3. METODO DE
DISCOS
El metodo de discos en Cálculo Integral,
cuando se hace girar la región de área que
está debajo de una función alrededor del Eje
X o algún otro eje, lo que se obtiene es un
“Solido de Revolución“.El volumen de este
sólido se obtiene con la integral.
002
4. FORMULA GENERAL
El método del disco se basa en la fórmula para el volumen de un
cilindro: V = Imagínese un cilindro que yace de lado. El eje x pasa
por su centro, el eje y está contra la base izquierda, la base
derecha está ubicada en x = by la parte superior del cilindro es y
= 2.
Volumen es igual a pi limite de ab entre corchetes radio
Por el eje de x se Cierra y sera sobre diferencial de x
003
6. 005
ESFERA
BASTA CON ROTAR UN
SEMICÍRCULO ALREDEDOR
DE UN EJE QUE SERÁ EL
DIÁMETRO DE LA ESFERA
DE RADIO R. SU
VOLUMEN ES:
Vesfera = (4/3)πR3
7. 006
CON0
PARA OBTENER UN CONO
DE ALTURA H Y RADIO R,
LA SUPERFICIE QUE SE
DEBE ROTAR ES UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO,
ALREDEDOR DEL EJE
AXIAL QUE PASA POR UNO
DE LOS CATETOS. SU
VOLUMEN ES:
Vcono = (1/3)πHR2
8. 007
CILINDRO
ROTANDO UN
RECTÁNGULO ALREDEDOR
DE UN EJE AXIAL QUE
PASA POR UNO DE LOS
LADOS, QUE PUEDE SER
EL LADO CORTO O EL
LADO LARGO, SE OBTIENE
UN CILINDRO CIRCULAR
RECTO DE RADIO R Y
ALTURA H, CUYO
VOLUMEN ES:
Vcilindro = πR2H
9. 008
TOROIDE
EL TOROIDE TIENE LA FORMA DE UN DONUT. SE OBTIENE
ROTANDO UNA REGIÓN CIRCULAR ALREDEDOR DE UNA
RECTA EN EL PLANO QUE NO INTERSECTA AL CÍRCULO. SU
VOLUMEN VIENE DADO POR:
Vtoroide = 2πa2R
Donde a es el radio de la sección transversal y R es
el radio del toroide según el esquema presentado
en la figura:
11. E N C Á LC U LO IN T E GR A L S O N
F R E C U E NTE S E S T O S D O S
M É T O D OS :
- C a s ca r one s
009
- D i s cos y a r a nd e l as
12. SAl rebanar un sólido de revolución la sección transversal puede ser un
disco, si el sólido es macizo o puede ser una especie de arandela (un disco
con un agujero en medio), si se trata de un sólido hueco.
Supongamos que se hace girar una región plana alrededor del eje
horizontal. De esa región plana tomamos un pequeño rectángulo de
anchura Δx, el cual se hace girar en forma perpendicular alrededor del eje
axial.
La altura del rectángulo está comprendida entre la curva más externa R(x) y
la más interna r(x). Ellas corresponden al radio externo y radio interno
respectivamente.
Al hacer esta rotación se genera una arandela de volumen ΔV, dado por:
ΔV = Volumen completo – volumen del agujero (si lo hay)
Recordando que el volumen de un cilindro circular recto es π. radio2 x
altura, tenemos:
ΔV = π [R2(x) – r2(x)] Δx
El sólido se puede dividir en multitud de pequeñas porciones de volumen
ΔV. Si las sumamos todas, tendremos el volumen completo.
Para ello hacemos tender a 0 el volumen ΔV, con lo cual Δx también se
hace muy pequeño, pasando a ser un diferencial dx.
Así tenemos una integral:
V = ∫ab π [R2(x) – r2(x)] dx
007
MÉTODO DE LOS
DISCOS O LAS
ARANDELAS
