SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  28
Télécharger pour lire hors ligne
HOÀNG THÁI VIỆT

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT
VÀ CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
(DÙNG CHO HS ÔN THI VÀO LỚP 10)
Đà nẵng ,Năm 2015
HOÀNG THÁI VIỆT- ĐHBK- 01695316875
Truy cập face để liên hệ và học tập :
https://www.facebook.com/ttbdgdhtv
Download tại liệu của Hoàng thái việt tại :
http://www.slideshare.net/barackobamahtv
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 2
tæng hîp kiÕn thøc
vµ c¸ch gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp to¸n 9
A. KiÕn thøc cÇn nhí.
1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa.
A cã nghÜa khi A  0
2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc.
a. 2
A A
b. . ( 0; 0)AB A B A B  
c. ( 0; 0)
A A
A B
B B
  
d. 2
( 0)A B A B B 
e. 2
( 0; 0)A B A B A B  
2
( 0; 0)A B A B A B   
f.
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
  
i. ( 0)
A A B
B
BB
 
k. 2
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A BA B
  

m
m. 2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A BA B
   

m
3. Hµm sè y = ax + b (a  0)
- TÝnh chÊt:
+ Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0.
+ Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0.
- §å thÞ:
§å thÞ lµ mét ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hµm sè y = ax2
(a  0)
- TÝnh chÊt:
+ NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0.
+ NÕu a < 0 hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0.
- §å thÞ:
§å thÞ lµ mét ®-êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0).
+ NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh.
+ NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d-íi trôc hoµnh.
PhÇn I:
§¹i sè
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 3
5. VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña hai ®-êng th¼ng
XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d')
(d) vµ (d') c¾t nhau  a  a'
(d) // (d')  a = a' vµ b  b'
(d)  (d')  a = a' vµ b = b'
6. VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng cong.
XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2
(P)
(d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm
(d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm
(d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung
7. Ph-¬ng tr×nh bËc hai.
XÐt ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2
+ bx + c = 0 (a  0)
C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän
 = b2
- 4ac
NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai
nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1

 ;
a
b
x
2
2


NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm
kÐp :
a
b
xx
2
21


NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
' = b'2
- ac víi b = 2b'
- NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai
nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
''
1

 ;
a
b
x
''
2


- NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm
kÐp:
a
b
xx
'
21


- NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
8. HÖ thøc Viet vµ øng dông.
- HÖ thøc Viet:
NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2
+ bx + c = 0 (a0) th×:
1 2
1 2.
b
S x x
a
c
P x x
a

  

  

- Mét sè øng dông:
+ T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph-¬ng tr×nh:
x2
- Sx + P = 0
(§iÒu kiÖn S2
- 4P  0)
+ NhÈm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2
+ bx + c = 0 (a0)
NÕu a + b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm:
x1 = 1 ; x2 =
c
a
NÕu a - b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm:
x1 = -1 ; x2 =
c
a

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 4
9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh
B-íc 1: LËp ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh
B-íc 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh
B-íc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh
nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn
B. c¸c d¹ng bµi tËp
D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc
Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A
 §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c b-íc sau:
- Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã)
- §-a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã)
- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)
- Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia....
- Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng.
Bài tập:
1)
 
2
5 2 8 5
2 5 4
 

;
2)
3 3
1 3 1 1 3 1

   
3) 3 5 3 5   ;
4) 14 8 3 24 12 3   ;
5) Cho biÓu thøc
x 1 x x x x
A =
2 2 x x 1 x 1
   
        
a) Rót gän biÓu thøc A;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.
6) Cho biÓu thøc
x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
   
            
a) Rót gän biÓu thøc B;
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.
D¹ng 2: Bµi to¸n tÝnh to¸n
Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.
 TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót
gän biÓu thøc A
Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a
 C¸ch gi¶i:
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 5
- Rót gän biÓu thøc A(x).
- Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän.
Bài tập :
Bµi 9: Cho biÓu thøc :
P = 





















a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1
a) Tính P khi a = 2
b) T×m a ®Ó P< 347 
D¹ng 3: Chøng minh ®¼ng thøc
Bµi to¸n: Chøng minh ®¼ng thøc A = B
 Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh:
- Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa.
A = B  A - B = 0
- Ph-¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp.
A = A1 = A2 = ... = B
- Ph-¬ng ph¸p 3: Ph-¬ng ph¸p so s¸nh.
A = A1 = A2 = ... = C
B = B1 = B2 = ... = C
- Ph-¬ng ph¸p 4: Ph-¬ng ph¸p t-¬ng ®-¬ng.
A = B  A' = B'  A" = B"  ...... (*)
(*) ®óng do ®ã A = B
- Ph-¬ng ph¸p 5: Ph-¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.
- Ph-¬ng ph¸p 6: Ph-¬ng ph¸p quy n¹p.
- Ph-¬ng ph¸p 7: Ph-¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.
D¹ng 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B
 Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng:
- BÊt ®¼ng thøc Cosi:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
.....
...
321
321


(víi 0..... 321 naaaa )
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: naaaa  ...321
- BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki:
Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn
  )...)(...(... 22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
2
332211 nnnn bbbbaaaababababa 
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
 ...
3
3
2
2
1
1
 Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh:
- Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa
A > B  A - B > 0
- Ph-¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp
A = A1 = A2 = ... = B + M2
> B nÕu M  0
A = B
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 6
- Ph-¬ng ph¸p 3: Ph-¬ng ph¸p t-¬ng ®-¬ng
A > B  A' > B'  A" > B"  ...... (*)
(*) ®óng do ®ã A > B
- Ph-¬ng ph¸p 4: Ph-¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu
A > C vµ C > B  A > B
- Ph-¬ng ph¸p 5: Ph-¬ng ph¸p ph¶n chøng
§Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t-¬ng
®-¬ng ®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B.
- Ph-¬ng ph¸p 6: Ph-¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.
- Ph-¬ng ph¸p 7: Ph-¬ng ph¸p quy n¹p.
- Ph-¬ng ph¸p 8: Ph-¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.
D¹ng 5: bµi to¸n liªn quan tíi ph-¬ng tr×nh bËc hai
Bµi to¸n 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2
+ bx + c = 0 (a0)
 C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i:
- Ph-¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh tÝch.
- Ph-¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai
x2
= a  x =  a
- Ph-¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm
Ta cã  = b2
- 4ac
+ NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1

 ;
a
b
x
2
2


+ NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
a
b
xx
2
21


+ NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Ph-¬ng ph¸p 4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän
Ta cã ' = b'2
- ac víi b = 2b'
+ NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
''
1

 ;
a
b
x
''
2


+ NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
a
b
xx
'
21


+ NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Ph-¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et.
NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2
+ bx + c = 0 (a0) th×:









a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai
nghiÖm ph©n biÖt.
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 7
Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ).
 XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng
a. Tr-êng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m.
Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã:
(*) trë thµnh ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**)
+ NÕu b  0 víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m0: (**) v« ®Þnh  (*) v« ®Þnh
+ NÕu b = 0 vµ c  0 víi m = m0: (**) v« nghiÖm  (*) v« nghiÖm
b. Tr-êng hîp a  0: TÝnh  hoÆc '
+ TÝnh  = b2
- 4ac
NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1

 ;
a
b
x
2
2


NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
a
b
xx
2
21


NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
+ TÝnh ' = b'2
- ac víi b = 2b'
NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
''
1

 ;
a
b
x
''
2


NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:
a
b
xx
'
21


NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn.
Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm.
 Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2
+ bx + c = 0 cã nghiÖm:
1. HoÆc a = 0, b  0
2. HoÆc a  0,   0 hoÆc '  0
TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc
®iÒu kiÖn 2.
Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt





0
0a
hoÆc





0
0
'
a
Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.
 §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:





0
0
b
a
hoÆc





0
0a
hoÆc





0
0
'
a
Bµi to¸n 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp.
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 8
 §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp:





0
0a
hoÆc





0
0
'
a
Bµi to¸n 7: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm.
 §iÒu kiÖn vô nghiÖm:





0
0a
hoÆc





0
0
'
a
Bµi to¸n 8: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.
 §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:





0
0
b
a
hoÆc





0
0a
hoÆc





0
0
'
a
Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu:






0
0
a
c
P
hoÆc







0
0'
a
c
P
Bµi to¸n 10 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d-¬ng.
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d-¬ng:












0
0
0
a
b
S
a
c
P hoÆc












0
0
0'
a
b
S
a
c
P
Bµi to¸n 11 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m.
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m:












0
0
0
a
b
S
a
c
P hoÆc












0
0
0'
a
b
S
a
c
P
Bµi to¸n 12 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.
 §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu:
P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu.
Bài tập:
1.    2
2 2 3 2 0mx m x m     có 2 nghiệm cùng dấu.
2.  2
3 2 2 1 0mx m x m    có 2 nghiệm âm.
3.  2
1 2 0m x x m    có ít nhất một nghiệm không âm.
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 9
Bµi to¸n 13 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1.
 C¸ch gi¶i:
- Thay x = x1 vµo ph-¬ng tr×nh (*) ta cã: ax1
2
+ bx1 + c = 0  m
- Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*)  x1, x2
- HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 =
1x
P
Bµi to¸n 14 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc
hai ax2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n
c¸c ®iÒu kiÖn:
a.   21 xx b. kxx  2
2
2
1
c. n
xx

21
11
d. hxx  2
2
2
1 e. txx  3
2
3
1
 §iÒu kiÖn chung:   0 hoÆc '  0 (*)
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:










)2(.
)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
a. Tr-êng hîp:   21 xx
Gi¶i hÖ







 21
21
xx
a
b
xx
Thay x1, x2 vµo (2)  m
Chän c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*)
b. Tr-êng hîp: kxxxxkxx  21
2
21
2
2
2
1 2)(
Thay x1 + x2 = S =
a
b
vµ x1.x2 = P =
a
c
vµo ta cã:
S2
- 2P = k  T×m ®-îc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*)
c. Tr-êng hîp: ncbxnxxxn
xx
 2121
21
.
11
Gi¶i ph-¬ng tr×nh - b = nc t×m ®-îc m tho¶ m·n (*)
d. Tr-êng hîp: 0222
2
2
1  hPShxx
Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh S2
- 2P - h  0 chän m tho¶ m·n (*)
e. Tr-êng hîp: tPSStxx  333
2
3
1
Gi¶i ph-¬ng tr×nh tPSS 33
chän m tho¶ m·n (*)
Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P
cña chóng.
x1, x2
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 10
 Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh:
x2
- Sx + P = 0 (*)
(§iÒu kiÖn S2
- 4P  0)
Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*) ta t×m ®-îc hai sè u vµ v cÇn t×m.
Bài toán 16. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức
nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x để áp
dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1.Ph-¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( 1 2x x ) và 1 2x x
D¹ng 1. 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x       
D¹ng 2.       
23 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 23x x x x x x x x x x x x x x         
 
D¹ng 3.  
2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x           
D¹ng 4. 1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x

 
D¹ng 5. 1 2 ?x x  Ta biết      
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4x x x x x x x x x x x x         
D¹ng 6. 2 2
1 2x x   1 2 1 2x x x x   = ).(4)( 2121
2
21 xxxxxx 
D¹ng 7. 3 3
1 2x x =       
22 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x x x x x       
 
=…….
D¹ng 8. 4 4
1 2x x =   2 2 2 2
1 2 1 2x x x x  =……
D¹ng 9. 6 6
1 2x x =   2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )x x x x x x x x     = ……..
D¹ng 10. 6 6
1 2x x   ...)(.)()()()( 22
2
2
2
2
1
22
1
2
2
2
1
32
2
32
1  xxxxxxxx
D¹ng 11. 5 5
1 2x x = )(.))(( 21
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
3
1 xxxxxxxx 
D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2
= p – aS + a2
D¹ng13 2
21
21
21
2
))((
211
aaSp
aS
axax
axx
axax 








Bµi to¸n 17 : . TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH
SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này,c¸c em làm lần lượt theo các bước sau:
1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a  0 và   0)
2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT:
a
c
xx
a
b
xx 

 2121 .;
3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau
đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham
số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè
m.
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 11
Ví dụ 1: Cho phương trình :   2
1 2 4 0m x mx m     (1) có 2 nghiệm 1 2;x x . Lập hệ
thức liên hệ giữa 1 2;x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
(Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn b-íc 1)
Gi¶i:
B-íc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
 
       
 
   
   
B-íc2: Rút m từ (1) ta có :
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
     
  
(3)
Rút m từ (2) ta có :
1 2
1 2
3 3
1 1
1 1
x x m
m x x
    
 
(4)
B-íc 3: từ (3) và (4) ta có:
     1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
          
  
Ví dụ 2: Gọi 1 2;x x là nghiệm của phương trình :   2
1 2 4 0m x mx m     . Chứng
minh rằng biểu thức  1 2 1 23 2 8A x x x x    không phụ thuộc giá trị của m.
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

  

 
 
§K:( 101  mm ) ;Thay vào A ta c ó:
 1 2 1 2
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3 2 8 3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
    
         
   
Vậy A = 0 với mọi 1m  . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình :    2
2 2 1 0x m x m     . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x
sao cho 1 2;x x độc lập đối với m.
1 2 1 2 1 2 1 2( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x         
Bµi to¸n 18.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC
CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a  0 và   0)
1
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 12
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là
tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình :    2
6 1 9 3 0mx m x m    
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :
1 2 1 2.x x x x 
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
     2 2 2
0 0 0 0
' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1' 3 21 9( 3) 0
m m m m
m m m m mm m m
      
     
                        
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m

 

 

và từ giả thiết: 1 2 1 2x x x x  . Suy ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7
m m
m m m m m m
m m
 
            
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :
1 2 1 2.x x x x 
Ví dụ 2: Cho phương trình :  2 2
2 1 2 0x m x m     .
Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :  1 2 1 23 5 7 0x x x x   
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 1 2&x x là :
2 2
' (2 1) 4( 2) 0m m     
2 2
4 4 1 4 8 0m m m     
7
4 7 0
4
m m    
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
  

 
và từ giả thiết  1 2 1 23 5 7 0x x x x    .
Suy ra
2
2
2
3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0
2( )
3 10 8 0 4
( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
    
     

    
 

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :
 1 2 1 23 5 7 0x x x x   
Bài tập áp dụng
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 13
1. Cho phương trình :  2
2 4 7 0mx m x m    
Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 22 0x x 
2. Cho phương trình :  2
1 5 6 0x m x m    
Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức: 1 24 3 1x x 
3. Cho phương trình :    2
3 3 2 3 1 0x m x m     .
Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 23 5 6x x 
Hƣớng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví
dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm
1 2x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó
vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa
tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình
bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ:
16
0&
15
m m 
-Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
( 4)
(1)
7
m
x x
m
m
x x
m
 
 

 

- Từ 1 22 0x x  Suy ra: 1 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1
3
2( ) 9
2( ) 3
x x x
x x x x
x x x
 
  
 
(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
2
1 2127 128 0 1; 128m m m m      
BT2: - ĐKXĐ: 2
22 25 0 11 96 11 96m m m         
- Theo VI-ÉT: 1 2
1 2
1
(1)
5 6
x x m
x x m
  

 
- Từ : 1 24 3 1x x  . Suy ra:
   1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1 3( )
1 3( ) . 4( ) 1
4( ) 1
7( ) 12( ) 1
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
  
     
  
     
(2)
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :
0
12 ( 1) 0
1
m
m m
m

    
(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì 2 2 2
(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m           với mọi số thực m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
- -Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
3 2
3
(1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x

 

  

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 14
- Từ giả thiết: 1 23 5 6x x  . Suy ra:
   1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
8 5( ) 6
64 5( ) 6 . 3( ) 6
8 3( ) 6
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
  
     
  
     
(2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình:
0
(45 96) 0 32
15
m
m m
m

  
  

(thoả mãn )
DẠNG 6 .
®å thÞ )0(&)0( '2'
 axayabaxy
vµ t-¬ng quan gi÷a chóng
I/.ĐiÓm thuộc đƣờng – đƣờng đi qua điểm.
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA).
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2
biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22
a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình:
y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Cách tìm giao điểm của hai đƣờng y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên.
III.Quan hệ giữa hai đƣờng thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d1) : y= a1x + b1. vµ (d2) : y = a2x + b2.
a) (d1) cắt (d2) a1 a2.
b) d1) // (d2)
c) d1) (d2)
d) (d1) (d2) a1 a2 = -1
IV.Tìm điều kiện để 3 đƣờng thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’
x2
(a’
0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
a’
x2
= ax + b (#)  a’
x2
- ax – b = 0
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax2
để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau:
Tõ ph-¬ng tr×nh (#) ta cã: baabaxxa .4)(0 '22'

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 15
a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt 0
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (#) có nghiệm kép 0
c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (#) vô nghiệm 0
VI.Viết phƣơng trình đƣờng thẳng y = ax + b :
1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0)
Chú ý : song song a2=a1 và b1 khác b2
Vuông góc a2 = - 1/a1 (tìm hiểu trong sgk)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b.
2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a’
x2
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :
y0 = ax0 + b
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’
x2
nên:
Pt: a’
x2
= ax + b có nghiệm kép
+) Gi¶i hÖ





0
00 baxy
để tìm a,b.
VII.Chứng minh đƣờng thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0
vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng
với mọi m.
+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.
VIII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B
Gäi x1; x2 lÇn l-ît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn l-ît lµ tung ®é cña A vµ B
Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®-îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC:
2
12
2
12
22
)()( yyxxBCACAB 
IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số:
1.Ứng dụng vào phương trình.
2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.
bµi tËp vÒ hµm sè.
Bµi 1. cho parabol (p): y = 2x2
.
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 16
1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®-êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2).
2. t×m ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2).
3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®-êng th¼ng y = 2m +1.
Bµi 2: Cho (P) 2
2
1
xy  vµ ®-êng th¼ng (d): y = ax + b .
1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P).
2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
Bµi 3: Cho (P) 2
xy  vµ ®-êng th¼ng (d) y = 2x + m
1. VÏ (P)
2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d)
3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
Bµi 4: Cho hµm sè (P): 2
xy  vµ hµm sè(d): y = x + m
1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B
2. X¸c ®Þnh ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P)
3. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 23
Bµi56: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®-êng th¼ng ( 1d ) y = -2(x+1)
1. §iÓm A cã thuéc ( 1d ) kh«ng ? V× sao ?
2. T×m a ®Ó hµm sè (P): 2
.xay  ®i qua A
3. X¸c ®Þnh ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ( 2d ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ( 1d )
4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( 2d ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( 1d ) víi trôc tung .
T×m to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC?
DẠNG 7:
gi¶i ph-¬ng tr×nh
b»ng ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn sè phô
Bµi to¸n1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng ax4
+ bx2
+ c = 0
 §Æt t = x2
(t0) ta cã ph-¬ng tr×nh at2
+ bt + c = 0
Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x
B¶ng tãm t¾t
at2
+ bt + c = 0 ax4
+ bx2
+ c = 0
v« nghiÖm v« nghiÖm
2 nghiÖm ©m v« nghiÖm
nghiÖm kÐp ©m v« nghiÖm
1 nghiÖm d-¬ng 2 nghiÖm ®èi nhau
2 nghiÖm d-¬ng
4 nghiÖm
2 cÆp nghiÖm ®èi nhau
Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 0)
1
()
1
( 2
2
 C
x
xB
x
xA
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 17
 §Æt
x
x
1
 = t  x2
- tx + 1 = 0
Suy ra t2
= (
x
x
1
 )2
= 2
1
2
2

x
x  2
1 2
2
2
 t
x
x
Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã:
A(t2
- 2) + Bt + C = 0
 At2
+ Bt + C - 2A = 0
Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo
x
x
1
 = t gi¶i t×m x.
Bµi to¸n 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 0)
1
()
1
( 2
2
 C
x
xB
x
xA
 §Æt
x
x
1
 = t  x2
- tx - 1 = 0
Suy ra t2
= (
x
x
1
 )2
= 2
1
2
2

x
x  2
1 2
2
2
 t
x
x
Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã:
A(t2
+ 2) + Bt + C = 0
 At2
+ Bt + C + 2A = 0
Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo
x
x
1
 = t gi¶i t×m x.
Bµi to¸n 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc cao
 Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®-a ph-¬ng tr×nh bËc cao vÒ d¹ng:
+ Ph-¬ng tr×nh tÝch
+ Ph-¬ng tr×nh bËc hai.
DẠNG 8:
gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
Bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh





''' cybxa
cbyax
 C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i:
+ Ph-¬ng ph¸p ®å thÞ
+ Ph-¬ng ph¸p céng
+ Ph-¬ng ph¸p thÕ
+ Ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
DẠNG: 9
gi¶i ph-¬ng tr×nh v« tØ
Bµi to¸n 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()( xgxf  (1)
 Ta cã
 





)3()()(
)2(0)(
)()( 2
xgxf
xg
xgxf
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 18
Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn (2) chän nghiÖm thÝch hîp  nghiÖm cña (1)
Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()()( xgxhxf 
 §iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph-¬ng tr×nh








0)(
0)(
0)(
xg
xh
xf
Víi ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph-¬ng hai vÕ ®Ó gi¶i t×m x.
DẠNG 10:
gi¶i ph-¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Bµi to¸n: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()( xgxf 
 Ph-¬ng ph¸p 1: )()( xgxf  
   




22
)()(
0)(
xgxf
xg
 Ph-¬ng ph¸p 2: XÐt f(x)  0  f(x) = g(x)
XÐt f(x) < 0  - f(x) = g(x)
 Ph-¬ng ph¸p 3: Víi g(x)  0 ta cã f(x) =  g(x)
Một số dạng khác . VÝ dô: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 31323  xx
Ta cã thÓ gi¶i nh- sau: LËp b¶ng xÐt vÕ tr¸i:
x
3
1
3
2
23 x 23  x 23  x 23 x
13 x 13  x 13 x 13 x
VÕ tr¸i céng
l¹i
36  x 10 x 36 x
VËy: + Víi
3
1
x th× ph-¬ng tr×nh (1) 006336  xxx ( tho¶ m·n)
+ Víi
3
2
3
1
 x th× ph-¬ng tr×nh (1) 310  x ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ Víi
3
2
x th× ph-¬ngtr×nh (1) 166336  xxx tho¶ m·n.
Bµi tËp:
Bµi 1: 5122  xx
DẠNG 11
gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x)
 Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n.
- BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]2n
,n Z  y  M
Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0
- BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho:
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 19
y = m + [h(x)]2k
kZ  y  m
Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0
 Ph-¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.
 Ph-¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc.
DẠNG 12:
c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn hµm sè
* §iÓm thuéc ®-êng - ®-êng ®i qua mét ®iÓm
Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ mét
®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?
 §å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A nghiÖm ®óng
ph-¬ng tr×nh cña (C)
A(C)  yA = f(xA)
Dã ®ã tÝnh f(xA)
NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A.
NÕu f(xA)  yA th× (C) kh«ng ®i qua A.
* sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ
Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè
y = f(x) vµ y = g(x)
H·y kh¶o s¸t sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ
 To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoµnh
®é ®iÓm chung:
f(x) = g(x) (*)
- NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung.
- NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau.
- NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung.
- NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung.
* lËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng
Bµi to¸n 1: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm
A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k.
 Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*)
- X¸c ®Þnh a: ta cã a = k
- X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b  b = yA - kxA
- Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph-¬ng tr×nh cña (D)
Bµi to¸n 2: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm
A(xA;yA); B(xB;yB)
 Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b
(D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:





baxy
baxy
BB
AA
Gi¶i hÖ ta t×m ®-îc a vµ b suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D)
Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ
tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)
 Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b
Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 20
f(x) = kx + b (*)
V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m
®-îc b vµ suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D)
Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm
A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)
 Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b
Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
f(x) = kx + b (*)
V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp.
Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b (**)
MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***)
Tõ (**) vµ (***)  a vµ b  Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (D).
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 21
A. KiÕn thøc cÇn nhí.
1. HÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng.
b2
= ab' c2
= ac'
h2
= b'c'
ah = bc
a2
= b2
+ c2
222
111
cbh

2. TØ sè l-îng gi¸c cña gãc nhän.
0 < sin < 1 0 < coss < 1



cos
sin
tg



sin
cos
cot g sin2
 + cos2
 = 1
tg.cotg = 1

 2
2
cos
1
1  tg

 2
2
sin
1
cot1  g
3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng.
b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
4. §-êng trßn.
- C¸ch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®-îc mét vµ chØ
mét ®-êng trßn.
- T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng: §-êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v«
sè trôc ®èi xøng.
- Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y.
Trong mét ®-êng trßn
+ §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy
+ §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng
gãc víi d©y Êy.
PhÇn II:
h×nh häc
a
b'
c'
b
c
h
H
B
C
A
b
a
c
C
B
A
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 22
- Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y:
Trong mét ®-êng trßn:
+ Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m
+ Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau
+ D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n
+ D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n
- Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y:
Trong mét ®-êng trßn hay trong hai ®-êng trßn b»ng nhau:
+ Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
+ Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau
+ Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
+ D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n.
- VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn:
VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung
HÖ thøc liªn hÖ
gi÷a d vµ R
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn c¾t nhau
2 d < R
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn tiÕp xóc nhau
1 d = R
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn kh«ng giao
nhau
0 d > R
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 23
- VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn:
VÞ trÝ t-¬ng ®èi
Sè ®iÓm
chung
HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d
vµ R
- Hai ®-êng trßn c¾t nhau
2 R - r < OO' < R + r
- Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau
+ TiÕp xóc ngoµi
+ TiÕp xóc trong
1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai ®-êng trßn kh«ng giao nhau
+ (O) vµ (O') ë ngoµi nhau
+ (O) ®ùng (O')
+ (O) vµ (O') ®ång t©m
0
OO' > R + r
OO' < R - r
OO' = 0
5. TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn
- TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua
tiÕp ®iÓm.
- DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:
+ §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung
+ Kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®-êng trßn ®Õn ®-êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh
+ §-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña
®-êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua
®iÓm ®ã.
- TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau
MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×:
+ MA = MB
+ MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB
+ OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB
B
O
A
M
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 24
- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn: lµ ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶
hai ®-êng trßn ®ã:
TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong
6. Gãc víi ®-êng trßn
Lo¹i gãc H×nh vÏ C«ng thøc tÝnh sè ®o
1. Gãc ë t©m
· »AOB sd AB
2. Gãc néi tiÕp · »1
2
AMB sd AB
3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn
vµ d©y cung.
· »1
2
xBA sd AB
4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong
®-êng trßn
· » »1
( )
2
AMB sd AB sdCD 
5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi
®-êng trßn
· » »1
( )
2
AMB sd AB sdCD 
d'
d
O'
O
d'
d
O'
O
B
A
O
M
B
A
O
x
B
A
O
M
D
C
B
A
O
O
B
A
D
C
M
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 25
 Chó ý: Trong mét ®-êng trßn
- C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
- C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau
- C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau
- Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900
cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë
t©m cïng ch¾n mét cung.
- Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng-îc l¹i gãc vu«ng
néi tiÕp th× ch¾n nöa ®-êng trßn.
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét
cung th× b»ng nhau.
7. §é dµi ®-êng trßn - §é dµi cung trßn.
- §é dµi ®-êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d
- §é dµi cung trßn n0
b¸n kÝnh R :
180
Rn
l


8. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn
- DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2
- DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0
:
2
360 2
R n lR
S

 
9. C¸c lo¹i ®-êng trßn
§-êng trßn ngo¹i tiÕp
tam gi¸c
§-êng trßn néi tiÕp
tam gi¸c
§-êng trßn bµng tiÕp
tam gi¸c
T©m ®-êng trßn lµ giao
cña ba ®-êng trung trùc
cña tam gi¸c
T©m ®-êng trßn lµ giao cña
ba ®-êng ph©n gi¸c trong
cña tam gi¸c
T©m cña ®-êng trßn bµng
tiÕp trong gãc A lµ giao
®iÓm cña hai ®-êng ph©n
gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B
hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm
cña ®-êng ph©n gi¸c gãc
A vµ ®-êng ph©n gi¸c
ngoµi t¹i B (hoÆc C)
10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian.
a. H×nh trô.
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh
- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rh + r2
- ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh = r2
h
O
C
B
A
O
C
B
A
F
E
J
B
C
A
r: b¸n kÝnh
Trong ®ã
h: chiÒu cao
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 26
b. H×nh nãn:
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl
- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rl + r2
- ThÓ tÝch h×nh trô: V = 21
r
3
h
c. H×nh nãn côt:
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l
- ThÓ tÝch: V = 2 2
1 2 1 2
1
( )
3
h r r r r  
d. H×nh cÇu.
- DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4R2
= d
- ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = 34
3
R
11. Tø gi¸c néi tiÕp:
 DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
- Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn
- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi
mét gãc .
B. c¸c d¹ng bµi tËp.
D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.
 C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c
- Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau
- Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba
- Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc
vu«ng gãc
- Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ
- Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh
- Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu
- Hai gãc t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng
- Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau.
D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau
 C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba
- Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu
- Hai c¹nh t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau
- Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng)
- Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n
- Hai d©y tr-¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn hoÆc hai
®-êng b»ng nhau.
r: b¸n kÝnh
Trong ®ã l: ®-êng sinh
h: chiÒu cao
r1: b¸n kÝnh d¸y lín
r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá
Trong ®ã l: ®-êng sinh
h: chiÒu cao
R: b¸n kÝnh
Trong ®ã
d: ®-êng kÝnh
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 27
D¹ng 2: Chøng minh hai ®-êng th¼ng song song
 C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng song song víi ®-êng th¼ng thø ba
- Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng thø ba
- Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau:
+ ë vÞ trÝ so le trong
+ ë vÞ trÝ so le ngoµi
+ ë vÞ trÝ ®ång vÞ.
- Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn
- Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh
D¹ng 3: Chøng minh hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc
 C¸ch chøng minh:
- Chóng song song song song víi hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c.
- Chøng minh chóng lµ ch©n ®-êng cao trong mét tam gi¸c.
- §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y.
- Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau.
D¹ng 4: Chøng minh ba ®-êng th¼ng ®ång quy.
 C¸ch chøng minh:
- Chøng minh chóng lµ ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba
ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia)
- VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet.
D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau
 C¸ch chøng minh:
* Hai tam gi¸c th-êng:
- Tr-êng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g)
- Tr-êng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c)
- Tr-êng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c)
* Hai tam gi¸c vu«ng:
- Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau
- C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau
TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 28
D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng
 C¸ch chøng minh:
* Hai tam gi¸c th-êng:
- Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét
- Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t-¬ng øng tû lÖ
- Cã ba c¹nh t-¬ng øng tû lÖ
* Hai tam gi¸c vu«ng:
- Cã mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã hai c¹nh gãc vu«ng t-¬ng øng tû lÖ
D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
 C¸ch chøng minh:
Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*)
- Chøng minh: MAC  MDB hoÆc MAD  MCB
- NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®-êng th¼ng th× ph¶i
chøng minh c¸c tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba:
MA.MB = ME.MF
MC.MD = ME.MF
Tøc lµ ta chøng minh: MAE  MFB
MCE  MFD
 MA.MB = MC.MD
* Tr-êng hîp ®Æc biÖt: MT2
= MA.MB ta chøng minh MTA  MBT
D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp
 C¸ch chøng minh:
DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
- Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn
- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi
mét gãc .
D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O;R)
 C¸ch chøng minh:
- Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R)
- Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh
- Dïng gãc néi tiÕp.
D¹ng 10: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc
 C¸ch tÝnh:
- Dùa vµo hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng.
- Dùa vµo tû sè l-îng gi¸c
- Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
- Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch...
®©y chØ lµ mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña ch-¬ng tr×nh to¸n 9
®Ó «n tËp tèt h¬n c¸c em cÇn
®äc kü tµi liÖu vµ xem thªm s¸ch gi¸o khoa to¸n 9
CHÚC CÁC EM THI TỐT ! HOÀNG THÁI VIỆT

Contenu connexe

Tendances

Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hoplephucduc06011999
 
Khong gian vecto (chuong 3)
Khong gian vecto (chuong 3)Khong gian vecto (chuong 3)
Khong gian vecto (chuong 3)Nguyễn Phụng
 
Toán lớp 9 - Tổng hợp kiến thức lý thuyết Đại số 9 và Hình học 9
Toán lớp 9 - Tổng hợp kiến thức lý thuyết Đại số 9 và Hình học 9Toán lớp 9 - Tổng hợp kiến thức lý thuyết Đại số 9 và Hình học 9
Toán lớp 9 - Tổng hợp kiến thức lý thuyết Đại số 9 và Hình học 9Bồi dưỡng Toán lớp 6
 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...Hoàng Thái Việt
 
Bài giảng môn xác suất thống kê
Bài giảng môn xác suất thống kêBài giảng môn xác suất thống kê
Bài giảng môn xác suất thống kêHọc Huỳnh Bá
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyroggerbob
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa
 
12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thức
12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thức12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thức
12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thứcSirô Tiny
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelPTAnh SuperA
 
Bài tập xác suất thống kê
Bài tập xác suất thống kê Bài tập xác suất thống kê
Bài tập xác suất thống kê Trinh Tu
 
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian TopoAnh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topoipaper
 
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy sốPhương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy sốThế Giới Tinh Hoa
 
Chuong 2 bnn va qui luat ppxs
Chuong 2 bnn va qui luat ppxsChuong 2 bnn va qui luat ppxs
Chuong 2 bnn va qui luat ppxsKhnhTrnh10
 
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhHướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhNhóc Nhóc
 
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyếnTính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyếnChien Dang
 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁNCHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁNHoàng Thái Việt
 

Tendances (20)

Luận văn: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, HOT, 9đ
Luận văn: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, HOT, 9đLuận văn: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, HOT, 9đ
Luận văn: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, HOT, 9đ
 
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
 
Khong gian vecto (chuong 3)
Khong gian vecto (chuong 3)Khong gian vecto (chuong 3)
Khong gian vecto (chuong 3)
 
Toán lớp 9 - Tổng hợp kiến thức lý thuyết Đại số 9 và Hình học 9
Toán lớp 9 - Tổng hợp kiến thức lý thuyết Đại số 9 và Hình học 9Toán lớp 9 - Tổng hợp kiến thức lý thuyết Đại số 9 và Hình học 9
Toán lớp 9 - Tổng hợp kiến thức lý thuyết Đại số 9 và Hình học 9
 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
 
Bài giảng môn xác suất thống kê
Bài giảng môn xác suất thống kêBài giảng môn xác suất thống kê
Bài giảng môn xác suất thống kê
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
 
Tổng hợp các loại polyme
Tổng hợp các loại polymeTổng hợp các loại polyme
Tổng hợp các loại polyme
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
 
12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thức
12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thức12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thức
12 Cách giải cho 1 bài bất đẳng thức
 
Tối ưu hóa
Tối ưu hóaTối ưu hóa
Tối ưu hóa
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
 
Bài tập xác suất thống kê
Bài tập xác suất thống kê Bài tập xác suất thống kê
Bài tập xác suất thống kê
 
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian TopoAnh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo
 
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy sốPhương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy số
 
Chuong 2 bnn va qui luat ppxs
Chuong 2 bnn va qui luat ppxsChuong 2 bnn va qui luat ppxs
Chuong 2 bnn va qui luat ppxs
 
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhHướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
 
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyếnTính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
Tính toán khoa học - Chương 4: Giải phương trình phi tuyến
 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁNCHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
 
Scp mod p
Scp mod pScp mod p
Scp mod p
 

Similaire à TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 (ÔN THI LÊN LỚP 10)

tổng hợp kiến thức và các dạng toán ôn thi chuyển cấp 9 lên 10
tổng hợp kiến thức và các dạng toán ôn thi chuyển cấp 9 lên 10tổng hợp kiến thức và các dạng toán ôn thi chuyển cấp 9 lên 10
tổng hợp kiến thức và các dạng toán ôn thi chuyển cấp 9 lên 10Hoàng Thái Việt
 
24808166 bdt-cauchy-va-bdt-bunhia
24808166 bdt-cauchy-va-bdt-bunhia24808166 bdt-cauchy-va-bdt-bunhia
24808166 bdt-cauchy-va-bdt-bunhiaThu Nguyễn
 
Tom tat-mon-toan
Tom tat-mon-toanTom tat-mon-toan
Tom tat-mon-toanCam huynh
 
Tóm tắt chương trình toán
Tóm tắt chương trình toánTóm tắt chương trình toán
Tóm tắt chương trình toánLong Nguyen
 
Tóm tắt chương trình toán
Tóm tắt chương trình toánTóm tắt chương trình toán
Tóm tắt chương trình toánLong Nguyen
 
Cong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du
Cong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-duCong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du
Cong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-duNgok Gah
 
Tong hop ly thuyet on thi toan 9 vao 10
Tong hop ly thuyet on thi toan 9 vao 10Tong hop ly thuyet on thi toan 9 vao 10
Tong hop ly thuyet on thi toan 9 vao 10Toán THCS
 
Tổng hợp kiến thức và bài tập toán lớp 9
Tổng hợp kiến thức và bài tập toán lớp 9Tổng hợp kiến thức và bài tập toán lớp 9
Tổng hợp kiến thức và bài tập toán lớp 9Vòng Dâu Tằm Việt Nam
 
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpHoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpNguyễn Hữu Học
 
Tong hop kien thuc on thi dai hoc mon toan
Tong hop kien thuc on thi dai hoc mon toanTong hop kien thuc on thi dai hoc mon toan
Tong hop kien thuc on thi dai hoc mon toanHải Finiks Huỳnh
 
Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình tá...
Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình tá...Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình tá...
Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình tá...https://www.facebook.com/garmentspace
 
Tổng quát về tích phân
Tổng quát về tích phân Tổng quát về tích phân
Tổng quát về tích phân Hoàng Hải Huy
 
Cac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnCac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnTam Vu Minh
 
Cac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnCac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnTam Vu Minh
 
29 de on tap nang cao toan 7 co dap an rat tuyet
29 de on tap nang cao toan 7 co dap an rat tuyet29 de on tap nang cao toan 7 co dap an rat tuyet
29 de on tap nang cao toan 7 co dap an rat tuyetTranq Hoàq
 
Chuyen de gioi han 11
Chuyen de gioi han 11Chuyen de gioi han 11
Chuyen de gioi han 11phongmathbmt
 
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29trongphuckhtn
 
Tich phan (nguyen duy khoi)
Tich phan (nguyen duy khoi)Tich phan (nguyen duy khoi)
Tich phan (nguyen duy khoi)roggerbob
 
Giao an day them toan 7
Giao an day them toan 7Giao an day them toan 7
Giao an day them toan 7khangnd82
 

Similaire à TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 (ÔN THI LÊN LỚP 10) (20)

tổng hợp kiến thức và các dạng toán ôn thi chuyển cấp 9 lên 10
tổng hợp kiến thức và các dạng toán ôn thi chuyển cấp 9 lên 10tổng hợp kiến thức và các dạng toán ôn thi chuyển cấp 9 lên 10
tổng hợp kiến thức và các dạng toán ôn thi chuyển cấp 9 lên 10
 
24808166 bdt-cauchy-va-bdt-bunhia
24808166 bdt-cauchy-va-bdt-bunhia24808166 bdt-cauchy-va-bdt-bunhia
24808166 bdt-cauchy-va-bdt-bunhia
 
Tom tat-mon-toan
Tom tat-mon-toanTom tat-mon-toan
Tom tat-mon-toan
 
Tóm tắt chương trình toán
Tóm tắt chương trình toánTóm tắt chương trình toán
Tóm tắt chương trình toán
 
Tóm tắt chương trình toán
Tóm tắt chương trình toánTóm tắt chương trình toán
Tóm tắt chương trình toán
 
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toanTai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
 
Cong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du
Cong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-duCong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du
Cong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du
 
Tong hop ly thuyet on thi toan 9 vao 10
Tong hop ly thuyet on thi toan 9 vao 10Tong hop ly thuyet on thi toan 9 vao 10
Tong hop ly thuyet on thi toan 9 vao 10
 
Tổng hợp kiến thức và bài tập toán lớp 9
Tổng hợp kiến thức và bài tập toán lớp 9Tổng hợp kiến thức và bài tập toán lớp 9
Tổng hợp kiến thức và bài tập toán lớp 9
 
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpHoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
 
Tong hop kien thuc on thi dai hoc mon toan
Tong hop kien thuc on thi dai hoc mon toanTong hop kien thuc on thi dai hoc mon toan
Tong hop kien thuc on thi dai hoc mon toan
 
Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình tá...
Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình tá...Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình tá...
Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình tá...
 
Tổng quát về tích phân
Tổng quát về tích phân Tổng quát về tích phân
Tổng quát về tích phân
 
Cac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnCac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnn
 
Cac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnCac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnn
 
29 de on tap nang cao toan 7 co dap an rat tuyet
29 de on tap nang cao toan 7 co dap an rat tuyet29 de on tap nang cao toan 7 co dap an rat tuyet
29 de on tap nang cao toan 7 co dap an rat tuyet
 
Chuyen de gioi han 11
Chuyen de gioi han 11Chuyen de gioi han 11
Chuyen de gioi han 11
 
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
 
Tich phan (nguyen duy khoi)
Tich phan (nguyen duy khoi)Tich phan (nguyen duy khoi)
Tich phan (nguyen duy khoi)
 
Giao an day them toan 7
Giao an day them toan 7Giao an day them toan 7
Giao an day them toan 7
 

Plus de Hoàng Thái Việt

kịch bản mc giao lưu văn nghệ đám cưới (bán kịch bản)
kịch bản mc giao lưu văn nghệ đám cưới (bán kịch bản)kịch bản mc giao lưu văn nghệ đám cưới (bán kịch bản)
kịch bản mc giao lưu văn nghệ đám cưới (bán kịch bản)Hoàng Thái Việt
 
kịch bản mc đám cưới hay nhất (bán kịch bản)
kịch bản mc đám cưới hay nhất (bán kịch bản)kịch bản mc đám cưới hay nhất (bán kịch bản)
kịch bản mc đám cưới hay nhất (bán kịch bản)Hoàng Thái Việt
 
kịch bản mc lễ vu quy nhà gái (bán kịch bản)
kịch bản mc lễ vu quy nhà gái (bán kịch bản)kịch bản mc lễ vu quy nhà gái (bán kịch bản)
kịch bản mc lễ vu quy nhà gái (bán kịch bản)Hoàng Thái Việt
 
kịch bản mc đám cưới lễ thành hôn ( bán kịch bản mc đám cưới)
kịch bản mc đám cưới lễ thành hôn ( bán kịch bản mc đám cưới)kịch bản mc đám cưới lễ thành hôn ( bán kịch bản mc đám cưới)
kịch bản mc đám cưới lễ thành hôn ( bán kịch bản mc đám cưới)Hoàng Thái Việt
 
kịch bản mc đám cưới quê hay ( bán kịch bản mc đám cưới)
kịch bản mc đám cưới quê hay ( bán kịch bản mc đám cưới)kịch bản mc đám cưới quê hay ( bán kịch bản mc đám cưới)
kịch bản mc đám cưới quê hay ( bán kịch bản mc đám cưới)Hoàng Thái Việt
 
kịch bản mc đám cưới hay (bán kịch bản )
kịch bản mc đám cưới hay (bán kịch bản )kịch bản mc đám cưới hay (bán kịch bản )
kịch bản mc đám cưới hay (bán kịch bản )Hoàng Thái Việt
 
câu hỏi rap iq ai thông minh hon học sinh lớp 5 - Đào Tạo MC Hoàng Thái Việt
câu hỏi rap iq ai thông minh hon học sinh lớp 5 - Đào Tạo MC Hoàng Thái Việtcâu hỏi rap iq ai thông minh hon học sinh lớp 5 - Đào Tạo MC Hoàng Thái Việt
câu hỏi rap iq ai thông minh hon học sinh lớp 5 - Đào Tạo MC Hoàng Thái ViệtHoàng Thái Việt
 
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...Hoàng Thái Việt
 
toán 8 chương 1 - học thêm online
toán 8 chương 1 - học thêm onlinetoán 8 chương 1 - học thêm online
toán 8 chương 1 - học thêm onlineHoàng Thái Việt
 
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI CHUYỂN CẤP LỚP 9
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI CHUYỂN CẤP LỚP 9CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI CHUYỂN CẤP LỚP 9
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI CHUYỂN CẤP LỚP 9Hoàng Thái Việt
 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN VẬT LÝ 12 MỚI NHẤT 2018
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN VẬT LÝ 12 MỚI NHẤT 2018ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN VẬT LÝ 12 MỚI NHẤT 2018
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN VẬT LÝ 12 MỚI NHẤT 2018Hoàng Thái Việt
 
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhấtchuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhấtHoàng Thái Việt
 
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG 3 & ĐỀ KIỂM TRA 2018
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG 3 & ĐỀ KIỂM TRA 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG 3 & ĐỀ KIỂM TRA 2018
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG 3 & ĐỀ KIỂM TRA 2018Hoàng Thái Việt
 
đề cương ôn tập hóa học 9 HK1 mới nhất - Hoàng Thái Việt
đề cương ôn tập hóa học 9 HK1 mới nhất - Hoàng Thái Việtđề cương ôn tập hóa học 9 HK1 mới nhất - Hoàng Thái Việt
đề cương ôn tập hóa học 9 HK1 mới nhất - Hoàng Thái ViệtHoàng Thái Việt
 
chuyên đề tổng hợp hóa học 8 hay nhất mới nhất - hoàng thái việt
chuyên đề tổng hợp hóa học 8 hay nhất mới nhất - hoàng thái việtchuyên đề tổng hợp hóa học 8 hay nhất mới nhất - hoàng thái việt
chuyên đề tổng hợp hóa học 8 hay nhất mới nhất - hoàng thái việtHoàng Thái Việt
 
chuyên đề điện tích điện trường - chương 1 vật lý 11 hay nhất 2017
chuyên đề điện tích điện trường - chương 1 vật lý 11 hay nhất 2017chuyên đề điện tích điện trường - chương 1 vật lý 11 hay nhất 2017
chuyên đề điện tích điện trường - chương 1 vật lý 11 hay nhất 2017Hoàng Thái Việt
 
CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN HỌC CHƯƠNG 1 VẬT LÝ 9 CỰC HAY ĐẦY ĐỦ
CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN HỌC CHƯƠNG 1 VẬT LÝ 9 CỰC HAY ĐẦY ĐỦ CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN HỌC CHƯƠNG 1 VẬT LÝ 9 CỰC HAY ĐẦY ĐỦ
CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN HỌC CHƯƠNG 1 VẬT LÝ 9 CỰC HAY ĐẦY ĐỦ Hoàng Thái Việt
 
tổng hợp chuyên đề luyện thi THPT Quốc Gia Vật Lý - Bài tập Vật lÝ 12 mới nhấ...
tổng hợp chuyên đề luyện thi THPT Quốc Gia Vật Lý - Bài tập Vật lÝ 12 mới nhấ...tổng hợp chuyên đề luyện thi THPT Quốc Gia Vật Lý - Bài tập Vật lÝ 12 mới nhấ...
tổng hợp chuyên đề luyện thi THPT Quốc Gia Vật Lý - Bài tập Vật lÝ 12 mới nhấ...Hoàng Thái Việt
 
de cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhat
de cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhatde cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhat
de cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhatHoàng Thái Việt
 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HỌC KỲ 2 & CÁC ĐỀ THAM KHẢO HAY NHẤT 2017
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HỌC KỲ 2 & CÁC ĐỀ THAM KHẢO HAY NHẤT 2017ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HỌC KỲ 2 & CÁC ĐỀ THAM KHẢO HAY NHẤT 2017
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HỌC KỲ 2 & CÁC ĐỀ THAM KHẢO HAY NHẤT 2017Hoàng Thái Việt
 

Plus de Hoàng Thái Việt (20)

kịch bản mc giao lưu văn nghệ đám cưới (bán kịch bản)
kịch bản mc giao lưu văn nghệ đám cưới (bán kịch bản)kịch bản mc giao lưu văn nghệ đám cưới (bán kịch bản)
kịch bản mc giao lưu văn nghệ đám cưới (bán kịch bản)
 
kịch bản mc đám cưới hay nhất (bán kịch bản)
kịch bản mc đám cưới hay nhất (bán kịch bản)kịch bản mc đám cưới hay nhất (bán kịch bản)
kịch bản mc đám cưới hay nhất (bán kịch bản)
 
kịch bản mc lễ vu quy nhà gái (bán kịch bản)
kịch bản mc lễ vu quy nhà gái (bán kịch bản)kịch bản mc lễ vu quy nhà gái (bán kịch bản)
kịch bản mc lễ vu quy nhà gái (bán kịch bản)
 
kịch bản mc đám cưới lễ thành hôn ( bán kịch bản mc đám cưới)
kịch bản mc đám cưới lễ thành hôn ( bán kịch bản mc đám cưới)kịch bản mc đám cưới lễ thành hôn ( bán kịch bản mc đám cưới)
kịch bản mc đám cưới lễ thành hôn ( bán kịch bản mc đám cưới)
 
kịch bản mc đám cưới quê hay ( bán kịch bản mc đám cưới)
kịch bản mc đám cưới quê hay ( bán kịch bản mc đám cưới)kịch bản mc đám cưới quê hay ( bán kịch bản mc đám cưới)
kịch bản mc đám cưới quê hay ( bán kịch bản mc đám cưới)
 
kịch bản mc đám cưới hay (bán kịch bản )
kịch bản mc đám cưới hay (bán kịch bản )kịch bản mc đám cưới hay (bán kịch bản )
kịch bản mc đám cưới hay (bán kịch bản )
 
câu hỏi rap iq ai thông minh hon học sinh lớp 5 - Đào Tạo MC Hoàng Thái Việt
câu hỏi rap iq ai thông minh hon học sinh lớp 5 - Đào Tạo MC Hoàng Thái Việtcâu hỏi rap iq ai thông minh hon học sinh lớp 5 - Đào Tạo MC Hoàng Thái Việt
câu hỏi rap iq ai thông minh hon học sinh lớp 5 - Đào Tạo MC Hoàng Thái Việt
 
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
Trac nghiem chuong 1 giai tich 12- tổng hợp trắc nghiệm khảo sát hàm số mới n...
 
toán 8 chương 1 - học thêm online
toán 8 chương 1 - học thêm onlinetoán 8 chương 1 - học thêm online
toán 8 chương 1 - học thêm online
 
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI CHUYỂN CẤP LỚP 9
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI CHUYỂN CẤP LỚP 9CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI CHUYỂN CẤP LỚP 9
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI CHUYỂN CẤP LỚP 9
 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN VẬT LÝ 12 MỚI NHẤT 2018
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN VẬT LÝ 12 MỚI NHẤT 2018ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN VẬT LÝ 12 MỚI NHẤT 2018
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN VẬT LÝ 12 MỚI NHẤT 2018
 
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhấtchuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
chuyên đề ôn thi chuyển cấp môn toán 2017- 2018 mới nhất
 
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG 3 & ĐỀ KIỂM TRA 2018
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG 3 & ĐỀ KIỂM TRA 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG 3 & ĐỀ KIỂM TRA 2018
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG 3 & ĐỀ KIỂM TRA 2018
 
đề cương ôn tập hóa học 9 HK1 mới nhất - Hoàng Thái Việt
đề cương ôn tập hóa học 9 HK1 mới nhất - Hoàng Thái Việtđề cương ôn tập hóa học 9 HK1 mới nhất - Hoàng Thái Việt
đề cương ôn tập hóa học 9 HK1 mới nhất - Hoàng Thái Việt
 
chuyên đề tổng hợp hóa học 8 hay nhất mới nhất - hoàng thái việt
chuyên đề tổng hợp hóa học 8 hay nhất mới nhất - hoàng thái việtchuyên đề tổng hợp hóa học 8 hay nhất mới nhất - hoàng thái việt
chuyên đề tổng hợp hóa học 8 hay nhất mới nhất - hoàng thái việt
 
chuyên đề điện tích điện trường - chương 1 vật lý 11 hay nhất 2017
chuyên đề điện tích điện trường - chương 1 vật lý 11 hay nhất 2017chuyên đề điện tích điện trường - chương 1 vật lý 11 hay nhất 2017
chuyên đề điện tích điện trường - chương 1 vật lý 11 hay nhất 2017
 
CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN HỌC CHƯƠNG 1 VẬT LÝ 9 CỰC HAY ĐẦY ĐỦ
CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN HỌC CHƯƠNG 1 VẬT LÝ 9 CỰC HAY ĐẦY ĐỦ CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN HỌC CHƯƠNG 1 VẬT LÝ 9 CỰC HAY ĐẦY ĐỦ
CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN HỌC CHƯƠNG 1 VẬT LÝ 9 CỰC HAY ĐẦY ĐỦ
 
tổng hợp chuyên đề luyện thi THPT Quốc Gia Vật Lý - Bài tập Vật lÝ 12 mới nhấ...
tổng hợp chuyên đề luyện thi THPT Quốc Gia Vật Lý - Bài tập Vật lÝ 12 mới nhấ...tổng hợp chuyên đề luyện thi THPT Quốc Gia Vật Lý - Bài tập Vật lÝ 12 mới nhấ...
tổng hợp chuyên đề luyện thi THPT Quốc Gia Vật Lý - Bài tập Vật lÝ 12 mới nhấ...
 
de cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhat
de cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhatde cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhat
de cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhat
 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HỌC KỲ 2 & CÁC ĐỀ THAM KHẢO HAY NHẤT 2017
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HỌC KỲ 2 & CÁC ĐỀ THAM KHẢO HAY NHẤT 2017ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HỌC KỲ 2 & CÁC ĐỀ THAM KHẢO HAY NHẤT 2017
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 HỌC KỲ 2 & CÁC ĐỀ THAM KHẢO HAY NHẤT 2017
 

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 (ÔN THI LÊN LỚP 10)

  • 1. HOÀNG THÁI VIỆT  TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 (DÙNG CHO HS ÔN THI VÀO LỚP 10) Đà nẵng ,Năm 2015 HOÀNG THÁI VIỆT- ĐHBK- 01695316875 Truy cập face để liên hệ và học tập : https://www.facebook.com/ttbdgdhtv Download tại liệu của Hoàng thái việt tại : http://www.slideshare.net/barackobamahtv
  • 2. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 2 tæng hîp kiÕn thøc vµ c¸ch gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp to¸n 9 A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa. A cã nghÜa khi A  0 2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc. a. 2 A A b. . ( 0; 0)AB A B A B   c. ( 0; 0) A A A B B B    d. 2 ( 0)A B A B B  e. 2 ( 0; 0)A B A B A B   2 ( 0; 0)A B A B A B    f. 1 ( 0; 0) A AB AB B B B    i. ( 0) A A B B BB   k. 2 2 ( ) ( 0; ) C C A B A A B A BA B     m m. 2 ( ) ( 0; 0; ) C C A B A B A B A BA B      m 3. Hµm sè y = ax + b (a  0) - TÝnh chÊt: + Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0. + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0). 4. Hµm sè y = ax2 (a  0) - TÝnh chÊt: + NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0. + NÕu a < 0 hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®-êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0). + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh. + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d-íi trôc hoµnh. PhÇn I: §¹i sè
  • 3. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 3 5. VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña hai ®-êng th¼ng XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) vµ (d') c¾t nhau  a  a' (d) // (d')  a = a' vµ b  b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b' 6. VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng cong. XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung 7. Ph-¬ng tr×nh bËc hai. XÐt ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän  = b2 - 4ac NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1   ; a b x 2 2   NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a b xx 2 21   NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm ' = b'2 - ac víi b = 2b' - NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1   ; a b x '' 2   - NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a b xx ' 21   - NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm 8. HÖ thøc Viet vµ øng dông. - HÖ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×: 1 2 1 2. b S x x a c P x x a          - Mét sè øng dông: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph-¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) + NhÈm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) NÕu a + b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = c a NÕu a - b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = c a 
  • 4. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 4 9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph-¬ng tr×nh, hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 1: LËp ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn B. c¸c d¹ng bµi tËp D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A  §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c b-íc sau: - Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã) - §-a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia.... - Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng. Bài tập: 1)   2 5 2 8 5 2 5 4    ; 2) 3 3 1 3 1 1 3 1      3) 3 5 3 5   ; 4) 14 8 3 24 12 3   ; 5) Cho biÓu thøc x 1 x x x x A = 2 2 x x 1 x 1              a) Rót gän biÓu thøc A; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6. 6) Cho biÓu thøc x 2 1 10 x B = : x 2 x 4 2 x x 2 x 2                  a) Rót gän biÓu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. D¹ng 2: Bµi to¸n tÝnh to¸n Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.  TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót gän biÓu thøc A Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a  C¸ch gi¶i:
  • 5. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 5 - Rót gän biÓu thøc A(x). - Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän. Bài tập : Bµi 9: Cho biÓu thøc : P =                       a a aa a a aa 1 1 . 1 1 a) Tính P khi a = 2 b) T×m a ®Ó P< 347  D¹ng 3: Chøng minh ®¼ng thøc Bµi to¸n: Chøng minh ®¼ng thøc A = B  Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh: - Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A = B  A - B = 0 - Ph-¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp. A = A1 = A2 = ... = B - Ph-¬ng ph¸p 3: Ph-¬ng ph¸p so s¸nh. A = A1 = A2 = ... = C B = B1 = B2 = ... = C - Ph-¬ng ph¸p 4: Ph-¬ng ph¸p t-¬ng ®-¬ng. A = B  A' = B'  A" = B"  ...... (*) (*) ®óng do ®ã A = B - Ph-¬ng ph¸p 5: Ph-¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph-¬ng ph¸p 6: Ph-¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph-¬ng ph¸p 7: Ph-¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B  Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng: - BÊt ®¼ng thøc Cosi: n n n aaaa n aaaa ..... ... 321 321   (víi 0..... 321 naaaa ) DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: naaaa  ...321 - BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki: Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn   )...)(...(... 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 2 332211 nnnn bbbbaaaababababa  DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: n n b a b a b a b a  ... 3 3 2 2 1 1  Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh: - Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa A > B  A - B > 0 - Ph-¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nÕu M  0 A = B
  • 6. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 6 - Ph-¬ng ph¸p 3: Ph-¬ng ph¸p t-¬ng ®-¬ng A > B  A' > B'  A" > B"  ...... (*) (*) ®óng do ®ã A > B - Ph-¬ng ph¸p 4: Ph-¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu A > C vµ C > B  A > B - Ph-¬ng ph¸p 5: Ph-¬ng ph¸p ph¶n chøng §Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t-¬ng ®-¬ng ®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B. - Ph-¬ng ph¸p 6: Ph-¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Ph-¬ng ph¸p 7: Ph-¬ng ph¸p quy n¹p. - Ph-¬ng ph¸p 8: Ph-¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 5: bµi to¸n liªn quan tíi ph-¬ng tr×nh bËc hai Bµi to¸n 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)  C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i: - Ph-¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh tÝch. - Ph-¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai x2 = a  x =  a - Ph-¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm Ta cã  = b2 - 4ac + NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1   ; a b x 2 2   + NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp a b xx 2 21   + NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph-¬ng ph¸p 4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b' + NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1   ; a b x '' 2   + NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp a b xx ' 21   + NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph-¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et. NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×:          a c xx a b xx 21 21 . Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
  • 7. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 7 Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ).  XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng a. Tr-êng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m. Gi¶ sö a = 0  m = m0 ta cã: (*) trë thµnh ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**) + NÕu b  0 víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b + NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m0: (**) v« ®Þnh  (*) v« ®Þnh + NÕu b = 0 vµ c  0 víi m = m0: (**) v« nghiÖm  (*) v« nghiÖm b. Tr-êng hîp a  0: TÝnh  hoÆc ' + TÝnh  = b2 - 4ac NÕu  > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1   ; a b x 2 2   NÕu  = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a b xx 2 21   NÕu  < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm + TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1   ; a b x '' 2   NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a b xx ' 21   NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm.  Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm: 1. HoÆc a = 0, b  0 2. HoÆc a  0,   0 hoÆc '  0 TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu kiÖn 2. Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:      0 0 b a hoÆc      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp.
  • 8. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 8  §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp:      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 7: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm.  §iÒu kiÖn vô nghiÖm:      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 8: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.  §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:      0 0 b a hoÆc      0 0a hoÆc      0 0 ' a Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu:       0 0 a c P hoÆc        0 0' a c P Bµi to¸n 10 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d-¬ng.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d-¬ng:             0 0 0 a b S a c P hoÆc             0 0 0' a b S a c P Bµi to¸n 11 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m:             0 0 0 a b S a c P hoÆc             0 0 0' a b S a c P Bµi to¸n 12 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.  §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu. Bài tập: 1.    2 2 2 3 2 0mx m x m     có 2 nghiệm cùng dấu. 2.  2 3 2 2 1 0mx m x m    có 2 nghiệm âm. 3.  2 1 2 0m x x m    có ít nhất một nghiệm không âm.
  • 9. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 9 Bµi to¸n 13 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1.  C¸ch gi¶i: - Thay x = x1 vµo ph-¬ng tr×nh (*) ta cã: ax1 2 + bx1 + c = 0  m - Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*)  x1, x2 - HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 = 1x P Bµi to¸n 14 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: a.   21 xx b. kxx  2 2 2 1 c. n xx  21 11 d. hxx  2 2 2 1 e. txx  3 2 3 1  §iÒu kiÖn chung:   0 hoÆc '  0 (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:           )2(. )1( 21 21 P a c xx S a b xx a. Tr-êng hîp:   21 xx Gi¶i hÖ         21 21 xx a b xx Thay x1, x2 vµo (2)  m Chän c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) b. Tr-êng hîp: kxxxxkxx  21 2 21 2 2 2 1 2)( Thay x1 + x2 = S = a b vµ x1.x2 = P = a c vµo ta cã: S2 - 2P = k  T×m ®-îc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) c. Tr-êng hîp: ncbxnxxxn xx  2121 21 . 11 Gi¶i ph-¬ng tr×nh - b = nc t×m ®-îc m tho¶ m·n (*) d. Tr-êng hîp: 0222 2 2 1  hPShxx Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh S2 - 2P - h  0 chän m tho¶ m·n (*) e. Tr-êng hîp: tPSStxx  333 2 3 1 Gi¶i ph-¬ng tr×nh tPSS 33 chän m tho¶ m·n (*) Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P cña chóng. x1, x2
  • 10. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 10  Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (*) (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*) ta t×m ®-îc hai sè u vµ v cÇn t×m. Bài toán 16. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1.Ph-¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( 1 2x x ) và 1 2x x D¹ng 1. 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x        D¹ng 2.        23 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 23x x x x x x x x x x x x x x            D¹ng 3.   2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x            D¹ng 4. 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x    D¹ng 5. 1 2 ?x x  Ta biết       2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4x x x x x x x x x x x x          D¹ng 6. 2 2 1 2x x   1 2 1 2x x x x   = ).(4)( 2121 2 21 xxxxxx  D¹ng 7. 3 3 1 2x x =        22 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x x x x x          =……. D¹ng 8. 4 4 1 2x x =   2 2 2 2 1 2 1 2x x x x  =…… D¹ng 9. 6 6 1 2x x =   2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )x x x x x x x x     = …….. D¹ng 10. 6 6 1 2x x   ...)(.)()()()( 22 2 2 2 2 1 22 1 2 2 2 1 32 2 32 1  xxxxxxxx D¹ng 11. 5 5 1 2x x = )(.))(( 21 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 3 1 xxxxxxxx  D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 D¹ng13 2 21 21 21 2 ))(( 211 aaSp aS axax axx axax          Bµi to¸n 17 : . TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này,c¸c em làm lần lượt theo các bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0 và   0) 2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: a c xx a b xx    2121 .; 3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
  • 11. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 11 Ví dụ 1: Cho phương trình :   2 1 2 4 0m x mx m     (1) có 2 nghiệm 1 2;x x . Lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. (Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn b-íc 1) Gi¶i: B-íc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (1) 1 1 4 3 . . 1 (2) 1 1 m x x x x m m m x x x x m m                     B-íc2: Rút m từ (1) ta có : 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 x x m m x x          (3) Rút m từ (2) ta có : 1 2 1 2 3 3 1 1 1 1 x x m m x x        (4) B-íc 3: từ (3) và (4) ta có:      1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 3 2 3 2 8 0 2 1 x x x x x x x x x x x x               Ví dụ 2: Gọi 1 2;x x là nghiệm của phương trình :   2 1 2 4 0m x mx m     . Chứng minh rằng biểu thức  1 2 1 23 2 8A x x x x    không phụ thuộc giá trị của m. Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 1 2 1 2 2 1 4 . 1 m x x m m x x m          §K:( 101  mm ) ;Thay vào A ta c ó:  1 2 1 2 2 4 6 2 8 8( 1) 0 3 2 8 3. 2. 8 0 1 1 1 1 m m m m m A x x x x m m m m                    Vậy A = 0 với mọi 1m  . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình :    2 2 2 1 0x m x m     . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x sao cho 1 2;x x độc lập đối với m. 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x          Bµi to¸n 18.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0 và   0) 1
  • 12. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 12 - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình :    2 6 1 9 3 0mx m x m     Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2.x x x x  Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :      2 2 2 0 0 0 0 ' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1' 3 21 9( 3) 0 m m m m m m m m mm m m                                       Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 2 1 2 6( 1) 9( 3) m x x m m x x m        và từ giả thiết: 1 2 1 2x x x x  . Suy ra: 6( 1) 9( 3) 6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7 m m m m m m m m m m                (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2.x x x x  Ví dụ 2: Cho phương trình :  2 2 2 1 2 0x m x m     . Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :  1 2 1 23 5 7 0x x x x    Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 1 2&x x là : 2 2 ' (2 1) 4( 2) 0m m      2 2 4 4 1 4 8 0m m m      7 4 7 0 4 m m     Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 1 2 2 1 2 2 1 2 x x m x x m       và từ giả thiết  1 2 1 23 5 7 0x x x x    . Suy ra 2 2 2 3( 2) 5(2 1) 7 0 3 6 10 5 7 0 2( ) 3 10 8 0 4 ( ) 3 m m m m m TM m m m KTM                     Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :  1 2 1 23 5 7 0x x x x    Bài tập áp dụng
  • 13. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 13 1. Cho phương trình :  2 2 4 7 0mx m x m     Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 22 0x x  2. Cho phương trình :  2 1 5 6 0x m x m     Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức: 1 24 3 1x x  3. Cho phương trình :    2 3 3 2 3 1 0x m x m     . Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 23 5 6x x  Hƣớng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ: + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. BT1: - ĐKX Đ: 16 0& 15 m m  -Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 ( 4) (1) 7 m x x m m x x m         - Từ 1 22 0x x  Suy ra: 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2( ) 9 2( ) 3 x x x x x x x x x x        (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 2 1 2127 128 0 1; 128m m m m       BT2: - ĐKXĐ: 2 22 25 0 11 96 11 96m m m          - Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 1 (1) 5 6 x x m x x m       - Từ : 1 24 3 1x x  . Suy ra:    1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3( ) 1 3( ) . 4( ) 1 4( ) 1 7( ) 12( ) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   (2) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 0 12 ( 1) 0 1 m m m m       (thoả mãn ĐKXĐ) BT3: - Vì 2 2 2 (3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m           với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. - -Theo VI-ÉT: 1 2 1 2 3 2 3 (1) (3 1) 3 m x x m x x        
  • 14. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 14 - Từ giả thiết: 1 23 5 6x x  . Suy ra:    1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 8 5( ) 6 64 5( ) 6 . 3( ) 6 8 3( ) 6 64 15( ) 12( ) 36 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   (2) - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: 0 (45 96) 0 32 15 m m m m         (thoả mãn ) DẠNG 6 . ®å thÞ )0(&)0( '2'  axayabaxy vµ t-¬ng quan gi÷a chóng I/.ĐiÓm thuộc đƣờng – đƣờng đi qua điểm. Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4) Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 a = 1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm của hai đƣờng y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên. III.Quan hệ giữa hai đƣờng thẳng. Xét hai đường thẳng : (d1) : y= a1x + b1. vµ (d2) : y = a2x + b2. a) (d1) cắt (d2) a1 a2. b) d1) // (d2) c) d1) (d2) d) (d1) (d2) a1 a2 = -1 IV.Tìm điều kiện để 3 đƣờng thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’ x2 (a’ 0). 1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: a’ x2 = ax + b (#)  a’ x2 - ax – b = 0 Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax2 để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P). 2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau: Tõ ph-¬ng tr×nh (#) ta cã: baabaxxa .4)(0 '22' 
  • 15. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 15 a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt 0 b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (#) có nghiệm kép 0 c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (#) vô nghiệm 0 VI.Viết phƣơng trình đƣờng thẳng y = ax + b : 1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0) Chú ý : song song a2=a1 và b1 khác b2 Vuông góc a2 = - 1/a1 (tìm hiểu trong sgk) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a. Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b. 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b. 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a’ x2 +) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’ x2 nên: Pt: a’ x2 = ax + b có nghiệm kép +) Gi¶i hÖ      0 00 baxy để tìm a,b. VII.Chứng minh đƣờng thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0. VIII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B Gäi x1; x2 lÇn l-ît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn l-ît lµ tung ®é cña A vµ B Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®-îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC: 2 12 2 12 22 )()( yyxxBCACAB  IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số: 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán cực trị. bµi tËp vÒ hµm sè. Bµi 1. cho parabol (p): y = 2x2 .
  • 16. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 16 1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®-êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2). 2. t×m ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2). 3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®-êng th¼ng y = 2m +1. Bµi 2: Cho (P) 2 2 1 xy  vµ ®-êng th¼ng (d): y = ax + b . 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). 2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 3: Cho (P) 2 xy  vµ ®-êng th¼ng (d) y = 2x + m 1. VÏ (P) 2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d) 3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 4: Cho hµm sè (P): 2 xy  vµ hµm sè(d): y = x + m 1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 2. X¸c ®Þnh ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P) 3. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 23 Bµi56: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®-êng th¼ng ( 1d ) y = -2(x+1) 1. §iÓm A cã thuéc ( 1d ) kh«ng ? V× sao ? 2. T×m a ®Ó hµm sè (P): 2 .xay  ®i qua A 3. X¸c ®Þnh ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ( 2d ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ( 1d ) 4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( 2d ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( 1d ) víi trôc tung . T×m to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC? DẠNG 7: gi¶i ph-¬ng tr×nh b»ng ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn sè phô Bµi to¸n1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng ax4 + bx2 + c = 0  §Æt t = x2 (t0) ta cã ph-¬ng tr×nh at2 + bt + c = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x B¶ng tãm t¾t at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0 v« nghiÖm v« nghiÖm 2 nghiÖm ©m v« nghiÖm nghiÖm kÐp ©m v« nghiÖm 1 nghiÖm d-¬ng 2 nghiÖm ®èi nhau 2 nghiÖm d-¬ng 4 nghiÖm 2 cÆp nghiÖm ®èi nhau Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 0) 1 () 1 ( 2 2  C x xB x xA
  • 17. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 17  §Æt x x 1  = t  x2 - tx + 1 = 0 Suy ra t2 = ( x x 1  )2 = 2 1 2 2  x x  2 1 2 2 2  t x x Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x x 1  = t gi¶i t×m x. Bµi to¸n 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 0) 1 () 1 ( 2 2  C x xB x xA  §Æt x x 1  = t  x2 - tx - 1 = 0 Suy ra t2 = ( x x 1  )2 = 2 1 2 2  x x  2 1 2 2 2  t x x Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x x 1  = t gi¶i t×m x. Bµi to¸n 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc cao  Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®-a ph-¬ng tr×nh bËc cao vÒ d¹ng: + Ph-¬ng tr×nh tÝch + Ph-¬ng tr×nh bËc hai. DẠNG 8: gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh Bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh      ''' cybxa cbyax  C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i: + Ph-¬ng ph¸p ®å thÞ + Ph-¬ng ph¸p céng + Ph-¬ng ph¸p thÕ + Ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn phô DẠNG: 9 gi¶i ph-¬ng tr×nh v« tØ Bµi to¸n 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()( xgxf  (1)  Ta cã        )3()()( )2(0)( )()( 2 xgxf xg xgxf
  • 18. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 18 Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn (2) chän nghiÖm thÝch hîp  nghiÖm cña (1) Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()()( xgxhxf   §iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph-¬ng tr×nh         0)( 0)( 0)( xg xh xf Víi ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph-¬ng hai vÕ ®Ó gi¶i t×m x. DẠNG 10: gi¶i ph-¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi Bµi to¸n: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng )()( xgxf   Ph-¬ng ph¸p 1: )()( xgxf           22 )()( 0)( xgxf xg  Ph-¬ng ph¸p 2: XÐt f(x)  0  f(x) = g(x) XÐt f(x) < 0  - f(x) = g(x)  Ph-¬ng ph¸p 3: Víi g(x)  0 ta cã f(x) =  g(x) Một số dạng khác . VÝ dô: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 31323  xx Ta cã thÓ gi¶i nh- sau: LËp b¶ng xÐt vÕ tr¸i: x 3 1 3 2 23 x 23  x 23  x 23 x 13 x 13  x 13 x 13 x VÕ tr¸i céng l¹i 36  x 10 x 36 x VËy: + Víi 3 1 x th× ph-¬ng tr×nh (1) 006336  xxx ( tho¶ m·n) + Víi 3 2 3 1  x th× ph-¬ng tr×nh (1) 310  x ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. + Víi 3 2 x th× ph-¬ngtr×nh (1) 166336  xxx tho¶ m·n. Bµi tËp: Bµi 1: 5122  xx DẠNG 11 gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x)  Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n. - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho: y = M - [g(x)]2n ,n Z  y  M Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0 - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho:
  • 19. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 19 y = m + [h(x)]2k kZ  y  m Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0  Ph-¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.  Ph-¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc. DẠNG 12: c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn hµm sè * §iÓm thuéc ®-êng - ®-êng ®i qua mét ®iÓm Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ mét ®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?  §å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A nghiÖm ®óng ph-¬ng tr×nh cña (C) A(C)  yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A. NÕu f(xA)  yA th× (C) kh«ng ®i qua A. * sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) H·y kh¶o s¸t sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ  To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung: f(x) = g(x) (*) - NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung. - NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau. - NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung. - NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung. * lËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng Bµi to¸n 1: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k.  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*) - X¸c ®Þnh a: ta cã a = k - X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b  b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 2: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA); B(xB;yB)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:      baxy baxy BB AA Gi¶i hÖ ta t×m ®-îc a vµ b suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
  • 20. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 20 f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc b vµ suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)  Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b (**) MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***)  a vµ b  Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (D).
  • 21. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 21 A. KiÕn thøc cÇn nhí. 1. HÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng. b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc a2 = b2 + c2 222 111 cbh  2. TØ sè l-îng gi¸c cña gãc nhän. 0 < sin < 1 0 < coss < 1    cos sin tg    sin cos cot g sin2  + cos2  = 1 tg.cotg = 1   2 2 cos 1 1  tg   2 2 sin 1 cot1  g 3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng. b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B 4. §-êng trßn. - C¸ch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®-îc mét vµ chØ mét ®-êng trßn. - T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng: §-êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trôc ®èi xøng. - Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y. Trong mét ®-êng trßn + §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy + §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy. PhÇn II: h×nh häc a b' c' b c h H B C A b a c C B A
  • 22. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 22 - Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y: Trong mét ®-êng trßn: + Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m + Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau + D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n + D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n - Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: Trong mét ®-êng trßn hay trong hai ®-êng trßn b»ng nhau: + Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau + Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau + Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n + D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n. - VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ R - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn c¾t nhau 2 d < R - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn tiÕp xóc nhau 1 d = R - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn kh«ng giao nhau 0 d > R
  • 23. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 23 - VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ R - Hai ®-êng trßn c¾t nhau 2 R - r < OO' < R + r - Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau + TiÕp xóc ngoµi + TiÕp xóc trong 1 OO' = R + r OO' = R - r - Hai ®-êng trßn kh«ng giao nhau + (O) vµ (O') ë ngoµi nhau + (O) ®ùng (O') + (O) vµ (O') ®ång t©m 0 OO' > R + r OO' < R - r OO' = 0 5. TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn - TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm. - DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn: + §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung + Kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®-êng trßn ®Õn ®-êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh + §-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®-êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã. - TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×: + MA = MB + MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB + OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB B O A M
  • 24. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 24 - TiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn: lµ ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®-êng trßn ®ã: TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong 6. Gãc víi ®-êng trßn Lo¹i gãc H×nh vÏ C«ng thøc tÝnh sè ®o 1. Gãc ë t©m · »AOB sd AB 2. Gãc néi tiÕp · »1 2 AMB sd AB 3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. · »1 2 xBA sd AB 4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®-êng trßn · » »1 ( ) 2 AMB sd AB sdCD  5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®-êng trßn · » »1 ( ) 2 AMB sd AB sdCD  d' d O' O d' d O' O B A O M B A O x B A O M D C B A O O B A D C M
  • 25. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 25  Chó ý: Trong mét ®-êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng-îc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®-êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. 7. §é dµi ®-êng trßn - §é dµi cung trßn. - §é dµi ®-êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : 180 Rn l   8. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0 : 2 360 2 R n lR S    9. C¸c lo¹i ®-êng trßn §-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c §-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c §-êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba ®-êng trung trùc cña tam gi¸c T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba ®-êng ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c T©m cña ®-êng trßn bµng tiÕp trong gãc A lµ giao ®iÓm cña hai ®-êng ph©n gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm cña ®-êng ph©n gi¸c gãc A vµ ®-êng ph©n gi¸c ngoµi t¹i B (hoÆc C) 10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian. a. H×nh trô. - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rh + r2 - ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh = r2 h O C B A O C B A F E J B C A r: b¸n kÝnh Trong ®ã h: chiÒu cao
  • 26. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 26 b. H×nh nãn: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rl + r2 - ThÓ tÝch h×nh trô: V = 21 r 3 h c. H×nh nãn côt: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V = 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 3 h r r r r   d. H×nh cÇu. - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4R2 = d - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = 34 3 R 11. Tø gi¸c néi tiÕp:  DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét gãc . B. c¸c d¹ng bµi tËp. D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc - Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu - Hai gãc t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu - Hai c¹nh t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau - Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai d©y tr-¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn hoÆc hai ®-êng b»ng nhau. r: b¸n kÝnh Trong ®ã l: ®-êng sinh h: chiÒu cao r1: b¸n kÝnh d¸y lín r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá Trong ®ã l: ®-êng sinh h: chiÒu cao R: b¸n kÝnh Trong ®ã d: ®-êng kÝnh
  • 27. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 27 D¹ng 2: Chøng minh hai ®-êng th¼ng song song  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng song song víi ®-êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: + ë vÞ trÝ so le trong + ë vÞ trÝ so le ngoµi + ë vÞ trÝ ®ång vÞ. - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn - Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh D¹ng 3: Chøng minh hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc  C¸ch chøng minh: - Chóng song song song song víi hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. - Chøng minh chóng lµ ch©n ®-êng cao trong mét tam gi¸c. - §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y. - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. D¹ng 4: Chøng minh ba ®-êng th¼ng ®ång quy.  C¸ch chøng minh: - Chøng minh chóng lµ ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet. D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: - Tr-êng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Tr-êng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Tr-êng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau - Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau - C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau
  • 28. TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 28 D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t-¬ng øng tû lÖ - Cã ba c¹nh t-¬ng øng tû lÖ * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t-¬ng øng tû lÖ D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc  C¸ch chøng minh: Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*) - Chøng minh: MAC  MDB hoÆc MAD  MCB - NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®-êng th¼ng th× ph¶i chøng minh c¸c tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE  MFB MCE  MFD  MA.MB = MC.MD * Tr-êng hîp ®Æc biÖt: MT2 = MA.MB ta chøng minh MTA  MBT D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp  C¸ch chøng minh: DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét gãc . D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O;R)  C¸ch chøng minh: - Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R) - Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh - Dïng gãc néi tiÕp. D¹ng 10: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc  C¸ch tÝnh: - Dùa vµo hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng. - Dùa vµo tû sè l-îng gi¸c - Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng - Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch... ®©y chØ lµ mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña ch-¬ng tr×nh to¸n 9 ®Ó «n tËp tèt h¬n c¸c em cÇn ®äc kü tµi liÖu vµ xem thªm s¸ch gi¸o khoa to¸n 9 CHÚC CÁC EM THI TỐT ! HOÀNG THÁI VIỆT