1. Tema 9
Vectores y rectas
en el plano
Luis Alonso
CEIPS Adolfo Suárez
Curso 2010-2011

2. Curso 2010/2011 2
Tema 9
1.-Vectores en el plano
2.-Operaciones con vectores
3.-Ecuaciones de la recta
a)Ecuación vectorial
b)Ecuaciones paramétricas
c)Ecuación continua
d)Ecuación general
e)Ecuación punto-pendiente
f)Ecuación explícita
4.-Posiciones relativas

3. Curso 2010/2011 3
1.- Vectores en el plano
● Las magnitudes que se expresan con un solo
número se llaman magnitudes escalares, pero
si además tenemos que saber la dirección y el
sentido, tenemos magnitudes vectoriales y
sus elementos son los vectores.
● Por ejemplo, un mapa del tiempo contiene
magnitudes constantes, como la temperatura, y
magnitudes en movimiento, como el viento.

4. Curso 2010/2011 4
1.- Vectores en el plano
● Un vector AB es un segmento orientado con origen A y
extremo B.
● Gráficamente es una flecha.
● Los elementos de un vector son:
–Módulo de AB (|AB|) a la longitud del segmento AB
–Dirección de AB a la recta que pasa por A y B
–Sentido de AB a la orientación en la recta: de A a B
● Dos vectores son equipolentes (“iguales”) si tienen igual
módulo, dirección y sentido.
● Todos los vectores equipolentes entre sí son el mismo vector
libre.

5. Curso 2010/2011 5
Cálculo de las coordenadas de un
vector
● Dados A(4,1) y B(1,2) dibuja el vector AB y
halla sus coordenadas.
Para ir de A a B tenemos que ir 3 a la izquierda (-3) y 1 para arriba (+1).
Luego el vector AB=(-3,1). Es decir, AB = ( 1-4 , 2-1 )

6. Curso 2010/2011 6
Cálculo de las coordenadas de un
vector
● Es decir, para calcular las coordenadas de un
vector conocidos dos puntos, simplemente
restamos sus coordenadas:
A(x1
,y1
), B(x2
,y2
) entonces AB=(x2
-x1
,y2
-y1
)

7. Curso 2010/2011 7
Módulo de un vector
● El módulo de un vector es lo que “mide”.
● Veamos el dibujo que formamos.
Luego podemos, por el Teorema de Pitágoras,
calcular cuánto mide la hipotenusa del
triángulo:
∣AB∣=d  A, B=x2−x1
2
 y2−y1
2

8. Curso 2010/2011 8
EJERCICIOS
● Realiza los siguientes ejercicios:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14 (p. 153)

9. Curso 2010/2011 9
Tema 9
1.-Vectores en el plano
2.-Operaciones con vectores
3.-Ecuaciones de la recta
a)Ecuación vectorial
b)Ecuaciones paramétricas
c)Ecuación continua
d)Ecuación general
e)Ecuación punto-pendiente
f)Ecuación explícita
4.-Posiciones relativas

10. Curso 2010/2011 10
2.- Operaciones con vectores
a) SUMA DE VECTORES:
● Para sumar gráficamente dos vectores u y v se
toma uno de ellos ( u ) y con origen en su
extremo se dibuja el otro vector ( v ).
● Y la suma es otro vector con origen el de u y
extremo el de v.
● Se denota por u+v.

11. Curso 2010/2011 11
2.- Operaciones con vectores
a) SUMA DE VECTORES:
● En coordenadas, si
el vector suma se calcula sumando:
Ejemplo: Si A(0,0), B(-1,3), C(-2,-2), D(1,-3),
calcula: AB, CD, AB+CD, CD+AB
u=u1, u2 ,v=v1, v2
uv=u1, u2v1, v2=u1v1 ,u2v2

12. Curso 2010/2011 12
2.- Operaciones con vectores
b) PRODUCTO DE UN Nº POR UN VECTOR:
● Gráficamente, al multiplicar por un número un
vector podemos modificar el módulo del vector,
y el sentido si el número es negativo.
● En coordenadas, si el producto de
un número real k por dicho vector es:
u=u1, u2
k ·u=k ·u1, k ·u2

13. Curso 2010/2011 13
2.- Operaciones con vectores
b) PRODUCTO DE UN Nº POR UN VECTOR:
● OBSERVACIÓN:
–El vector -v es el mismo que v pero de sentido
contrario.
–Restar dos vectores u y v es:
u−v=u−v 

14. Curso 2010/2011 14
EJERCICIOS
● Realiza los siguientes ejercicios:
16, 17, 19, 20, 21, 22 (p. 155)

15. Curso 2010/2011 15
Tema 9
1.-Vectores en el plano
2.-Operaciones con vectores
3.-Ecuaciones de la recta
a)Ecuación vectorial
b)Ecuaciones paramétricas
c)Ecuación continua
d)Ecuación general
e)Ecuación punto-pendiente
f)Ecuación explícita
4.-Posiciones relativas

16. Curso 2010/2011 16
3.- Ecuaciones de la recta
● Las rectas son funciones lineales y=mx+n
donde m es la pendiente de la recta y n la
ordenada en el origen.
● Veamos las distintas formas de expresarla.

17. Curso 2010/2011 17
a) Ecuación vectorial
● Una recta queda definida por dos puntos A y B.
● Cualquier punto de la recta será una traslación
del punto A.
● La ecuación vectorial de la recta que pasa
por A y tiene por vector director v es:
donde P es un punto de la recta y t un
parámetro que puede valer cualquier nº real.
OP=OAt ·v

18. Curso 2010/2011 18
b) Ecuación paramétrica
● Si escribimos la ecuación vectorial en
coordenadas:
P(x,y), A(a,b), entonces:
Luego las ecuaciones paramétricas de la
recta son:
con t un número real.
v=v1, v2
x , y=a ,bt ·v1, v2
x , y=at ·v1 ,bt ·v2
{x=at ·v1
y=bt ·v2

19. Curso 2010/2011 19
c) Ecuación continua
● Si despejamos el parámetro t de las dos
ecuaciones, entonces nos queda:
Como t es el mismo número, podemos igualar y
obtenemos la ecuación continua de la recta:
{x=at ·v1
y=bt ·v2
t=
x−a
v1
y t =
y−b
v2
x−a
v1
=
y−b
v2

20. Curso 2010/2011 20
d) Ecuación general
● De la ecuación continua, vamos a operar para
dejarlo todo en una igualdad más sencilla.
Ejemplo: x−2
3
=
y−1
2

21. Curso 2010/2011 21
d) Ecuación general
● Hemos obtenido por tanto la ecuación general
de la recta: Ax+By+C=0
donde el vector director de la recta es
v=−B , A

22. Curso 2010/2011 22
e) Ecuación punto-pendiente
● Si despejamos de la ecuación continua,
podemos obtener:
La ecuación punto-pendiente de la recta es:
donde m es la pendiente de la recta.
x−a
v1
=
y−b
v2
 y−b=
v2
v1
x−a=m x−a
y−b=mx−a

23. Curso 2010/2011 23
e) Ecuación punto-pendiente
● Si conocemos el vector director de la recta,
entonces la pendiente es:
● Podemos decir también que la pendiente es la
inclinación de la recta y está relacionada con la
tangente del ángulo de inclinación. De ahí que
se dividan de esa forma las coordenadas.
v=v1, v2 m=
v2
v1

24. Curso 2010/2011 24
f) Ecuación explícita
● Si ahora despejamos la y de la ecuación punto-
pendiente (o de la general o de la continua que
son la misma) obtenemos la ecuación
explícita de la recta que es:
que es la forma general en la que nosotros
conocemos las rectas.
y=mxn

25. Curso 2010/2011 25
EJERCICIOS
● Tienes que tener todos los ejercicios siguientes
sobre ecuaciones de la recta:
a) 29, 32 (p. 157)
b) 30 (p. 157)
c) 31, 33 (p. 157)
d) 41, 42 (p. 159)
e) 43, 44 (p. 159)
f) 46, 47 (p. 159)
48, 49 (p. 159)

26. Curso 2010/2011 26
Tema 9
1.-Vectores en el plano
2.-Operaciones con vectores
3.-Ecuaciones de la recta
a)Ecuación vectorial
b)Ecuaciones paramétricas
c)Ecuación continua
d)Ecuación general
e)Ecuación punto-pendiente
f)Ecuación explícita
4.-Posiciones relativas

27. Curso 2010/2011 27
4.- Posiciones relativas
● En el plano dos rectas pueden ser paralelas,
coincidentes o secantes:
–Paralelas: tienen la misma dirección y no poseen
puntos comunes.
–Coincidentes: tienen la misma dirección y todos
los puntos son comunes.
–Secantes: sus direcciones son distintas y sólo
tienen un punto en común, que es el punto de
corte de ambas rectas.

28. Curso 2010/2011 28
4.- Posiciones relativas
● Para estudiar las posiciones relativas debemos
observar primero los vectores directores.
–Si son proporcionales (dividimos sus
coordenadas y vemos si son constantes),
entonces tienen la misma dirección. Luego
tenemos rectas paralelas o coincidentes.
–Si no son proporcionales entonces son secantes.

29. Curso 2010/2011 29
4.- Posiciones relativas
● Completa la siguiente tabla:
Posiciones
Vectores
directores
Pendientes
Ecuación
general
Paralelas
Proporcionales
Coincidentes
Secantes
Distintas
m ≠ m'
A
A'
=
B
B'
=
C
C'
u2
u1
=
v2
v1

30. Curso 2010/2011 30
EJERCICIOS
● Realiza los siguientes ejercicios:
34, 35, 39 (p. 157), 50, 51, 52 (p. 159)