1. MỘT SỐ LOẠI PHẦN TỬ BẬC CAO
- Kh¸i niÖm ? PhÇn tö bËc cao lµ phÇn tö cã hµm chuyÓn vÞ lµ mét ®a thøc bËc 2 hoÆc
cao h¬n. Th«ng th−êng, bËc cña phÇn tö cµng cao th× sè nót cña phÇn tö cµng nhiÒu
- ý nghÜa cña phÇn tö bËc cao:
+ N©ng cao ®é chÝnh x¸c trong tÝnh to¸n, nã ph¶n ¸nh tèt h¬n tr¹ng th¸i øng suÊt thùc tÕ
cña phÇn tö.
+ Gi¶m bít sè l−îng phÇn tö khi rêi r¹c ho¸ kÕt cÊu.
+ ThÝch hîp víi tr−êng hîp tèc ®é biÕn ®æi cña tr−êng chuyÓn vÞ lµ lín, vÝ dô ®èi víi
vËt liÖu ®µn dÎo.
1 2 3
x=0 x = l/2 x=l
- C¸c lo¹i phÇn tö bËc cao: (0,1) (1/2,1/2) (0,1)
+ PhÇn tö mét chiÒu bËc cao
§å thÞ hµm d¹ng
• XÐt phÇn tö thanh chÞu biÕn d¹ng däc
trôc bËc 2(h×nh 9-1). 1
N1(x)
Hµm chuyÓn vÞ bËc 2 cã d¹ng:
u(x) = α1 + α2x + α3x2. 1
N2(x)
⎧α 1 ⎫
hay u ( x) = [1 x ]
⎪ ⎪
x ⎨α 2 ⎬ = [C ]{α }
2
N3(x)
1 2 3 1
4
⎪α ⎪
⎩ 3⎭ x=0 x = l/3 x=l
(1,0) H×nh x = 2l/3
9-1
(2/3,1/3 (1/3,2/3 (0,1)
BiÓu diÔn qua chuyÓn vÞ nót: ) )
u(x) = [N].{δ}
Trong ®ã: Hµm d¹ng N = [N1 N2 N3]. §å thÞ hµm d¹ng
⎛ x ⎞⎛ x⎞
Víi : N 1 = ⎜1 − 2 ⎟⎜1 − ⎟ , N1(x)
1
⎝ l ⎠⎝ l⎠
x⎛ x⎞ x⎛ x⎞
N 2 = 4 ⎜1 − ⎟ , N 3 = − ⎜1 − 2 ⎟ 1
l⎝ l⎠ l⎝ l⎠ N2(x)
1
N3(x)
1
N4(x)
H×nh 9 - 2

2. • XÐt phÇn tö thanh chÞu biÕn d¹ng däc trôc bËc ba(h×nh 9-2).
Hµm chuyÓn vÞ bËc ba cã d¹ng:
u(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3
⎧α 1 ⎫
⎪α ⎪
hay u ( x) = [1 x x 2 ]
3 ⎪ 2⎪
x ⎨ ⎬
⎪α 3 ⎪
⎪α 4 ⎪
⎩ ⎭
BiÓu diÔn qua chuyÓn vÞ nót:
u(x) = [N].{δ}
Trong ®ã:
Hµm d¹ng N = [N1 N2 N3 N4]
⎛ x ⎞⎛ x ⎞⎛ x⎞
Víi: N1 = ⎜1 − 3 ⎟⎜1 − 3 ⎟⎜1 − ⎟
⎝ l ⎠⎝ 2l ⎠⎝ l⎠
x ⎛ 3x ⎞⎛ x ⎞
N 2 = 9 ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟
l⎝ 2l ⎠⎝ l⎠
9 x ⎛ 3x ⎞⎛ x⎞
N3 = ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟
2l ⎝ l ⎠⎝ l⎠
x ⎛ 3x ⎞⎛ 3x ⎞
N4 = ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟
l⎝ l ⎠⎝ 2l ⎠
+ PhÇn tö 2 chiÒu bËc cao:
• PhÇn tö tam gi¸c bËc hai 6 ®iÓm nót: (h×nh 9-3)
Hµm chuyÓn vÞ cã d¹ng:
y 3
u(x,y) = α1 + α2x + α3y + α4xy +α5x2 + α6y2 (0,0,1)
v(x,y) = α7 + α8x + α9y + α10xy +α11x2 + α12y2 (1/2,0,1/2)
6 5 (0,1/2,1/2)
4
Quan hÖ gi÷a to¹ ®é vu«ng gãc vµ to¹ ®é diÖn 1
(1,0,0) (1/2,1/2,0 2
tÝch: (0,1,0)
⎧1 ⎫ ⎡ 1 1 1 ⎤ ⎧ L1 ⎫
⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪
x 3 ⎥ ⎨ L2 ⎬ ⇒
x
⎨ x ⎬ = ⎢ x1 x2 ⎥
H×nh 9 - 3
⎪ y⎪ ⎢ y y 3 ⎥ ⎪ L3 ⎪
⎩ ⎭ ⎣ 1 y2 ⎦⎩ ⎭

3. ⎧u ⎫
f = ⎨ ⎬ = [N 1 N2 N3 N4 N5 N 6 ]{δ }
⎩v ⎭
Trong hÖ to¹ ®é tù nhiªn hµm d¹ng ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc tæng qu¸t sau:
N i = α 1i L1 + α 2 L2 + α 3 L3 + α 4 L2 + α 5 L3 + α 6 L1 , (i = 1 .. 4)
i i i i i
Sau khi x¸c ®Þnh ®−îc c¸c hÖ sè αi , c¸c hµm d¹ng sÏ ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc
sau:
N1 = L1(2L1 – 1) , N2 = L2(2L2 – 1) , N3 = L3(2L3 – 1)
N4 = 4L1L2 , N5 = 4L2L3 , N6 = 4L3L1
§å thÞ c¸c hµm d¹ng nh− sau:
3 3
6 6
5 5
1 1
1 4 2 1 4 2
• PhÇn tö tam gi¸c bËc ba, 10 ®iÓm nót: (h×nh 9-4)
Hµm chuyÓn vÞ cã d¹ng:
u(x,y) = α1 + α2x + α3y + α4xy + α5x2 + α6y2 +α7x2y + α8xy2 + α9x3 + α10y3 .
v(x,y) = α11 + α12x + α13y + α14xy + α15x2 + α16y2 +α17x2y + α18xy2 + α19x3 + α20y3 .
PhÇn tö cã 20 bËc tù do, hµm d¹ng ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc tæng qu¸t sau:
N i = α 1i L1 + α 2 L2 + α 3 L3 + α 4 L1 L2 + α 5 L2 L3 + α 6 L3 L1
i i i i i
3
+ α 7 L1 L2 + α 8 L2 L3 + α 9 L3 L1 + α 10 L1 L2 L3
i i i i
y
Sau khi x¸c ®Þnh ®−îc c¸c hÖ sè αi , c¸c hµm d¹ng 8 7
®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau: 9
4 6
Víi i = 1..3, N i = Li (3Li − 1)(3Li − 2)
1
1
2
4 5 2
H×nh 9 - 4 x

4. L1 L2 (3L1 − 1) , N 5 = L1 L2 (3L2 − 1) , N 6 = L2 L3 (3L2 − 1)
9 9 9
N4 =
2 2 2
L2 L3 (3L3 − 1) , N 8 = L3 L1 (3L3 − 1) , N 9 = L1 L3 (3L1 − 1) , N 10 = 10 L1 L2 L3
9 9 9
N7 =
2 2 2
• PhÇn tö tam gi¸c bËc ba, 4 ®iÓm nót: (h×nh 9-5)
Hµm chuyÓn vÞ cã d¹ng:
u = N1u1 + N2u1,x + N3u1,y + N4u2 + N5u2,x + N6u2,y
3
y
+ N7u3 + N8u3,x + N9u3,y + N10u4 .
v = N11u1 + N12u1,x + N13u1,y + N14u2 + N15u2,x +
N16u2,y + N17u3 + N18u3,x + N19u3,y + N20u4 . 4
1
Trong ®ã:
2
N 1 = L1 (L1 + 3L2 + 3L3 ) − 7 L1 L2 L3
2
N 2 = L1 (c3 − c2 L3 ) + (c2 − c3 )L1 L2 L3
2
H×nh 9 - 5 x
N 3 = L1 (b2 L3 − b3 L2 ) + (b3 − b2 )L1 L2 L3
2
………………………………………
N 9 = L2 (b1 L1 − b2 L1 )L1 L2 L3
3
N10 = 27 L1 L2 L3
C¸c hÖ sè ai, bi, ci ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau:
ai = x j y k − x k y j , bi = y j − y k , ci = x k − x j
(i, j, k lÊy quay vßng theo gi¸ trÞ 1, 2, 3)
• PhÇn tö tam gi¸c bËc ba, 15 ®iÓm nót
(h×nh 9-6), trong hÖ to¹ ®é tù nhiªn.
ξ=0 ξ=1/4 ξ=1/2 ξ=3/4 ξ=1
Hµm chuyÓn vÞ cã d¹ng:
ζ=0 3
N1 = ζ(4ζ - 1)(4ζ - 2)(4ζ - 3)/6 η=1
ζ=1/4
N2 = ξ(4ξ - 1)(4ξ - 2)(4ξ - 3)/6 10
η=3/4
11
N3 = η(4η - 1)(4η - 2)(4η - 3)/6 ζ=1/2
15 5
6 η=1/2
ζ=3/4
9 η=1/4
N4 = 4ζξ(4ζ - 1)(4ξ - 1) 12 13 14
ζ=1
η=0
1 7 4 8 2
H×nh 9 - 6

5. N5 = 4ξη (4ξ - 1)(4η - 1)
N6 = 4ηζ(4η - 1)(4ζ - 1)
N7 = ξζ(4ζ - 1)(4ζ - 2)*8/3 N10 = ξη(4η - 1)(4η - 2)*8/3
N8 = ζξ(4ξ - 1)(4ξ - 2)*8/3 N11 = ζη(4η - 1)(4η - 2)*8/3
N9 = ηξ(4ξ - 1)(4ξ - 2)*8/3 N12 = ζη(4ζ - 1)(4ζ - 2)*8/3
N13 = 32ηξζ(4ζ - 1)
N14 = 32ηξζ(4ξ - 1)
N15 = 32ηξζ(4η - 1)
• PhÇn tö tø gi¸c bËc ba, 8 ®iÓm nót: (h×nh 9-7), trong hÖ
to¹ ®é tù nhiªn. 4
7
Hµm xÊp xØ chuyÓn vÞ: 8 3
u(r , s) = α1 + α2r + α3s + α4r2 + α5rs + α6s2 + α7r2s + α8rs2 1
6
Hµm d¹ng:
5
N i = (1 + rri )(1 + ssi )(rri + ssi − 1) , víi i = 1..4
1 2
4 H×nh 9 - 7
N5 =
1
2
(1 − r 2 )(1 + ss5 ) , N 6 = 1 (1 − rr6 )(1 − s 2 )
2
N7 =
1
2
(1 − r 2 )(1 + ss7 ) , N 8 = 1 (1 − rr8 )(1 + s 2 )
2
• PhÇn tö tø gi¸c bËc ba, 12 ®iÓm nót: (h×nh 9-8) , trong hÖ to¹ ®é tù nhiªn.
Hµm xÊp xØ chuyÓn vÞ:
u(r , s) = α1 + α2r + α3s + α4r2 + α5rs + α6s2 + α7r2s + s
4 10
α8rs2 + α9rs2 + α10s3 + α11r3s + α12rs3 . 11
9
3
Hµm d¹ng: 12
8
1
[N] = [N1 N2 N3 … N12]
7 r
5
6
2
H×nh 9 - 8

6. Ni =
1
(1 + rri )(1 + ssi )(9r 2 + 9s 2 − 10) , víi i = 1..4
32
Ni =
9
(1 + rri )(1 − s 2 )(1 + 9ssi ) , víi i = 7, 8, 11, 12
32
Ni =
9
(1 + ssi )(1 − r 2 )(1 + 9rri ) , víi i = 5, 6, 9, 10
32
+ PhÇn tö 3 chiÒu bËc cao:
• PhÇn tö tø diÖn bËc bèn, 20 ®iÓm nót: (h×nh 9-9)
PhÇn tö cã 60 bËc tù do, hµm chuyÓn vÞ nh− sau:
u(x,y,z) = α1 + α2x + α3y + α4z + α5x2 + α6xy +α7xz +
H×nh 9 -9
α8y2 + α9yz + α10z2 + α11x2y + α12x2z + α13xy2 + α14xyz +
α15xz2 + α16y2z + α17yz2 + α18x2yz + α19xy2z + α20xyz2.
T−¬ng tù:
v(x,y,z) = α21 + α22x +… + α40xyz2.
w(x,y,z) = α41 + α42x +… + α60xyz2.
• PhÇn tö lôc diÖn bËc ba, 8 ®iÓm nót: (h×nh 9-10) y
3 2
PhÇn tö cã 24 bËc tù do, hµm chuyÓn vÞ nh− sau:
u(x,y,z) = α1 + α2x + α3y + α4z + α5xy + α6yz +α7zx 4
1 x
7
+ α8xyz 6
v(x,y,z) = α9 + α10x + α11y + α12z + α13xy + α14yz z
8 5
+α15zx + α16xyz H×nh 9 - 10
w(x,y,z) = α17 + α18x + α19y + α20z + α21xy + α22yz +α23zx + α24xyz
• PhÇn tö lôc diÖn bËc bèn, 20 ®iÓm nót: (h×nh 9-11, 9-12)
PhÇn tö cã 60 bËc tù do , hµm chuyÓn vÞ nh− sau:
y
u(x,y,z) = α1 + α2x + α3y + α4z + α5xy + α6yz 7 20 8
11
+α7zx + α8xyz + α9x2 + α10y2 + α11z2+ α12x2y + 15
3 12
18 5 4 19 x
13 9 14 6
10
z
1 17 2
H×nh 9 - 11

7. α132z + α14y2x + α15y2z + α16z2x + α17z2y + α18x2yz + α19y2xz + α20z2xy = u(2)
T−¬ng tù:
v(x,y,z) = α21 + α22x +…+ α40z2xy
w(x,y,z) = α41 + α42x +…+ α60z2xy 8
z 7 20
11 15
3 12
4
18 19
13 5 14 6
9
10
y 1 17 2
x
H×nh 9 - 12
• PhÇn tö lôc diÖn bËc n¨m, 32 ®iÓm nót: (h×nh 9-
13)
PhÇn tö cã 96 bËc tù do, hµm chuyÓn vÞ nh− sau:
u = u(2) + α21x3 + α22y3 + α23z3 + α24x3y + α25x3z
y
+ α26y3x + α27y3z + α28z3x + α29z3y + α30x3yz +
α31y3xz + α32z3xy
Trong ®ã:
u(2): Hµm chuyÓn vÞ cña phÇn tö bËc bèn, 20 x
®iÓm nót ®· tr×nh bµy ë trªn. z
T−¬ng tù, cã hµm chuyÓn vÞ v, w. H×nh 9 - 13
• PhÇn tö ngò diÖn bËc hai, 15 ®iÓm nót:
ζ=1
(h×nh 9-14) 3
12
Hµm néi suy to¹ ®é vµ chuyÓn vÞ:
n n n 1 11
x = ∑ N i xi , y = ∑ N i y i , z = ∑ N i z i ζ
10 2
i =1 i =1 i =1
9
n n n
u = ∑ N i u i , v = ∑ N i vi , w = ∑ N i wi 7
i =1 i =1 i =1 8
ζ=-1
Trong ®ã, Ni lµ c¸c hµm d¹ng. 15
6
4 14
13
5
H×nh 9 - 14

8. NhËn xÐt: Qua mét sè c¸c phÇn tö tiªu biÒu tr×nh bµy ë trªn cho thÊy, khi ta thªm phÇn
tö vµo c¸c c¹nh biªn cña mét phÇn tõ th× sÏ ®−îc mét phÇn tö bËc cao h¬n, sè bËc tù do
t¨ng lªn, sè Èn chuyÓn vÞ còng t¨ng lªn vµ nh− vËy khèi l−îng tÝnh to¸n sÏ t¨ng lªn
nhiÒu lÇn. Tuy nhiªn, khi bËc cña phÇn tö cµng cao (bËc cña hµm chuyÓn vÞ ®èi víi c¸c
to¹ ®é) th× ®é x¸c thùc cña kÕt qu¶ tÝnh to¸n còng cµng lín. §Æc biÖt, sö dông phÇn tö
bËc cao sÏ rÊt thÝch hîp víi nh÷ng tr−êng chuyÓn vÞ, øng suÊt cã gradien lín.