Pendulul invers - analiza, proiectare, implementare

Universitatea Politehnica Bucuresti, Faculatea de Automatica si Calculatoare
Pendulul invers
Analiza. Proiectare. Implementare
Profesor Coordonator: Studenta:
Prof. Dr. Ing. Constantin Nicolae Lupu Anamaria
Grupa: 334 AC
Mai 2010

Pendulul invers – Analiza. Proiectare. Implementare 2010
Page 1
TEMA LUCRARII:
Pendulul invers – Analiza. Proiectare.
Implementare

Page 2
Cuprins :
TABEL DE FIGURI......................................................................................................... 4
1. INTRODUCERE ....................................................................................................... 5
1.1. Introducere pentru pendulul invers.......................................................................... 5
1.2. Aplicatii ale pendulului invers................................................................................. 6
1.3. Descrierea problemei ............................................................................................... 6
2. CALCULE MATEMATICE .................................................................................... 8
2.1. Analiza matematica.................................................................................................. 8
2.1.1. Descrierea functionarii..................................................................................... 8
2.1.2. Ecuatiile sistemului pendulului invers.............................................................. 8
2.1.3. Metoda 1 – functii de transfer .......................................................................... 9
2.1.4. Metoda 2 – reprezentarea pe stare................................................................. 11
2.2. Parametrii sistemului ............................................................................................. 11
3. ANALIZA SISTEMULUI NESTABILIZAT........................................................ 13
3.1. Localizarea Polilor si a Zerourilor in Planul Complex ai functiei de transfer in
bucla deschisa ................................................................................................................... 13
3.2. Raspunsul la impuls al sistemului nestabilizat in bucla deschisa .......................... 13
3.3. Raspunsul indicial al sistemului nestabilizat in bucla deschisa............................. 14
3.4. Plasarea radacinilor complexe pentru sistemul necompensat................................ 15
3.5. Modelul Simulink pentru raspunsul la impuls in bucla deschisa (ipolimpulse.mdl)
16
3.6. Modelul Simulink pentru raspunsul la treapta in bucla deschisa (ipolstep.mdl) ... 19
4. PROIECTAREA REGULATORULUI................................................................. 21
4.1. Cum poate fi proiectata reglarea? (Posibile optiuni) ............................................. 21
5. PROIECTAREA SISTEMULUI PRIN PLASAREA RADACINILOR
COMPLEXE ................................................................................................................... 22
5.1. De ce este necesara reglarea?................................................................................. 22
5.2. Performantele dorite............................................................................................... 22
5.3. Proiectarea regulatorului........................................................................................ 22
6. INSTRUMENTUL DE PROIECTARE SISO ...................................................... 23
6.1. Care este sistemul de proiectare SISO? ................................................................. 23
6.2. Implementarea modelelor in instrumentul de proiectare SISO.............................. 23
6.3. Deschiderea instrumentului de proiectare SISO.................................................... 23
6.4. Cerinte de proiectare.............................................................................................. 23
6.5. Proiectarea sistemului prin plasarea radacinilor complexe cu ajutorul
instrumentului de proiectare SISO.................................................................................... 23
6.6. Introducerea de poli si zerouri in regulator............................................................ 23
6.7. Procedura ............................................................................................................... 23
7. ANALIZA SISTEMULUI COMPENSAT ............................................................ 24
7.1. Plasarea poli-zero a sistemului compensat in bucla deschisa ................................ 24
7.2. Plasarea radacinilor complexe in sistemul compensat........................................... 24
7.3. Plasarea poli-zero a sistemului compensat in bucla inchisa .................................. 24
7.4. Raspunsul la impuls al sistemului comepnsat cu PID ........................................... 24

Page 3
7.5. Raspunsul indicial al sistemului comepnsat cu PID .............................................. 24
7.6. Concluzii ale analizei sistemului compensat ......................................................... 24
7.7. Modelul Simulink pentru raspunsul la treapta al sistemului compensat, in bucla
inchisa ............................................................................................................................... 24
7.8. Modelul Simulink pentru raspunsul la impuls al sistemului compensat, in bucla
inchisa ............................................................................................................................... 24
7.9. Modelul Simulink pentru raspunsul sistemului compensat la perturbatii asupra
caruciorului ....................................................................................................................... 24
7.10. Modelul Simulink pentru raspunsul sistemului compensat la perturbatii asupra
tijei pendulului .................................................................................................................. 24
8. CONCLUZII ............................................................................................................ 25
BIBLIOGRAFIE............................................................................................................. 26

Page 4
TABEL DE FIGURI
Figura 1.1 – Obiectivul lucrarii......................................................................................... 5
Figura 1.2 – Tipul de pendul.............................................................................................. 6
Figura 1.3 – Schema de reglare......................................................................................... 7
Figura 2.1 – Descompunerea miscarii............................................................................... 8
Figura 3.1 – Pozitia polilor modelului liniarizat in bucla deschisa ............................... 13
Figura 3.2 – Raspunsul sistemului la impuls ................................................................... 14
Figura 3.3 – Raspunsul sistemului la treapta .................................................................. 15
Figura 3.4 – Graficul polilor sistemului nestabilizat....................................................... 16
Figura 3.5 – Parametrii de simulare pentru raspunsul la impuls in bucla deschisa...... 17
Figura 3.6 – Schema de reglare in Simulink pentru raspunsul la impuls in bucla deschisa
........................................................................................................................................... 17
Figura 3.7 – Comanda de tip impuls pentru motorul caruciorului................................. 18
Figura 3.8 – Raspunsul sistemului nestabilizat la comanda de tip impuls, in bucla
deschisa............................................................................................................................. 18
Figura 3.9 – Parametrii de simulare pentru raspunsul la treapta in bucla deschisa...... 19
Figura 3.10 – Schema de reglare in Simulink pentru raspunsul la impuls in bucla
deschisa............................................................................................................................. 19
Figura 3.11 – Comanda de tip treapta pentru motorul caruciorului.............................. 20
Figura 3.12 – Raspunsul indicial al sistemului nestabilizat, in bucla deschisa.............. 20

Page 5
1. INTRODUCERE
1.1. Introducere pentru pendulul invers
Pendulul invers este printre sistemele cel mai dificil de controlat din domeniul
ingineria reglarii. Datoria importantei sale in acest domeniu, se analizeaza modelul, iar
studentii trebuie sa propuna un compensator liniar conform legii de reglare PID. Fiind un
sistem instabil, pendulul invers este o problema de reglare comuna in randul studentilor
de la Ingineria Reglarii, care trebuie sa-i controleze miscarile.
Am ales un pendul invers deoarece este un sistem neliniar, care poate fi tratat ca
unul liniar, fara prea multe erori, pentru o gama destul de larga de variatii.
Etapele de realizare a controlului pendulului invers sunt:
- modelarea si liniarizarea pendulului invers
- analiza raspunsului in bucla inchisa cu ajutorul graficului radacinilor
complexe
- realizarea unui regulator de tip PID si verificarea acestuia in simulare
(Matlab)
- analiza raspunsului sistemului compensat, in bucla inchisa
Figura 1.1 – Obiectivul lucrarii

Page 6
1.2. Aplicatii ale pendulului invers
1.3. Descrierea problemei
In simulare este imposibil sa balansam pendulul in pozitie inversa, fara a aplica o
forta sistemului extern. Sistemul permite ca aceasta forta de control sa fie aplicata
caruciorului. Iesirile caruciorului pot fi viteza caruciorului, unghiul pendulului fata de
verticala, viteza unghiulara a pendulului.
In cazul nostru va fi tratat numai unghiul pendulului. Obiectivele studiului sunt de
stabiliza pendulul prin controlul caruciorului, si de a-l mentine la pozitia verticala chiar si
sub influenta anumitor factori perturbatori.
Problema include un carucior care se misca inainte si inapoi, si un pendul, fixat de
carucior, astfel incat acesta sa se poata misca in acelasi plan cu caruciorul. De aceea,
pendulul este liber sa se balanseze pe axa de deplasare a caruciorului. Sistemul trebuie
controlat astfel incat pendulul sa ramana pe verticala si sa reziste unor perturbatii de tip
treapta.
Figura 1.2 – Tipul de pendul
Problema implica un sistem cu un singur grad de libertate. Daca pozitia initiala a
pendulului este verticala, acesta va incepe sa cada. Pendulul fiind fixat de carucior, acesta
va incepe sa mearga in directie opusa, astfel incat pendulul va reveni la verticala.
Daca iesirea sistemului este unghiul pendulului fata de verticala (in pozitie
inversa), putem observa ca sistemul este instabil, din moment ce pendulul incepe sa cada
imediat ce il eliberam cu un unghi foarte mic. Pentru a stabiliza sistemul, adica pentru a
mentine pendulul in pozitie inversa la verticala, trebuie folosit un sistem de control cu
feedback.
Pendulul invers este un sistem excelent pentru a testa teoria controlului liniar.
Vom cauta o lege de reglare pentru mentinerea pendulului in pozitie inversa. Caruciorul
efectueaza o miscare de translatie, iar pendulul, una de rotatie.
Scopul unui regulator este de a deplasa caruciorul intr-o anumita pozitie, fara a
duce la caderea pendulului. Sistemul in bucla deschisa este instabil.

Page 7
Trebuie sa analizam, sa proiectam si sa implementam o bucla de reglare pentru
pendulul invers, conform schemei:
Figura 1.3 – Schema de reglare
Implementarea din lucrarea de fata contine feedback numai dupa unghiul
pendulului (numai unul din cele patru cazuri posibile: pozitia caruciorului, viteza
caruciorului, viteza unghiulara a pendulului).
Pendulul este pozitionat manual in pozitie inversa verticala, aceasta fiind o stare
de instabilitate, dupa care este introdus regulatorul pentru a balansa pendulul si a-l
mentine vertical in prezenta perturbatiilor. O perturbatie simpla poate fi realizata prin
impingerea usoara a pendulului. O perturbatie complexa poate fi vantul (sau un
ventilator).
Aceste setari pot fi utilizate pentru studiul controlului unui sistem instabil in bucla
deschisa. Este o demonstratie a beneficiilor stabilizarii ale reglarii cu feedback.

Page 8
2. CALCULE MATEMATICE
2.1. Analiza matematica
2.1.1. Descrierea functionarii
In acest exemplu, vom implementa un regulator de tip PID care poate fi aplicat
numai unui sistem cu o singura intrare si o singura iesire (SISO), deci vom fi interesati sa
controlam numai unghiul pendulului. Prin urmare, niciunul dintre criteriile de proiectare
nu se face in functie de pozitia caruciorului. Vom presupune ca sistemul se afla initial in
echilibru si se va actiona asupra lui cu un impuls de forta de 1N. Pendulul ar trebui sa
revina la pozitia verticala in mai putin de 5 secunde, si niciodata sa nu treaca mai mult de
0.05 radiani (3 grade) fata de verticala.
Pozitia caruciorului trebuie modificata permanent prin intermediul fortei, astfel
incat pendulul sa isi pastreze pozitia verticala, de echilibru. Astfel, se putem spune ca
revenirea caruciorului in pozitia initiala se relizeaza doar asimptotic, pentru .
2.1.2. Ecuatiile sistemului pendulului invers
Mai jos sunt prezentate independent componentele sistemului:
Figura 2.1 – Descompunerea miscarii
Acest sistem este dificil de modelat in Simulink datorita constrangerilor fizice
(articulatia comuna) dintre carucior si pendul; este redus gradul de libertate al sistemului.
Si caruciorul, si pendulul au cate un grad de libertate: deplasarea X pentru carcucior,

Page 9
respectiv unghiul θ pentru pendul. Vom modela ecuatiile pentru aceste doua grade de
libertate.
2.1.3. Metoda 1 – functii de transfer
O modalitate de determinare a ecuatiilor dinamice de miscare a sistemului consta
in doua etape: exprimarea ecuatiilor de echilibru al fortelor pe directia orizontala si
scrierea ecuatiilor de echilibru ale cuplurilor in raport cu punctul de pivotare al
pendulului.
Modelul matematic trebuie exprimat cu ajutorul relatiilor de dependenta a
unghiului θ si a distantei de forta externa F aplicata asupra caruciorului.
Intr-o prima etapa se evalueaza coordonatele centrului de greutate a masei
pendulului fata de sistemul de referinta stabilit
(1)
Ecuatia echilibrului de forte pe directia orizontala este urmatoarea:
, (2)
unde reprezinta forta de inertie a caruciorului care se deplaseaza orizontal, iar
este forta de inertie a pendulului proiectata pe axa orizontala.
Derivand relatiile (1), rezulta:
(3)
Inlocuind prima relatie din (3) in (2), se obtine:
(4)
Ecuatia de echilibru a cuplurilor in raport cu punctul de pivotare al pendulului
este urmatoarea:
(5)
unde Fx reprezinta forta de inertie care actioneaza asupra pendulului de-a lungul axei Ox,
este componenta fortei Fx perpendiculara pe tija pendulului, Fy este forta de
inertie care actioneaza asupra pendulului de-a lungul axei Oy, este
componenta fortei Fy perpendiculara pe tija pendulului, iar este
componenta fortei gravitationale perpenficulara pe tija pendulului.
Fortele Fx si Fy se obtin inmultind relatia (3) cu masa din capatul pendulului:
(6)
Introducand (6) in (5) obtinem:
(7)
Modelul matematic al sistemului este neliniar:
(8)

Page
10
Deoarece ecuatiile sunt neliniare, se poate efectua o liniarizare a modelului dupa
unghiul de pivotare θ, fata de pozitia de echilibru a pendulului, θ0=0. Una dintre
variantele de liniarizare a ecuatiilor se bazeaza pe considerarea unghiurilor mici de
pivotare θ , pentru care se introduc aproximatiile . Se
ajunge, astfel, la urmatoarea forma liniarizata simplificata (aproximata) a modelului:
(9)
Aplicand Transformata Laplace si Teorema derivarii asupra sistemului (9), pentru
conditii initiale nule, sistemul devine:
(10)
de unde rezulta functiile de transfer:
(11)
Prin liniarizare s-a gasit o modalitate comoda de a simplifica ecuatiile, dar
dezavantajul il constituie posibilitatea de a pierde stabilitatea modelului initial. Acest
efect s-a obtinut si in cazul modelului (11): H2 prezinta doi poli de rezonanta, ceea ce este
firesc – pendulul invers se afla la limita de stabilitate.
Functia de transfer poate fi scrisa ca fiind:
(12)
unde .
Daca neglijam frecarea (b=0), obtinem:
(13)
unde
,
In domeniul timp, functia de transfer se scrie astfel:
(14)
Functia de transfer a mecanismului de actionare:
(15)
Functia de transfer a intregului sistem:

Page
11
(16)
unde K=KFKPKM r(M+m)
E(s) = eroare alimentare
ϴ(s) = pozitia unghiulara a pendulului
2.1.4. Metoda 2 – reprezentarea pe stare
Cele doua functii de transfer se pot obtine si pe alta cale, utilizand reprezentarea
pe stare. Astfel, alegand ca variabile de stare: rezulta
urmatoarea reprezentare:
2.2. Parametrii sistemului
Pentru acest exemplu, vom presupune:
 M – masa caruciorului 0.9 kg
 m – masa pendulului 0.1 kg
 b – frecarea caruciorului 0.1 N/m/sec
 l – lungimea tijei pendulului 0.47 m
 l/2 – lungimea tijei pana la centrul de greutate
 I – momentul de inertie al pendulului 0.0053 kg∙m2
 F – forta aplicata caruciorului
 x – pozitia (distanta) caruciorului fata de un sistem de coordonate
de referinta xOy
 θ – unghiul de deviatie al tijei fata de axa verticala
 tau – constanta motorului 0.5 secunde
 Kf – gain of feedback 2.8648 V/rad/sec
 Km – gain of motor 17 rad/sec/V

Page
12
 g – acceleratia gravitationala 9.8 m/sec2
Cerintele de proiectare pentru acest sistem sunt:
 timpul tranzitoriu mai mic de 5 secunde
 unghiul pendulului sa nu fie mai mare de 0.05 radiani fata de verticala

Page
13
3. ANALIZA SISTEMULUI NESTABILIZAT
3.1. Localizarea Polilor si a Zerourilor in Planul Complex ai
functiei de transfer in bucla deschisa
Figura 3.1 - Pozitia polilor modelului liniarizat in bucla deschisa
Pozitia polilor ai modelului liniarizat (in bucla deschisa) arata ca sistemul este
instabil, deoarece unul dintre polii functiei de transfer se afla in semiplanul drept.
Sistemul este instabil.
3.2. Raspunsul la impuls al sistemului nestabilizat in bucla
deschisa

Page
14
Figura 3.2 - Raspunsul sistemului la impuls
In figura este prezentat raspunsul sistemului la impuls. Sistemul este foarte instabil,
deoarecere theta diverge foarte rapid. Natura exponentiala a raspunsului inidica
instabilitatea sistemului.
3.3. Raspunsul indicial al sistemului nestabilizat in bucla
deschisa

Page
15
Figura 3.3 - Raspunsul sistemului la treapta
In figura este prezentat raspunsul la treapta al sistemului. Si in acest caz, teta
diverge foarte rapid, iar sistemul este instabil, dupa cum arata natura exponentiala a
raspunsului.
3.4. Plasarea radacinilor complexe pentru sistemul
necompensat
Primul pas in proiectarea regulatorului este de a observa raspunsul in bucla
inchisa, cu reactie unitara (sa nu avem nimic pe cale inversa) si de a verifica stabilitatea.
Multe sisteme sunt instabile in bucla deschisa, dar stabile in configuratie de bucla inchisa.
Invers, este posibil ca un sistem sa fie stabil in bucla deschisa, dar instabil in configuratie
de bucla inchisa, desi aceste cazuri sunt rare.
Sistemul nestabilizat, in bucla inchisa se poate studia analizand graficul
radacinilor complexe ale sistemului. Figura ne indica graficul plasarea polilor sistemului.

Page
16
Figura 3.4 – Graficul polilor sistemului nestabilizat
Graficul indica faptul ca sistemul nu poate fi controlat doar printr-o reactie
negativa unitara. Oricare ar fi constanta buclei, una dintre radacini va ramane in
semiplanul drept. Acest lucru face imposibil de stabilizat sistemul in bucla inchisa, cu
reactie unitara.
Locatia polului in partea dreapta a fata de axa imaginara indica faptul ca sistemul
este instabil si in bucla inchisa, orice valoarea ar avea constanta K.
Din analiza de mai sus rezulta ca folosind numai gain compensation(?) in bucla
inchisa, nu se poate stabiliza pendulul invers. Este necesar ca pentru anumite valori ale
castigului, sistemul sa aiba toti polii in semiplanul stang, in zona de stabilitate.
3.5. Modelul Simulink pentru raspunsul la impuls in bucla
deschisa (ipolimpulse.mdl)
Aici sunt evaluate functiile de transfer ale Servomecanismului si ale Modelului,
calculate pentru valorile prezentate mai sus.
Aceste variabile sunt evaluate in fisierul trans_func_ip.m
>> trans_func_ip_uc

Page
17
Functia de transfer a caii directe este:
Transfer function:
0.0399 s
-----------------------------------
0.0223 s^3 + 0.0446 s^2 - 0.5 s - 1
Functia de transfer a buclei inchise a sistemului nestabilizat este:
Transfer function:
0.0399 s
--------------------------------------
0.0223 s^3 + 0.0446 s^2 - 0.3857 s – 1
Impulsul este aplicat dupa 0.5 secunde.
Figura 3. 5 - Parametrii de simulare pentru raspunsul la impuls in bucla deschisa
Figura 3.6 – Schema de reglare in Simulink pentru raspunsul la impuls in bucla deschisa
Comanda de tip impuls asupra motorului caruciorului este:

Page
18
Figura 3.7 - Comanda de tip impuls pentru motorul caruciorului
Raspunsul la impuls al sistemului nestabilizat, in bucla deschisa este prezentat
mai jos:
Figura 3.8 – Raspunsul sistemului nestabilizat la comanda de tip impuls, in bucla deschisa

Page
19
3.6. Modelul Simulink pentru raspunsul la treapta in bucla
deschisa (ipolstep.mdl)
Sunt evaluate functiile de transfer ale Servomecanismului si ale Modelului, calculate
pentru valorile prezentate mai sus.
Aceste variabile sunt evaluate in fisierul trans_func_ip.m
Treapta este aplicata dupa 1 secunda.
Figura 3.9 - Parametrii de simulare pentru raspunsul la treapta in bucla deschisa
Figura 3.10 - Schema de reglare in Simulink pentru raspunsul la impuls in bucla deschisa

Page
20
Intrarea de tip treapta asupra motorului caruciorului Pendulului Invers
Figura 3.11 - Comanda de tip treapta pentru motorul caruciorului
Raspunsul sistemului nestabilizat, in bucla deschisa este prezentat mai jos:
Figura 3.12 – Raspunsul indicial al sistemului nestabilizat, in bucla deschisa

Page
21
4. PROIECTAREA REGULATORULUI
4.1. Cum poate fi proiectata reglarea? (Posibile optiuni)
Reglarea sistemului Pendulului Invers poate fi proiectata folosind una dintre metodele
de analiza controlului si tehnici de reglare. Acestea sunt:
Metoda de alocare a Polilor si a Zerourilor
Diagramele BODE
Diagramele NYQUIST
Graficele NICHOLS
Metoda de alocare a polilor si a zerourilor este o reprezentare in domeniul timp,
iar celelalte trei metode sunt reprezentari in domeniul fracventa.
Am utilizat metoda de alocare a Polilor si a Zerourilor, deoarece permite o
vizualizare mai clara a raspunsului in domeniul timp.

Page
22
5. PROIECTAREA SISTEMULUI PRIN PLASAREA
RADACINILOR COMPLEXE
5.1. De ce este necesara reglarea?
Analiza sistemului arata ca folosind numai compensarea castigului in bucla
inchisa nu controleaza Pendulul Invers. Este necesara alocarea polilor si a zerourilor,
astfel incat pentru anumite valori ale castigului, sistemul are toti polii in semiplanul stang
(in zona de stabilitate).
Alocarea polilor este utila, deoarece toti polii vor fi plasati in semiplanul stang,
deci sistemul va fi stabil.
De asemenea, se doresc a fi indeplinite specificatiile de performanta ale
sistemului.
5.2. Performantele dorite
Timpul tranzitoriu 0.5 secunde
Suprareglaj <20%, ceea ce implica factorul de amplificare ζ>0.5.
5.3. Proiectarea regulatorului
Reglarea sistemului prin introducerea de poli si zerouri este utilizata pentru a
imbunatati performantele. Totusi, fiecare pol suplimentar mareste numarul de zerouri ai
ecuatiei caracteristice pentru sistemul in bucla inchisa.

Page
23
6. INSTRUMENTUL DE PROIECTARE SISO
6.1. Care este sistemul de proiectare SISO?
6.2. Implementarea modelelor in instrumentul de proiectare
SISO
6.3. Deschiderea instrumentului de proiectare SISO
6.4. Cerinte de proiectare
6.5. Proiectarea sistemului prin plasarea radacinilor complexe
cu ajutorul instrumentului de proiectare SISO
6.6. Introducerea de poli si zerouri in regulator
6.7. Procedura

Page
24
7. ANALIZA SISTEMULUI COMPENSAT
7.1. Plasarea poli-zero a sistemului compensat in bucla deschisa
7.2. Plasarea radacinilor complexe in sistemul compensat
7.3. Plasarea poli-zero a sistemului compensat in bucla inchisa
7.4. Raspunsul la impuls al sistemului comepnsat cu PID
7.5. Raspunsul indicial al sistemului comepnsat cu PID
7.6. Concluzii ale analizei sistemului compensat
7.7. Modelul Simulink pentru raspunsul la treapta al sistemului
compensat, in bucla inchisa
7.8. Modelul Simulink pentru raspunsul la impuls al sistemului
compensat, in bucla inchisa
7.9. Modelul Simulink pentru raspunsul sistemului compensat la
perturbatii asupra caruciorului
7.10. Modelul Simulink pentru raspunsul sistemului compensat la
perturbatii asupra tijei pendulului

Page
25
8. CONCLUZII

Page
26
BIBLIOGRAFIE
Janetta Culita, Dan Stefanoiu – „Modelare analitica si experimentala a
sistemelor”, Editura Printech, Bucuresti, 2008
Adresa web

Pendulul invers - analiza, proiectare, implementare

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à Pendulul invers - analiza, proiectare, implementare

Similaire à Pendulul invers - analiza, proiectare, implementare (20)

Pendulul invers - analiza, proiectare, implementare