Sistem bilangan dan aritmatika

SISTEM BILANGAN DAN ARITMATIKA

1. PENGERTIAN ARITMATIKA

 Aritmatika

Aritmatika atau aritmetika (dari kata bahasa Yunani αριθμός = angka) atau dulu
disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau pendahulu) matematika yang
mempelajari operasi dasar bilangan. Dalam penggunaannya oleh matematikawan,
kata "aritmatika" sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan.

 Operasi aritmatika

Operasi dasar aritmatika adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian, walaupun operasi-operasi lain yang lebih canggih (seperti persentase,
akar kuadrat, pemangkatan, dan logaritma) kadang juga dimasukkan ke dalam
kategori ini. Perhitungan dalam aritmatika dilakukan menurut suatu urutan operasi
yang menentukan operasi aritmatika yang mana lebih dulu dilakukan.

Aritmatika bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real
umumnya dipelajari oleh anak sekolah, yang mempelajari algoritma manual
aritmatika. Namun demikian, banyak orang yang lebih suka menggunakan alat-alat
seperti kalkulator, komputer, atau sempoa untuk melakukan perhitungan aritmatika.

Penjumlahan adalah salah satu operasi aritmatika dasar. Penjumlahan
menggabungkan dua buah bilangan atau lebih menjadi suatu bilangan yang
merupakan jumlah

 Algoritma

Kata Algoritma berasal dari nama seorang ahli matematika dari persia Al
Khawarizmi. Pada awalnya kata algorism adalah istilah yang merujuk kepada aturan-
aturan aritmetis untuk menyelesaikan persoalan dengan menggunakan bilangan
numerik arab. Pada abad 18, istilah ini berkembang menjadi algoritma, yang

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Eva Siti Khuzaeva, S.Si., M.Si. MATEMATIKA DASAR 1

mencakup semua prosedur atau urutan langkah yang jelas dan diperlukan untuk
menyelesaikan suatu permasalahan.

Jika dijelaskan lebih lanjut, algoritma (Inggris: algorithm) merupakan kumpulan
perintah untuk menyelesaikan suatu masalah. Perintah-perintah ini dapat
diterjemahkan secara bertahap dari awal hingga akhir. Masalah tersebut dapat
berupa apa saja, dengan catatan untuk setiap masalah, ada kriteria kondisi awal yang
harus dipenuhi sebelum menjalankan algoritma. Algoritma akan dapat selalu
berakhir untuk semua kondisi awal yang memenuhi kriteria, berbeda dengan
heuristik. Algoritma sering mempunyai langkah pengulangan (iterasi) atau
memerlukan keputusan (logika Boolean dan perbandingan) sampai tugas selesai.

2. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN

Dasar utama pengembangan matematika adalah teori bilangan dan geometri. Sehingga
tak mengherankan jika Phytagoras sejak 2500 tahun yang lalu mengungkapkannya
dengan “the Number rule the Universe”.

Sistem bilangan real R adalah humpunan bilangan real yang disertai dengan operasi
penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, antara lain :

1. Aksioma Lapangan
2. Aksioma Urutan
3. Aksioma Kelengkapan

2.1. Aksioma Lapangan

Aksioma ini mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian, sifat komutatif, asosiatif dan distributif, terdapatnya unsur 0 dan 1, serta
terdapatnya unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian, juga didefinisikan
pula operasi pengurangan dan pembagian.

Dari aksioma dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar atas
berbagai objek kalkulus, yaitu peubah, konstanta dan parameter.


• { a, b ∈ R} ⇒ { a + b ∈ R ∧ ab ∈ R} , sifat tertutup terhadap penjumlahan dan
perkalian.

• { a, b ∈ R} ⇒ { a + b = b + a ∧ ab = ba} , sifat komutatif terhadap penjumlahan dan
perkalian.

• { a, b, c ∈ R} ⇒ { ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ∧ ( ab ) c = a( bc )} , sifat asosiatif terhadap
penjumlahan dan perkalian.

• ∀a ∈ R, ∃( 0 ∧1) ∈ R ( 0 ≠ 1) ∋ a + 0 = a ∧ a ⋅1 = a , adanya unsur kesatuan terhadap

penjumlahan dan perkalian. Bilangan 0 dinamakan unsur kesatuan terhadap
penjumlahan dan bilangan 1 dinamakan unsur kesatuan terhadap perkalian.

• { a ∈ R} ⇒ { ∃( − a ) ∈ R ∋ a + ( − a ) = 0} , adanya unsur negatif atau invers terhadap
penjumlahan. Bilangan real –a dinamakan negatif atau lawan dari a.

• { a ∈ R, a ≠ 0} ⇒ {∃a −1 ∈ R ∋ a ⋅ a −1 = 1} , adanya unsur kebalikan atau invers

terhadap perkalian. Bilangan real a − dinamakan kebalikan dari a.
1

• { a, b, c ∈ R} ⇒ { a( b + c ) = ab + ac} , sifat distributif.

Operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan real didefinisikan
sebagai berikut :

Definisi 2.1.1. Misalkan a, b ∈R , maka

• Pengurangan dari a dan b, hasilnya disebut selisih dari a dan b, ditulis a − b ,

didefinisikan sebagai bilangan real a + ( − b ) .

• Pembagian dari a dan b, hasilnya disebut hasil bagi dari a dan b, b ≠ 0 , ditulis

a
, didefinisikan sebagai bilangan real ab −1 .
b


Dari aksioma lapangan kita dapat membuktikan berbagai sifat aljabar bilangan real
berikut, yang digunakan sebagai operasi aljabar dalam menyelesaikan soal
matematika.

Teorema 2.1.2. Misalkan a, b, c, d ∈R , maka

• a = b ⇒ a + c = b + c ∧ ac = bc.

• a + c = b + c ⇒ a = b , hukum pencoretan untuk penjumlahan.

• ac = bc, c ≠ 0 ⇒ a = b , hukum pencoretan untuk perkalian.

• a ( b − c ) = ab − ac.

•

• ( )
− ( − a ) = a; a −1
−1
= a, a ≠ 0 .

• a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0; a ( − b ) = ( − a ) b = −ab ∧ ( − a )( − b ) = ab.

• ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0.

a c
• = ⇔ ad = bc; b, d ≠ 0
b d

a b a +b a b a −b
• + = ∧ − = , c ≠ 0.
c c c c c c

a b ad + bc a b ad − bc
• + = ∧ − = , c, d ≠ 0.
c d cd c d cd

a b ab a b ad
• ⋅ = ; c, d ≠ 0 ∧ = , b, c, d ≠ 0.
c d cd c d bc

2.2. Aksioma Urutan


Aksioma ini mengatur tentang munculnya bilangan positif dan negatif. Dari sini pula
setiap bilangan real dapat diurutkan dari yang kecil sampai yang besar. Dari
aksioma ini diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu
pertaksamaan. Kemudian dirancang konsep nilai mutlak sebagai ukuran jarak dua
bilangan real dan suatu alat untuk menyelesaikan pertaksamaan yang berkaitan
dengan limit.

2.3. Aksioma Kelengkapan

Aksioma ini mengatur tentang perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan
real. Kita mengenal terdapatnya korespondensi satu-satu di antara bilangan real
dan titik pada garis, tetapi sifat ini tidak dipenuhi oleh bilangan rasional. Setiap
bilangan real dapat digambarkan sebagai titik pada garis, dan setiap titik pada garis
dapat dinyatakan sebagai bilangan real.

Diantara setiap dua bilangan real terdapat tak hingga banyaknya bilangan rasional
dan irrasional. Kemudian diperkenalkan konsep selang hingga dan selang tak
hingga, yang akan berperan dalam kalkulus.
3. KOMPONEN BILANGAN REAL

Bilangan 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 dinamakan angka atau digit. Bilangan real dikelompokkan
sebagai berikut :

• Bilangan asli (N) : 1,2,3,  digunakan untuk menghitung banyaknya objek suatu
himpunan.

• Bilangan prima : 2,3,5,7,11,  adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua
faktor.

• Bilangan komposit : 4,6,8,9,10,  adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari
dua faktor.

• Bilangan cacah : 0,1,2,3,  adalah bilangan asli beserta unsur nol.
• Bilangan bulat (Z) :  ,− ,− ,− ,0,1,2,3,  .
3 2 1


• Bilangan genap :  ,− ,− ,0,2,4,  adalah bilangan bulat kelipatan dua. Bilangan
4 2

genap dilambangkan dengan 2n, n bilangan bulat.

• Bilangan ganjil :  ,− ,− ,− ,1,3,5,  adalah bilangan bulat bukan kelipatan dua.
5 3 1

Bilangan ganjil dilambangkan dengan 2n + 1 atau 2n – 1, n bilangan bulat.

m
• Bilangan pecahan : adalah bilangan berbentuk x = , m bilangan bulat dan n
n
bilangan asli, dengan m tidak habis dibagi n. Bilangan pecahan di antara 0 dan 1
disebut pecahan sejati.

m
• Bilangan rasional (Q) : adalah bilangan berbentuk x = , m bilangan bulat dan n
n
bilangan asli. Di sini x bilangan bulat jika m habis dibagi n dan x bilangan pecahan
jika m tidak habis dibagi n. Bilangan rasional selalu memunyai betuk desimal berulang

atau berhenti. Sebagai ilustrasi, 1
2
= 0,5 , 7
11
= 0,636363 , dan sebagainya.

• Bilangan irrasional : adalah bilangan yang bukan rasional. Bilangan ini bukan hasil
bagi bilangan bulat dan blangan asli atau tiak mempunyai bentuk desimal berulang

atau berhenti. Sebagai ilustrasi, 2 , 3 , 3 16 , 3 log 2, π, e , dan sebagainya.

• Bilangan real (R) : adalah gabungan bilangan rasional dan irrasional, yang
merupakan susunan sekelompok angka dengan aturan tertentu.


Satu Prima Komposit

Asli Nol

Cacah Bulat Negatif

Genap

Bulat Pecahan
Ganjil

Rasional Irrasional

Real Imajiner

Kompleks

Gambar 1.1. Pohon Bilangan


Sistem bilangan dan aritmatika

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Sistem bilangan dan aritmatika

Similaire à Sistem bilangan dan aritmatika (20)

Plus de Dicky Alejandro

Plus de Dicky Alejandro (14)

Sistem bilangan dan aritmatika