1. I pattern di Turing: concetti basilari, esempi reali e simulazioni numeriche Gaetano L’Episcopo Università degli Studi di Catania Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria dell’Automazione e del Controllo dei sistemi complessi Corso di Sistemi Complessi Adattativi

3. Esempi reali di pattern Gaetano L'Episcopo

4. Equazioni Reazione-Diffusione Gaetano L'Episcopo Dal punto di vista matematico, i pattern si ricavano da sistemi di equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali, sotto particolari condizioni. Ip: sistema nell’intorno di un punto di equilibrio stabile secondo Lyapunov in assenza di diffusione (D u =D v =0) Condizioni necessarie per la generazione dei pattern sono le seguenti: Parametri del sistema che soddisfano queste relazioni Spazio di Turing Una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la generazione dei pattern è: D u << D v u attivatore v inibitore D u Rate diffusione attivatore D v Rate diffusione inibitore f(u,v) , g(u,v) Funzioni di reazione non lineari

5. Concetto di instabilità secondo Turing Gaetano L'Episcopo Uno stato stazionario, spazialmente uniforme e stabile alle perturbazioni in assenza di diffusione, tende a diventare instabile quando sopraggiunge un fenomeno diffusivo. Instabilità di Turing Instabilità guidata dalla diffusione Formazione, nel lungo periodo, di pattern stazionari Funzioni non lineari, parametri del sistema e coefficienti di diffusione Problema della selezione del pattern (tipo, forma…) Condizioni iniziali e condizioni al contorno Differenze nella fase del pattern Unicità del pattern

6. Caratterizzazione analitica dell’instabilità di Turing Gaetano L'Episcopo 1. Si calcolano gli stati di equilibrio (u 0 ,v 0 ) da: 2. Si valuta la stabilità nello stato di equilibrio in assenza di diffusione tramite gli autovalori della matrice jacobiana A: 3. Si valuta l’instabilità nello stato di equilibrio in presenza di diffusione tramite gli autovalori della matrice T al variare del modulo del modo perturbante k 2 : dove: 4. Si è in presenza dell’instabilità di Turing se:

7. Simulazioni numeriche Gaetano L'Episcopo Sono state eseguite delle simulazioni numeriche di alcuni sistemi di equazioni RD che, per determinate condizioni, generano dei pattern spaziali stazionari (Brusselator, Dufiet-Boissonade, Lengyel-Epstein,Macchie di leopardo e Swift-Hohenberg). Differenze finite su griglia 2D regolare passo= dx Eulero avanti passo=dt Formula risolutiva iterativa discretizzata

8. Modello Brusselator Gaetano L'Episcopo Modello sviluppato all’inizio degli anni ‘70 da Ilya Prigogine presso l’università di Bruxelles per caratterizzare la concentrazione dei reagenti della reazione chimica autocatalitica BZ . Punto di equilibrio: Instabilità di Turing: Biforcazione di Hopf: D u =2 D v =4 D u =2 D v =16 D u =2 D v =50

9. Modello Brusselator Gaetano L'Episcopo D u =2 D v =16 a=4,5 b=6,75 Condizioni al contorno periodiche Condizioni al contorno zero - flusso Valori dei parametri Condizioni iniziali: Perturbazioni random attorno allo stato di equilibrio Autovalore maggiore al variare di k 2

10. Modello Brusselator Gaetano L'Episcopo D u =2 D v =16 a=4,5 b=7,5 Condizioni al contorno periodiche Valori dei parametri Condizioni iniziali: Perturbazioni random attorno allo stato di equilibrio Autovalore maggiore al variare di k 2 Condizioni al contorno zero - flusso

11. Modello Brusselator Gaetano L'Episcopo La variazione delle dimensioni del dominio di analisi non ha ripercussioni sul tipo di pattern, ma solo sulla fase e il posizionamento delle componenti del pattern. Tolleranze dell’1% sui valori dei parametri Tolleranze del 5% sui valori dei parametri

12. Modello di Dufiet-Boissonade Gaetano L'Episcopo Modello puramente teorico sviluppato nel 1992 da Dufiet e Boissonade per lo studio delle biforcazioni nei sistemi reazione-diffusione. Punto di equilibrio: Instabilità di Turing: Biforcazione di Hopf: d=20 γ=1 Punto di equilibrio stabile in assenza di diffusione per 1<b<a

13. Modello di Dufiet-Boissonade Gaetano L'Episcopo d=20 γ=0,75 a=7,81 b=5 Condizioni al contorno periodiche Condizioni al contorno zero - flusso Valori dei parametri Condizioni iniziali: Perturbazioni random attorno allo stato di equilibrio Autovalore maggiore al variare di k 2

14. Modello di Dufiet-Boissonade Gaetano L'Episcopo d=20 γ =1 a=7,45 b=5 Condizioni al contorno periodiche Condizioni al contorno zero - flusso Valori dei parametri Condizioni iniziali: Perturbazioni random attorno allo stato di equilibrio Autovalore maggiore al variare di k 2

15. Modello di Lengyel-Epstein Gaetano L'Episcopo Modello teorico sviluppato nel 1992 da Lengyel ed Epstein per caratterizzare la concentrazione dei reagenti della reazione CDIMA. Punto di equilibrio: Instabilità di Turing: Biforcazione di Hopf: d=1,07 σ =50

16. Modello di Lengyel-Epstein Gaetano L'Episcopo d=1,07 σ =50 a=8,8 b=0,09 Condizioni al contorno periodiche Condizioni al contorno zero - flusso Valori dei parametri Condizioni iniziali: Perturbazioni random attorno allo stato di equilibrio Autovalore maggiore al variare di k 2

17. Modello di Lengyel-Epstein Gaetano L'Episcopo d=1,07 σ =50 a=10 b=0,16 Condizioni al contorno periodiche Condizioni al contorno zero - flusso Valori dei parametri Condizioni iniziali: Perturbazioni random attorno allo stato di equilibrio Autovalore maggiore al variare di k 2

18. Modello per le macchie del leopardo Gaetano L'Episcopo Riuscire a capire come si formano le macchie del leopardo ha sempre affascinato gli uomini, compreso lo scrittore inglese J. R. Kipling (1865–1936), il seguente modello matematico permette di ricavare dei pattern simili alle macchie del leopardo, variando alcuni parametri del sistema per step definiti. ( Modello multi-stage ) Punto di equilibrio: Condizioni iniziali: Perturbazioni random attorno allo stato di equilibrio Condizioni al contorno: Periodiche

19. Modello per le macchie del leopardo Gaetano L'Episcopo 1. Si parte ponendo D=0,45 – δ =6 – a=0,899 b=-0,91 – c=2 – d=3,5 dopo circa 50000 iterazioni (al passo dt = 0,01) si ottiene: 2. Si cambia c=7 lasciando inalterati tutti gli altri parametri dopo ulteriori 500 iterazioni (al passo dt = 0,01) si ottiene:

20. Modello per le macchie del leopardo Gaetano L'Episcopo 3. Si cambia δ =1,8 lasciando inalterati tutti gli altri parametri dopo altre 1500 iterazioni (al passo dt = 0,01) si ottiene: 4. Infine si cambia D=0,15 e dopo 8000 iterazioni si ottiene:

21. Modello di Swift-Hohenberg Gaetano L'Episcopo Modello sviluppato nel 1977 da Swift ed Hohemberg per spiegare e simulare il fenomeno della convezione di Rayleigh-Bénard nei sistemi idro-fluido-dinamici a livello microscopico. Punto di equilibrio: ε =0,03 g=0 ε =0,1 g=1