1. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 1
ÊÒúÑÞ
ÊÃØ»Êٵä³ÔµÈÒʵϾ×é¹°Ò¹ Á.4/Á.5/Á.6
เรื่อง หน้า
ม.4 เทอมต้น
บทที่ 1 เซต 2
บทที่ 2 การให้เหตุผล 3
บทที่ 3 จํานวนจริง 4
บทที่ 4 เลขยกกําลัง 6
ม.4 เทอมปลาย
บทที่ 5 ฟังก์ชัน 7
บทที่ 6 อัตราส่วนตรีโกณมิติ 9
ม.5 เทอมต้น
บทที่ 7 ลําดับและอนุกรม 10
บทที่ 8 ความน่าจะเป็น 11
ม.5 เทอมปลาย
บทที่ 9 สถิติและข้อมูล 12
บทที่ 10 การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น 12
ม.6 ไม่มีเนื้อหาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
¤íÒá¹Ð¹íÒ : เอกสารนี้เป็นสรุปสูตรวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 ทําแจกสําหรับ
น้องๆ สมาชิก Dektalent.com เรียนเรื่องไหนสามารถเลือกพิมพ์เฉพาะเรื่องที่ต้องการได้เลย

2. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 2
º··Õè 1 ૵
ความรู้เบื้องต้นเรื่องเซต
1) เซตเป็นคําอนิยาม สิ่งที่อยู่ในเซตเรียก “สมาชิก” สมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องหมายคอมม่า
2) สัญลักษณ์ ∈ แทนการเป็นสมาชิกของเซต / สัญลักษณ์ ∉ แทนการไม่เป็นสมาชิกของเซต
3) วิธีการเขียนเซต มี 2 แบบ (แบบบอกเงื่อนไข / แบบแจกแจงสมาชิก)
4) เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ { } หรือ φ
5) เซตจํากัด คือ เซตที่บอกจํานวนสมาชิกได้ว่ามีกี่ตัว
6) เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจํากัด หรือ เซตที่มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน เช่น เซตของจํานวนนับ
7) เซตที่เท่ากัน คือ เซตที่มีจํานวนสมาชิกเหมือนกันทุกตัว แต่ถ้าเป็นเซตที่มีจํานวนสมาชิกเท่ากัน จะเรียก “เซต
เทียบเท่ากัน”
สับเซต
1) สัญลักษณ์ ⊂ แทน การเป็นสับเซต เช่น A เป็นสับเซต B เขียนแทนด้วย A ⊂ B
2) สัญลักษณ์ ⊄ แทน การไม่เป็นสับเซต
3) เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
4) จํานวนสับเซตทั้งหมด = 2𝑛𝑛
โดย n คือ จํานวนสมาชิกของเซต
5) จํานวนสับเซตแท้ = สับเซตทุกตัวยกเว้นตัวมันเอง = 2𝑛𝑛
− 1 ( n คือ จํานวนสมาชิกของเซต)
เพาเวอร์เซต
1) เพาเวอร์เซต คือ เซตของสับเซต สัญลักษณ์ P(A) แทน เพาเวอร์เซต A
2) เวลาเขียนเพาเวอร์เซต ให้เขียนสับเซตให้หมดทุกตัวก่อน แล้วเขียน ปีกกา คลุมหัวท้ายก็จะได้เพาเวอร์เซตแล้ว
3) φ ∈ P(A) เซตว่างเป็นสมาชิกของเพาเวอร์เซตเสมอ
4) จํานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต คือ จํานวนสับเซตทั้งหมด
การกระทําของเซต
1) มี 4 แบบ ยูเนียน /อินเตอร์เซคชัน/ ผลต่าง/ คอมพลีเมนต์
2) ยูเนียน คือ เอาสมาชิกมารวมกัน สัญลักษณ์ ∪
3) อินเตอร์เซคชัน คือ เอาสมาชิกที่ซํ้ากัน สัญลักษณ์ ∩
4) ผลต่าง คือ เอามาลบกัน โดยดูตัวตั้งเป็นหลัก สัญลักษณ์ เครื่องหมายลบ (-)
5) คอมพลีเมนท์ คือ ไม่เอา เช่น A′หมายถึง ไม่เอาสมาชิกที่อยู่ใน A สัญลักษณ์ ( ′ )
โจทย์ปัญหาเรื่องเซต
1) อ่านโจทย์แล้ววาดรูปก่อน
2) สูตรสําหรับ 2 เซต n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
3) สูตรสําหรับ 3 เซต n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)–n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C) +n(A∩B∩C)

3. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 3
º··Õè 2 ¡ÒÃãËŒà˵ؼÅ
การให้เหตุผล
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สําคัญมี 2 วิธี
1) การให้เหตุผลแบบอุปนัย 2) การให้เหตุผลแบบนิรนัย
การให้เหตุผลแบบอุปนัย
1) เป็นการให้เหตุผลโดยยึดความจริงจากส่วนย่อยที่พบเห็น ไปสู่ความจริงที่เป็นส่วนรวม
2) วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆแล้วนํามาสรุป
เป็นความรู้แบบทั่วไป
การให้เหตุผลแบบนิรนัย
เป็นการนําความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือ บทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและ
ยอมรับว่าเป็น จริง เพื่อหาเหตุผลนําไปสู่ข้อสรุป
ข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผล
มีอยู่ 6 แบบ คือ
ข้อความ รูปวาด
1) สมาชิกของ A ทุกตัวเป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทุกตัวเป็นสัตว์เลือดอุ่น
2) ไม่มีสมาชิกของ A ตัวใด เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง ไม่มีงูตัวใดที่มีขา
3) สมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง รถโดยสารบางคันเป็นรถปรับอากาศ
4) สมาชิกของ A บางตัวไม่เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง รถโดยสารบางคันไม่ได้เป็นรถปรับอากาศ
5) มีสมาชิก A หนึ่งตัวที่เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง สุนัขของฉันเป็นสุนัขพันธุ์ไทยแท้
6) มีสมาชิกของ A หนึ่งตัวไม่เป็นสมาชิกของ B
ตัวอย่าง สุนัขของแตงไม่ใช่สุนัขพันธุ์ไทยแท้
B
A
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A

4. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 4
º··Õè 3 ¨íҹǹ¨ÃÔ§
โครงสร้างของระบบจํานวนจริง จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ
เปรียบเทียบจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ ได้ตามตารางด้านล่าง
การเปลี่ยนเศษส่วนเป็นทศนิยม และการเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน
1) การเปลี่ยนเศษส่วนเป็นทศนิยมใช้วิธีการตั้งหาร จะหารสั้น หรือ หารยาวก็ได้ตามใจเลย
2) การเปลี่ยนทศนิยมเป็นเศษส่วน
- ถ้าเป็นทศนิยมธรรมดา ก็สามารถทําได้เลย เช่น 0.2 =
2
10
- ถ้าเป็นทศนิยมซํ้า เช่น 0. 4̇ =
4
9
, 0.23̇ =
23−2
90
=
21
90
, 0. 3̇1̇ =
31
99
เป็นต้น
การแก้สมการ
1) แก้สมการด้วยวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนาม (มักจะใช้การแยกตัวประกอบแบบ 2 วงเล็บ)
- การดึงตัวร่วม - การแยกตัวประกอบสองวงเล็บ
- กําลังสองสมบูรณ์ - ผลต่างกําลังสอง
- ผลบวก หรือ ผลต่างกําลังสาม - วิธีเพิ่มเข้า-ลบออก
- จับคู่ ดึงตัวร่วม - การหารสังเคราะห์
2) หรือใช้สูตรสําหรับแก้สมการกําลังสอง ที่อยู่ในรูป 𝑎𝑎𝑎𝑎2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 ดังนี้
จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป
เศษส่วน
a
b
ได้ เมื่อ a, b เป็นจํานวนเต็มและ b ≠ 0
จํานวนอตรรกยะ คือ จํานวนจริงที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ใน
รูปเศษส่วนของจํานวนเต็มได้
𝑥𝑥 =
−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎
2𝑎𝑎

5. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 5
ช่วง (Interval)
กําหนดให้ a,b เป็นจํานวนจริง และ a < b
1) ช่วง แบ่งเป็น 4 แบบ ช่วงปิด ช่วงเปิด ช่วงครึ่งเปิด และ ช่วงอนันต์
2) ช่วงปิด สัญลักษณ์ [a,b] ถ้าวาดกราฟจะเป็นวงกลมทึบ
3) ช่วงเปิด สัญลักษณ์ (a,b) ถ้าวาดกราฟจะเป็นวงกลมโปร่ง
4) ช่วงครึ่งเปิด มี 2 แบบ สัญลักษณ์ คือ [a, b) หรือ [a, b) ถ้าวาดกราฟตรงที่เป็นวงเล็บ [, ] จะเป็นวงกลมทึบ
และถ้าเป็น (,) จะเป็นวงกลมโปร่ง
5) ช่วงอนันต์ มี 2 แบบ สัญลักษณ์ คือ (a, ∞) หรือ (-∞, a)
6) การเขียนช่วงอนันต์ ด้านที่เป็นตัวอินฟินีตี้เป็นช่วงเปิดเสมอ
การแก้อสมการ
1) ขั้นตอนการแก้อสมการ มี 3 ส่วนคือ แยกตัวประกอบ ตีเส้นจํานวน และ เลือกช่วงของคําตอบ
2) ถ้าย้ายจํานวนที่ติดลบ ไปคูณหรือหาร เครื่องหมาย >, <, ≥ และ ≤ ของอสมการจะต้องเปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย
ตรงกันข้าม เช่น -2x < 6 เอา -2 หารตลอด จะได้ x > - 3
ค่าสัมบูรณ์ (Absolute value)
1) ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริง a ใดๆ หมายถึง ระยะห่างระหว่าง 0 (ศูนย์) กับจุด a บนเส้นจํานวน
2) ค่าสัมบูรณ์เป็นบวกเสมอ เพราะเป็นระยะห่าง
3) สมบัติของค่าสัมบูรณ์
• เสมอ
• xx −=
• xyyx −=−
• 222
xxx ==
• yxxy =
•
y
x
y
x
=
• yxyx +≤+
• yxyx −≥−
4) การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ มี 3 วิธี ดังนี้
4.1 แปลตามนิยาม 4.2 ยกกําลังสอง 4.3 แปลค่าทีละค่าสัมบูรณ์
5) การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีบท เมื่อ a เป็นจํานวนจริงบวก จะได้
- ถ้า |x| < a หมายถึง –a < x < a - ถ้า |x| ≤ a หมายถึง –a ≤ x ≤ a
- ถ้า |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a - ถ้า |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a
0≥x

6. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 6
º··Õè 4 àŢ¡¡íÒÅѧ
สมบัติของเลขยกกําลัง
1) สมบัติของเลขยกกําลัง
• 𝑎𝑎m
∙ 𝑎𝑎n
= 𝑎𝑎m+n
• 𝑎𝑎m
÷ 𝑎𝑎n
= 𝑎𝑎m−n
• 𝑎𝑎0
= 1
• 𝑎𝑎−n
=
1
𝑎𝑎n
• (𝑎𝑎m
)n
= 𝑎𝑎mn
• (𝑎𝑎𝑎𝑎)m
= 𝑎𝑎m
𝑏𝑏m
• (
𝑎𝑎
𝑏𝑏
)m
=
𝑎𝑎m
𝑏𝑏m
• 𝑎𝑎
m
n = √𝑎𝑎mn
การหารากที่สองของจํานวนอตรรกยะ
1) ( ) ( ) ( )222
2 bbaaba ++=+ abba 2++=
2) ( ) ( ) ( )222
2 bbaaba +−=− abba 2−+=
การแก้สมการที่ติดเครื่องหมายราก
1) การแก้สมการที่มีเครื่องหมายราก โดยทั่วไปใช้วิธียกกําลัง และจะต้องตรวจคําตอบด้วยว่าคําตอบที่ได้มานั้นใช้ได้
ทุกค่าหรือไม่

7. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 7
º··Õè 5 ¿˜§¡ªÑ¹
คู่อันดับ
นิยาม คู่อันดับ (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ผลคูณคาร์ทีเชียน
นิยาม ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a , b) ทั้งหมด โดยที่ a ∈ A และ b ∈ B
สัญลักษณ์ A×B เช่น A = {1,2} , B = {3,4,5} จะได้ AxB = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}
สมบัติที่สําคัญของผลคูณคาร์ทีเชียน
1) ถ้า A มีสมาชิก m ตัว และ B มีสมาชิก n ตัว ∴ A×B มีสมาชิก mn ตัว
2) A × B = φ ก็ต่อเมื่อ A = φ หรือ B = φ
3) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
4) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
5) A × (B – C) = (A × B) – (A × C)
6) A × B ≠ B × A
ความสัมพันธ์
นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r ⊂ A × B ถ้า A × B มีสมาชิก n ตัว
เราสามารถสร้างความสัมพันธ์จาก A ไป B ได้ 2n
วิธี
การหาโดเมน และ การหาเรนจ์
จากความสัมพันธ์ r
- เรียก เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r ว่า โดเมน
- เรียก เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r ว่า เรนจ์
ฟังก์ชัน
นิยาม 𝑓𝑓 จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ 𝑓𝑓 เป็นความสัมพันธ์ ซึ่งมีเงื่อนไขว่า ถ้า (𝑥𝑥 , 𝑦𝑦1) ∈ 𝑓𝑓 และ
(𝑥𝑥 , 𝑦𝑦2) ∈ 𝑓𝑓 แล้ว 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2
สรุปง่ายๆ ว่า ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใดๆ เหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเหมือนกันด้วย
วิธีตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันโดยใช้กราฟ คือ ถ้าลากเส้นตรงขนานแกน y แล้วตัดกราฟ 1 จุด แปลว่าเป็นฟังก์ชัน
การหาโดเมน มีหลักการคิด ดังนี้
- จัดรูปสมการ ให้อยู่ในรูป y ในเทอม x
- พิจารณาเทอมของ x ว่า ค่า x มีข้อยกเว้นใดหรือไม่โดยดูจาก
1. ถ้าเป็นรูปเศษส่วน ∴ส่วนต้อง ≠ 0
2. ถ้าติดเครื่องหมายรากเลขคู่
∴ภายในเครื่องหมายรากต้อง ≥ 0
การหาเรนจ์ มีหลักการคิด ดังนี้
- จัดรูปสมการ ให้อยู่ในรูป x ในเทอม y
- พิจารณาเทอมของ y ว่า ค่า y มีข้อยกเว้นใดหรือไม่โดยดูจาก
1. ถ้าเป็นรูปเศษส่วน ∴ส่วนต้อง ≠ 0
2. ถ้าติดเครื่องหมายรากเลขคู่
∴ภายในเครื่องหมายรากต้อง ≥ 0

8. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 8
ฟังก์ชันที่ควรรู้จัก
ฟังก์ชันเชิงเส้น รูปสมการทั่วไป คือ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0 หรือ 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑐𝑐
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ รูปสมการทั่วไป คือ 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎|𝑥𝑥 − 𝑏𝑏| + 𝑐𝑐
ฟังก์ชันขั้นบันได เป็นฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันคงที่เป็นช่วงๆ กราฟของฟังก์ชัน
มีรูปคล้ายขั้นบันได เช่น อัตราค่าไฟฟ้า
ฟังก์ชันกําลังสอง รูปสมการทั่วไป 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
ฟังก์ชันพหุนาม รูปสมการทั่วไป𝑦𝑦 = 𝑎𝑎1 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎2 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎3 𝑥𝑥𝑛𝑛−2 + ⋯
เช่น 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3
− 5𝑥𝑥 + 2
ฟังก์ชันที่เป็นคาบ เป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันคงตัว เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

9. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 9
º··Õè 6 ÍѵÃÒʋǹµÃÕ⡳ÁÔµÔ
สามเหลี่ยมมุมฉาก
จากรูปจะได้ ฉาก2
= ข้าม2
+ ชิด2
อัตราส่วนด้านของ ∆ มุมฉากที่ควรจํา
1) 3 : 4 : 5
2) 5 : 12 : 13
3) 7 : 24 : 25
4) 8 : 15 : 17
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
มี 6 อัตราส่วนสําคัญ ดังนี้
1) sin 𝐴𝐴 =
ข้ามฉาก
4) cot 𝐴𝐴 =
ชิดข้าม
2) cos 𝐴𝐴 =
ชิดฉาก
5) sec 𝐴𝐴 =
ฉากชิด
3) tan 𝐴𝐴 =
ข้ามชิด
6) cosec 𝐴𝐴 =
ฉากข้าม
สูตรพื้นฐาน 8 สูตร
1. sin𝐴𝐴 cosec𝐴𝐴 = 1 2. cos 𝐴𝐴 sec𝐴𝐴 = 1
3. tan𝐴𝐴 cot𝐴𝐴 = 1 4. sin2
𝐴𝐴 + cos2
𝐴𝐴 = 1
5. sec2
𝐴𝐴 − tan2
𝐴𝐴 = 1 6. cosec2
𝐴𝐴 − cot2
𝐴𝐴 = 1
7. tan 𝐴𝐴 =
sin 𝐴𝐴
cos 𝐴𝐴
8. cot 𝐴𝐴 =
cos 𝐴𝐴
sin 𝐴𝐴
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30° , 45° และ 60°

10. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 10
º··Õè 7 ÅíҴѺáÅÐ͹ءÃÁ
ลําดับ
1) ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว
พจน์ทั่วไป dnaan )1(1 −+= เมื่อ d คือ ผลต่างร่วม, 𝑎𝑎1 คือ พจน์ที่ 1
2) ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัว
พจน์ทั่วไป 1
1
−
= n
n raa เมื่อ r คือ อัตราส่วนร่วม, 𝑎𝑎1 คือ พจน์ที่ 1
อนุกรม
1) สัญลักษณ์แทนการบวก ( ∑ อ่านว่า ซิกมา )
สมบัติของ ∑
2) อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)
สูตรผลบวก [ ]dna
n
Sn )1(2
2
1 −+= หรือ [ ]nn aa
n
S += 1
2
มี 2 สูตร ต้องจําได้เลือกใช้ตามสะดวกเลยจ้า
3) อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)
สูตรผลบวก
1
)1(
1
)1( 11
−
−
=
−
−
=
r
ra
r
ra
S
nn
n
∑∑∑ ===
−=−
N
i
i
N
i
i
N
i
ii yxyx
111
)(.4
cNccccc
N
N
i
=++++=∑=
   ....1
1
∑∑ ==
=
N
i
i
N
i
i xccx
11
.2
∑ ∑∑ = ==
+=+
N
i
N
i
ii
N
i
ii yxyx
1 11
)(.3
(ดึงค่าคงที่ไปอยู่หน้า ∑ ได้)
(∑ ผลบวก สามารถกระจายได้)
(∑ ผลลบ สามารถกระจายได้)
2
)1(
...321.5
1
+
=++++=∑=
nn
ni
n
i
6
)12)(1(
...321.6 2222
1
2 ++
=++++=∑=
nnn
ni
n
i
22
1
3333
1
3
2
)1(
...321.7 




 +
=





=++++= ∑∑ ==
nn
ini
n
i
n
i

11. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 11
º··Õè 8 ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
กฎข้อ 1
ในการทํางาน 2 อย่าง โดยที่งานอย่างแรกสามารถทําได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีของงานอย่างแรก
สามารทํางานอย่างที่สองได้อีก n2 วิธี
∴จํานวนวิธีการทํางานทั้ง 2 อย่าง = n1⋅n2 วิธี
กฎข้อ 2
ในการทํางาน k อย่าง ถ้างานอย่างแรก มีวิธีทําได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธี ของงานอย่างแรก สามารถทํางานที่ 2 ได้อีก n2
วิธีและในแต่ละวิธีของงานอย่างแรกและงานอย่างที่ 2 สามารถทํางานอย่างที่ 3 ได้อีก n3 วิธี เป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ
∴จํานวนวิธีการทํางานทั้ง k อย่าง = n1⋅n2⋅n3⋅ … ⋅nk วิธี
ความน่าจะเป็น
1) การทดลองสุ่ม คือ การทดลองหรือการกระทําที่ทราบว่าผลลัพธ์อาจเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่าง
แน่นอนว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลองนั้นผลจะเกิดเป็นอะไร เช่น การโยนเหรียญ, การทอดลูกเต๋า
2) แซมเปิลสเปซ(S) คือ เซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม
3) เหตุการณ์(E) คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ
4) สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
)(
)(
)(
Sn
En
EP ==
สมบัติของความน่าจะเป็น
1) 0 ≤ P(E) ≤ 1
2) ถ้า P(E) = 0 แสดงว่า E = φ นั่นคือ เหตุการณ์นั้นไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย
3) ถ้า P(E) = 1 แสดงว่า E = S นั่นคือ เหตุการณ์นั้น เกิดขึ้นแน่นอน
4) P(E′) = 1 – P(E)
5) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
6) P(A∪B) = P(A) + P(B) เมื่อ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน
7) P(A - B) = P(A) – P(A∩B)

12. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 12
º··Õè 9-10 ʶԵÔáÅТŒÍÁÙÅ áÅСÒÃÇÔà¤ÃÒÐˏ¢ŒÍÁÙÅàº×éͧµŒ¹
สถิติเบื้องต้น
1. ความหมายของสถิติ
สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่บอกข้อเท็จจริงต่างๆ ซึ่งตัวเลขนี้จะอยู่ในลักษณะ รวบยอดที่ได้มาจากการวิเคราะห์การเปรียบเทียบ หรือ
การคํานวณ หรือ หมายถึง ศาสตร์ที่เป็นทั้งวิทยาศาสตร์และศิลปะ ซึ่งเกี่ยวข้องกับ กระบวนการ 4 ขั้นตอน ดังนี้
1.1 การเก็บรวบรวมข้อมูล 1.2 การนําเสนอข้อมูล 1.3 การวิเคราะห์ข้อมูล 1.4 การตีความหมายของข้อมูล
2. การเก็บรวบรวมข้อมูล
ข้อมูลสถิติ หรือ ข้อมูล หมายถึง ข้อความจริงในเรื่องใด เรื่องหนึ่งที่ เราสนใจศึกษา ซึ่งอาจเป็นตัวเลข หรือข้อความก็ได้ ข้อสําคัญ
ข้อมูลเพียงหน่วยเดียวไม่ถือเป็นข้อมูลสถิติ
ประเภทของข้อมูล ถ้าจําแนกตามวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูล แบ่งได้ 2 ประเภท คือ
1) ข้อมูลปฐมภูมิ คือ ข้อมูลที่เก็บรวบรวมจากผู้ให้ข้อมูล หรือ สังเกตจากแหล่งข้อมูลโดยตรง
เช่น ดช. วีกิจ สํารวจส่วนสูงของเพื่อนในชั้นเรียนโดยการเดินถามทีละคน
2) ข้อมูลทุติยภูมิ คือ ข้อมูลที่ได้จากข้อมูลที่ผู้อื่นเก็บรวบรวมไว้แล้ว
เช่น จากรายงานต่างๆ ของหน่วยงานราชการ องค์การ หรือ เอกชน บทความจากหนังสือพิมพ์ วารสาร เป็นต้น
ลักษณะของข้อมูล แบ่งเป็น 2 ลักษณะ คือ
1) ข้อมูลเชิงปริมาณ เป็นข้อมูลที่ใช้แทนขนาด หรือ ปริมาณ ซึ่งสามารถ ชั่ง ตวง วัด ออกมาเป็นตัวเลขได้โดยตรง
2) ข้อมูลเชิงคุณภาพ เป็นข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นตัวเลขได้โดยตรง แต่วัดออกมาโดยอาศัยคุณลักษณะของสิ่งนั้นๆแต่ใน
บางกรณี ข้อมูลเชิงคุณภาพวัดออกมาเป็นตัวเลขได้ แต่ตัวเลขเหล่านั้นไม่สามารถนํามาหาค่าเฉลี่ยได้ เช่น เบอร์เสื้อ เบอร์รองเท้า
วิธีการเก็บรวบรวมข้อมูล มีวิธีเก็บได้หลายวิธี คือ
1) จากทะเบียนประวัติ เป็นการเก็บรวบรวมจากฝ่ายทะเบียนต่างๆ เช่น ฝ่ายทะเบียนของโรงเรียน เขต โรงพยาบาล หน่วยงานของ
รัฐ การเก็บรวบรวมโดยทําการคัดลอกซึ่งข้อมูลที่ได้มีความเชื่อถือค่อนข้างสูง ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่าย
2) จากการสํารวจ บางครั้งข้อมูลจากทะเบียนประวัติมีไม่ครบตามที่ต้องการ หรือไม่ได้เก็บรวบรวมไว้จึงจําเป็นต้องใช้วิธีสํารวจเอง
โดยใช้แบบสอบถาม หรือ การสัมภาษณ์
3) จากการสังเกต ข้อมูลบางประเภทใช้แบบสอบถามหรือ สัมภาษณ์ อาจไม่ได้ข้อเท็จจริง ก็ต้องใช้วิธีแอบดูหรือสังเกตเอง
4) จากการทดลอง ส่วนใหญ่เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลทางวิทยาศาสตร์ เป็นข้อมูลที่ถูกต้องและ เชื่อถือได้มาก ถ้าไม่เกิดความ
คลาดเคลื่อนจากการวัด หรือ การวางแผนการทดลอง
3. การนําเสนอข้อมูล
การนําเสนออย่างไม่เป็นแบบแผน เช่น
- การนําเสนอในรูปข้อความ คือ การนําข้อมูลมาเสนอเป็นส่วนหนึ่งของข้อความ
- การนําเสนอในรูปกึ่งตาราง คือ การนําเสนอข้อมูลโดยแยกตัวเลขออกจากข้อความ
การนําเสนอข้อมูลอย่างเป็นแบบแผน เช่น
- การนําเสนอด้วยตาราง แผนภูมิ หรือ แผนภาพ กราฟเส้น
4. การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น
- ตารางแจกแจงความถี่
- ฮิสโตแกรม
- รูปหลายเหลี่ยมของความถี่
- เส้นโค้งความถี่
- เส้นโค้งความถี่สะสม

13. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 13
สัญลักษณ์แทนการบวก ( ∑ อ่านว่า ซิกมา)
สมบัติของ ∑
ค่ากลางของข้อมูล
ค่ากลางของข้อมูล ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ ข้อมูลแจกแจงความถี่
1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (𝑥𝑥̅)
• ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
• ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วง
นํ้าหนัก
• ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม
𝑥𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑥
𝑁𝑁
𝑥𝑥̅ =
𝑤𝑤1 𝑥𝑥1 + 𝑤𝑤2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑤𝑤1 + 𝑤𝑤2 + ⋯ + 𝑤𝑤𝑛𝑛
𝑥𝑥̅ =
𝑁𝑁1 𝑥𝑥1 + 𝑁𝑁2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑁𝑁𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑁𝑁1 + 𝑁𝑁2 + ⋯ + 𝑁𝑁𝑛𝑛
𝑥𝑥̅ =
∑ 𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑁𝑁
หรือ 𝑥𝑥̅ = 𝐴𝐴 + �
∑ 𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑁𝑁
� 𝐼𝐼
-
-
2) มัธยฐาน (Median = Med.) 1) เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก
2) ข้อมูลที่อยู่ตรงกลางคือ มัธยฐาน 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. = 𝐿𝐿 + �
𝑁𝑁
2
− ∑ 𝑓𝑓𝐿𝐿
𝑓𝑓𝑚𝑚
� 𝐼𝐼
3) ฐานนิยม (Mode = Mo.) ข้อมูลที่ซํ้ากันมากที่สุด คือ ฐานนิยม 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐿𝐿 + �
𝑑𝑑1
𝑑𝑑1 + 𝑑𝑑2
� 𝐼𝐼
4) ค่ากึ่งกลางพิสัย (Mid - range) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
ขอบบน + ขอบล่าง
2
5) ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก
(Harmonic Mean = H.M.)
𝐻𝐻. 𝑀𝑀. =
𝑁𝑁
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
+ ⋯ +
1
𝑥𝑥𝑁𝑁
-
6) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric
Mean = G.M.)
𝐺𝐺. 𝑀𝑀. = �𝑥𝑥1 ∙ 𝑥𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑥𝑁𝑁
𝑁𝑁
-
∑∑∑ ===
−=−
N
i
i
N
i
i
N
i
ii yxyx
111
)(.4
cNccccc
N
N
i
=++++=∑=
   ....1
1
∑∑ ==
=
N
i
i
N
i
i xccx
11
.2
∑ ∑∑ = ==
+=+
N
i
N
i
ii
N
i
ii yxyx
1 11
)(.3
(ดึงค่าคงที่ไปอยู่หน้า ∑ ได้)
(∑ ผลบวก สามารถกระจายได้)
(∑ ผลลบ สามารถกระจายได้)

14. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 14
การวัดตําแหน่งที่ของข้อมูล
การวัดตําแหน่งที่ของข้อมูล ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ ข้อมูลแจกแจงความถี่
1) ควอไทล์(แบ่ง 4 ส่วน) 1)เรียงข้อมูลจากค่าน้อยไปหาค่ามาก
2)หาตําแหน่ง สูตร
3)เทียบคะแนนจาก
คะแนน = ค่าของข้อมูลที่ตรงกับตําแหน่ง
+ (เศษ x ช่วงห่างของข้อมูล)
1)สร้างช่องความถี่สะสมของข้อมูลที่
กําหนดให้
2)หาตําแหน่ง สูตร
3)เทียบคะแนน สูตร
𝑄𝑄𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �
𝑁𝑁𝑁𝑁
4
− ∑ 𝑓𝑓𝐿𝐿
𝑓𝑓𝑚𝑚
� 𝐼𝐼
2) เดไซล์ (แบ่ง 10 ส่วน) 1)เรียงข้อมูลจากค่าน้อยไปหาค่ามาก
2) หาตําแหน่ง สูตร
3)เทียบคะแนนจาก
คะแนน = ค่าของข้อมูลที่ตรงกับตําแหน่ง
+ (เศษ x ช่วงห่างของข้อมูล)
1)สร้างช่องความถี่สะสมของข้อมูลที่
กําหนดให้
2)หาตําแหน่ง สูตร
3)เทียบคะแนน สูตร
𝐷𝐷𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �
𝑁𝑁𝑁𝑁
10
− ∑ 𝑓𝑓𝐿𝐿
𝑓𝑓𝑚𝑚
� 𝐼𝐼
3) เปอร์เซ็นไทล์ (แบ่ง 100 ส่วน) 1)เรียงข้อมูลจากค่าน้อยไปหาค่ามาก
2) หาตําแหน่ง สูตร
3)เทียบคะแนนจาก
คะแนน = ค่าของข้อมูลที่ตรงกับตําแหน่ง
+ (เศษ x ช่วงห่างของข้อมูล)
1)สร้างช่องความถี่สะสมของข้อมูลที่
กําหนดให้
2)หาตําแหน่ง สูตร
3)เทียบคะแนน สูตร
𝑃𝑃𝑟𝑟 = 𝐿𝐿 + �
𝑁𝑁𝑁𝑁
100
− ∑ 𝑓𝑓𝐿𝐿
𝑓𝑓𝑚𝑚
� 𝐼𝐼
เมื่อ 𝐿𝐿 คือ ขอบล่างของชั้นที่ Qr, Dr, Pr อยู่
∑ 𝑓𝑓𝐿𝐿 คือ ความถี่สะสมของชั้นที่อยู่ก่อนจะถึงชั้นที่ Qr, Dr, Pr อยู่
𝑓𝑓𝑚𝑚
คือ ความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ Qr, Dr, Pr อยู่
𝐼𝐼 คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่ Qr, Dr, Pr อยู่
𝑛𝑛 คือ จํานวนข้อมูลทั้งหมด
r
N
Qr ×
+
=
4
)1(
r
N
Dr ×
+
=
10
)1(
r
N
Pr ×
+
=
100
)1(
r
N
Qr ×=
4
r
N
Dr ×=
10
r
N
Pr ×=
100

15. DekTalent.com เอกสารสรุปสูตร คณิตศาสตร์พื้นฐาน รวม ม.4-5-6 สรุปโดยพี่โต๋
เรียนคณิตศาสตร์ ม.4-5-6/O-Net/PAT1 ออนไลน์ได้ที่ www.dektalent.com หน้า 15
การวัดการกระจายของข้อมูล
การวัดการกระจายสัมบูรณ์ การวัดการกระจายสัมพัทธ์
1) พิสัย
( ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
พิสัย
( ข้อมูลแจกแจงความถี่)
พิสัย = ขอบบนชั้นสูงสุด – ขอบล่างชั้นตํ่าสุด
1) สัมประสิทธิ์ของพิสัย
2) ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ 2) สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
3) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
( ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
( ข้อมูลแจกแจงความถี่)
3) สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
4) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
( ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
หรือ
( ข้อมูลแจกแจงความถี่)
หรือ
4) สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
ความแปรปรวน (𝑆𝑆2
)
1) ความแปรปรวน
( )2
2222
2
)(
x
N
x
N
x
N
x
N
xx
S −=







−=
−
=
∑∑∑∑
2) ความแปรปรวนรวม
2
21
21
21
2
2
2
1








+
+
−
+
+
=
∑ ∑∑ ∑
NN
xx
NN
xx
minmax xx −=
minmax
minmax
xx
xx
+
−
=
2
.. 13 QQ
DQ
−
=
13
13
QQ
QQ
+
−
=
N
xx
DM
i∑ −
=.
N
xxf
DM
i∑ −
=.
N
xx
DS
N
i
i∑=
−
= 1
2
)(
..
22
.. 







−=
∑∑
N
x
N
x
DS
N
xxf
DS
N
i
ii∑=
−
= 1
2
)(
..
22
.. 







−=
∑∑
N
fx
N
fx
DS
x
DM ..
=
x
DS ..
=