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Plus de Takashi Kitano
Plus de Takashi Kitano (15)
20160311 基礎からのベイズ統計学輪読会第6章 公開ver
- 2. この本の 輪読会資料です 基礎からのベイズ統計学 豊⽥ 秀樹 (著) 朝倉書店 (2015/6/25) ISBN-10: 4254122128
- 3. ⾃⼰紹介 > me $Name [1] "Takashi Kitano" $Twitter [1] "@kashitan" $Occupation [1] "データマエショリスト@某通信会社"
- 4. 本書の構成 1. 確率に関するベイズの定理 2. 確率変数と確率分布 3. ベイズ推定 4. メトロポリス・ヘイスティングス法 5. ハミルトニアンモンテカルロ法 6. 正規分布に関する推測 7. さまざまな分布を⽤いた推測 8. ⽐率・相関・信頼性 9. 付録
- 5. 本書の構成 1. 確率に関するベイズの定理 2. 確率変数と確率分布 3. ベイズ推定 4. メトロポリス・ヘイスティングス法 5. ハミルトニアンモンテカルロ法 6. 正規分布に関する推測 7. さまざまな分布を⽤いた推測 8. ⽐率・相関・信頼性 9. 付録 基本部 サンプリング部 実践部
- 6. 本書の構成 1. 確率に関するベイズの定理 2. 確率変数と確率分布 3. ベイズ推定 4. メトロポリス・ヘイスティングス法 5. ハミルトニアンモンテカルロ法 6. 正規分布に関する推測 7. さまざまな分布を⽤いた推測 8. ⽐率・相関・信頼性 9. 付録 基本部 サンプリング部 実践部 本発表の範囲
- 9. 6.1.1 平均に関する推測 ある企業Oは、売り上げの向上を⽬的に製品カタログの⾒直しを始めました。従来 のカタログAと新たに作成したカタログBの⽐較を⾏うため、20⼈の顧客にカタロ グBをしようしてもらい、そのときの平均購⼊⾦額を従来のものと⽐較しようと考 えました。カタログAをしようしていた期間の顧客の平均購⼊⾦額は2500円であ り、20⼈の顧客それぞれの購⼊⾦額は表6.1に⽰したようになりました。 顧客 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 購⼊ ⾦額 3060 2840 1780 3280 3550 2450 2200 3070 2100 4100 3630 3060 3280 1870 2980 3120 2150 3830 4300 1880
- 13. 6.1.1 平均に関する推測 カタログBを使⽤した20⼈の顧客それぞれの購⼊⾦額Xが • 平均 μ • 分散 σ2 の正規分布に従うと仮定
- 14. 6.1.1 平均に関する推測 カタログBを使⽤した20⼈の顧客それぞれの購⼊⾦額Xが • 平均 μ • 分散 σ2 の正規分布に従うと仮定 今回興味があるパラメータ
- 15. 6.1.1 平均に関する推測 「カタログBにおける平均購⼊⾦額が⼀定の値cより⾼い」とい う研究仮説「μ > c」を検討するため、以下の⽣成量を定義 「es > 0.8」を検討する⽣成量を以下のように定義
- 16. 6.1.1 平均に関する推測
- 24. 6.1.1 平均に関する推測 generated quantities{ real mu_over; real mu_over2; real es; real es_over; mu_over <- step(mu - 2500); mu_over2 <- step(mu - 3000); es <- (mu - 2500)/sigma; es_over <- step(es - 0.8); }
- 25. 6.1.1 平均に関する推測 generated quantities{ real mu_over; real mu_over2; real es; real es_over; mu_over <- step(mu - 2500); mu_over2 <- step(mu - 3000); es <- (mu - 2500)/sigma; es_over <- step(es - 0.8); } ⽣成量を記述するブロック
- 34. 6.1.1 平均に関する推測 > plot(fit, pars=par) ci_level: 0.8 (80% intervals) outer_level: 0.95 (95% intervals)
- 36. 6.1.2 分散に関する推測 T社は⼤⼿⾃動⾞メーカーの下請けとして、ベアリングを製造しています。⼯場で 使っている機器は製造品の内径の平均を⼀定に保てることが技術的な持ち味なので すが、残念ながら内径のばらつき具合はある時期を境に⼤きくなることがわかって います。⼯場では、同じ機器を10年間使っています。ここのところ製品の内径のば らつき具合が以前より⼤きいような気がします。そこで、検品してみてこれまでの 精度が得られていないようであれば、買い換えを検討することにしました。これま でのベアリングの内径の平均は規格に準拠した145mmであり、分散は0.10でし た。検品⽤のベアリング40個の内径が表6.3に⽰されるものであった（以下略） no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 内径 145.55145.41144.26145.05145.84145.06145.19 145.3 144.47144.84145.18 145 144.95144.88145.25145.38145.28144.66145.26144.47 no 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 内径 145.24144.29145.21144.77145.51144.33144.47144.9144.76145.46145.04144.98145.41145.45144.83144.71144.65144.21145.1 145.1
- 39. 6.1.2 分散に関する推測 ベアリングの内径Xが • 平均 145.0 • 分散 σ2 の正規分布に従うと仮定
- 40. 6.1.2 分散に関する推測 ベアリングの内径Xが • 平均 145.0 • 分散 σ2 の正規分布に従うと仮定 今回興味があるパラメータ
- 45. 6.1.2 分散に関する推測 generated quantities{ real sigmasq_over; real sigmasq_over2; sigmasq_over <- step(sigmasq - 0.10); sigmasq_over2 <- step(sigmasq - 0.15); }
- 51. 6.1.2 分散に関する推測 > plot(fit, pars=par) ci_level: 0.8 (80% intervals) outer_level: 0.95 (95% intervals)
- 53. 6.1.3 分位に関する推測 K君は⾛り幅跳びのオリンピック代表を⽬指して、⽇々練習に励んでいます。K君が 出場する次の⼤会はオリンピックの代表選考会として⾮常に重要なもので、⼤会の 上位25%の選⼿だげか最終選考に残れます。K君としては、具体的なボーダーライ ンを意識して練習に励みたいところです。前年度のこの⼤会の出場者全20名の記録 を表6.5に⽰しました。 選⼿ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 記録 775 779 799 794 770 790 775 778 808 802 776 775 799 787 825 785 775 762 782 788
- 56. 6.1.3 分位に関する推測 ⾛り幅跳びの記録Xが • 平均μ • 分散σ2 の正規分布に従うと仮定
- 58. 6.1.3 分位に関する推測 正規分布の0.75分位数を⽣成量として以下のように定義 は標準正規分布の0.75分位数 ( では以下のコマンドで算出することができる) > qnorm(0.75, mean=0.0, sd=1.0) [1] 0.6744898
- 61. 6.1.3 分位に関する推測 data { int N; real x[N]; } parameters { real mu; real sigma; } model { for(n in 1:N){ x[n]~normal(mu, sigma); } } generated quantities { real quantile_3rd; real<lower=0, upper=1> prob_over; quantile_3rd <- mu + 0.675 * sigma; prob_over <- 1 - normal_cdf(quantile_3rd, 805, 10); }
- 66. 6.1.3 分位に関する推測 > plot(fit, pars=par) ci_level: 0.8 (80% intervals) outer_level: 0.95 (95% intervals)
- 68. 6.2.1 独⽴な2群の平均値差に関する推測 ⼤学⽣のRさんは、授業で⾃分の体内時計に関する実験を⾏うことになりました。 そこで、安静時（対照群）と運動後（実験群）で⾃分の体内時計がどのように変化 をするかを調べるために、ストップウォッチを利⽤した実験を⾏います。スタート ボタンを押した後、時計を⾒ずに30秒経ったと思った時点でストップウォッチを押 して、時間を計測します。計測回数は、各群20回です。Rさんは実験群の運動とし て、うさぎ跳びをして脈が速くなっている状況を設定しました。対照群と実験群の データをまとめると表6.7のようになります。 実験 群 30.8629.7531.5532.29 29.9 31.7131.3529.0330.3731.5529.2632.29 29.9 30.1830.7232.2830.72 29.9 31.5531.55 対照 群 31.3633.3433.1631.3636.19 29.8 31.1135.2331.3631.2731.6331.63 32 31.1131.6331.3631.8131.6329.2133.37
- 74. 6.2.1 独⽴な2群の平均値差に関する推測 data { int<lower=0> N1; int<lower=0> N2; real<lower=0> x1[N1]; real<lower=0> x2[N2]; } parameters { real mu1; real mu2; real<lower=0> sigma1; real<lower=0> sigma2; } transformed parameters { real<lower=0> sigma1sq; real<lower=0> sigma2sq; sigma1sq <- pow(sigma1,2); sigma2sq <- pow(sigma2,2); }
- 75. 6.2.1 独⽴な2群の平均値差に関する推測 model { x1 ~ normal(mu1,sigma1); x2 ~ normal(mu2,sigma2); } generated quantities{ real delta; real delta_over; real delta_over1; delta <- mu2 - mu1; delta_over <- step(delta); delta_over1 <- if_else(delta>1,1,0); }
- 89. 6.2.1 独⽴な2群の平均値差に関する推測 • ベイズ統計学の場合 群Aと群Bの平均値を直接推定 群Aと群Bの平均値の差が0でない確率を 直接推定 0でない確率が⾼ければ群Aと群Bは異なる といっていい 群A 群B 平均値μ1 平均値μ2 推定 推定
- 90. 6.2.1 独⽴な2群の平均値差に関する推測 • ベイズ統計学の場合 群Aと群Bの平均値を直接推定 群Aと群Bの平均値の差が0でない確率を 直接推定 0でない確率が⾼ければ群Aと群Bは異なる といっていい 群A 群B 平均値μ1 平均値μ2 推定 推定 簡単！ 理解しやすい！
- 92. 6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 Y社の営業部には2年⽬の社員が20⼈います。毎年の傾向として、4⽉から9⽉にか けての営業成績（契約件数）はほとんど変わりはありません。そこで今年から6⽉ の終わりに営業成績を向上させるための研修を実施し、その結果を測定することに しました。20⼈の4⽉から6⽉までの営業成績と7⽉から9⽉までの成績は表6.9のよ うになりました。 4-6 ⽉ 6 11 10 13 17 10 10 7 9 1 14 7 7 11 12 12 14 12 7 13 7-9 ⽉ 7 11 14 13 16 12 8 15 12 3 17 11 9 11 14 12 11 15 11 17
- 95. 6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 対応があるデータの場合は同時分布を利⽤する ここでは、2つの変数が • 平均 μ1、μ2 • 分散 σ1 2 、σ2 2 • 相関係数 ρ の2変量正規分布に従うと仮定
- 98. 6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 ###6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 source("data622.R") scr <- "model622.stan" data <- list(N=N, x=x) par <- c("mu","Sigma","rho","delta","delta_over","delta_over2","rho_over","rho_over05") war <- 1000 ite <- 11000 see <- 12345 dig <- 3 cha <- 1 fit <- stan(file = scr, data = data, iter=ite, seed=see, warmup=war, pars=par,chains=cha)
- 99. 6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 data { int<lower=0> N; vector[2] x[N]; } parameters { vector[2] mu; vector<lower=0>[2] sigma; real<lower=-1,upper=1> rho; } transformed parameters { vector<lower=0>[2] sigmasq; matrix[2,2] Sigma; sigmasq[1] <- pow(sigma[1],2); sigmasq[2] <- pow(sigma[2],2); Sigma[1,1] <- sigmasq[1]; Sigma[2,2] <- sigmasq[2]; Sigma[1,2] <- sigma[1]*sigma[2]*rho; Sigma[2,1] <- sigma[1]*sigma[2]*rho; }
- 100. 6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 model { for(i in 1:N){ x[i] ~ multi_normal(mu,Sigma); } } generated quantities{ real delta; real delta_over; real delta_over2; real rho_over; real rho_over05; delta <- mu[2] - mu[1]; delta_over <- step(delta); delta_over2 <- if_else(delta>2,1,0); rho_over <- step(rho); rho_over05 <- if_else(rho>0.5,1,0); }
- 101. 6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 model { for(i in 1:N){ x[i] ~ multi_normal(mu,Sigma); } } generated quantities{ real delta; real delta_over; real delta_over2; real rho_over; real rho_over05; delta <- mu[2] - mu[1]; delta_over <- step(delta); delta_over2 <- if_else(delta>2,1,0); rho_over <- step(rho); rho_over05 <- if_else(rho>0.5,1,0); } normalでないことに注意
- 111. 6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 model { for(i in 1:N){ x[i] ~ multi_normal(mu,Sigma); } } generated quantities{ real delta; real delta_over; real delta_over2; real rho_over; real rho_over05; delta <- mu[2] - mu[1]; delta_over <- step(delta); delta_over2 <- if_else(delta>2,1,0); rho_over <- step(rho); rho_over05 <- if_else(rho>0.5,1,0); } この部分
- 114. 6.2.2 対応のある2群の平均値差に関する推測 ρ>0 ρ > 0.5
- 115. まとめ