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1
臨床疫学研究における報告の質
向上のための統計学の研究会
-多重代入法の書き方-
沖縄県立中部病院ER
宜保光一郎
2014/3/15 @東京医科歯科大学
2
まずはじめに
• 多重代入法は、現代の統計学の技術の粋を
結集している方法で、非常に難解です。
• 私は専門家ではありません。
• ここに書いていることは、ほぼ全て文献からも
ってきたものですが、宜保の解釈が部分的に
間違っている可能性もあります。
• 顔写真はカットしました
3
なぜ多重代入法?
• ①欠測に対するバイアスの無
い推定値・標準誤差を提供す
る
• ②あらゆるデータや分析で行う
ことができる
http://statistics.fas.harvard.edu/people/donald-b-rubin
http://www.census.gov/newsroom/releases/archives/miscella
neous/cb10-cn65.html
4
欠測のパターン(復習)
• Ignorable
–MCAR (missing completely at random)
–MAR (missing at random)
• Non-ignorable
–MNAR (missing not at random)
• Ad hocな方法(complete case studyなど)では
MCAR以外の欠測パターンではバイアスが
生じる
5
欠測のパターン(復習)
• MCAR:
–欠測メカニズムが完全にランダム
• MAR:
–欠測のメカニズムが観察されている変数に依存
する。しかし、その欠測した変数自身には依存し
ない
• MNAR:
–欠測メカニズムが、その欠測自体に依存してい
る
6
MARsBP
(mmHg)
Age
150 90
124 45
149 75
138 79
165 58
142 66
NA 34
NA 22
156 68
165 83
NA 23
160 55
NA 28
sBP
(mmHg)
Age
150 90
165 83
138 79
149 75
156 68
142 66
165 58
160 55
124 45
NA 34
NA 28
NA 23
NA 22
Age でソート
実際問題として、
MARなのか
MNARなのか見
極めは非常に難
しい。
7
多重代入法の流れ(I Step, P step)
欠測を含まない完全
データの平均ベクト
ル、分散共分散行列
欠測を補った完全デ
ータ
Stochastic
regresion etc.
欠測を補完した完全
データの平均ベクトル
と分散共分散行列(事
後分布ができる)
完全データの事後分
布からランダムサンプ
リングして、更新した
データが誕生
・・・・・・・・
m個のデータセット
収束
MCMCData Augmentation
同時分布として多変
量正規分布を考える
8
多重代入法の流れ(統合フェーズ)
推定値1 と
標準誤差 1
推定値2 と
標準誤差 2
推定値3 と
標準誤差 3
推定値4 と
標準誤差 4
推定値 5と
標準誤差 5
目
的
と
す
る
分
析
(
回
帰
分
析、
ANOVA,etc.)
m個のデータセット
統
合
推定値と
標準誤差
9
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
10
①欠測の数と分布の記載
• 欠測の数
• 欠測の分布→次ページ
JAMA. 2008;300(12):1423-1431
11
Journal of InternalMedicine 268; 586.593
Non-monotonic
pattern
12
①欠測の数と分布の記載
• 経験則1:欠測率が25%までが正確にパラメ
ータを推定できる上限 (Dermirtas,2008)
• 経験則2:サンプルサイズが100以下の場合、
パラメータの推定が正確でなくなり、ばらつき
が大きくなる (Graham&Schafer,1999)
Enders “Applied Missing Data Analysis”Guilford 2010 P262
13
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
14
Pediatrics 2007;119;e348
15
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
16
③I Stepで使用した変数の記載
• 非常に重要である(MARの仮定にも繋がる)
• 従属(結果)変数もモデルに入れるべきか?
→Yes
• 少なくとも後で解析に使う変数はすべてモデ
ルにいれるべき
• 補助変数(解析には興味ないが、不完全さに
関連する変数)もいれるべき
Circ Cardiovasc Qual Outcomes. 2010;3:98-105.
17
欠測パターンに応じた戦略
• MCAR → ad hoc なやり方でO.K.
• MAR → multiple imputation (MI)
• MNAR →
–①できるだけ欠測パターンを説明する変数を
imputation に組み込む → MARにしてMIを行う
–②MARの仮定で出発し、感度分析を行う
18
補助変数をどうやって見つける
か?
• ①臨床的な視点(subject knowledge)より
• ②欠測のある変数と相関係数が0.4以上の変
数を補助変数とする(Collins,2001)
Psychological Methods, Vol 6(4), Dec 2001, 330-351.
19
補助変数をどうやって見つける
か?
Enders “Applied Missing Data Analysis”Guilford 2010 P131
Relativepower
Auxiliary Variable Correlation
0.4
20
Stef. van Buuren(1999) の推奨
• 1. MI後の解析に使用する変数は全て含める
べき
• 2. 欠測に関連する変数も含めるべき(補助変
数)。これらは、変数のmissing indicator とある
レベル以上相関があることで見つけられる。
• 3. ばらつきに関連する変数も含めるべき
• 4. 変数が多くなりすぎた場合、除去することも
考える。典型的には15 - 25個の変数が妥当
Statist.Med.18, 681–694 (1999)
21
③:事例
• Statistical Methods
–We used multiple imputation to handle missing data.
To impute the missing data we constructed multiple
regression models including variables potentially
related to the fact that the data were missing and also
variables correlated with that outcome. We used Stata
(StataCorp, College Station, Texas, USA)18 and
PROC MI in SAS (SAS Institute, Cary, NC, USA) to
obtain similar answers, and only the former are
presented.
BMJ, doi:10.1136/bmj.38441.620417.BF (published 23 May 2005)
22
③:事例
• Methods
–The imputation proedure uses all the known covariates
thought to be associated with the missingness
mechanism and cost, together with the
interrelationships between the cost components, to
help predict the values for the missing data.The
incomplete response variables were ~. The observed
covariates were ~.
–Ex. of ~) sex (dichotomous), Age (continuous),
hospital cost (continuous; log transformed)
Clinical Trials 2007; 4:154-161
23
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
24
④非正規分布の連続変数及び
カテゴリー変数の扱い
• 基本的にMIでは多変量正規分布を仮定して
imputation を行うので、正規分布でない変数
をどう取り扱ったか明記する必要がある
• Ex.) 歪度が大きい場合→log transformation
→P-phase で back-transformation
• しかし、正規性の仮定が崩れていても大きな
問題はないとする報告も多い(Graham,1999
Demirtas,2008)
25
④非正規分布の連続変数及び
カテゴリー変数の扱い
• Methods
–The MI data augmentation procedure used here
assumes that the data have a multivariate normal
distribution. Suitable transformations were necessary
for this assumption to hold. (中略) The continuous
variables for the non-zero values for the hospice cost,
non-QE cost and the GP cost components were highly
skewed. A scales logit transformation, as suggested in
Scafer’s Norm Program, was chosen to give normally
distribited and plausible values.
Clinical Trials 2007; 4:154-161
26
④-1 To round or not to round?
• カテゴリーなどの変数はimputation をすると、
連続変数で表現される
Enders “Applied Missing Data Analysis”Guilford 2010 P263
27
④-1 To round or not to round?
• 特に2値変数である場合は、まるめる必要は
ないとされる。まるめることでパラメータ推定
にバイアスが生じる。(Alison,2005 etc.)
28
④-2 交互作用が知りたいとき
• Imputation 後の解析で、交互作用に注目した
い場合、imputation の際に目的の交互作用
を含めて行う必要がある
• 交互作用を含めないと、結果が薄まり、検出
力が低下してしまうため
Enders “Applied Missing Data Analysis”Guilford 2010 P265
29
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
30
⑤代入のモデルと代入したデータ
セットの数(m)の記載
• 歴史的には 2-5 セットが推奨
• しかし、コンピュータの計算能
力が上がるにつれて、5 - 20
セットが推奨されてきている。
• セットが多いほど、推定の精
度が上昇するため
• 代入のモデルについては⑥
にて
ØEfficiency of MI
Øγ = rate of missing
information
http://sites.stat.psu.edu/~jls/mifaq.html
31
⑤:事例
• Method
–We used an extended hot deck multiple imputation
technique that modifies the predictive mean matching
method to impute item-level missing data. Rates of
item-level missing data were less than 2% for all
variables discussed in this article. The results across 5
imputed data sets were combined by averaging, and
SEs were adjusted to reflect both within-imputation
variability and between-imputation variability.
JAMA. 2002;288:2836-2845
32
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
33
⑥使用ソフトウェアの記載
• 代表的なR パッケージ
• “norm”
• “Hmisc”
• “mi”
• “mice”
• “Amelia”
• “PAN”
34
Joint modeling
• Rubin により提唱された元来の方法(先に示
した概念図)
• MCMC(マルコフ連鎖モンテカルロ法)に理論
的基盤がある。
• もし真の同時分布が多変量正規分布で近似
できれば、分析は妥当になると保証できる。
• Package: “norm”
35
Multivariate imputation by chained
equations (MICE)
• 多変量欠測データの
imputationを変数ごとに回帰モ
デルを作成して、各々の変数
ごとに繰り返す。
• Ex.) binary → logistic model
• 利点は、データに適切な多変
量同時分布が無くても
imputation が可能という点
• Package: “mice”
http://www.stefvanbuuren.nl/
36
Expectation-Maximization with
Bootstrapping (King,2010)
• EMアルゴリズム + ブートストラップ
• アルゴリズムの流れ:ブートストラッ
プ法で完全データをM個作成
→EMアルゴリズムで事後分布を
推定→統合する
• 利点:data augmentation をしないの
で、とにかく速い
• Package: “AmeliaⅡ”
American Journal of PoliticalScience,Vol.54,No.2, April2010,Pp.561–581
37
http://arxiv.o
rg/pdf/1401.
5747.pdf
38
あるベンチマークテスト
• N=100万、変数の数5個の大規模データにお
いて、MARパターンの欠測を約12万つくり、
下記のプログラムで計算
http://www.jfssa.jp/taikai/2013/table/pdf_02/10053s.pdf
39
⑥-1 マルチレベルモデリング
• Gibbs sampler の考え方で、MIを行う(Schafer
and Yucel,2002)
• (イメージ) まずはLevel-2 residual(random
effects) の条件付き分布からMCMCを行う
→Level-1, 及びLevel-2 の分散共分散行列が
できる→Level-1 の平均ベクトルができる
• Package “PAN”
• 詳細は難しくてよくわからないです
Enders “Applied Missing Data Analysis”Guilford 2010 P276
40
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
41
⑦MARの仮定
• MARの仮定が確からしいかについての記載
が必要
• 研究分野の専門的な知識に基づいて、欠測
パターンに他の変数が関わっていることが記
述できれば良い
• MARの確認ができない場合、感度分析(例え
ば、全ての変数を投入してのMIなど)を独立
して行い、結果の食い違いがないかをみる
BMJ 2009;338:b2393
42
⑦MARの仮定
~感度分析の重要性~
• National Reseach Council 2010
–Sensitivity analysis should be part of the primary
reporting of findings from clinical trials.
Examinating sensitivity to the assumptions about
missing data mechanism should be a mandatory
component of reporting
• ↑と書いているにも関わらず、これをやってい
いない研究が大多数(Sterne,2009)
43
感度分析の方法
• “...However, we know of no generally
available MI software package which can do
this” (Carpenter,2007)
• δ-adjustment (VanBuuren,1999)
• Weighting approach (Carpenter,2007)
• 実務的には、異なるアルゴリズムで再計算し
て感度分析とするのが良いか?
44
⑦:事例
• Methods
–We carried out some sensitivity analysis using
alternative modeling strategies. When using the SRMI,
another modeling option is to treat income, education,
and age as continuous to capture the underlying ordering
of these variables. Their corresponding conditional
regression models are thus linear normal models. After
rounding the continuous imputations to the nearest
allowed integer values, the logistic regression analysis
results (not shown) are similar to those from the option
treating all variables as categorical. We also applied the
joint modeling strategy using a general location model.
Circulation: Cardiovascular Quality and Outcomes.2010; 3: 98-105
45
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
46
⑧ Complete case analysisとの差異
• ⑦であげた感度分析が技術的に難しい場合
でもCCAとの比較はやっておくべき
• CCA との結果が食い違う場合は、その理由
を考察する
47
多重代入法の報告ポイント
(Sterne2009, van Buuren2012 を改変)
• ①欠測の数と分布(Tableでの記載)
• ②完全データのコホートと欠測を持つコホートとの比較
• ③I stepの過程で使用した変数の記載
• ④非正規分布の連続変数及びカテゴリー変数の扱い
• ⑤代入のモデルと代入したデータセットの数(m)の記載
• ⑥使用ソフトウェアの記載
• ⑦MARの仮定
• ⑧コンプリートケース研究との差異
• ⑨データの統合に用いた方法(Rubin の方法など)
BMJ 2009;338:b2393
48
⑨ データの統合に用いた方法
推定値1 と
標準誤差 1
推定値2 と
標準誤差 2
推定値3 と
標準誤差 3
推定値4 と
標準誤差 4
推定値 5と
標準誤差 5
目
的
と
す
る
分
析
(
回
帰
分
析、
ANOVA,etc.)
m個のデータセット
統
合
推定値と
標準誤差
49
⑨ データの統合に用いた方法
• 多くはRubin(1987) の方法に帰する
• 点推定:
• Within-imputation variance:
• Between-imputation variance:
Uj = standard error
corresponding to Q^j
Q^j = estimate obtained from data set
j(j=1,2,,m)
http://sites.stat.psu.edu/~jls/mifaq.html
50
⑨ データの統合に用いた方法
• Total variance:
• 95%信頼区間:
• 自由度:
• BMC Medical Research Methodology 2009, 9:57 に詳
しい
(Q- ± 1.96 * √T)
http://sites.stat.psu.edu/~jls/mifaq.html
51
The minimum essentials
1.欠測の数
2.欠測の理由
3.方法(complete case analysis, MI)
4.ソフトウェア
5.代入したデータセットの数(m)
6.Complete case analysis
Stef vanBuuren “Flexible Imputation of Missing Data” CRC Press 2012 P252-253
52
テンプレート
• “The percentage of missing values across the nine
variables varied between 0 and 34%. In total 1601 out
of 3801 records (42%) were incomplete. Many girls
had no score because the nurse felt that the
measurment was “unnecessary”, or because the girl
did not give permission. Older girls had many more
mising data.We used multiple imputation (Rubin,
1987a) to create and analyze 40 multiply imputed
datasets. Methodologist currently regard multiple
imputation as a state-of-the-art technique because it
improves accuracy and statical power relative to oter
missing data techniques. (→ continued)
53
テンプレート
• → ...Incomplete variables were imputed under fully
conditional specification (Van Buuren et al., 2006).
Calculation were done in R 2.13.1 using the default
strings of the mice 2.12 package were estimated with
multiple regression applied to each imputed dataset
separately. These estimates and their standard errors
were combined using Rubin’s rules. For comparison,
we also performed the analysis on the subset of
complete cases.”
Stef van Buuren “Flexible imputation of missing data” CRC Press 2012 P254
54
参考書籍
• Enders, “Applied Missing Data Analysis”
Guilford; 2010
• Stef van Buuren, “Flexible Imputation of
Missing Data” CRC Press; 2012
http://www.stef
vanbuuren.nl/
http://www.
appliedmissi
ngdata.com/
55
参考文献
• A Burton et al. “Cost-effectiveness in clinical trials: using
multiple imputation to deal with incomplete cost data” Clin.
Trials 2007;4:154-161
• J Sterne et al. ”Multiple imputation for missing data in
epidemiological and clinical research: potential and pitfalls”
BMJ 2009;338:b2393
• A Mackinnon “The use and reporting of multiple imputation
in medical research - a review” J Intern Med 2010;268:
586–593.
• JL Schafer, JW Graham “Missing Data: Our View of the
State of the Art” Psychological Methods 2002,Vol.7,No. 2,
147–177
56
参考文献
• A Marshall et al. “Combining estimates of interest in
prognostic modelling studies after multiple imputation:
current practice and guidelines” BMC Medical Research
Methodology 2009, 9:57
• L Collins “A comparison of inclusive and restrictive
strategies in modern missing data procedures”Psychological
Methods, Vol 6(4), Dec 2001, 330-351.
• Y He “Missing Data Analysis Using Multiple Imputation:
Getting to the Heart of the Matter” Circ Cardiovasc Qual
Outcomes. 2010;3:98-105
• S. van Buuren et al. “Multiple Imputation of Missing Blood
Pressure Covariates in Survival Analysis” Statist. Med. 18,
681-694 (1999)

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