ky projekt i matematikes eshte punuar nga nje nxenese e shkolles se mesme te pergjithshme manez

1. LENDA:MATEMATIKE
TEMA:STUDIMI I
VARIACIONIT TE
FUNKSIONEVE
TRIGONOMETRIKE
Y=SIN(X)
Y=COS(X)
Y=TG(X)
Y=COTG(X)
PUNOI :
A
kl XII

2. Ne fillim shqyrtojme variacionin e funksionit y=sinx
1. Bashkesia e percaktimit per kete funksion eshte x€R(Sipas
perkufizimeve,cdo vlere reale te x -it I lidhim nje vlere te vetme te sinx dhe
nje vlere te vetme te cosx .Prandaj funksionet y=sinx dhe y=cosx kane
bashkesi percaktimi R)
2. Shqyrtojme ciftesine e funksionit dhe shohim nese funksioni eshte periodik
f(-x)≠f(x) sinx=>jo funksion cift
f(-x)=-f(x)=>si
funksioni eshte periodik (x+T)=f(x) vetem kur T=2π
3. Njehsojme derivatin dhe studiojme shenjen e tij
y’=(sinx)’=cosx =>cosx=o d.m.th ne dhe ne
0 π 2π
x
f(x)’
f(x)
max min
Funksioni sinx eshte rrites ne ]0, ]u[ ,2π*
Funksioni eshte zbrites ne [
f (max)=f( ) =sin =1 A( ,1)
f(min)=f( )=sin =-1 B( ,-1)

3. 4. Gjejme derivatin e dyte dhe studiojme shenjen e tij
y’’=(cosx )’’ =-sinx =>-sinx=o d.m.th ne 0 , π dhe 2π
x 0 π 2π
f(x)’’
f(x)
p.inf p,inf p.inf
Grafiku I funksionit f(x) eshte I myset ne [0, [u] ,π]
Dhe I luget ne [π. pikat x=0 ;x=π;x=2π jane pika infleksioni.Gjejme
ordinatat e tyre jane per f(0)=sin0=o ; per f(π)=sinπ=0 ;per f(2π)=sin 2π=0
c=(0,0);d(π,0);e(2π,0)
5. Gjejme limitet e funksionit kur
; ; =-1
6. Grafiku I ketij funksioni nuk ka asimptote vertikale meqenese ehte I
percaktuar ne R,dhe as asimptote horizontale pasi limx->+∞=+∞,
dhe
7. Gjejme pikat ku grafiku prêt boshtin
=> =>G(0;0)
=>sinx =o per x=0 , x=π, x=2π
Grafiku e pret boshtin ne pikat(0,0)dhe ne pikat (0,0);(π,0)(2π,0)

4. 8. Bejme tabelen permbledhese
0 π 2π
x
f(x)’’
f(x)’
f(x)
+
9. Ndertojme grafikun e funksioneve A ( ,1); B ( ,1);C(0,0) D(π,0)

5. Studiojme variacionin e funksionit y=cosx
1. B .percaktimit xeR
2. f(-x) pra eshte funksiom cift
f(-x)=f(x)=>cos(-x)=cosx=>funksioni eshte cift
f(x+T)=f(x)=>funksioni eshte periodic vlen kur perioda T=2π
3. f(x)’=cosx’=-sinx
-sinx=0 per x=0,x=π x=2π
x 0 π 2π
f(x)’
f(x)
Funksioni f(x)eshte rrites ne [π; [u] ;2π+
Zbrites ne [0; [u] π]
f(0)=cos0=1
f(π)=cosπ=-1
f(2π)=cos2π=1
A(0,1);B(π,-1);C(2π,1)

6. 4. Njehsojme derivatin e dyte
f(x)’’=-sinx’=-cosx
-cosx=0 per x=
x 0 π 2π
f(x)’’
- + + -
f(x)
p.infl p.infl
funksioni fx eshte I myset ne ]0, ]u[ ,2π[
funksioni fx eshte I luget ne [ ,π[u]π, ]
f( )=cos =o
f( )=cos =0 D( o)E ( ,o)
5.
6. Meqe ky funksion eshte I percaktuar ne R nuk ka A.V
Dhe meqenese
7. Gjejme pikat ku prêt boshtet kordinative
=>per x= dhe x= =>( ,0) ( ,0)
=>cos0=1=>(0,1)

7. 8. Bejme tabelen permbledhese
x 0 π 2π
f(x)’
- - + +
f(x)’’
- + + -
f(x)
9. Ndertojme grafikun
Studiojme variacionin e tgx
1. B.p cosx x
2. f(-
x)

8. )= f(x)nuk eshte
tek
f(x+T)=f(x)=>T=π ky funksion eshte periodic
3. ( )’= .>0 prandaj ky
funksion eshte rrites
Duke qene se b.p eshte cosx≠odhe x e] [
-
+ + +
f(x)’
f(x)
4.
-
0
f(x)’’ - +
f(x)

9. Funksioni fx eshte I myset ne]- ,o[
I luget ne ]o [
Per f(0)p.infleksioni
F(0) A(0,0)
5.
6. Asimptota vertikale eshte cosx=0,x=
A.h ska pasi
7. Pikeprerjet
=>dhe kemi(0,0)
8. Ndertojme tabelen permbledhese
-
0
f(x)’ + +
f(x)’’ - +
f(x)

10. 9. Ndertojme grafikun
Studiojme variacionin e funksionit y=cotg x
1. Bashkesia e percaktimit sin(x
2. Studiojme ciftesine e funksionit dhe shohim nese funksioni eshte
periodic
3. Njehsojme derivatin e pare

11. ⁻π π
f(x)’
- ------
f(x)
4. Gjejme derivatin e dyte
Pra kemi pikat( ;0)

12. π
f(x)’’ +
-
f(x)
p.in
funksioni f(x)eshte I myset ne
=0 A(
5. Gjejme limitine funksionit
6. Gjejme A.Vertikale cotgx= ;x=0 ;x=π
A.horizontale nuk ka pasi
Bejme tabelen permbledhese

13. π
f(x)’
- -
f(x)’’
- +
7. Ndertojme grafikun
y
x