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M.Sc. Ricardo Rodríguez Bustinza
Creación de un Robot con MATLAB
Vamos a tomar un ejemplo simple de un manipulador planar de
dos eslabones (ver Figura) el cual tiene los siguientes
parámetros (estándar) de eslabones de Denavit‐Hartenberg.
Donde hemos puesto la longitud de los eslabones en 1. Ahora
podemos crear un par de objetos de eslabón:
path(path,'C:Documents and SettingsMis documentosMATLABrobot71');
L{1}=link([0 1 0 0 0]);
% L =
% 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 R
L{2}=link([0 1 0 0 0]);
% L2 =
% 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 R
r=robot(L,'D2')
% r =
%
% noname (2 axis, RR)
% grav = [0.00 0.00 9.81] standard D&H parameters
% alpha A theta D R/P
% 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 R
% 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 R
plot(r, [0 0])

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M.Sc. Ricardo Rodríguez Bustinza
Las primeras líneas crean los objetos de eslabones, uno por
cada eslabón del robot. Note el segundo argumento de link el
cual especifica que la convención estándar de D&H será usada
(ésta es por defecto). Los argumentos del objeto de eslabones
pueden encontrarse de
>> help link
LINK create a new LINK object
A LINK object holds all information related to a robot link such as
kinematics of the joint, rigid-body inertial parameters, motor and
transmission parameters.
LINK
LINK(link)
Create a default link, or a clone of the passed link.
A = LINK(q)
Compute the link transform matrix for the link, given the joint
variable q.
LINK([alpha A theta D sigma])
LINK(DH_ROW) create from row of legacy DH matrix
LINK(DYN_ROW) create from row of legacy DYN matrix

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La cual muestra el orden en que los parámetros de link deben
suministrarse (el cual es diferente al orden de las columnas de
la tabla de arriba). El quinto argumento, sigma, es una bandera
que indica si la unión es rotativa (sigma es cero) o prismática
(sigma diferente de cero).
Los objetos de link se pasan como un arreglo a la función
robot() la cual crea un objeto robot el cual se pasa a muchas de
las otras funciones de la caja de herramientas.
Problema de la Cinemática Directa
Encuentre la solución completa del problema mediante la
cinemática directa para un robot cilíndrico de la figura.
Solución
En primer lugar se localizan los sistemas de referencia de cada
una de las articulaciones del robot figura. Posteriormente se
determinan los parámetros de Denavit‐ Hartenberg del robot,
con los que se construye la siguiente tabla.

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M.Sc. Ricardo Rodríguez Bustinza
% alpha a theta d R/P
L1 = link([0 0 0 1 0]);
D2 = link([pi/2 0 pi/2 1 1]);
D3 = link([0 0 0 1 1]);
L4 = link([0 0 0 1 0]);
rob = robot({L1 D2 D3 L4},'ROBCIL')
plot(rob, [0 0 0 0])
view(-19,68)
Una vez creado el robot se realiza la solución completa al
problema cinemático directo con la función fkine: Para unas
coordenadas de las articulaciones de cero, tenemos:
% Cinematica Directa
q1=[0 0 0 0];
q2=[0 1 1 0];
T1f=fkine(rob,q1);
% T1 =
% 0.0000 -0.0000 1.0000 1.0000
% 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
% 0 1.0000 0.0000 1.0000
% 0 0 0 1.0000
T2f=fkine(rob,q2);
% T2 =

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% 0.0000 -0.0000 1.0000 2.0000
% 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
% 0 1.0000 0.0000 2.0000
% 0 0 0 1.0000
Usaremos el Toolbox de Matemática Simbólica para manipular
el movimiento de las articulaciones del robot cilíndrico.
syms q1 q2 d2 d3 real
l1=0.5;
q1=0;
T01=[cos(q1) -sin(q1) 0 0
sin(q1) cos(q1) 0 0
0 0 1 l1
0 0 0 1];
d2=1;
T12=[0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 d2
0 0 0 1];
d3=1.5;
T23=[1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 d3
0 0 0 1];
l4=1;
q4=0;
T34=[cos(q4) -sin(q4) 0 0
sin(q4) cos(q4) 0 0
0 0 1 l4
0 0 0 1];
T04=T01*T12*T23*T34;

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Otros movimientos del robot cilíndrico
Problema de la Cinemática Inversa
Para encontrar la solución al problema cinemático inverso se
usa la función ikine aunque la solución se lleva un tiempo
inaceptable para controlar robots reales. Por ejemplo:
Usando el robot creado en el numeral anterior obtenemos la
solución: Para las coordenadas de las articulaciones q = [‐pi/4
0.5 0.5 pi/3] se obtiene la siguiente matriz de transformación:
T = fkine(rob,[-pi/4 0.5 0.5 pi/3]);
% T =
% 0.3536 -0.6124 0.7071 1.0607
% 0.3536 -0.6124 -0.7071 -1.0607
% 0.8660 0.5000 0.0000 1.5000
% 0 0 0 1.0000
qi = ikine(rob,T,[0 0 0 0],[1 1 1 1 0 0]);
% CI Art 1 2 3 4 DOF
% qi =
% -0.7854 0.5000 0.5000 1.0472
qi_grad=qi*180/pi
% qi_grad =
% -45.0000 28.6479 28.6479 60.0000
Note que coinciden con las coordenadas de las articulaciones
originales. Una solución no siempre es posible, por ejemplo si
la transformación describe un punto fuera del alcance del
manipulador. También la solución no es necesariamente única
y hay singularidades en las cuales el manipulador pierde grados
de libertad y las coordenadas de las articulaciones llegan a ser
linealmente dependientes.

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Ejercicio
Considere el manipulador RRR de la Figura
Obteniendo los parámetros DH
Hallando la cinemática directa 0
T4 del manipulador desde las
ecuaciones DH.
Es usual realizar las multiplicaciones de las transformaciones,
ya que posteriormente necesitaremos de estos resultados en
las submatrices que se forman para obtener los Jacobianos.

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Para hallar el Jacobiano básico para este Manipulador. Para Xp
usamos la posición del efector final expresado en el frame {0}
que es la última columna de 0
T4
Para hallar el Jacobiano 1
Jv la matriz de posición del jacobiano
expresado en el frame {1} es:

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Usando la matriz hallada anterioemente, determinaremos las
singularidades (con respecto a la velocidda lineal) del
manipulador.
Para ello se requiere hallar θ1, θ2, y θ3 que es la matriz singular.
Esto se realiza cuando el determinante es cero.
Las singularidades ocurren cuando:
La primera cantidad (2C2+C23=0) es la distancia entre el punto
del efector final y el eje z1. Cuando la distancia es cero, la
juntura 1 no tiene efecto sobre la velocidad en el efector final.
Entonces solo las junturas 2 y 3 pueden afectar las velocidades
comunes a la rotación, el efector final no puede moverse en la
dirección de y1.
Cuando S3=0, puede tomar θ3 =180° o θ3=0, en este caso es
imposible que el efector final se mueva en la dirección x4.
Para cada singularidad podemos interpretar la limitación de
movimiento:

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