Distribucion de la diferencia de medias

1. Distribución muestral de la diferencia de medias
¯X1 − ¯X2
MsC Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística II
Septiembre 2014
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 1 / 10

2. Distribución muestral de la diferencia de medias
Introducción.
Hasta el momento hemos trabajado con una sola población. Una aplicación
mucho más importante incluye dos poblaciones. Un cientíco o economista
se interesa en un experimento comparativo donde se comparan dos
métodos de producción: 1 y 2. La base para tal comparación es µ1 − µ2, la
diferencia en las medias de las poblaciones.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 2 / 10

3. Theorem
Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos
poblaciones, discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2
respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las
medias, ¯X1 − ¯X2, está distribuida aproximadamente de forma normal con
media y varianza dadas por
µ ¯X1− ¯X2
= µ1 − µ2 , y , σ2
¯X1− ¯X2
=
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
De aquí,
z = ( ¯X1− ¯X2)−(µ1−µ2)
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
es aproximadamente una variable normal estándar.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 3 / 10

4. Theorem
Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos
poblaciones, discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2
respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las
medias, ¯X1 − ¯X2, está distribuida aproximadamente de forma normal con
media y varianza dadas por
µ ¯X1− ¯X2
= µ1 − µ2 , y , σ2
¯X1− ¯X2
=
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
De aquí,
z = ( ¯X1− ¯X2)−(µ1−µ2)
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
es aproximadamente una variable normal estándar.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 3 / 10

5. Theorem
Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos
poblaciones, discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2
respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las
medias, ¯X1 − ¯X2, está distribuida aproximadamente de forma normal con
media y varianza dadas por
µ ¯X1− ¯X2
= µ1 − µ2 , y , σ2
¯X1− ¯X2
=
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
De aquí,
z = ( ¯X1− ¯X2)−(µ1−µ2)
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
es aproximadamente una variable normal estándar.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 3 / 10

6. Theorem
Si se extraen al azar muestras independientes de tamaños n1 y n2 de dos
poblaciones, discretas o continuas, con medias µ1 y µ2 y varianzas σ1 y σ2
respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las
medias, ¯X1 − ¯X2, está distribuida aproximadamente de forma normal con
media y varianza dadas por
µ ¯X1− ¯X2
= µ1 − µ2 , y , σ2
¯X1− ¯X2
=
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
De aquí,
z = ( ¯X1− ¯X2)−(µ1−µ2)
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
es aproximadamente una variable normal estándar.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 3 / 10

7. Theorem (Supuestos)
Si tanto n1 como n2 son mayores que o iguales a 30, la aproximación
normal para la distribución de ¯X1 − ¯X2 es muy buena cuando las
distribuciones subyacentes no están tan alejadas de la normal. Sin
embargo, aun cuando n1 y n2 sean menores que 30, la aproximación
normal es razonablemente buena excepto cuando las poblaciones no son
denitivamente normales. Por supuesto, si ambas poblaciones son
normales, entonces ¯X1 − ¯X2 tiene una distribución normal sin importar
cuáles son los tamaños de n1 y n2.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 4 / 10

8. Theorem (Supuestos)
Si tanto n1 como n2 son mayores que o iguales a 30, la aproximación
normal para la distribución de ¯X1 − ¯X2 es muy buena cuando las
distribuciones subyacentes no están tan alejadas de la normal. Sin
embargo, aun cuando n1 y n2 sean menores que 30, la aproximación
normal es razonablemente buena excepto cuando las poblaciones no son
denitivamente normales. Por supuesto, si ambas poblaciones son
normales, entonces ¯X1 − ¯X2 tiene una distribución normal sin importar
cuáles son los tamaños de n1 y n2.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 4 / 10

9. Theorem (Supuestos)
Si tanto n1 como n2 son mayores que o iguales a 30, la aproximación
normal para la distribución de ¯X1 − ¯X2 es muy buena cuando las
distribuciones subyacentes no están tan alejadas de la normal. Sin
embargo, aun cuando n1 y n2 sean menores que 30, la aproximación
normal es razonablemente buena excepto cuando las poblaciones no son
denitivamente normales. Por supuesto, si ambas poblaciones son
normales, entonces ¯X1 − ¯X2 tiene una distribución normal sin importar
cuáles son los tamaños de n1 y n2.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 4 / 10

10. Ejemplo
Se llevan a cabo dos experimentos independientes en los que se comparan
dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con la de tipo A
y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace
con la de tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son
ambas 1.0. Suponiendo que el tiempo medio de secado es igual para los
dos tipos de pintura, encuentre P( ¯XA − ¯XB 1.0), donde ¯XA y ¯XB son
los tiempos promedio de secado para muestras de tamaño nA = nB = 18.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 5 / 10

11. Ejemplo
Los cinescopios para televisión del fabricante A tienen una duración media
de 6.5 años y una desviación estándar de 0.9 años; mientras que los del
fabricante B tienen una duración media de 6.0 años y una desviación
estándar de 0.8 años. ¾Cuál es la probabilidad de que una muestra
aleatoria de 36 cinescopios del fabricante A tengan una duración media que
sea al menos de 1 año más que la duración media de una muestra de 49
cinescopios del fabricante B?
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 6 / 10

12. Población 1 (A) Poblacion 2 (B)
µ1 = 6.5 µ2 = 6.5
σ1 = 0.9 σ2 = 0.8
n1 = 36 n2 = 49
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 7 / 10

13. Población 1 (A) Poblacion 2 (B)
µ1 = 6.5 µ2 = 6.5
σ1 = 0.9 σ2 = 0.8
n1 = 36 n2 = 49
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 7 / 10

14. Ejercicio (1)
Se toma una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que
tiene una media de 80 y una desviación estándar de 5. Una segunda
muestra aleatoria de tamaño 36 se toma de una población normal diferente
que tiene una media de 75 y una desviación estándar de 3. Encuentre la
probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones
exceda la media muestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4
pero menos de 5.9.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 8 / 10

15. Ejercicio (2)
La distribución de alturas de cierta raza de perros terrier tiene una altura
media de 72 centímetros y una desviación estándar de 10 centímetros; en
tanto que la distribución de alturas de cierta raza de poodles tiene una
altura media de 28 centímetros con una desviación estándar de 5
centímetros. Suponiendo que las medias muéstrales se pueden medir con
cualquier grado de precisión, encuentre la probabilidad de que la media
muestral para una muestra aleatoria de alturas de 64 terriers exceda la
media muestral para una muestra aleatoria de alturas de 100 poodles a lo
más en 44.2 centímetros.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 9 / 10

16. Ejercicio (3)
La calicación media de estudiantes de primer año en un examen de
aptitudes en cierta universidad es 540, con una desviación estándar de 50.
¾Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes seleccionados al
azar, que consisten en 32 y 50 estudiantes, respectivamente, dieran en sus
calicaciones medias por
1 más de 20 puntos?
2 una cantidad entre 5 y 10 puntos?
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 10 / 10

17. Ejercicio (4)
Para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto grado en una
escuela de instrucción media, se usará una muestra aleatoria de 20 niños y
otra de 25 niñas. Se sabe que, en niños y niñas, los pesos siguen una
distribución normal. En concreto, el promedio de los pesos de todos lo
niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación
estándar es de 14,142, mientras que el promedio ele los pesos de todas las
niñas del sexto grado es de 85 libras y su desviación estándar es de 12,247.
Encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños
sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.
Distribución muestral de la diferencia de medias ¯X1 − ¯X2August 31, 2014 11 / 10