2.
1. Espaces vectoriels et systèmes linéaires :
a. Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels .
b. Independence linéaire. Base et dimension, Combinaison linéaire, Somme directe.
Coordonnés.
c. Résolution des systèmes linéaires.
2. Application linéaire :
a. Type de matrice important. Rang, déterminant, matrice inverse.
b. Application linéaire. Application linéaire et indépendance linéaire.
c. Isomorphismes et coordonnés. Représentation matricielle d’une application linéaire,
changement de base.
3. Espace muni d’un produit scalaire
a. Produit scalaire, Norme, Orthogonalité.
b. Projection orthogonal.
c. Base orthonormale, Méthode de Gram Schmidt changement de base orthonormales.
d. Diagonalisation orthogonal. Matrice symétrique.
2
3. Chapitre 1 : Espace vectoriels et systèmes linéaires.
I Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels
A) Espace vectoriel
1 –Définition
Soit V un ensemble muni de deux lois : +, .
1) Loi interne + : ∀v, w ∈ V , on a v + w ∈ V ,
2) Loi externe. : ∀v ∈ V , ∀k ∈ ℜ, on a k .v ∈ V ,
Exemple
V = ℜ 2 ; ℜ ² = ℜ × ℜ = {( x, y ) : x, y ∈ ℜ }
V est un espace vectoriel muni des lois + , .
+ : ( x, y ) + ( z , w ) = ( x + z , y + w )
. : k . ( x , y ) = (k . x , k . y )
De plus, l’espace vectoriel vérifie une série de propriétés.
3) u + v = v + u ∀ u , v ∈ V
4) ∃ 0 ∈ V ; 0 + u = u + 0 = u ∀u ∈ V .
5) ∀u ∈ V , ∃w ∈ V (on la note aussi − u ), tel que u + w = 0
6) (u + v ) + w = u + (v + w ); ∀u , v, w ∈ V
7) (a ∗ b ).v = a .(b .v ) ∀ a , b ∈ ℜ ; v ∈ V
8) a.(u + v ) = a.u + a.v ∀a ∈ ℜ , u , v ∈ V
9) ( a + b ).u = a.u + b.u ∀a; b ∈ ℜ, u ∈ V
10) 1.u = u ∀u ∈ V
3
4.
Exemple :
I. ( )
ℜ , + ′ ,. munis des lois interne et externe définis a continuation, est‐il un
2
espace vectoriel ?
+ ′ : (x , y ) + ′ (z , w ) = (x − z , y + w )
. : a .( x , y ) = (ax , ay )
‐ Vérifiez les autres propriétés.
II. On définit l’ensemble
⎧⎛ a b⎞
M 2 = ⎨⎜
⎜ ⎟ : a, b, c, d ∈ ℜ } .
⎩⎝ c d⎟
⎠
On vérifie que (M 2 , + ,. ) est un espace vectoriel.
⎛a b⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ a + e b+ f ⎞
+ :⎜ ⎜ c d ⎟ + ⎜ g h ⎟ = ⎜c + g
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
d + h⎟
1)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ a b ⎞ ⎛ k .a k .b ⎞
2) . : k⎜⎜ c d ⎟ = ⎜ k .c k .d ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
‐ Vérifions les autres propriétés :
3) u + v = v + u?
⎛a b ⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ a + e b + f ⎞
⎜c d ⎟ + ⎜ g h ⎟ = ⎜c + g d + h⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ e + a f + b⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛a b ⎞
=⎜⎜g + c h + d ⎟ = ⎜g h ⎟ + ⎜c d ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4) Existe t – il l’élément neutre ( ∃ ? 0 ) tel que 0 + u = u + 0
⎛0 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛a b ⎞ ⎛0 0⎞
⎜0 0⎟ + ⎜ c
⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜
d ⎟ ⎜c
⎟+⎜ ⎟
d ⎟ ⎜0 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5) u + ( −u ) = 0
4
5. ⎛a b ⎞ ⎛− a − b ⎞ ⎛0 0⎞
⎜
⎜c ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝ d⎟ ⎜−c
⎠ ⎝ − d ⎟ ⎜0 0⎟
⎠ ⎝ ⎠
6) (u + v ) + w = u + ( v + w )
⎛ a + e b + f ⎞ ⎛ i j⎞ ⎛a b ⎞ ⎛ e + i b + j⎞
⎜c + g d + h ⎟ + ⎜ j l ⎟ = ⎜ c d ⎟ + ⎜ g + k h + l ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ a +e+i b+ f + j⎞
=⎜⎜c + g + k d + h + l ⎟
⎟
⎝ ⎠
7) ( a × b ). v = a .( b . v )
⎛a b1 ⎞ ⎛ ( a × b ).a1 ( a × b ).b1 ⎞ ⎛ a.( b.a1 ) a.( b.b1 ) ⎞
a × b⎜ 1
⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝ c1 d1 ⎟ ⎜ ( a × b ).c1
⎠ ⎝ ( a × b ).d1 ⎟ ⎜ a.( b.c1 )
⎠ ⎝ a.(b.d1 ) ⎟
⎠
⎛ b .a 1 b .b 1 ⎞
= a .⎜
⎜ b .c ⎟
⎝ 1 b .d 1 ⎟
⎠
⎡⎛ a b⎞ ⎛e f ⎞⎤ ⎛a b⎞ ⎛e f⎞
a.⎢⎜
⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎥ = a.⎜ ⎟ + a.⎜ ⎟
8)
⎣⎝ c
⎟
d⎠ ⎜g
⎝
⎟
h ⎠⎦ ⎜c
⎝ d⎟
⎠
⎜g
⎝ h ⎟
⎠
⎛ a1 b1 ⎞ ⎛a b1 ⎞ ⎛a b1 ⎞
9) (a + b ).⎜
⎜ ⎟ = a.⎜ 1 ⎟ + b.⎜ 1 ⎟
⎝ c1 d1 ⎟
⎠
⎜c
⎝ 1 d1 ⎟
⎠
⎜c
⎝ 1 d1 ⎟
⎠
⎛a b ⎞ ⎛a b⎞
1.⎜
10) ⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝c d ⎟ ⎜c
⎠ ⎝ d⎟
⎠
Exercice :
′ ⎧⎛ 1 b ⎞
On considère l’ensemble ⎜ c d ⎟ : b, c, d ∈ ℜ } et on définit la loi interne
M 2 = ⎨⎜ ⎟
⎩⎝ ⎠
⎛1 b⎞ ⎛1 f⎞ ⎛ 2 bf ⎞
+ :⎜
par ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝c d⎟ ⎜g
⎠ ⎝ h ⎟ ⎜ cg
⎠ ⎝ hd ⎟
⎠
5
6. ⎛ ′
Vérifiez que ⎜ M , + ,. ⎞ est un espace vectoriel
⎟
⎝ 2
⎠
B) Sous espaces vectoriels
Définition
Soit V un espace vectoriel. W Un ensemble inclus dans E ( W ⊂ V ).
W est un sous espace vectoriel de V si seulement si :
∀u, v ∈ W , u + v ∈W
∀a ∈ ℜ, v ∈ W , a .v ∈ W
Remarque
Les propriétés 3‐10 sont satisfaites du fait que W ⊆ V
Exemple : u + v = v + u car u , v ∈ W ⊂ V .
Exemple
1) V = ℜ , W = {x;1}: x ∈ ℜ ).
2
W est un sous espace vectoriel.
2) V = ℜ , W = {( x,1) : x ∈ ℜ}
2
(x,1) + ( y ,1) = (x + y ,2 ) ∉ W W n’est pas un sous espace vectoriel.
⎧⎛ a 0⎞
M = ⎨⎜
⎜ ⎟ : a , b, c ∈ ℜ}
3)
⎩⎝ b c⎟
⎠
Vérifiez que (M ,+ ,.) est un sous espace vectoriel
⎛a 0⎞ ⎛ e 0⎞ ⎛ a + e 0 ⎞
+ :⎜
⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝b c⎟ ⎝ f
⎠
⎜ g ⎟ ⎜b + f
⎠ ⎝ c + g⎟
⎠
⎛a 0⎞ ⎛a2 0 ⎞
. : a ⎜
⎜b ⎟=⎜ ⎟
⎝ c ⎟ ⎜ ab
⎠ ⎝ ac ⎟
⎠
6
7. II Independence linéaire. Base et dimension
A) Combinaison linéaire
Définition
Soient u1 , u 2 ,......, u n ∈ V et a1 , a 2 ,......, a n ∈ ℜ .
On appelle v = a1u1 , a2u 2 ,......, an u n combinaison linéaire de u1 , u 2 ,......, u n .
Exemple 1 :
Le vecteur (1,2,4 ) Est‐il une combinaison linéaire de (1,1,1) et (0,1,3) ?
On doit trouver a1 , a 2 ∈ ℜ tel que :
(1,2,4 ) = a1 (1,1,1) + a2 (0,1,3) .
C.‐à‐d. : (a1 , a1 , a1 ) + (0, a 2 ,3a 2 ) = (1,2,4 )
⎧ a1 = 1
⇒ ⎨
⎩a1 + a 2 = 2 ⇒ a2 = 1
Exemple 2 :
Le vecteur (1,2,4 ) Est‐il une combinaison linéaire de (0,1,1) et (0,1,3) ?
Non, En effet supposons le contraire, c.à.d. que (1,2,4 ) = a1 (0,1,1) + a 2 (0,1,3) et par
suite on a 1 = a 1 . 0 + a 2 . 0 = 0 (absurde).
B) Independence linéaire
Définition
o Les vecteurs u1 , u 2 ,......, u n ∈ V sont linéairement indépendants si
seulement si :
[a1u1 + a 2u 2 + ........ + a n u n = 0 ⇒ a1 = a 2 = .......... = a n = 0]
7
8. o Les vecteurs u1 , u 2 ,......, u n ∈ V sont linéairement dépendants s’ils existent
a1 , a 2 ,......, a n ∈ ℜ non tous nul (au moins un scalaire différent de zéro),
tel que : a1u1 , a 2 u 2 ,......, a n u n = 0
Exemple :
1) (1,1) est (1,0 ) sont‐ils linéairement indépendant. ?
⎧a + a 2 = 0
a1 (1,1) + a 2 (1,0 ) = (0,0 ) ⇒ ⎨ 1 ⇒ a2 = 0
⎩ a1 = 0
Et par suite (a1 , a 2 ) = (0,0 ) .
2) a1 (4,0 ) + a 2 (0,1) + a3 (2,3) = 0 ⇒ (4 a1 + 2 a3 , a 2 + 3a3 ) = 0
⎧4 a1 + 2 a3 = 0 ⎧ 2 1
⎪a1 = − a3 = − a3
⇒⎨ ⇒⎨ 4 2
⎩ a 2 + 3a 3 = 0 ⎪ a 2 = − 3a 3
⎩
a3 = 2
a1 = −1
a 2 = −3
Ainsi, on a trouvé (a1 , a 2 , a3 ) = (− 1,−3,2 ) tel que
a1 (4,0 ) + a 2 (0,1) + a3 (2,3) = 0
Donc (4 , 0 ), (0 ,1 ), (2 , 3 ) sont linéairement dépendant.
C) Système générateur.
Définition
On dit que {u1 , u 2 ,...., u n } est un système générateur de V , si pour tout
élément v∈ V on a v = α1u1 + α 2u2 + ... + α nun , avec α 1 , α 2 ,......α n ∈ ℜ .
8
9. Exemple :
1) (x, y ) = x(1,0) + y (0,1) Donc {(1 , 0 ); (0 ,1 )} est un système
générateur.
2) {(1,0 ), (0,1), (1,1) } est un système générateur de ℜ² car
(x, y ) = x(1,0) + y(0,1) + z (1,1)
3) {(1,0) } n’est pas un système générateur.
D) Base.
Définition :
Une base est un système générateur linéairement indépendant.
Théorème :
Tout espace vectoriel admet une base.
E) Dimension
Définition :
La dimension de l’espace vectoriel V est le nombre de vecteurs que contient
une base.
Exemple :
⎧⎛ a b⎞ ⎫
On considère l’espace vectoriel M 2 = ⎨⎜
⎜ ⎟,a , b, c, d ∈ ℜ ⎬ .
⎩⎝ c d⎟
⎠ ⎭
⎛a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞
o ⎜⎜ ⎟ = a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟ + c⎜ ⎟ + d⎜
⎜0 1⎟
⎝ e d⎟⎠
⎜0 0⎟ ⎜0 0⎟ ⎜1 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎟
⎠
⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎫
= ⎨⎜
⎜ 0 0 ⎟, ⎜ 0 0 ⎟, ⎜ 1 0 ⎟, ⎜ 0 1 ⎟ ⎬ est un système générateur de M 2 .
⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎩⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎭
9
10. ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞
⎜
x⎜ ⎟ + y⎜
⎜ 0 0 ⎟ + z⎜ 1 0 ⎟ + t ⎜ 0 1 ⎟ = ⎜ 0 0 ⎟
0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
o
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧x = 0
⎪y = 0
⎪
⇒⎨
⎪z = 0
⎪t = 0
⎩
⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞
Donc ⎜
⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 1 0 ⎟; ⎜ 0 1 ⎟ sont linéairement indépendants.
⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎫
⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 1 0 ⎟; ⎜ 0 1 ⎟ ⎬ alors est une base de M 2 , et on
Finalement, ⎨⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎩⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎭
a dim( M 2 )=4.
Définition
Soit B = {u1 , u 2 ,....u 3 } une base de V. donc ∀v ∈ V tel on a
v = x1u1 + x2 u 2 + ..... + xn u n .
x1 , x2 ,.... xn s’appellent les coordonnés du vecteur v dans la base B.
Exemple :
On considère le système {(1,1), (1,−1)}. On a ( x, y ) = a (1,1) + b (1,−1) , et par suite
⎧ ⎧ ⎧ x+ y
⎪a + b = x ⎪2 a = x + y ⎪ a=
⎪ 2
⎨ ⇒⎨ ⇒⎨
x− y
⎪a − b = y ⎪ 2b = x − y ⎪b =
⎪
⎩ ⎩ ⎩ 2
x+ y
Ainsi, ( x , y ) = (1,1 ) + x − y (1, − 1 ) .
2 2
Conclusion :
{ 1 , 1 ), ( , −
( 1 1 )} est un système générateur.
10
11. ⎧a + b = 0
On suppose que a (1,1) + b (1, − 1) = (0 ,0 ) ⇒ ⎨ ⇒ a = b = 0 .
⎩ a−b = 0
Par suite ( , 1 ), ( , − 1 ) sont linéairement indépendants.
1 1
Finalement, { 1 , 1 ), ( , − 1
( 1 )}est une base de ℜ 2 .
Exemple :
⎧⎛ a b⎞
M 4 = ⎨⎜
⎜ ⎟ : a , b, c, d ∈ ℜ}
Considérons
⎩⎝ c d⎟
⎠
⎛a b⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞
⎜
⎜ ⎟ = a⎜
⎟ ⎜ ⎟ + b⎜ ⎟ + c⎜ ⎟ + d⎜
⎜ 0 1 ⎟ .
⎝c d⎠ ⎝ 0 0⎟ ⎝0 0⎟ ⎜1 0⎟
⎠
⎜
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎟
⎠
⎛ a b ⎞
Les coordonnés de ⎜
⎜ ⎟ dans la base
⎟
⎝ c d ⎠
⎧ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞⎫
⎨ ⎜
⎜ 0 ⎟,
⎟ ⎜
⎜ ⎟,
⎟ ⎜
⎜ 1 ⎟,
⎟ ⎜
⎜ 0 ⎟⎬
⎟
⎩ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎭
sont (a , b , c , d ) .
Remarque :
Tout espace vectoriel de dimension n est « équivalent » à ℜ .
n
Exemple 1 :
Dim ℜ = 2.
2
Soit V un espace vectoriel de dimension n, donc il admet une base
B = {u1 , u 2 ,.....u n } . Donc
∀v ∈ V , v = x1u1 + x 2 u 2 + .... + x n u n .
On considère ℜ et y un vecteur x ∈ ℜ .
n n
x = x1 (1,0,...., 0 ) + x2 (0,1,.... 0 ) + ..... + xn (0,0,.....,1)
= ( x1 , x2 ,....., xn ) .
11
12. Donc on peut identifier V avec ℜ .
n
Exemple 2 :
⎛ a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞
o V = M 2 , ⎜ c d ⎟ = a⎜0 0⎟ + b⎜0 0⎟ + c⎜1 0⎟ + d⎜0 1⎟
v =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
o x ∈ ℜ 4
x = (a, b, c, d ) = a(1,0,0,0) + b(0,1,0,0) + c(0,0,1,0) + d (0,0,0,1)
⎛ 2a 2b ⎞
2v = ⎜
⎜ 2c ⎟
⎝ 2d ⎟
⎠
⎛ 2a 2b ⎞
2 x = 2(a, b, c, d)= (2a, 2b, 2c, 2d) ⇔ 2v = ⎜
⎜ 2c ⎟
⎝ 2d ⎟
⎠
Définition :
Soient w1 , w2 deux sous espaces vectoriels de V. la somme directe :
w1 ⊕ w2 = {v ∈ V : v = V1 + V2 / v1 ∈ w1 ; v2 ∈ w2 }
Exemple :
V = ℜ3
{ } { }
w1 = ( x,0,0 ) ∈ ℜ 3 ; w2 = (0,0, z ) ∈ ℜ 3 ;
w ⊕ w2 Plan XZ = {(x,0, z ) ∈ ℜ ; x, z ∈ ℜ}.
1
3
Remarque :
w1 ⊕ w2 ≠ w1 ∪ w2
Définition :
12
13. On considère un ensemble des vecteurs { 1 , u 2 ,.... u
u n }⊂ V . On appelle le
rang de { 1 , u 2 ,.... u n } au nombre maximal de vecteurs indépendants
u
dans {u 1 , u 2 ,.... u n }.
Exemple :
{(1, 0 ), (0 ,1), (1,1)} ⊂ V = ℜ2
o (1,0), (0,1) sont deux vecteurs indépendants
o (1,0), (0,1), (1,1) sont dépendants.
Rang {(1, 0 ), (0 ,1 ), (1,1 )} = 2
Exemple :
⎧ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 2 ⎞ ⎫
S = ⎨ ⎜
⎜ ⎟ , ⎜
⎟ ⎜ 0 ⎟ , ⎜
⎟ ⎜ 1 ⎟ , ⎜
⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎬
⎟
⎩ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭
On peut vérifier que rang(S)=3.
Remarque :
Rang {u 1 ,......... u n } ≤ Dim V.
Définition :
Soit A ∈ M n,m . On appelle le rang de A égale au nombre maximal de ligne ou
colonne linéairement indépendant. (Les lignes sont vues comme n‐vecteurs de ℜ )
n
et (Les colonnes sont vues comme m‐vecteurs de ℜ
m
).
Exemple :
⎛ 1 0 ⎞
⎜ ⎟
A = ⎜ 0 1 ⎟
⎜ 1 1 ⎟
⎝ ⎠
3 vecteur de ℜ ; 2 vecteur de ℜ
3 2
Rang A ≤ min {n , m } = 2
13
14. Rang (A)=2
2‐
⎛1 0⎞
⎜ ⎟
A = ⎜0 0 ⎟ Rang (A)=1.
⎜0 0⎟
⎝ ⎠
3‐ METHODE DE GAUSS :
⎛ − u1 − ⎞ ⎛ − u1 − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A1 = ⎜ − u 2 − ⎟ ≈≈ A2 = ⎜ − u 2 + α 2 × u1 − ⎟ ,
⎜ − − ⎟ ⎜ − + α × u1 − ⎟
⎝ u n ⎠ ⎝ u n n ⎠
Rg (A 1 ) = Rg (A 2 )
C) Résolution des systèmes linéaires.
Un système de n‐équations et m‐variables inconnues, est un ensemble des équations
de la forme
⎧ a11 x1 + a12 x2 + .......... + anm xm = b1
⎪ a x + a x + .......... + a x = b
⎪ 21 1 22 2 nm m 2
⎨
⎪ .................................................
⎪an1 x1 + an 2 x2 + .......... + anm xm = bn
⎩
aij ∈ ℜ sont les coefficients du système linéaire, xi sont les inconnues et les bi sont
les termes indépendants.
Résoudre le système, c’est trouver les valeurs de x1 , x2 ,..... xm vérifiant les
équations antérieurs.
Les systèmes sont classifiés de la manière suivante :
‐ Système incompatible : s’il n’admet pas de solution.
‐ Systèmes compatible : s’il admet au moins une solution.
14
15. Compatible déterminé : s’il admet un nombre fini de solution.
Compatible indéterminé : s’il admet un nombre infini de solution.
Exprimons le système sous sa forme matricielle:
Le système antérieur peut être écrit sous la forme matricielle suivante :
⎛ a11 a12 ...... a1m ⎞ x1 ⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ a21 a22 ....... a2 m ⎟ x2 ⎜ b2 ⎟
⎜ M = = A. X = B
M M M ⎟ M ⎜M⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜a ....... anm ⎟ xm ⎜ bn ⎟
⎝ n1 an 2 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 a12 ...... a1 m b1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜a ⎟
A est dite matrice du système (AB) = ⎜aij M ⎟ = ⎜ 21
⎜ M
a 22 ....... a 2 m b2 ⎟
⎜ M M ⎟
bn ⎟ ⎜
M M
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ a n1 an 2 ....... a nm bn ⎟⎠
Théorème de Rouche‐Frobenius :
Le système AX=B est compatible ⇔ Rg ( A ) = Rg (A B )
De plus si le système est compatible, et soient r = Rg ( A ) = Rg (A B ) , m le
nombre de variable inconnues, alors
1‐ Si r=m ⇒ le système est compatible et déterminé.
2‐ Si r <m ⇒ le système est compatible et indéterminé, c.‐à‐d. qu’il admet un
nombre infini de solutions dépendant de (m‐r) paramètres.
Méthode de Gauss :
Si dans un système des équations linéaire,
‐ On inter change l’ordre des équations,
‐ On multiplie une équation par un scalaire non‐nul,
15
16. ‐ On ajoute à une équation une combinaison linéaire des équations restante ;
alors on obtient un système équivalent au système initial (les deux systèmes
ont les mêmes solutions). Sur ces propriétés se base la méthode de Gauss.
Exemple 1:
⎧ x + y + z = 3 ⎛ 1 1 1 3 ⎞ ⎛1 1 1 3 ⎞
⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎨ 2x − y − z = 0 → ⎜ 2 − 1− 1 0 ⎟ ≈ ⎜0 − 3 − 3 − 6 ⎟
⎪ ⎜ − 1 2 1 2 ⎟ ⎜0 3 5 ⎟
⎩− x + 2 y + z = 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛1 1 1 3 ⎞ ⎧ x+ y + z = 3 ⎧x =1
⎜ ⎟ ⎪ ⎪
≈ ⎜0 −3 − 3− 6 ⎟ → ⎨− 3 y − 3 z = −6 → ⎨ y = 1
⎜ −1−1⎟ ⎪ − z = −1 ⎪z =1
⎝ 0 ⎠ ⎩ ⎩
Exemple 2 :
⎧ x + y + z = 1 ⎛ 1 − 1 11 ⎞ ⎛ 1 − 1 1 1 ⎞
⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ x − z = 0 ⎜ 0 1 − 2 − 1⎟ ⎜ 0 1 − 2 − 1 ⎟
⎨ → ⎜ → ⎜
⎪2 x + 2 y − z = 3 0 4 − 3 1 ⎟ 0 0 1 1 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ ⎜ a − 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 a + 3 4 ⎟
⎩ x + y + az = 3 ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 1 − 1 ⎞ 1
⎜ ⎟
⎜ 0 1 − 2 − 1 ⎟
→ ⎜ ⎟
0 0 1 1
⎜ ⎟
⎜ 0 1 − a ⎟
⎝ 0 0 ⎠
i) Si a=1 ( r = Rg ( A ) = Rg (A B )= 3 ) le système admet une seule
solution.
⎧ rg ( A ) = 3
ii) Si a ≠ 1 ⎨ → le système est incompatible et il
⎩ rg ( B ) = 4
n’admet pas de solution.
16
17. Chapitre 2 Application linéaire
I‐ Type de matrice
• : matrice triangulaire supérieure.
• : matrice triangulaire inférieure.
⎛1 0⎞
• ⎜
⎜ 0 1 ⎟ : matrice identité.
⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 2⎞
• Si A = AT : A est symétrique. Exemple : A= ⎜
⎜ ⎟ .
⎟
⎝ 2 3⎠
⎛ 0 1⎞
• Si A = − AT : A est antisymétrique. Exemple : A= ⎜
⎜ −1 0⎟
⎟
⎝ ⎠
1 ⎛1 − 1⎞
• Si A * AT : I : A orthogonal. Exemple : A= ⎜
⎜ ⎟
⎟
2 ⎝1 1 ⎠
• A est une matrice nilpotente d’indice n si A ≠ 0 , A 2 ≠ 0 ,……, A n−1 ≠ 0 , A n = 0 .
⎛0 1⎞
Exemple A = ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝0 0⎠
• Rang de A :
Rang(A) : le nombre maximal de ligne ou colonnes linéairement indépendants.
• Déterminant :
Pour calculer le déterminant,
⎛a a12 ⎞
→ det⎜ 11
⎜a ⎟ = a11 a12 − a 21 a12
⎝ 21 a 22 ⎟
⎠
Règlement de Sarrus :
⎛ a11 a12 a13 ⎞
⎜ ⎟
det⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ = a11 a 22 a33 + a13 a 21 a32 + a12 a 23 a31 − a11 a 23 a32
⎜a a33 ⎟
⎝ 31 a32 ⎠
Développer selon une ligne ou une colonne.
En utilisant la règle de Gauss
17
19. II‐ Application linéaire
v f(v)
Aaaa f
Définition :
Soient V et W deux espaces vectoriels. L’application
f :V → W
est une application linéaire si :
v → w = f ( w)
⎧∀ α ∈ ℜ , f (α . v ) = α . f ( v )
⎨
⎩ ∀ v 1 , v 2 ∈ V , f (v 1 + v 2 ) = f ( v 1 ) + f ( v 2 )
Exemple :
V = ℜ 2 , W = ℜ 3
f : ℜ 2 → ℜ 3
(x, y ) → ( y, x, x + y ) = f ( x, y)
f est une application linéaire.
En effet,
f (α ( x, y )) = f (αx, αy ) = (αy, αx, αx + αy ) = α ( y, x, x + y ) = αf ( x, y )
f (( x, y ) + ( z, w)) = f (x + z, y + w) = ( y + w, u + z, x + z, y + w)
= ( y, x, x + y ) + (z, w, z + w) = f (x, y ) + f (z, w)
Exemple 2 :
V = ℜ 2 , W = ℜ 3
ℜ 2 → ℜ3
g :
(x, y ) → ( yx, x, y ) = f ( x, y )
f (ax , ay ) = (a xy , ay , ax )≠ (x , y ) = a ( xy , y , x ) = (axy )
2
af , ay , ax
g n’est pas une application linéaire .
19
20. Définition (Kerf)
Définition
Ker(f) = {v ∈ V : f (v ) = 0}
V W
Définition
Im( f ) = {w ∈ W , ∃ v ∈ V ; f (v ) = w }
Proposition
Ker(f) est un sous espace vectoriel de W.
Démonstration
Si v ∈ Ker ( f ) ⇒ av ∈ Ker ( f ). ?
v ∈ Ker ( f ) ⇒ f (v ) = 0 ⇒ a. f (v ) = 0 ⇒ f (a.v ) = 0
Si v1 et v 2 ∈ Ker ( f ) ⇒ v1 + v2 ∈ Ker ( f ). ?
v1 , v2 ∈ Kerf ⇒ f (v1 ) = f (v2 ) = 0 ⇒ f (v1 ) + f (v2 ) = f (v1 + v2 ) = 0
⇒ v1 + v2 ∈ Ker ( f )
Exemple
ℜ3 → ℜ2
f :
(x, y , z ) → (x + y , y + z , z − x )
ker ( f ) = {( x , y , z )∈ ℜ 3
: (x + y , y + z , z − x ) = (0 , 0 , 0 )}
20
21. ⎧ x + y = 0 ⎧ x
⎪ ⎪
⎨ y + z = 0 → ⎨ y = − x
⎪ z − x = 0 ⎪ z = x
⎩ ⎩
Ker ( f ) = {( x,− x, x ) = x(1,−1,1); x ∈ ℜ} . Dim ( Kerf ) = 1
Exemple
ℜ3 → ℜ2
f :
( x , y , z ) → ( x + y ,0 )
Im ( f ) = {(u , v ) ∈ ℜ 2
: (u , v ) = ( x + y ,0 ) / (x , y , z )∈ ℜ }
= {(u,0) : u ∈ ℜ}
Proposition
f : V → W est une application linéaire
⇒ f (0) = 0
Démonstration
f (v ) = f (v + 0) = f (v ) + f (0) ⇒ f (0) = 0
Proposition
Si f (v1 ) et f (v2 ) sont linéairement indépendants
⇒ v1 et v2 sont linéairement indépendants.
W
V F f (v1 )
v1
f (v 2 )
v 2
Démonstration
Si V1 et V2 sont linéairement dépendantes ⇒ V1 = αV2
0 = f (V1 − αV2 ) = f (V1 ) − αf (V2 ) ⇒ f (V1 ) = αf (V2 )
21
22. Remarque 1
v1 ,v2 linéairement indépendants f (v1 ) Et f (v2 ) sont linéairement
indépendants
Exemple :
ℜ3 → ℜ2
f :
(x, y, z ) → (0, x + zy )
⎛1⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ et ⎜ 1 ⎟ sont linéairement indépendants. Cependant,
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
f (1 , 0 , 0 ) = (0 ,1 )
sont linéairement dépendants.
f (0 ,1 , 0 ) = (0 , 2 )
Remarque 2
f (v1 ) Et f (v2 ) sont linéairement dépendants v1 Et v2 sont linéairement
dépendantes
Définition : Application injective
V F W
Définition (Application Injective)
f : V → W est une application injective si seulement si f (u ) = f (v ) ⇒ u = v
Définition (Application Surjective)
f : V → W Est une application surjective ⇔ ∀w ∈ W , ∃v ∈ V : f (v ) = w
22
23. Définition (Application Bijective)
f :V → W Est bijective ⇔ f est injective et surjective
Exemple 1 :
ℜ3 → ℜ 2
(x, y, z ) → (0, x + zy ) f n’est pas injective
f (1,0,1) = (0,1)
f (1,0,0 ) = (0,1)
Exemple 2 :
ℜ 2 → ℜ3
f:
(x, y ) → (− x,− y ) f est une application bijective.
Théorème :
F est une application injective ⇔ Ker( f ) = {0}
Lemme 1 :
V W
Si DimV = n et u1 , u2 ,........., un sont linéairement indépendants. ⇒ {u1 , u 2 ,....u n } est une
base de V.
Lemme 2 :
Si f : V → U est surjective et {u1 , u 2 ,....u n } est une base de V ⇒ { f (u1 ), f (u 2 ),.... f (u n )} est
une base de V.
23
24. Définition Si f : V → U est une application linéaire bijective, donc elle est dite
isomorphisme.
Isomorphisme et coordonnées :
Soit f : V → W est une application linéaire
V W
v1
f (v1 )
M M
vn f (v n )
* Soit Bv ≡ {v1 , v2 ,.......vn } une base de V.
v ∈ V ⇒ v = x1v1 + x 2 v 2 + ....... x n v n
f (v )= f (x 1 v 1 + x 2 v 2 + ....... x n v n )= x 1 f (v 1 ) + ......... + x n f (v n )
* Soit Bw ≡ {w1 , w2 ,.......wn } une base de W, donc on exprime f (vi ) dans Bw :
f (v1 ) = a11w1 + a21w2 + ............ + am1wm
M
f (vn ) = a1n w1 + a22 w2 + ............. + amn wm
.
f (v ) = f (x 1 v 1 + x 2 v 2 + ....... x n v n )= x 1 f (v 1 ) + ......... + x n f (v n )
= x 1 (a 11 w 1 + a 21 w 2 ... + a m1w m )+ ..... + x n (a n 1 w 1 + ... + a nm w m )
= (a11 x1 + a 21 x 2 ... + a m1 x m )w1 + ........ + (a m1 x1 + a m 2 x 2 + ....... + a mn x n )w m
= y1w 1 + y 2 w 2 + .......... + y m w m .
On rappelle que :
x 1 ,......... .. x n sont les coordonnés de V en B v
et y 1 ,......... .. y n sont les
coordonnés de f (v ) en Bw .
24
25. Expression matricielle
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
y1 ⎤
⎥
y2 ⎥
M ⎥
⎥
ym ⎦
⎡ a 11
⎢a
= ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a m1
a 12
a 22
a
M
m 2
K
K
K
M
a 1n ⎤ ⎡ x1 ⎤
a 2n ⎥ ⎢ x2 ⎥
⎥* ⎢
M ⎥ ⎢ x3 ⎥
⎥ ⎢
⎥
⎥
a mn ⎦ ⎣ x 4 ⎦
Coord. de Coord. de v en B v
f(v) En Bw
Y = AX ⇒ A : matrice associée à f sur les bases Bw et B v
Fixer Bw Et B v
Définir f ⇔
et donner A.
Exemple :
ℜ3 → ℜ2
f :
(x , y , z ) → f (x , y , z ) = (x + y , y + z )
⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫
⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
B v : Base canonique de ℜ 3
: B v = ⎨ ⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬
⎪ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪
⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭
⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫
B w : Base canonique de ℜ 2
: B w = ⎨ ⎜
⎜ ⎟ , ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎬
⎟
⎩ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭ .
f ( ,0 ,0 )=
1 ( ,0 )
1 ⎡1 1 0 ⎤
f (0 , 1 , 0 ) = ( , 1 ) A = ⎢ 0
1
1 ⎥
f (0 , 0 , 1 ) = (0 , 1 ) ⎣ 1 ⎦
25
27. Chapitre 3 Espace Vectoriel et Produit Scalaire
3.1. Produit scalaire, Norme, Orthogonalité
Nous considérons un espace vectoriel (V ,+,•) , et on rappelle le produit scalaire *
définit par :
Définition :
V ×V → ℜ
∗
(v, w) → v ∗ w
Tel que :
i) u ∗ w = w∗u
ii) v ∗ (u + w) = (v ∗ u ) + (v ∗ w)
iii) v∗v = 0 ⇔ v = 0
iv) v ∗ (λ • w) = λ • (v ∗ w)
Exemple :
1) ℜ 3 × ℜ 3 → ℜ
Soient v = (x, y, z ) ∈ ℜ 3 ; w = (a, b, c ) ∈ ℜ 3 et
⎛a⎞
⎜ ⎟
(v, w) → v ∗ w = ( x, y, z ).⎜ b ⎟ = ax + by + cz ∈ ℜ
⎜c⎟
⎝ ⎠
2) ℜ 2 × ℜ 2 → ℜ
⎛a⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ a ⎞
(( x, y ), (a, b )) = (u , v ) → u ∗ v = ( x, y )⎜ ⎟ = u .v t = (x, y ).⎜
⎜b⎟ ⎜ 0 1 ⎟.⎜ b ⎟ = ax + by
⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
3) ℜ2 × ℜ2 → ℜ
⎛ 2 2⎞ ⎛ a ⎞
(( x, y ), (a, b )) → u ∗ v = ( x, y )⎜
⎜ 2 4 ⎟.⎜ b ⎟ = 2ax + 2by + 2ay + 4by
⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
Vérifier que c’est un produit scalaire !!
En effet,
27
28. ⎛ 2 2⎞ ⎛ x ⎞
u ∗ u = ( x, y )⎜
⎜ 2 4 ⎟.⎜ y ⎟ = 2 x + 4 xy + 4 y
⎟⎜ ⎟
2 2
⎝ ⎠⎝ ⎠
iii)
⎧x = 0
= (x + 2 y ) + x = 0 ⇒ ⎨
2 2
⎩ x + 2 y = 0 ⇒ x = y = 0 ⇒ u = (0,0)
Remarque :
• La norme v = (x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 = v ⋅ v t est appellé norme euclidienne de
v.
Définition
Dans un espace vectoriel (V ,+,•) , on introduit
V → ℜ+
.:
v → v = v.v T
Cette opération est appelée la norme de v.
Proposition
i) v = 0 ⇔ v = 0 → v : longueur
ii) λv =| λ | × v
iii) v + w ≤ v + w
u
u ∗ vT
α v cos(α ) =
u.v
Remarque :
u et v sont deux vecteurs orthogonaux si seulement si :
cos(α ) = 0 ⇔ α = π ⇒ u ∗ vT = 0
2
Exemple :
1) (produit scalaire euclidien)
u = (1, 0 ); v = (0,2)
28
29. ⎛0⎞
u ∗ v = u T .v = (1,0 ).⎜ ⎟ = 0
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
2) (autre produit scalaire)
u = (1,−1); v = (1,0)
⎛ 2 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞
u ∗ v = (1,−1).⎜
⎜ 2 4 ⎟⎜ 0 ⎟ = (1,−1)⎜ 2 ⎟ = 0
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
u et v sont deux vecteurs orthogonaux par rapport à ce produit scalaire, mais
pas par rapport au produit scalaire euclidien.
3) ℜ n u ∗ v = u T .v; u = u T u
Définition :
Une base orthogonale {u1 , u 2 ,.....u n } de ℜ n est une base où ui ∗ u j = 0 ∀i ≠ j .
Exemple
{(2,0); (0,3)}Est une base orthogonale dans ℜ 2
Définition
Une base ortho normale {u1 , u 2 ,.....u n }de ℜ n , est une base orthogonale, de plus
u i = 1 ∀i = 1,..., n.
Exemple :
La base canonique de ℜ n .
4.2 Projection Orthogonale.
1) Projection d’un vecteur sur une droite
u
Pv (u ) v
29
30. Pv (u ) u.v T
= cos(α ) =
u u × v
u.v T
Pv (u ) =
v
u.v T v
Pv (u ) = •
v v
u.v T
Pv (u ) = 2
•v
v
Exemple :
(2,2).⎛
3⎞
⎜
⎜ ⎟
⎟
u = (2,2 ) ⎝0⎠ ⎛ 3⎞
Pv (u ) = •⎜ ⎟
⎜ ⎟
v = (3,0 ) ⎡
2
⎛ 3 ⎞⎤ ⎝ 0 ⎠
⎢(3,0)⎜ ⎟⎥
⎜0⎟
⎣ ⎝ ⎠⎦
6 ⎛6⎞ ⎛ 4 ⎞
= ⎜ ⎟ = ⎜ 9⎟
92 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B)Projection d’un vecteur sur un plan
Soient {v 1 , v 2 } une base orthogonale du plan π
t
P1 (u ) =
u v1
2
• v1
u v2 v1
: Projection sur v1
v1 Pπ t
P2 (u ) =
u v2
2
• v2
v2
: Projection sur v2
t t
Pπ (u ) = P1 (u ) + P2 (u ) =
u v1 u v2
2
v1 + v2
v1 v2
Exemple :
30
31. Z
u=(1,1,2)
v1= (1,0, 0) v2= (0, 1,0)
V1 v2 Y
X
⎛ ⎛1⎞⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎛ 0 ⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟
Pπ (u ) = ⎜ (1,2,2)⎜ 0 ⎟ ⎟.⎜ 0 ⎟ + ⎜ (1,1,2).⎜ 1 ⎟ ⎟⎜ 1 ⎟
⎜ ⎜1⎟⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎠
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= 1⎜ 0 ⎟ + 1⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟
⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3.2 Projection d’un vecteur sur un HIPER PLAN de ℜ
n
On prend une base othonormal {v1 , v 2 ,....v m } de l’hiperlan H (m ≤ n ) de ℜ et u ∈ ℜ n .
n
Donc la projection de u sur H est :
( ) ( ) (
PH (u ) = u .v1 • v1 + u v2 • v2 + .......... + u v m • v m
T T T
)
On prend u = (x1 , x 2 .....x n ) et v = ( y1 , y 2 ..... y n ) avec v = 1
⎡ ⎛ y1 ⎞ ⎤ ⎛ y1 ⎞
⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟
)⎜
y2 ⎟⎥ ⎜ y2 ⎟
P v ( u ) = ( u .v T
) • v = ⎢ (x 1 + L + x n ⎜ • =
⎢ M ⎟⎥ ⎜ M ⎟
⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟
⎜ yn ⎟⎥ ⎜ yn ⎟
⎢
⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠
31
32. ⎛ ( x1 y1 + x2 y 2 + L + xn y n ) y1 ⎞ ⎛ y12 + y1 y 2 + L + y1 y n ⎞⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ( x1 y1 + x2 y 2 + L + xn y n ) y 2 ⎟ ⎜ y 2 y1 + y 2 + L + y 2 y n ⎟⎜ x2 ⎟
2
=⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ M ⎟ = (v.v )u
T
M M
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ( x y + x y + L + x y ) y ⎟ ⎜ y y + y y + L + y 2 ⎟⎜ x ⎟
⎝ 1 1 2 2 n n n⎠ ⎝ 41 4n 24444 ⎠⎝ n ⎠
1n 4 4 2 n
3{
P u
Définition :
Pv = v .v t est une matrice de projection sur v (v est un vecteur uniatire).
Propriétés :
Pv .Pv = (v.v T ) T .(v.v T ) = v.v T .v.v T = v.v T = Pv .
T
{
=1
Pv . = (v.v T ) T v.v T = Pv .
T
Définition :
⎧PT = P
Toute matrice P qui vérifie ⎨ 2
⎩P = P
s’appelle matrice de projection.
En générale, si on a une base {v1 , v 2 , L , v m } d’un sous espace vectoriel de R
n
(V = v1 , v 2 , L , v m ) avec v1 = v 2 = L = v m et vi .v j = 0, ∀i ≠ j c.a.d. que {v1 , v 2 , L , v m } est
t
une base orthonormale de V , alors la matrice
v1 .v1 + v 2 .v 2 + L + v m .v m
T T T
est une matrice de projection, et projete sur l’espace vectoriel (V = v1 , v 2 ,L , v m ) .
Exemple :
1 1
1.‐ v = ( , ); v = 1.
2 2
La matrice de projection sur v ou sur la droite {(x, x ) / x ∈ R} est
32
33. ⎛1 1⎞
⎛1 / 2 ⎞ 1 1 ⎜ ⎟
P = v .v = ⎜
T
⎜ ⎟.( , )=⎜2 2⎟
⎟ ⎜1 1⎟
⎝1 / 2 ⎠ 2 2 ⎜ ⎟
⎝2 2⎠
⎛1 1⎞
⎜ ⎟⎛ 1 ⎞ ⎛1 / 2 ⎞
Pv (u ) = ⎜ 2 2 ⎟⎜ ⎟ = ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟.
⎟
⎜ 1 1 ⎟⎝ 0 ⎠ ⎝1 / 2 ⎠
⎜ ⎟
⎝2 2⎠
2.‐ On considère l’espace vectoriel R 3 et soit {v1 , v 2 } = {(1.0.0 ), (0.1.0 )} une base
orthonormale du plan (Π = v1 , v 2 ) .
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
PΠ = v1 .v1 + v 2 .v 2 = ⎜ 0 ⎟(1 0 0 ) + ⎜ 1 ⎟(0 1 0) = ⎜ 0 0 0 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟
T T
⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎝0 0 0⎠
⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
PΠ (u ) = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟.
⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Définition :
La meilleure approximation d’un vecteur u ∈ R n a un sous espace vectoriel S ⊂ R n , est
la projection de u sur S : PS (u ) ; c.a.d. si {v1 , v 2 ,L , v m } est une base orthonormale de
S , alors
PS = v1T .v1 + v 2 T .v 2 + L + v m T .v m
3.3 Bases orthonormales : Méthode de Gram‐Schmidt
Théorème :
De toute base B = {u 1 , u 2 , L , u n } de R n
, on peut obtenir une autre base
B '= {v 1 , v 2 , L , v n }orthonormale.
Démonstration :
B → → → B '
{u 1 , u 2 ,L , u n } → {w 1 , w 2 ,L , w n } → {v 1 , v 2 , L ,v n }
33
34.
w
1. u 1 → = u → v1 = 1
w 1 1 .
w 1
w
2. v 1 , u 2 → w 2 = u 2 − P v1 ( u 2 ) → v 2 = 2
.
w 2
u − ( v 1T . v 1 ) u
v 2 = 2 2
.
w 2
w
3. v 1 , v 2 , u 3 → w 3 = u 3 − PΠ (u 3 ) → v 3 = 3
.
w 3
− ( v 1T . v 1 ) u 3 − ( v
T
u v )u
v 3 = 3 2 2 3
w 3
M
v1 , v 2 ,L , v m −1 ,u m →
w = u − ( v 1T v 1 ) u − (v T
v )u L − (v T
m −1 v m −1 )u
m). m m m 2 2 m m
w
v m = m
.
w m
Exemple :
u1 = (1,1); ; u 2 = (1,2)
B → → → B '
{u 1 , u 2 } → {w 1 , w 2 } → {v 1 , v 2 }
1 1
w1 = (1,1); ; v 2 = (1,1) = (1,1).
1 +12 2
2
34
35. ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛1 1⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ − 1 / 2 ⎞
⎜ ⎟
w2 = u 2 − v1 v1u 2 = ⎜ ⎟ −
T
⎜ ⎟(1 1)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟− ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟.
⎟
⎝ 2⎠ 2 ⎝ 1⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝1 1⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 / 2 ⎠
w2 1 ⎛ − 1/ 2⎞ 1 ⎛ − 1⎞
v2 = = ⎜
⎜ ⎟=
⎟ ⎜ ⎟.
⎜ ⎟
w2 1/ 2 ⎝ 1/ 2 ⎠ 2 ⎝ − 1⎠
3.4 Diagonalisation orthogonale. Matrices symétriques
A= P
{ .D.P −1 , A ∈ R n×n
les colones : vecteurs propre de A
Si ces vecteurs forment une base orthonormale de R , alors P.P = P P = I .
n T T
Toujours, on peut prendre les vecteurs propres v et tels que
v = 1 ⇒ P −1 = P T ⇒ A = PDP −1
Théorème :
Si A = AT et λ1 ≠ λ 2 sont les valeurs propre de A ⇒ v1 .v 2 T où v1 , v 2 sont les vecteurs
propre associées a λ1 et λ 2 .
35
