 104-1-2314=
• =10000-1-2314 =9999-2314=7685 elde edilir.
• ÖRNEK 6: Binary (101101)2 sayısının r-1 (r=2)
veya 1’ tümleyenini bulunuz.
22.09.2014

Prof. Dr. M. Akbaba BLM 221 11
• ÖRNEK 7 : 2314 desimal sayısının 9
tümlenini bulalım.
• n=4, r=10. 104-1-2314=10000-1-
2314=9999-2314=7685 elde edilir.
• ÖRNEK 8: Binary (101101)2 sayısının r-1 (r=2)
veya 1 tümleyenini bulunuz.
• Normalde 0 ları 1 birleri 0 yapmak yeter:
Sonuç= 010010 elde edilir.
22.09.2014

22.09.2014
Fomül uygulanırsa:
26-1-101101=1000000-
0000001-101101=0010010
aynı sonuç bulunur.
Normalde 0 ları 1 birleri 0 yapmak yeter:
Sonuç= 010010 elde edilir.

22.09.2014
Kesirli sayıların r-1 tümleyeni Nr-1= rn-r-m-N dir.
Örnek 9: (624.125)10 sayısının 10’a ve 9’a tümleyenlerini
bulunuz.
Çözüm: r=10, n=3, m=3
Sayının 10’a tümleyeni=103-624.125=375.875 olur.
9’a tümleyeni=103-10-3-624.125=375.874
Örnek 10: (100110.011)2 binary (ikili) sayısının 2’ye ve 1’e
tümleyenlerini bulunuz.
Çözüm: r=2, n=6, m=3
Sayının 2’ye tümleyeni: 26-100110.011=011000.101
1’e tümleyeni:
1000000-0.001-100110.011=1000000-100110.100
=0011001.1 olur

• ÖRNEK11 : Desimal (725.250) sayısının 9’a
• r = 10, n = 3, m = 3 olduğundan 9’a tümleyeni;
• 103 -10-3 - 725.250 =1000-0.001-725.250= 275.749
• ÖRNEK 12: Binary (110.1011) sayısının 1’e
tümleyenini bulunuz. r = 2, n = 3, m = 4 olduğundan
1’e tümleyeni;
• 23 -2-4 - 110.1011 = 1000-0.0001 - 110.1011 = 001.0100

• Yukarıdaki örneklerden görüleceği gibi 10
tabanındaki bir sayının r-1 =9’a tümleyeni
bulunurken her basamaktaki sayı 9’dan
çıkarılır.
• İkili sayı sisteminde ise bitler ters çevrilir.
• ÖRNEK 13: (1001011011)2 binary sayısının
1’e tümleyenini bulunuz.
• Çözüm: 0 ları 1 ve 1 leri 0 yapmak yeterli.
Sonuç: 0110100100 olur.

• 2.1.4. r tümleyen aritmetiği ile çıkarma
• R tabanındaki iki pozitif sayının ‘M - N’ işlemi
aşağıdaki gibi özetlenebilir.
• a) M sayısının kendisi ile N sayısının r
tümleyeni toplanır
• b) Toplama sonucunda bulunan değerin
‘elde’ si varsa bu değer atılır ve sayının
pozitif lduğu kabul edilir. Eğer elde değeri
yoksa bulunan değerin r tümleyeni alınır ve
önüne - işareti konur.

• ÖRNEK 1: (72532-3250) işleminin sonucunu
10’a tümleyen kullanarak bulunuz.
• 03250 sayısının 10 tümleyeni 100000 - 3250 =
96750.
• Ohalde sonuç: 72532 + 96750 = 169282 (Elde
1 var)
• İşaret biti 1‘dir bu yüzden sonuç +69282 dir.

22.09.2014
ÖRNEK 2: Desimal (03250 - 72532) işleminin
sonucunu 10 tümleyeni kullanarak bulunuz.
72532 sayısının 10 tümleyeni 100000 - 72532 =
27468 03250 + 27468 = 030718 (Elde 0 var)
İşaret biti 0‘dır bu yüzden 030718’in tümleyeni
alınır ve önüne - işareti konur.
Sonuç (-69282) dir.

22.09.2014
ÖRNEK 3: (1010100)2 - (1000100)2
işleminin sonucunu 2’nin tümleyenini
kullanarak bulunuz.
(1000100)2 sayısının 2 tümleyeni 0111100
dir. Dolayısiyle sonuç: 1010100 + 0111100
= 10010000 (İşaret biti 1)
İşaret biti 1 olduğundan sonuç + 0010000
olur.

22.09.2014
2.1.5 r-1 tümleyeni ile çıkarma
r-1 tümleyeni ile çıkarma işlemi r tümleyeni
ile çıkarma işlemine benzer. M-N işlemi için
a) M sayısının kendisi ile N sayısının r-1
tümleyeni toplanır
b) Sonuçta elde (taşma) biti oluşursa
bulunan değere (taşma bitinden geriye
kalan kısım) 1 eklenir.
Taşma biti oluşmazsa sonuç sayının
tümleyeni alınır ve sayı negatif işaretli olur.

22.09.2014
ÖRNEK 1: (72532-3250) işleminin sonucunu 9
tümleyeni kullanarak bulunuz.
Çözüm: Nr-1=rn - r-m – N formülü kullanılırsa
negatif sayı -03250 sayısının 9’a tümleyeni
105-0-3250-1= 99999 - 3250 = 96749 dır.
72532 + 96749 = 169281 (Elde 1 var)
İşaret biti 1‘dir bu yüzden sonuç 69281+1 =
= +69282 olur.

22.09.2014
ÖRNEK 2: (03250 - 72532) işleminin sonucunu
9’a tümleyeni kullanarak bulunuz.
Çözüm:
72532 sayısının 9 tümleyeni 99999 - 72532 =
27467 dır.
03250 + 27467 = 030717 (Elde 0 var)
İşaret biti 0‘dır bu yüzden 30717’in tümleyeni
alınır ve önüne -işareti konur. Sonuç (-69282)

22.09.2014
ÖRNEK 3: (1010100)2 - (1000100)2 işleminin
sonucunu 1’in tümleyenini kullanarak
bulunuz.
(1000100)2 sayısının 1 tümleyeni 0111011 dir.
1010100 + 0111011 = 10001111 (İşaret biti
(elde) 1)
İşaret biti 1 olduğundan sonuç 0001111 + 1 =
0010000 dır.

22.09.2014
Örnek Soru Çözümleri
Soru 1 - Aşağıdaki sayıları onluk tabana
dönüştürünüz.
a) (4310)5 b) (198)12 c) (735)8 d) (525)6
Çözüm:
(4310)5 = 4 * 53 + 3 * 52 + 1 * 51 =( 580)10
(198)12 = 1 * 122 + 9 * 121 + 8 * 120 = (260)10
(735)8 = 7 * 82 + 3 * 81 + 5 * 80 = (477)10
(525)6 = 5 * 62 + 2 * 61 + 5 * 60 = (197)10

22.09.2014
d) Önce sayının binary (ikili) sayıya
dönüştürülmesi gerekir. Decimal sayının
binary sayıya nasıl dönüştürüleceğini
biliyoruz.
(23.84)10 =(10111)2 olur.
1’e tümleyen= 01000,
2’ye tümleyen=01001 olur.

22.09.2014
Soru 2 - Aşağıdaki sayıların 1’e (1’s complement)
ve 2 ‘ye (2’s complement) tümleyenlerini
bulunuz.
a) (1100110)2 b) (01101101)2 c) (111101)2
d) (23.84)10 e) (125.625)10
Çözüm:
a) 1’e tümleyen: 0011001,
2’ye tümleyen: 0011010
b) 1’e tümleyen: 10010010,
c) 1’e tümleyen: 000010,

22.09.2014
e) Sayının binary (ikili) dönüşümü:
(125.625)10=(1111101.101)2
1’e tümleyen: 0000010.100,
2’ye tümleyen: 0000011.100

22.09.2014
Soru 3: Aşağıdaki sayıları onluk sayılara
dönüştürmeden toplayın ve çarpın.
a) (11001)2 ve (1101)2 b) (2AC)16 ve (E2)16
c) (3A4)16 ve (C5)16
Çözüm: a) 11001 (=2510)
+ 1101 (=1310)
100110 = (38)10

22.09.2014
11001
X 1101
11001
+ 11001
1001011
+ 11001
(10010011)2 =(275)10=(25X11)

22.09.2014
(2AC)16 [ (684)10]
+ ( E2)16 [ (226)10] (684+226=910)
( 38E)16 =(910)10
b)
(2AC)16 [ (684)10]
X ( E2)16 [ (226)10] (684x226=154584)
558
+ 2568
(25BD8)16 = (154584)10

22.09.2014
(3A4)16 [ (932)10]
+ ( C5)16 [ (197)10] (932+197=1129)
c)
( 469)16 =(1129)10
(3A4)16 [ (932)10]
X ( C5)16 [ (197)10] (932x197=183604)
1234
+ 2BB0
(2CD34)16 = (183604)10

İKİLİ SAYI SİSTEMİNDE (BINARY) KODLAR
1) İKİLİ KODLANMIŞ ONLU SAYI KODU (BINARY CODED
DECIMAL (BCD))
Bilgisayarlar genelde binary sayılarla işlem yaparlar,
ancak sonuçlar onluk sayı sisteminde verilir. Bu nedenle
ondalık (Decimal) sayıların ikili sayı sistemşnde
kodlanması gerekmektedir. Aşağıdaki örnek bu kodlayı
açıklamaya yeterlidir
937.25 sayısı BCD olarak aşğıdaki gibi kodlanır:
1001 0011 0111 . 0010 0101
9 3 7 2 5
Görüldüğü gibi her bir decimal (onluk) sayı binary
(ikili) sayı olarak kodlanmıştır.
329/22/2014 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba

33
BCD (İkili (binary) kodlanmış ondalık sayı) sayılarla
Toplama:
Örnek 1: 14610+25910=40510
0001 0100 0110 BCD formunda yazılım
+ 0010 0101 1001
0011 1001 1111
+ 0110 düzeltme sayısı (1111>9)
0011 1010 0101
+ 0110 düzeltme sayısı (1010>9)
0100 0000 0101 =40510
Herhangi bir BCD blok 9 dan büyük olunca o bloka
düzeltme sayısı olarak 6 (binary 0110) eklenir.

34
Örnek 2:
5210+19910=25110
0000 0101 0010 BCD formunda yazılım
+ 0001 1001 1001
0001 1110 1011
+ 0110 0110 düzeltmeler
0010 0101 0001 =25110

2) 8-4-2-1 KODU (bu kod ağırlıklı bir koddur)
8-4-2-1 KODU
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1

3) 6-3-1-1 KODU (AĞIRLIKLI KOD)
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 1 0 0
4 0 1 0 1
5 0 1 1 1
6 1 0 0 0
7 1 0 0 1
8 1 0 1 1
9 1 1 0 0

3) 4-3-2-1 CODE (Ağırlıklı kod)
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 1 0 0
4 1 0 0 0
5 1 0 0 1
6 1 0 1 0
7 1 1 0 0
8 1 1 0 1
9 1 1 1 0
9/22/2014 38Prof. M. Akbaba Digital Logic

9/22/2014 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba 39
AĞIRLIKLIKSIZ KODLAR

4) ARTI 3 (EXCESS 3) Kodu (Ağırlıksız kod)
0 0 0 1 1
1 0 1 0 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 0
4 0 1 1 1
5 1 0 0 0
6 1 0 0 1
7 1 0 1 0
8 1 0 1 1
9 1 1 0 0
40
Bu kod 8-4-2-1 kodunun her sayısına 3 (0011)
eklenerek bulunmustur ve ağırlıksız bir koddur.

5. 5’te 2 Kodu (AĞIRLIKSIZ KOD)
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
2 0 0 1 1 0
3 0 1 0 0 1
4 0 1 0 1 0
5 0 1 1 0 0
6 1 0 0 0 1
7 1 0 0 1 0
8 1 0 1 0 0
9 1 1 0 0 0
41
her ondalık sayı 5 bit ile yazılmıştır ve her satırda
sadece iki tene 1 vardır. Analog-digital ölçmelerde
çok kullanılan bir koddur.9/22/2014 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba

6) GRAY Kodu (Ağırlıksız kod)
9/22/2014 42Prof. M. Akbaba Digital Logic
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 0 1 0
4 0 1 1 0
5 0 1 1 1
6 0 1 0 1
7 0 1 0 0
8 1 1 0 0
9 1 1 0 1
Ölçülmüş anlog işaretlerin dijital işarete
dönüştürülmesine sıkça kullanılan bir koddur (A/D
converters), örneğin motorların hızını when mesuring
mil encoderi kullanarak ölçülmesinde.

43
ASCII: American Standard Code for
Informatıon Interchange
ASKI (ASCII) KOD

Table 1-3
ASCII code
(incomplete)

9/22/2014 BLM221-B Mantik Devreleri Hafta 1-2 Ek Notlar Prof. Dr. Akbaba 45
Kaynakça:
1. Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim
2. Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals,
3. M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital
4. Hüseyin Demirel, Dijital Elektronik, Birsen

Teşekkür Ederim

KBUZEM
BLM 221
MANTIK DEVRELERİ
Prof Dr Mehmet AKBABA
3. HAFTA

Temel Kavramlar
• BOOLE CEBİRİ.
• TEMEL TEOREMLER
• BOOLEAN İFADELERİNİN LOJİK
KAPILARLA GERÇEKLEŞTIRILMESİ VE
DOĞRULUK TABLOLARI
Prof. Dr. Mehmet Akbaba BLM221 214.12.2013

BOOLE CEBİRİ
• Elektronik devrelerin bir kısmını oluĢturan
anahtarlamalı sistemlerin temelini oluĢturduğu
Lojik devreler, ikili moda göre çalıĢır ve giris
/çıkıĢları ‘0’ veya ‘1’ değerlerinden birisini
alabilir. Böyle bir devre, cebirsel veya grafiksel
yöntemlerden birisi kullanılarak sadeleĢtirilebilir.
Lojik devrelerin sadeleĢtirilmesinde kullanılan
yöntemlerden birisi, temel prensiplere göre
doğruluğu kabul edilmiĢ iĢlemler, eĢitlikler ve
kanunlardan oluĢan Bool kurallarıdır.

BOOLE CEBĠRĠ
• Diğer bir deyiĢle; ‘Bool kuralları’, dijital
devrelerin sahip oldukları giriĢlerin etkilerini
açıklamak ve verilen bir lojik eĢitliği
gerçekleĢtirilecek en iyi devreyi belirlemek
amacıyla lojik ifadeleri sadeleĢtirmede
kullanılabilir.4
• Bool DeğiĢkeni: Ġki adet boolean değiĢkeni
vardır. 0-1, D (doğru)-Y(yanlıĢ), H(high)-L(Low),
ON-OFF bool değiĢkenleri olarak
kullanılmaktadır. Bu derste 0-1 kullanılacaktır.

BOOLE CEBİRİ
Bool ĠĢlemleri: Bool değiĢkenlerinin dönüĢümünde
kullanılan iĢlemlerdir. Bu iĢlemler VE (AND),
VEYA(OR), DEĞĠL (NOT) iĢlemleridir.
• 3.1 VEYA (OR) ĠĢlemi:
• Matematikteki toplama iĢlemine karĢılık gelmektedir.
Elektrik devresi olarak birbirine paralel bağlı
anahtarlar ile gösterilebilir.
• ġekil 3.1.a’de VEYA (OR) iĢleminin doğruluk tablosu,
ġekil 3.1.b’ de simgesi, ve ġekil 3.1.c’ de elektrik
devre eĢdeğeri verilmiĢtir.

Prof. Dr. Mehmet Akbaba BLM221 6
A B C=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
ġekil 3.1.a: VEYA (OR) iĢleminin
doğruluk tablosu
ġekil 3.1.b: VEYA (OR) iĢleminin simgesi
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ġekil 3.1.c: VEYA (OR) ĠĢlemi: Elektrik devre
eĢdeğeri
OR kapısı lojik toplama iĢlemi yapar.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

3.2 VE (AND) ĠĢlemi:
Matematikteki çarpma iĢlemine karĢılık
gelmektedir. Elektrik devresi olarak birbirine seri
bağlı anahtarlar ile gösterilebilir.
ġekil 3.2.a’da VE (AND) iĢleminin doğruluk
tablosu, ġekil 3.1.b’ de simgesi, ve ġekil 3.1.c’ de
elektrik devre eĢdeğeri verilmiĢtir.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ġekil 3.2.a: VE (AND) iĢleminin doğruluk tablosu
ġekil 3.2.b: VE (AND) iĢleminin simgesi
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ġekil 3.2.c: VE (AND) iĢleminin elektrik devre
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Yukarıda iki değiĢkenli Bool iĢlemleri verilmiĢtir.
DeğiĢken sayısı arttığında da iĢlemler benzer olarak
yapılmaktadır. Üç değiĢken için VE (AND) iĢleminin
elektrik devre eĢdeğeri ġekil 3.3.a’da ve doğrurluk
tablosu ġekil 3.3.b’da verilmiĢtir.
ġekil 3.3.a: Üç değiĢkenli VE (AND) iĢleminin
elektrik devre eĢdeğeri
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ġekil 3.3.b: Üç değiĢkenli VE
(AND) iĢleminin doğruluk
tablaosu
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

3.4 DEĞĠL (NOT) ĠĢlemi:
A değiĢkeninin DEĞĠL’i A’ veya 𝑨 ile
gösterilir.
□ A A’
0 1 (A=0 ise A’=1)
1 0 (A=0 ise A’=1)
DEĞĠL (NOT) iĢlemleminin simgesi ġekil 3.4’de
verilmiĢtir.
ġekil 3.4: DEĞĠL (NOT) iĢlemleri verilmiĢtir
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

3. 5. BOOLEAN ĠFADELERĠNĠN LOJĠK KAPILARLA
GERÇEKLEġTIRILMESĠ VE DOĞRULUK TABLOLARI
(TRUTH TABLES)
a) AB’+C (3.1)
b) [A(C+D)]’+BE (3.2)
AĢağıdaki lojik bağıntılar lojik kapılarla kolayca
gerçekleĢtirilebilir:
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ġekil 3.4 :(3.1) ve (3.2) bağıntılarını gerçekleĢtiren
lojik devreler
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

A’+B bağıntısının devresi ve doğruluk tablosu
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ġekil 3.5 AB’+C ve (A+C)(B’+C) lojik ifadelerinin
doğruluk tablosunu göstermektedir. 3 tane
değiĢken söz konusu olduğu için doğruluk
tablosunda
23=8 kombinasyon dolayısı ile 8 satır olacaktır (n
deiğiĢkenin 2n kombinasyonu vardır).
ġekil 3.5 deki tablo aynı zamanda
AB’+C=(A+C)(B’+C) (3.3)
Lojik eĢitliğin ispatınıda vermektedir.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ġekil 3.5: (3.3) Lojik ifadesinin (eĢitliğinin)
doğruluk tabloları ile ispatı
BOOLE CEBĠRĠ
14.12.2013

TEMEL TEOREMLER
0 ve 1 ile iĢlem:
X+0=X (3.4) X.1=X (3.4D)
X+1=1 (3.5) X.0=0 (3.5D)
Idempotent kuralı:
X+X=X (3.6) X.X=X (3.6D)
Involution (involüsyon ) kuralı:
(X’)’=X (3.7)
Tümlerin varlığı (complementarity) kuralı:
X+X’=1 (3.8) X.X’=0 (3.8D)
Bu teoremlerde X herhangi bir bağıntı (lojik ifade) olabilir.
. Bu durumda teorem (3.5) ten:
(AB’+D)E+1=1 Ve teorem (3.8D) den:
(AB’+D)(AB’+D)’=0
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

=
Teorem A.A=A nın anahtarlama devresi karşılığı
=
=
Teorem A+A=A nın anahtarlama devresi karĢılığı
Teorem A+0=A nın anahtarla devresi karĢılığı
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Yer değiĢtitme (Commutative), BirleĢme (Associative)
ve Dağılma (Distributive) kuralları
Yer değiĢtitme (Commutative ) kuralı:
XY=YX (3.9) X+Y=Y+X (3.9D)
Yer değiĢtitme (Associative) kuralda boole ifadelerini
istediğimiz Ģekilde yazabiliriz:
(XY)Z=X(YZ)=XYZ (3.10)
(X+Y)+Z=X+(Y+Z)=X+Y+Z (3.10D)
BOOLE CEBĠRĠ
14.12.2013

©2004 Brooks/Cole
Table 2-2: Proof of Associative Law for AND
BirleĢme (Associative) kuralının doğruluk tablosu ile
ispatı
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ġekil 3.5: AND and OR için Associative kural
(kanun) (Law) devreleri
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Dağılma (Distributive) kuralı
Birinci dağılma (distributive) kuralı:
X(Y+Z)=XY+XZ
Ġkinci dağılma (distributive) kuralı:
X+YZ=(X+Y)(X+Z)
(bildiğimiz normal matematik kurallarında bu
bağıntı geçerli olmaz)
Ġspat (doğrulama) (Proof):
(X+Y)(X+Z)=X(X+Z)+Y(X+Z)=XX+XZ +YX+YZ
=X+XZ+XY +YZ=X.1+XZ+XY+YZ
=X(1+Z+Y)+YZ=X.1+YZ=X+YZ
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Bu iki dağılma (distributive) kurallar çok önemlidir ve
aĢağidaki hallerde kullanılır:
1. Boole bağıntılarının basitleĢtirilmesinde (Aynı
fonksiyonu gerçekleĢtiren iki Boole bağıntısından
basit olanı ile gerçekleĢtirilecek olan lojik devre daha
ucuz, daha hafif, daha güvenilir (reliable) daha az yer
kaplar ve bu önemli nedenlerle daha çok tercih edilir)
2. SOP (some of products = Çarpımların toplamı ve
POS (product of sums) = Toplamlar ın çarpımı
formlarının elde edılmesinde
3. Minterm ve Maxtermlerin elde edilmesinde
2 ve 3 teki terimlerin anlamlarını, ne iĢe yaradıklarını
daha sonraki derslerimizde açıklanacaktır.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

. POS (Product Of Sums) Toplamların Çarpımı
Örnekleri:
(A + B')(C + D' + E)(A + C' + E‘)
veya
B(A+B’+C’+E)(A+D’+ E)
SOP ( Sum Of Product ) Çarpımlar ın Toplamlamı
Örnekleri:
AB’C+CD+ABD
Veya
A+CDE+ACE +D
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

XY + XY' = X (3.12)
(X + Y)(X + Y') = X (3.2D)
X + XY = X (3.13)
X(X + Y) = X (3.13D)
(X + Y')Y = XY (3.14)
XY' + Y = X + Y (3.14D)
Basitleştirme Teoremleri
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

(3.13) ün ispatı:
X+XY=X.1+XY=X(1+Y)=X.1=X
(3.13D) ın ispatı:
X(X+Y)=XX+XY=X+XY=X(1+Y)=X
(3.14D) ispatı:
Y+XY’=(Y+X)(Y+Y’)=(Y+X).1=Y+X
ĠSPATLAR
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Örnek 1: AĢağıdaki devrelerin çıkıĢında elde edilen
lojik fonksiyonları basitleĢtirin:
ġekil 3.5.a daki F=A(A’+B) ifadesi (3.14) bağıntısı
kullanılırsa F=AB. BasitleĢtirilmiĢ logic fonksiyon Ģekil
3.5.b deki basit hale dönüĢür.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Örnek 2: Z=A’BC+A’ ifadesini basitleĢtirin
Çözüm:
BC=Y ve A’=X yazasak yukarıdaki ifade Z=X+XY =X(1+Y)
olur. 1+Y=1 olduğundan Z=X.1=X olur.
Teorem (3.13) kullanılırsa
Z=X veya Z=A’ elde edilir.
Örnek 3:
Z=[A+B’C+D+EF][A+B’C+(D+EF)’] ifadesini basitleĢtirin.
Çözüm: X=A+B’C ve Y=D+EF yazılırsa
Z=[X+Y][X+Y’] =XX+XY’+XY+XY’+YY’=X+X(Y+Y’)+YY’
Z=(X+Y)(X+Y’) olur. Teorem (3.12D) uygulanırsa :
Z=X veya Z=A+B’C
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ÖRNEK 4: Z= (AB+C)(B’D+C’E’)+(AB+C)’
Lojik Ġfadesini basitleĢtirin.
Çözüm:
X=AB+C ve Y=B’D+C’E’ yazarsak:
Z=XY+X’ =X’+XY =(X’+X)(X’+Y), X+X’=1,
Z=Y+X’ Elde edilir.
X ve Y nin ifadeleri yerlerine yazılırsa:
Z=B’D+C’E’+(AB+C)’ olur.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Örnek 5: A + B'CD ifadesini faktörlerine ayırınız (POS:
Toplamların çarpımı şeklinde yazınız)
Çözüm: Verilen Lojik ifade X + YZ Ģeklindedir. Burada
X = A, Y = B', ve Z = CD, Dolayısiyle:
A + B'CD = (X + Y)(X + Z) = (A + B')(A + CD)
A + CD ifadesi ikinci dağılım kuralı uygulanarak
faktörlerine ayrılabilir ve sonuç olarak
A + B'CD = (A + B')(A + C)(A + D) elde edilir.
SOP formunda verilen lojik ifade (fonksiyon) POS
formuna dönüştürülmüş oldu.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Örnek 6: AB' + C'D lojik ifadesini faktörlere ayırınız
(SOP formundan POS formuna dönüĢtürünüz).
ÇÖZÜM:
X + YZ = (X + Y)(X + Z) kuralını (ikinci dağılma kuralı)
arka arkaya uygulanırsa:
AB' + C'D = (AB' + C')(AB' + D)
= (A + C')(B' + C')(A + D)(B' + D)
elde edilir.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

C'D + C' E' + G' H SOP ifadesini POS formuna
dönüştürünüz.
ÖRNEK 7:
= (C' + G'H)(D + E' + G'H)
= (C' + G')(C + H)(D + E' + G')(D + E' + H)
As in Example 3, the ordinary distributive law should be
applied before the second law when factoring an
expression.
A sum-of-products expression can always be realized
directly by one or more AND gates feeding a single OR
gate at the circuit output. Figure 2-5 shows the circuits
for Equations (2-15) and (2-17). Inverters required to
generate the complemented variabies have been omitted
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

F=C'D + C' E' + G' H SOP ifadesini POS formuna
dönüştürünüz.
Çözüm:
Önce birinci dağılma kuralını uygulayalım:
F=C’(D+E’)+G’H elde edilir.
Şimdi ikinci dağilma kuralını arka arkaya uygulayalım:
ÖRNEK 7:
F= (C' + G'H)(D + E' + G'H)
F= (C' + G')(C + H)(D + E' + G')(D + E' + H)
elde edilir.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Çarpımların toplamı ifadesi genel olarak bir kaç
tane VE (AND) kapılarının ortak bir veya kapısının
GiriĢine bağlanması ile gerçekleĢtirilir. AĢağıdaki
Ġki lojik fonksiyonun bu Ģekilde gerçekleĢtirilmesi
ġekil 3.6 da örneklenmiĢtir.
F1=AB+CD’E+AC’E’ (3.15)
F2=D’E+AB’C (3.16)
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Şekil 3.6: (3-15) ve (3-16) lojik fonksiyonlarını gerçekleĢtiren
lojik devreler.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

ÖRNEKLER:
a) (A+B+C)’ = A’+B’+C’
b) (AB+C)’ = (AB)’.C’ = (A’+B’).C’
c) (A.B’.C) = A’+B+C’
d) ((A+B).C’)’ = (A+B)’+C= A.B+C
e) ((AB).C+A(B+C’))’ = (ABC)’.(A(B+C’)’
=(A’+B’+C’).(A+B’.C)
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

(XYZ ... )D = X + Y + Z + ...
Bir lojik fonksiyonun Dualı AND leri OR lar ile OR
ları AND ler ile 0 ları 1 ile ve 1 leri 0 ile yer
değiĢtirerek elde edilir. AND in dualı OR, OR un
dualı AND dir. Bu aĢağıdaki Ģekilde ifade
edilmektedir:
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013
(X+Y+Z+.......)D=XYZ........

Bir lojik ifadenin dualı tüm ifadenin değilini aldıktan
sonra her bir değiĢkeninde değilini alarak bulunabilir..
Örneğin
AB’+C
Ġfadesinin dualı aĢağıdaki gibi olur.
(AB’+C)D =(A+B’)C
olur.
((A+B)C+DCE+E’)D = (AB+C).(D+C+E). E’ olur.
BOOLE CEBİRİ
14.12.2013

Kaynakça
• 1.Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim
• 2.Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals,
• 3.M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital
• 4.Hüseyin Demirel, Dijital Elektronik, Birsen

Teşekkür Ederim

KBUZEM
BLM 221
MANTIK DEVRELERİ
4. HAFTA

Temel Kavramlar
• Boole Cebiri Uygulamaları Standart Formlar
• Standart Formlar: Sop ve Pos Formlarının
Birbirlerine Dönüştürülmesi
• Exclusive-OR and Equivalence İşlemleri
• Konsensus Teoremi
• Boole ifadelerinin Cebirsel Olarak
Basitleştirilmesi
KBUZEM
2

Boole Cebiri Uygulamaları Standart Formlar
• 4.1 Standart Formlar: Sop ve Pos Formlarının
KBUZEM
3
POS( product-of-sums) formunda verilmiş bir ifade,
aşağıdaki şekilde çarpıp açtıktan sonra ikinci dağılma
kuralı uygulanarak SOP (sum-of-products) formuna
dönüştürülür.:
X(Y + Z) = XY + XZ
(X + Y)(X + Z) = X + YZ
(4-1)
(4-2)
Ayrıca aşağıdaki teoremdende sıkça yararlanılır:
(X + Y)(X' +Z) = XZ + X'Y (4.3)

Standart Formlar: Sop ve Pos Formlarının
KBUZEM
4
İspat:
X = 0 için (4-3) Y(1 + Z) = 0 + 1 . Y = Y
X = 1 için(4-3) (1 + Y)Z =1. Z = Z.
Bağıntı hem X = 0 ve X = 1 geçerli olduğundan her
zaman doğrudur.
Ayrıca Aşağıdaki örnek (4-3) teoreminin faktörlerin ne
kadar yaralı olduğunu göstermektedir:
AB+A'C = (A + C)(A' + B)

Standart Formlar: Sop ve Pos Formlarının Birbirlerine
Dönüştürülmesi
KBUZEM
5
Teorem (4-3) ifadelerin kolayca çarpılıp açılmasında
kullanılır. Aşağıdaki örnek bu kavramı açıklamaktadır.
Dikkat edilmesi gereken husus teimlerin brinde X
diğerinde X’ (X in tümleyeni veya değili) olmalıdır.
(Q + AB')(CD+ Q') = QCD + Q'AB'
Dağılma kuralı yalın olarak uygulanırsa aşağıdaki gibi 2
terim yerine 4 terim elde edilir ve ifade gereksiz olarak
uzar. Buda istenmeyen bir durumdur. Buradan (4.3)
eşitliğinin önemi açıkça görülmektedir.
(Q + AB')(CD + Q') = QCD + QQ' + AB'CD + AB'Q'

KBUZEM
6
Dönüştürülmesi
Genel kural olarak gereksiz terimler üretmemek için
fonksiyonların çarpılarak açılmasında (4-3) eşitliği (4-1)
ve (4-2) ile beraber kullanılır ve çoğunlukla (4-2) ve (4-3),
(4-1) den önce uygulanır.
İşlemi hızlandırmak için aşağıda görüldüğü gibi
guruplandırma yapılır.
[(X+A)(X+B)=X+AB, (X+A)(X’+A)=XA+X’A]

KBUZEM
7
Dönüştürülmesi
Sadece (4.1) kullanılsaydı 162 terim ortaya
çıkacaktı ve bunlardan 158 nin bir şekilde elimine
eldilmesi gerekecekti ve buda çok içinden çıkılmaz
bir durum olacaktı.
= (A + B + C’DE)(A + C‘DE + D' + E)(A' + C)
=(A+B+C’)(A+B+DE)(A+D’+E)(A’+C)
= (A + B + C’)(A + B + D)(A + B + E)(A + D' + E)(A' + C)
Faktörlere ayırma örneği (standart POS (toplamların çarpımı)
elde edilmesi örneği)

KBUZEM
8
Exclusive-OR and Equivalence İşlemleri
X Y X Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Exclusive-OR işlemi ( ) aşağıdaki şekilde ifade edilir:
0 0=0 0 1=1 1 1=0
1 0=1
X Y nin doğrululuk tablosu aşağıda verimiştir

KBUZEM
9
Yukarıdaki tablodan X Y = 1 olabilmesi için X = 1
veya Y = 1, olması gerekir. Her ikisi 1 veya her ikiside 0
olması durmunda Exlusive-OR (EX-OR) işleminin
sonucu sıfır olur.
EX-OR işleminin açık ifadesi (4.4) eşitliğinde
verilmiştir. Buradan EX-OR eşitliğinin 2 tane VEYA ve 1
tane VE kapısından oluştuğu görülmektedir.
X Y = X' Y + XY' (4.4)

KBUZEM
10
X Y = (X + Y)(XY)' = (X + Y)(X' + Y') = X' Y + XY' (4.5)
(4-5), bağıntısındaki (X Y)' =(X’+Y’)= 1 sadece X veya
Y den birinin 1 diğerinin 0 olması durmunda
gerçekleşir.
EX-OR kapısının simgesi aşağıda gösterilmiştir:

KBUZEM
11
Aşağıdaki bağıntılar EX-OR işlemi için geçerlidir:

KBUZEM
12
Aşağıdaki bağıntılar doğruluk tablosu veya (4- 5)
eşitliğinin uygulamaları ile ispatlanabilir.
Equivalence işlemi ( ) aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:
(4.6)

KBUZEM
13
(XY’+X’Y)’=(X’+Y)(X+Y’)=XY+X’Y’=X Y (4.7)
Yukarıdaki eşitlikler equivqlence işleminin EX-OR
işleminin tersi veya tümleyeni olduğunu
göstermektedir.
Equivlence deyimi EX-NOR anlamınadır ve aşağıdaki
semboler kullanılır:

KBUZEM
14
X Y X Y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Ex-NOR
Doğruluk tablosu

KBUZEM
15
ÖRNEK 1: Aşağıdaki lojik eşitliğin açık ifadesini
bulunuz
Çözüm:
F=B(A’(1+C)+C)+C’(A(1+B’)+B’)=B(A’+C)+C’(A+B’)
Açıklama:

KBUZEM
16
ÖRNEK 2: Aşağıdaki lojik eşitliğin açık ifadesini
bulunuz
F=A’ B C=[A’B’+(A’)’B] C
=(A’B’+AB)C’+(A’B’+AB)’C
=(A’B’+AB)C’+((A+B).(A’+B’)C
=(A’B’+AB)C’+(AA’+AB’+A’B+BB’)C
=A’B’C’+ABC’+AB’C+A’BC
=(A’B’+AB)C’+(AB’+A’B)C (**)
Dikkatli bakılırsa (**) eşitliğinin problemde
Verilen eşitlikle aynı olduğu gözlemlenebilir.
F=A’ B C
Çözüm:

KBUZEM
17
Konsensus Teoremi
Kosenüs teoremi lojik ifadelerin (fonksiyonların)
basitleştirilmesinde kullanılan önemli bir tuldur.
İki formu vardır. Form 1:
XY + X' Z + YZ=XY+X’Z
YZ terimi anlamsız terimdir ve denklemden elimine
edilebilir (atılabilir) ve bu terime konsensüs terimi denir.
Form 2:
(X+Y)(X’+Z)(Y+Z)=(X+Y)(X’+Z)
Y+Z terimi konsensüs terimidir ve atılabilir.

KBUZEM
18
Konsensus Teoremi
Örneğin ab ve a' c terimlerinin konsesüsü bc dir.
abd ve b' de' trimlerinin konsensüs (ad)(de') = ade' dir.
ab'd ve a' bd' terimlerinin konsensüsü 0 dır.
Konsensüs teoreminin ispatı:
XY + X'Z + YZ = XY + X'Z (Form 1)
İspat:
XY + X'Z + YZ = XY + X'Z + (X + X')YZ
= (XY + XYZ) + (X'Z + X'YZ)
= XY(1 + Z) + X'Z(1 + Y) = XY + X'Z

KBUZEM
19
Konsensus Teoremi
Konsensüs teoremi Boole bağıntılarından anlamsız
terimleri elimine ederek basitleştirilmelerine çok işe yarar.
expressions. Örneğin b' c termi a' b' ve ac
terimlerinin konsensüsü, ve ab terimi ac ve bc‘
terimlerinin konsensüsüdür, ve her iki konsensüs
terimleri bağıntılardan atılabilir.
(a’b’+ac+b’c=a’b’+ac ve ac+bc’+ab=ac+bc’) Aşağıdaki
örnek bu konsepti açıklamaktadır.

KBUZEM
20
Konsensus Teoremi
Aşağıdaki örnekte BCD terimi hemen yokedilebir
(2. ve 4. terimlerin konsensüsü):
Form 2 konsensüs örneği:
Bazen kolayca yokedilebiecek terimleri hemen yok
etmek yararlı olmamaktadır (Fonsiyonun minimum
halini almasını engellemektedir.

KBUZEM
21
Konsensus Teoremi
BCD yok edilince geriye 4 terim kalır. Fakat BCD yok
edilmezse bu sefer verilen ifsdeded 2. ve 4. terimler
yok edilebilir ve geriye 3 terim kalır ve fonksiyon
aşağida görüldüğü gibi daha çok basitleşir
(C and C’ ve D and D’ göz önüne
alınmıştır.)

KBUZEM
22
Konsensus Teoremi
Bazen fonksiyonların minimum halini bulmak
imkasız olabilir. Böyle durumlarda uygun
konsensüs terimi veya terimleri eklenerek
fonksiyonun bazı terimleri elimine edilerek
basitleştirilebilir. Örneğin aşağıdaki bağintıyı göz
önüne alalım:
ABCD+B’CDE terimlerinin konsensüsü ACDE.
Bu terimi fonksiyona eklersek fonksiyonun iki
terimi konsensüs terimi haline dönüşür elimine
edilebilir:
F=ABCD+B’CDE+A’B’+BCE’+ACDE

KBUZEM
23
Konsensus Teoremi
Bu durumda ABCD ve B‘CDE terimleri konsensüs
terimleri olur. Bu terimler yok edildiğinde fonksiyon
aşağıda görüldüğü gibi 4 terimden 3 terime
basitleştirilmiş olur.
ACDE terimi artık gereksiz bir terim değil ve sonuç
fonksiyonun bir parçası olarak kalacaktır.

KBUZEM
24
Boole ifadelerinin Cebirsel Olarak Basitleştirilmesi
Aşağıdaki adımlar uygulanır:
a) Terimler birleştirilir (XY+XY’=X veya
X(Y+Y’)=X)
b) Terimler eliminate (X+XY=X veya (1+Y)=1) ve
mümkün olan yerde konsensüs teoremi uygulanır
( XY+X’Z+YZ=XY+X’Z)
c) Literaller elimine edilir. (X+X’Y=X+Y)
[XX+X’Y=(X+Y)(X+X’)=X+Y]
d) Etkisiz terimler ilave edilir. xx’ ilave edilir veya
(x+x’) ile çarpılır veya xy+x’z terimine yz ilave
edilir veya (x+y)(x’+z) terimi (y+z) ile çarpılır.
(konsensüs teoremi)

KBUZEM
25
1. Terimler birleştirilir. XY + XY' = X teoremi
kullanılır. Örnek:
Başka bir örnek:
ab’c+abc+a’bc=ab’c+abc+abc+a’bc=ac+bc
(=ac( b’+b )+bc( a+a’ )=ac+bc)

KBUZEM
26
X ve Y yalın literaller olma yerine birer bağımsız
ifadede olabilirler. Bu durmdada konsensüs teoremi
aynen uygulanabilir. Aşağıdaki örnek bu kavramı
açıklamaktadır:
=(d+e’)[ (a+bc) +a’(b’+c’) ]=d+e’
[x(y+y’)=x]

KBUZEM
27
2. Eliminating Terimler kosensüs Teoremi kullanılarak
Elimine edilir. X + XY = X ve konsensüs teoremi
kullanılarak gereksiz termler elimine edilir.
XY + X' Z + YZ = XY + X' Z
a’b c’ +b c d + a’bd =a’bc’+bcd
(Konsensüs teoremi)
ÖRNEK:

KBUZEM
28
3. Literaller Elimine edilir. Bunun için
X + X' Y = X + Y teoremi kullanılır.
ÖRNEK:
(B+B’C’D’=B+C’D)
[(bb+b’c’d)=(b+c’d)(b+b’)=b+c’d]

KBUZEM
29
4. Etkisiz terimler ilave edilmesi. İşe yaramayan
(Redundant) terimler değişik şekillerde örneğin xx‘
ekleme, veya (x + x') terimi ile çarpma, veya yz terimini
xy + x‘z terimine ekleme veya xy terimini x terimine
ekleme gibi.
Örnek:

KBUZEM
30
Aşağıdaki örnek sözü edilen 4 metodu içinde
barındırmaktadır:

KBUZEM
31
Eğer fonksiyon SOP yerine POS (product-of-sums)
formmuna getirilmesi isteniyorsa teoremlerin dualı
kullanılır.
Burada aşağıdaki bağıntılar kullanıldı:
(x+y’)(x+y)=x (x=A’+B’) (bu terim xy+xy’=x ifadesinin
dualıdır.)

Kaynakça
KBUZEM
32

Teşekkür Ederim
KBUZEM
33

KBUZEM
BLM 221
MANTIK DEVRELERİ
6. HAFTA

Temel Kavramlar
KBUZEM
2
• KARNO HARITALARI
• İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
• Dört değişkenli Karno Haritaları
• Beş değişkenli Karno Haritaları

KARNO HARITALARI
KBUZEM
3
• İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Bilindiği gibi Karno Haritalari doğruluk tabloları gibi
fonksiyonların bağımsız değişkenlerinin tüm değerleri için
fonksiyonun değerini içerir ve Karno kuralları
uygulandığında fonksiyonun minimum değerini
değişkenlerin toplamlarının çarpımı veya çarpımlarının
toplamı şeklinde verir.
Bu şekilde elde edilen fonksiyonlar tasarlanan aynı işi
gerçekleştirir ve daha ekonomik ve kompakt devre
tasarımına olanak sağlar. İleride göreceğimiz gibi çok
sayıda başka yerlerde de etkin olarak kullanılırlar.
5 değişkene kadar Karno haritalarının kullanımı çok kolay
fakat 5 ten çok değişken için kullanım zorlaşıyor.

İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
KBUZEM
4
F=f(A,B)
İki değişkenli Karno haritası

KBUZEM
5
Durum tablosunda ifade
edilen fonksiyonun Karno
haritasına yerleştirilmesi ve
minimum fonksiyon ifadesinin
bulunması

KBUZEM
6
Doğruluk tablosu verilen üç değişkenli bir
fonksiyonun Karno haritasına yerleştirilmesi ve
minimum fonksiyon ifadesinin bulunması

KBUZEM
7
Mintermlerin sıralanması yukarıdaki gibi
olacaktır. Aksi halde yanlış sonuç elde edilir.

KBUZEM
8
Görüldüğü gibi her hücre mintermlerin alt simge
değerleri ile adlandırılmıştır. Bir sonraki şekilde:
F(a, b, c) =m1 + m3 + m5 foksiyonunun Karnoya
taşınması ve minimum fonksiyonun elde edilmesi
görülmektedir.
1 ler alınırsa fonksiyon çarpımların toplamı,
0 lar alınırsa fonksiyon toplamların çarpımı şeklinde elde
edilir.

KBUZEM
9
Karnaugh haritası
F(a,b,c)=m(1,3,5)
Veya sıfırlar göz
önüne alınırsa
= M(0,2,4,5,7)
F=a’b’c+a’bc+ab’c (1’lerden) veya
F=(a+b+c)(a+b’+c)(a+b’+c)(a’+b+c’)(a’+b’+c’)
(0’lardan)
Minimum F=b’c+a’c= veya
F=c(a’+b’)

KBUZEM
10
Fig. 5.5: Karnaugh map of four product terms

KBUZEM
11
f(a,b,c) = abc' + b'c + a'
Fonksiyonunun Karno ile gösterilimi ve
minimum ifadesinin bulunması takip eden
slaytlarda gösterilmiştir.

KBUZEM
12
f(a,b,c) = abc' + b'c + a'
Fmin=a’+b’c+bc’

KBUZEM
13
Üç değişkenli fonksiyonun basitleştirilmesi

KBUZEM
14
Fmin=T1+T2=ab+c’ Son derece basit bir şekle dönüşüyor.
F=m(0,4,5,6,7)=
=a’b’c’+ab’c’+abc’+abc
ab’c
=(ab+c’)

KBUZEM
15
Karno Boole cebrinin teoremlerini de ifade edebilir. Örnek
Consensus teoremi (aşağıda verilmiş)
XY + X' Z + YZ = XY + X' Z.

KBUZEM
16
Karno haritası fonksiyonların değişik çarpımların toplamı
ifadelerini verebilmektedir Aşağıda; F =  m(0, 1,2, 5, 6, 7)
fonksiyonunun iki ayrı ifadesi görülmektedir.

KBUZEM
17
Dört değişkenli Karno Haritaları
Hücre numaraları mintermlere göre yazılır.
F(A,B,C,D)

KBUZEM
18
Aşağıdaki fonksiyonun Karno haritasına
yerleştirilmesi bir sonraki slaytta gösterilmiştir.
Hücreler aralarında sadece 1 tane fark olacak
şekilde numaralandırılmaktadır. Aksi halde
yanlış sonuç elde edilir.
f(a,b,c,d) = acd + a'b + d'

KBUZEM
19
F= acd + a’b + d’

KBUZEM
20
Örnek:
Aşağıdaki iki fonksiyonu Karno haritası
kullanarak basitleştirelim.
F1(a,b,c,d)=m(1,3,4,5,10,12,13)
F2(a,b,c,d)=m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15).
Bu fonksiyonların Karno haritalarına taşınmış
şekilleri bir sonraki slaytta verilmiştir.

KBUZEM
21
Dört değişkenli fonksiyonların basitleştirilmesi

KBUZEM
22
Basitleştirilmiş fonksiyonlar aşağıda verildiği
gibi elde edilir:
F1(a,b,c,d)=bc’+a’b’d+ab’cd’
F2(a,b,c,d)=c+b’d’+a’bd
Minimize edilmeden F1 7 terim ve 28 literalden oluştuğu
halde minimize edilmiş F1 3 terim ve 9 literalden
oluşmaktadır.
Aynı şekilde minimize edilmeden F2 11 terim ve 44
literalden oluştuğu halde minimize edilmiş F2 3 terim ve 6
literalden oluşmaktadır.
Karno haritalarının önemi bu örnekten açıkça
görülmektedir.

KBUZEM
23
Fonksiyonlarda don’t care (farketmez) terimler olması durumu

KBUZEM
24
Fonksiyonun minimum toplamların çarpımını Karno
haritasında kolayca bulabiliriz. Bunun için fonksiyonun 0
larını kullanarak fonksiyonun değili bulunur ve daha sonra
DeMorgan teoremi gereğince değilin değili alınarak
Toplamların çarpımı bulunur.
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonu toplamların çarpım şeklinde
yazınız.
f = x'z' + wyz + w‘y'z' + x‘y
Bu fonksiyonun karnoya taşınmış hali bir sonraki slaytta
görülmektedir. 0 lar kullanılarak f’ bulunur:
f' = y'z + wxz' + w'xy
Sonra bu ifadenin değilinden istenen sonuç bulunur.
f= (y + z')(w' + x' + z)(w + x' + y')

KBUZEM
25

KBUZEM
26
ÖRNEK 1
6-3-1-1 BCD kodu digitleri için hatalı girişleri
belirleyen devre tasarlayınız. Geçerli olmayan kod
kombinasyonlar için F=1, doğru kodlar için F=0
olduğunu var sayın. (4 tane giriş değişkeni olacaktır. (A,
B, C, D) . Geçerli olmayan 6-3-1-1 kod kombinasyonları
tablo halinde aşağıda verilmiştir.
a) F nin minterm ve maxtermlerini bulunuz of
b) F nin minimum ifadesini bulunuz
c) F yi veren devreyi kurunuz

KBUZEM
27
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 1 0 0
4 0 1 0 1
5 0 1 1 1
6 1 0 0 0
7 1 0 0 1
8 1 0 1 1
9 1 1 0 0

KBUZEM
28

KBUZEM
29
Örnek 2: N1 ve N2 toplama devresi
(N3=N1+N2)
A B
C D
X Y Z
X: carry Y Z: sum
X, Y ve Z nin mimimum
ifadelerini bulunuz ve
sonuç devreyi
gerçekleştiriniz.
4 değişken 24 =16
kombinasyon
+

KBUZEM
30

KBUZEM
31

KBUZEM
32

KBUZEM
33

Beş değişkenli Karno Haritaları
KBUZEM
34
3 boyutlu tablo kullanılacak. 5 değişkenler A, B,
C, D, ve E olsun.
B, C, D, ve E normal iki boyutlu 4 lü Karno
haritasında gösterilir ve her bir hücre
diyagonalden ikiye bölünür. Üst kısım A=1
değerine ve Alt kısım da A=0 değerine verilir. Alt
üçgenler 0 dan 15 e ve alt üçgenler 16 dan 31 ye
numaralandırılır ve komşu üçgenler
gruplandırılarak fonksiyonun minimumu
bulunur. Bundan sonraki slaytlarda bir örnek
üzerinden detaylı açıklama verilecektir.

KBUZEM
35
F(A, B, C, D, E) =  m(0,1,4,5,13,15,20,21,22,23,24,26,28,30,31)
Örnek 1:
Aşağıda verilen 5 değişkenli fonksiyonun
minimimum ifadesini Karno haritası
kullanarak bulunuz.
Bir sonraki slaytta komşu hücrelerin
durumları verilmektedir. Çok dikkat
edilmesi gereken bir konu.

KBUZEM
36
Komşu cell ler
(hücreler)

KBUZEM
37

KBUZEM
38
Minimum Fonksiyon
F=A’B’D’+ABE’+ACD+A’BCE+AB’C
P1 P2 P3 P4
Veya
F=A’B’D’+ABE’+ACD+A’BCE+B’CD
P1 P2 P3 P4

KBUZEM
39
ÖRNEK 2
m16 nın etrafı P1. m3 ün etrafı P2. m8 in etrafı P3. m14 ile
m15, P4 . Başka prime implikant yok. Kalan 1 ler iki ayrı
terim olarak alınır ve P5 ya (1-9-17-25) veya (17-19-25-27).
Sonuç aşağıdaki gibi olur:
Minimum Fonksiyon
F=B’C’D’+B’C’E+A’C’D’+A’BCD+ABDE+C’D’E
P1 P2 P3 P4 P5
veya
F=B’C’D’+B’C’E+A’C’D’+A’BCD+ABDE+AC’E

KBUZEM
40

KBUZEM
41
5 DEĞİŞKENLİ KARNO HARİTASININ DİĞER
BİR ŞEKLİ
Veitch diagram.
A=0 VE A=1 AYRI İKİ DİYAGRAM HALİNDE
DÜZENLENİR
(BİR SONRAKİ SLAYT)

KBUZEM
42
Figure 5-28: Other Forms of Five-Variable Karnaugh Maps

KBUZEM
43

Kaynakça
KBUZEM
44

Teşekkür Ederim
KBUZEM
45

KBUZEM
BLM 221
MANTIK DEVRELERİ
5. HAFTA

Temel Kavramlar
KBUZEM
2
Boole Fonksiyonlarının Minterm ve
Maxterm İfadeleri
1. Cümlelerin Boolean Cebirine Dönüştürülmesi
2. Doğruluk Tabloları Kullanılarak
Kombinasyonel Devre Tasarımı
3. Minterm ve Maxterm Genişletilmesi
4. Genel Minterm ve Maxterm İfadeler
5. Tamamlanmamış (Eksik Tanımlanmış)
Fonksiyonlar
6. Doğruluk Tablosu Oluşturma Örnekleri
7. İkili Toplayıcı ve Çıkarıcıların Tasarımı

Cümlelerin Boolean Cebirine
Dönüştürülmesi
KBUZEM
3
4.1 Cümlelerin Boolean Cebirine
Dönüştürülmesi
Tek çıkışlı kombinasyonel bir devre tasarımı için gerekli 3
ana adım aşağıda verilmiştir:
1. İstenilen davranışı sergileyen bir devrenin Boole
(switching) fonksiyonunu veya ifadesini oluştur.
2. Elde edilen Boole fonksiyonunun (ifadesinin)
sadeleştirilmiş cebirsel ifadesini bul.
3. Sadeleştirilmiş haldeki devreyi uygun mantık
kapılarıyla gerçekleştir.

Dönüştürülmesi
KBUZEM
4
Mantık problemleri çoğu zaman bir yada daha çok
cümle ile ifade edilir.
Mantık Devrelerinin tasarımındaki ilk adım bu cümleleri
Boole ifadelerine çevirmektir.
Aşağıda bu kavram birkaç örnek verilerek
açıklanmaktadır.
ÖRNEK 1: Eğer Pazartesi gecesi ise ve ödevlerini
bitirmişse Meryem TV izler. (ödevlerini bitirmemişse ve
Pazartesi gecesi olsa bile TV izleyemez)
(Meryem watches TV if it is Monday night, and, she has
finished her homework)

Dönüştürülmesi
KBUZEM
5
Burada «eğer» ve «ve» bağlaçları hiçbir ifadeye dahil
değildir; bu bağlaçlar ifadeler arasındaki ilişkiyi
gösterir.
Bir ifadenin doğru yada yanlış olduğunu gösteren bir
değişken ile ifadeleri inceleyelim:
F = 1 Eğer «Meryem TV izlerse» doğru;
değilse, F =0 («Meryem TV izlemezse»).
A = 1 Eğer «Pazartesi gecesi ise» doğru; değilse, A = 0.
B = 1 Eğer «eğer Meryem ödevini bitirmişse» doğru;
değilse B = 0.
F doğruyken eğer A ve B ifadelerinin ikisi de doğruysa
cümle şu şekilde Boole ifadeye çevrilebilir:
F = A·B

KBUZEM
6
Dönüştürülmesi
ÖRNEK 2: Aşağıdaki örnek bir cümleden cebirsel bir
ifadeye nasıl geçiş yapılabileceğini göstermektedir. Bir
alarm devresi aşağıda tanımlanan biçimde tasarlanmak
isteniyor:
Alarm çalacaktır; eğer ve ancak (Ancak ve Ancak) alarm
anahtarı açıksa ve kapı kapalı değilse, veya saat 18:00
den sonra ise ve pencere kapalı değilse.
İlk adım yukarıdaki cümlenin cebirsel karşılığını, her bir
ifadeye bir değişken verilerek yazılması işlemidir.

KBUZEM
7
Dönüştürülmesi
Z= Alarm çalacak/ çalmayacak:
Z=1 Eğer alarm çalarsa, Z’=1 (F=0) Eğer alarm çalmazsa
A=Alarm anahtarı açık/kapalı:
A=1 Eğer alarm anahtarı açık ise, A’=1 (A=0) Eğer alarm anahtarı
açık değilse(kapalı ise)
B=Kapı açık/kapalı
B=1 Eğer kapı kapalı ise, B’=1 (B=0) Eğer kapı açık ise (Kapalı
değilse)
C=Saat 18:00 den önce/sonra
C=1 Eğer 18:00den sonra ise. C’=1 (C=0) 18:00den sonra değilse
D= Pencere açık/kapalı,
D=1 Eğer pencere kapalı ise, D’=1 (D=0) Eğer pencere kapalı değilse
Bu tanımlardan sonra F nin Boole (lojik) İfadesi aşağıdaki gibi olur:
Z=A.B’+C.D’

KBUZEM
8
Dönüştürülmesi
Z=Alarm çalacaktır= Eğer ve ancak (if) alarm anahtarı
açık ise (A) VE Kapı kapalı değilse (B’) VEYA Saat
18:00den sonra ise (C) VE pencere kapalı değilse (D’).
Z=A.B’+C.D’
Bu lojik fonksiyonu (Boole ifadesini) gerçekleştirecek
lojik devre aşağıda verilmiştir.

KBUZEM
9
Dönüştürülmesi
Z=A.B’+C.D’

KBUZEM
10
Dönüştürülmesi
Ahmet araba alacak, mezun olduğu zaman ve, ya
babasından para alacak yada bankadan kredi.
(Ahmed will buy a car when he will graduate, and if
either his father gives him loan or he gets bank loan.)
Z=Araba alacak(buy car)
A=Babasından para alacak(father gives loan)
B=Bankadan kredi alacak (get bank loan)
C=Mezun olma (graduate)
Z=C(A+B)
Örnek 3:

KBUZEM
11
4.2 Doğruluk Tabloları Kullanılarak
Kombinasyonel (Tümleşik) devreler belleği olmayan,
geçmişi hatırlayamayan, lojik kapıların bileşiminden
oluşan devrelerdir.
Amaç: Belli bir işi yapan mantık fonksiyonunu elde etme
Aşağıdaki örnekte doğruluk tablosu verilen tasarının
mantık devresi tasarımı gösterilecektir. 3-giriş 1- çıkışlı
devre Şekil 6-1’de gösterilmiştir. Yapılacak iş:
Devrenin çıkış değişkeni f nin aşağıdaki şartları
sağlaması isteniyor:
f = 1 eğer N ≥ 0112 (Giriş: 3 Değişken: A, B, C. N: f’in
Değeri)
Ve f= 0 eğer N < 0112.

KBUZEM
12
Doğruluk Tabloları Kullanılarak
Şekil 6-1(b)de f fonksiyonu için
doğruluk tablosu gösterilmiştir.
Şekil 6-1: Kombinasyonel Devre ve Doğruluk Tablosu

KBUZEM
13
Doğruluk tablosunu kullanarak f’nin cebirsel ifadesini 1
yapacak A, B, ve C değişkenlerinin kombinasyonlarını
kullanmamız gerekiyor. Bu Kombinasyonlar:
011 100 101 110 111
A’BC AB’C’ AB’C ABC’ ABC
F çarpımların toplamı (SoP) şeklinde şu şekilde
yazılabilir: (Doğruluk tablosunda f yi 1 yapan
kombşnasyonlar)
f= A'BC + AB'C' + AB'C + ABC' + ABC ( 6-1)

KBUZEM
14
f= A'BC + AB' + AB = A'BC + A=(A+A’)(A+BC)
= A + BC (6-2)
Eşitlik 6-2’nin Devre Şeması aşağıdaki gibi gösterilir:
Eşitlik 6-1, A+A’=1 kullanılarak aşağıdaki şekilde
sadeleştirilebilir:

KBUZEM
15
F’nin 1 olduğu ifadeleri yazmak yerine F’nin 0 olduğu
ifadelerle de fonksiyon tekrar yazılabilir fakat bu sefer f
fonksiyonu toplamların çarpımı(PoS) şeklinde
ifadelerden oluşmalıdır. F fonksiyonu aşağıdaki A, B, C
değişkenlerinin kombinasyonları için sıfır olur.
000 001 010
A+B+C A+B+C’ A+B’+C
Bu yüzden:
f = (A + B + C)(A + B + C')(A + B' + C) (6.3)
VEYA f’ çarpımların toplamı(SOP) şeklinde ifade edilip
tersi alınarak toplamların çarpımına(POS)
dönüştürülebilir:

KBUZEM
16
f’=A’B’C’+A’B’C+A’BC’ ve bunun tersini alirsak;
f=(A + B+ C)(A + B + C’)(A + B’ + C)
Bu iki ifadenin birbirine eşitliğini şu şekilde
kanıtlayabiliriz:
f=(A+B+C)(A+B+C’)(A+B’+C)
f= (B + A)(B' + A + C) = B(A+C) + AB’ = A + BC (6.4)
Çıkan sonuç eşitlik (6-2) ile aynı, dolayısıyla birbirine
eşit ifadelerdir.

KBUZEM
17
4.3 Minterm ve Maxterm Genişletilmesi
Eşitlik 6-1 deki terimlerin herbiri minterm ifadeleridir.
Genelde, n değişkenli bir ifadenin mintermleri n tane
harfin kendisi veya değili kullanılarak bir kez gözükmesi
ile oluşturulur. Değişkenin hem kendisi hem değili aynı
minterm içinde bulunamaz. Tablo 6-1 A, B, C
değişkenlerinin oluşturduğu tüm mintermleri
göstermektedir. Mintermler aşağıdaki gibi gösterilir:
m0 m1 m2 m3 m4 m5 v.s…
000 001 010 011 100 101
A’B’C’ A’B’C A’BC’ A’BC AB’C’ AB’C
Dikkat edilecek olursa mintermler çarpımların toplamı
şeklinde yazılmıştır (SOP).

KBUZEM
18
Minterm ve Maxterm Genişletilmesi
Tablo 6-1 Üç Değişkenli İfadenin Minterm ve
Maxterm’leri

KBUZEM
19
F çarpımların toplamı(SoP) şeklinde ifade edilirse, bu tip
yazılımlara minterm açılımı (expansions) ya da standart
çarpımların toplamı ifadesidir denir. (Bakınız eşitlik 6-1).
Doğruluk tablosundaki f=1’i sağlayacak her bir satırdaki
değerin minterm olma zorunluluğu vardır çünkü mi = 1
değeri sadece değişkenlerin olası kombinasyonu
sağlandığı zaman 1 olur.
Mintermler doğruluk tablosunda 1-1(one to one) özelliği
taşır, her bir satır tek bir minterme tekabül eder.
Dolayısıykar eşitlik 6-1 minterm numaralarıyla da ifade
edilebilir:
f(A, B, C) = m3 + m4 + m5 + m6 + m7 (6.5)
[ f= A'BC + AB'C' + AB'C + ABC' + ABC (6.1) ]

KBUZEM
20
Daha kısa bir formda sadece sayılar kullanılarak küçük m
harfi ile aşağıdaki gibi de kısaltılarak gösterilebilir.
Eşitlik 6-3 teki her bir terim maxterm olarak ifade edilir.
Genelde, n değişkenli bir ifadenin maxtermleri n tane harfin kendisi
veya değili kullanılarak bir kez gözükmesi ile oluşturulur.
Değişkenin hem kendisi hem değili aynı maxterm içinde
bulunamaz. Tablo 6-1 A, B, C değişkenlerinin oluşturduğu tüm
maxtermler gösterilmektedir. Eğer A = B = C = 0, ise maxterm
ifadesi: A + B + C = 0;
Eğer A = B = 0 ve C = 1, ise maxterm ifadesi A + B + C' = 0; şeklinde
olur. Maxtermler sıklıkla büyük M harfi ile kısaltılarak gösterilir.
1’inci satırdaki maxterm Mi şeklinde ifade edilir. Her bir maxterm
ifadesi minterm ifadelerinin değili şeklindedir (Mi = mi' )
(6.5.a)

KBUZEM
21
F fonksiyonu eşitlik 6-3 deki gibi
maxtermler cinsinden yazılırsa,
bu tip fonksiyon ifadelerine
maxterm açılımı veya standart
toplamların çarpımı denilir.
Eşitlik 6-3 M- notasyonu ile şu
şekilde tekrar yazılabilir:
[ f = (A + B + C)(A + B + C')(A + B' + C)]
(6.6)

KBUZEM
22
Daha kısa bir ifade ile maxtermler cinsinden yazmak
gerekirse :
Eşitlik (6-6a) direkt olarak eşitlik 6-5a ifadesinden elde
edilebilir:
(6.6a)
(6.5a)

KBUZEM
23
Verilen maxterm veya mintermler ile f fonksiyonunun
değilinin minterm veya maxtermleri kolaylıkla
oluşturulabilir. F’ =1 iken f=0, yani minterm olarak f’in
içinde bulunmayacak. Dolayısıyla f’ bulunurken, f de
olmayan mintermler direk olarak yazılır.Bu yüzden
Eşitlik (6-5)’den f’:
Aynı şekilde maxtermlerin elde edilmesinde f’
bulunurken f de bulunmayan maxtermlere bakılır.
Eşitlik (6-6) yı kullanarak:
(6.7)
(6.8)

KBUZEM
24
Çünkü mintermlerin değili ilgili maxterme karşılık
gelir. Eşitlik 6-5’in değilini alarak eşitlik 6-8’i elde
edebiliriz.
Aynı şekilde Eşitlik 6-6’nın değili alınarak eşitlik 6-7
oluşturulablilir:
f' = (MOM1M2)' = Mo’ + M1’ + M2
‘ = mo + m1+ m2

KBUZEM
25
Genel bir Boole (lojik) ifadesi minterm veya maxtermler
cinsinden doğruluk tablosu kullanılarak veya cebirsel
olarak elde edilebilir. Eğer doğruluk tablosu kullanılarak
bütün değişkenlerin farklı kombinasyonları ele alınırsa,
mintermler ve maxtermler daha önce anlatıldığı gibi
bulunur. (Yani minterm numaraları fonksiyonun değerini
1 yapan satırlardır).
Diğer bir yöntem ise fonksiyonu çarpımların
toplamı(SoP) şeklinde yazıp, eksik değişkenlerin her biri
için X + X' = 1 teoremi kullanılır ve eksik değişkenler
tamamlanır.

KBUZEM
26
Example1: f(a,b,c)=ab+c+ac mintermlerini bulunuz.
Yöntem: Eksik değişkenleri x+x’=1 ile çarpıyoruz:
f=ab (c+c’)+c (a+a’)(b+b’)+ac (b+b’)
= abc+abc’+c(ab+ab’+a’b+a’b’)+abc+ab’c
=abc+abc’+abc+ab’c+a’bc+a’b’c+abc+ab’c
=abc+abc’+ab’c+a’bc+a’b’c=Σm(1,3,5,6,7)
111 110 101 011 001
Örnek 2: Aynı fonksiyonun maxtermlerini bulunuz.
Yöntem: x+yz=(x+y)(x+z) (tekrarlayın) ve xx’=0
Teoremini eksik olan değişkenler için kullanın.
f=(a+c)(b+c)+ac=(a+c+ac)(b+c+ac)=(a+c)(b+c)
=(a+c+ bb’ )(b+c+ aa’ )=(a+b+c)(a+b’+c) (a+b+c) (a’+b+c)
=(a+b+c)(a+b’+c)(a’+b+c)=M(0,2,4)
m0’ m2’ m4’

KBUZEM
27
Örnek 1: Çarpımların toplamı (SoP) şeklinde çevirirken :
Eksik değişkenleri (x+x’)=1 ifadesi ile tamamlayınız.
f(a.b.c.d) = a'(b' + d) + acd' ifadesinin mintermlerini
bulunuz.
Tekrarlayan ifadeler çıkartılır çünkü X + X = X dir. Kalan
ifadeler çevrilerek mintermler bulunabilir: (Decimal notation)
f=a’b’+a’d+acd’
=a’b’(c+c’)(d+d’)+a’d(b+b’)(b+c’)+acd’(b+b’)
=a’b’c’d’+ a’b’c’d + a’b’cd’ + a’b’cd + a’b’c’d + a’b’cd
+a’bc’d+a’bcd+ab’cd’
f= a’b’c’d’+ a’b’c’d + a’b’cd’ + a’b’cd + a’bc’d + a’bcd
0000 0001 0010 0011 0101 0111
+ ab’cd’ (1010), f=m(0,1,2,3,5,7,9)
(6.9)
(6.10)

KBUZEM
28
Maxterm ifadelerinin numaraları 4 değişkenli bir işlem
için 0 ile 15 arasında değişebilir ve maxterm ifadesinin
terim numaralari aynı fonksiyon için asla minterm
numaralarina karşılık gelmezler. Mintermlerde olmayan
numaralar maxtermlerde, veya tersi olur.
Maxterm ifadelerini bulabilmenin alternatif bir yolu ise
eksik değişkenleri XX' = 0 teoremini kullanarak
tamamlamaktır. Eşitlik (6-9) için :
(f=m(0,1,2,3,5,7,10,14)) Mintermler
Maxtermler(f=M(4,6,8,9,11,12,13,15))

KBUZEM
29
f = a'(b'+d) + acd'
(6-11)
Örnek 2: f fonksiyonun maxtermlerini bulunuz.
Maxterm şeklinde ifade ediniz. Eksik değişkenleri XX’=0 ekleyerek
bulunuz.

KBUZEM
30
Maxterm ifadeleri decimal notation’a çevirirken önce
değillenmiş değişken 1 ile ve değillenmemiş değişken de
0 değiştirilir.
İki fonksiyonun doğruluk tablosunda aynı mitermler
fonksiyon değerleri aynı ise bu iki fonksiyon eşdeğer
fonksiyonlardır. Aşağıdaki örnek bu kavramı
açıklamaktadır:
Örnek
a'c + b'c' + ab = a'b' + be + ac’ eşitliğini gösterin
Eksik olan değişkenler tamamlanarak her iki tarafın
minterm ifadesi bulunur. Sol taraf için

KBUZEM
31
a'c + b'c' + ab = a'b' + be + ac’ (Sol taraf için)
Sağ taraf için
Her iki fonksiyonun minterm ifadeleri aynı olduğundan
eşitlik doğrulanmıştır.

KBUZEM
32
4.4 Genel Minterm ve Maxterm İfadeler
Tablo 6-2 üç değişkenli genel bir fonksiyon için bir
doğruluk tablosunu temsil eder.
Her bir «a», 0 veya 1 değerine sahip bir sabittir.
Fonksiyonu belirtmek için, tüm ai’lere değer atamak
gereklidir. Çünkü her bir «a» iki yolla belirtilebilir,
doğruluk tablosunda F sütununu doldurmak için 28 yol
vardır; bundan dolayı üç değişkenin 256 farklı fonksiyonu
tanımlanabilir. (bu dejenere durumları da içerir, F aynen 0
a ve 1'e eşittir). n değişkenli bir fonksiyon için, doğruluk
tablosunda 2n satır vardır ve her satır için F değeri 0 ya da
1 olabileceğinden n değişkenli 2
n
kadar olası fonksiyon
vardır.

KBUZEM
33
Genel Minterm ve Maxterm İfadeler
Tablo 6.2: Üç değişkenli fonksiyon
için Doğruluk Tablosu

KBUZEM
34
Tablo 6-2’den, üç değişkenli minterm ifadesi aşağıdaki
şekilde yazılabilir:
Not: Eğer a = 1 ise minterm m ifade edilebilir 0 ise minterm
olarak ifade edilemez. Üç değişkenli genel fonksiyon için
maxterm ifadesi
F=(a0+M0)(a1+M1)(a2+M2)….(a7+M7)=(ai+Mi)
Not: Eğer ai = 1, ai + Mi = 1, ve Mi ifadeden düşer;
fakat, ai = 0 ise Mi ifadede bulunmalıdır.
(6-13)’deki ifadeden, F‘ in minterm ifadesi
(6.12)
(6.13)

KBUZEM
35
F fonksiyonunda olmayan mintermler, f’ fonksiyonunda
bulunmalıdır. Eşitlik (6-12)’den, F' maxterm ifadesi:
F fonksiyonunda olmayan maxtermler, f’ fonksiyonunda
bulunmalıdır. (6-12), (6-13), (6-14), ve (6-15) eşitliklerini n
değişkenli bir forma genellemek gerekirse;
(6.14)
(6.15)
(6.16)

KBUZEM
36
(6.17)
N değişkenli iki farklı minterm verilirse:mi, ve mj ; en az bir
değişken mintermlerde değili alınmış ve diğerlerinde
alınmamış şekilde bulunur. Bu yüzden i ≠ j olursa, mimj = 0
olur. Örneğin, n = 3 için,
m1m3 = (A'B'C)(A'BC) = 0.
Aşağıda iki farklı fonksiyon mintermler cinsinden
verilmiştir.
(6.18)
Sonuç:

KBUZEM
37
(6.19)
(i ≠j) eşitliğini sağlayan tüm mintermler
düşürülür(silinir). Böylece f1f2 fonksiyonunda sadece
ortak (aynı mintermler) terimler kalır. Örnek:

6.5 Tamamlanmamış (Eksik Tanımlanmış)
Fonksiyonlar
KBUZEM
38
Dijital sistemler genellikle bir çok alt devrelere
bölünmüştür. Örneğin aşağıdaki devrede N1 devresinin
çıkışlarının N2 devresi için giriş olarak kullanıldığı
görülmektedir.

Tamamlanmamış (Eksik Tanımlanmış)
Fonksiyonlar
KBUZEM
39
NJ nin çıkışı A, B ve C değerlerinin olası tüm
kombinasyonlarından oluşmadığını varsayalım,
özellikle, A, B ve C nin 001 veya 110 değerlerini
sağlayacak bir w, x, y, ve z kombinasyonu
olmadığını varsayalım. Böyle bir tasarımda N2
için bu değerlere (001 veya 110) bakılmaksızın
N2 tasarımı yapılabilir çünkü N2 için 001 veya
110 asla girdi olarak üretilemeyecektir.
Örneğin, Tablo 6-4 ile f fonksiyonu belirlenebilir.

Fonksiyonlar
KBUZEM
40
Tablodaki X’lerin anlamı şudur: X değerlerin 0
veya 1 olacağı önemsenmemektedir. Örnek
için ABC = 001 veya 110 değerleri için F’in
alacağı değer dikkate alınmamıştır çünkü o
değerler girdi olarak gelemeyecektir. F
fonksiyonu bu yüzden eksik olarak belirtilir. A'
B' C ve A BC' mintermleri «dikkate alma(don’t
care)» ifadeleri olarak isimlendirilir. Bu
nedenle bu mintermlerin ifadede olmaması ya
da olmaması bizim için önemli değildir.

Fonksiyonlar
KBUZEM
41
Tablo 6.3: Dikkate Alınmayan
İfadeler İçeren Doğruluk Tablosu
Don’t care
Don’t care

Fonksiyonlar
KBUZEM
42
Bir fonksiyonu gerçekleştirirken, dikkate alınmayacak
ifadeleri belirtmemiz gerekir. Bu durum fonksiyonu
basitleştirmede yardımcı olaracak değerlerin seçilmesi
açısından tercih edilebilir bir durumdur. İki X’e 0 değeri
atanırsa:
İlk X’e 1 ikinci X’e 0 atanırsa
İki X’e 1 değeri atanırsa,
İkinci seçenek en sade çözümü vermektedir.

Fonksiyonlar
KBUZEM
43
Tamamlanmamış belirli fonksiyonları oluşturmak için bir
yol gördük ve bundan başka birçok yol mevcuttur.
Önceki örnekte, bazı kombinasyonların girdi olarak
gelemeyecek olduğunu ve dikkate alınmadığını gösterdik.
Diğer durumlarda için bütün giriş kombinasyonları
oluşabilir fakat çıkış sinyalinde dikkate alınmayan
ifadeler bulunduğunda çıkışın 0 veya 1 olması o giriş
kombinasyonları için önemli değildir.
Tamamlanmamış belirli fonksiyonlar için minterm
ifadeleri yazılırken, m gerekli mintermler için ve d dikkate
alınmayan mintermler için kullanılır. Tablo 6-3 için
minterm yazılım örneği:

Fonksiyonlar
KBUZEM
44
Her dikkate alınmayan minterm karşılığında dikkate
alınmayacan maxterm vardır. Örneğin, Eğer F = X
(dikkate alınmayacan) 001 giriş kombinasyonu için, m1
dikkate alınmayan minterm ve M1 dikkate alınmayan
maxtermdir. «D » yi dikkate alınmayacan maxterm olarak
kullanıyoruz, Tablo 4-5 maxterm ifadeler olarak yazılırsa
M2 ,M4 , ve M5 F içinde olan maxtermler ve M1 ve
M6 maxtermleri dikkate alınmayan(opsiyonel)
maxtermlerdir.

6.6 Doğruluk Tablosu Oluşturma
Örnekleri
KBUZEM
45
Örnek 1
1-bitlik sayı ile 1-bitlik sayıyı toplayıp (a ve b) sonuçta 2-
bitlik sayı veren basit toplayıcı dizayn edelim. Nümerik
değerler ve çıkışlar şu şekilde olur:
A ve B giriş ve X, Y 2- bitlik toplam sonucunu gösteren
değişkenler olmak üzere doğruluk tablosunu şöyle
oluşturabiliriz:

Doğruluk Tablosu Oluşturma Örnekleri
KBUZEM
46
A B X Y
Numerik 0’lar mantıksal 0 ile, numerik 1’ler de
mantıksal 1 ile gösterildiğinden, 0’lar ve 1’ler doğruluk
tablosunda da önceki tablodaki gibi yerleştirilir.
Doğruluk tablosundan,

KBUZEM
47
Örnek 2
(N3=N1+N2)
A B
C D
X Y Z
X: carry (elde) Y Z: sum (toplam)
+

KBUZEM
48
A ve B girişleri birlikte N1 ikilik (binary) sayısını, C ve D
beraber N2 ikilik (binary) sayısını, çıkışlar X, Y ve Z birlikte N3
ikilik (binary) sayısını temsil etsin. N3 = N1 + N2 (Sıradan
toplama işlemi)
Bu örnekte A, B, C, ve D hem nümerik hem de mantıksal
değerleri temsil etmek için kullanılmıştır fakat numerik ve
mantıksal değerlerin aynı olması herhangi bir karışıklığa yol
açmamalıdır. Doğruluk tablosunu oluşturulurken değişkenler
ikilik(binary) sayılar gibi işlem görür. Şimdi çıkış fonksiyonları
için anahtar fonksiyonu türetelim. Bunu yaparken A, B, C, D, X,
Y ve Z gibi anahtar değişkenler numerik olmayan 0 ve 1 ler ile
gösterelim. (Hatırlanacak olursa 0 ve 1 alçak ve yüksek voltaj
değerini veya açık ve kapalı gibi değerleri gösterir)
Tablodan oluşturulan çıkış ifadesi

Mantık Devreleri

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Mantık Devreleri