相似関係とカヴァリエリの原理だけで証明します。

1. 角錐や円錐が
角柱や円柱の体積の
3分の1であることを
積分・極限抜きで証明してみる
H.Hiro
http://hhiro.net/
Twitter: http://twitter.com/h_hiro_

2. 角錐や円錐の体積は、
• [底面積]×[高さ]÷3 で、
• 底面積と高さが同一である角錐や円錐の3分の1
• なんだけど、何で「3分の1」なのか
小学生のとき疑問に思いませんでした？

3. 証明方法
• 積分を使えばすぐ
• なんだけど、あまり面白くない
• 図形の変形として証明したい
今回の証明方法
• 微分積分、極限は使わない
• ただし、カヴァリエリの原理は使う
（そもそもそれがないと、「同じ高さの角柱で頂点の
位置が違うもの」が同一の体積だと証明するのも難しい）

4. 補足：カヴァリエリの原理(1)
• Wikipediaの説明がわかりやすい
https://ja.wikipedia.org/wiki/カヴァリエリの原理
• 体積の場合だと、「高さが同じで、高さkでの
切り口の面積が任意のkについて同じである
二つの立体は、体積も同一である」

5. 補足：カヴァリエリの原理(2)
• ちなみにWikipediaの記事には、球の体積を
経由して円錐の体積を算出する方法が載って
いるものの、そもそも球の体積の計算方法を
証明するのに積分ないし極限が必要なので除外。
下図：Wikipedia (Wikimedia commons) より、Pajs氏作
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cavalieriho_princip.svg

6. 証明手順1：上半分を反転する
• 底面積S、高さhの角錐や円錐を考える
• 高さにして半分のところで切り、反転する
h
S
h/2
S
S/4

7. 証明手順1：上半分を反転する
• このとき、元の錐体の体積をVとすると、
反転した部分の体積は、V/8
（相似比1/2であり、体積比はその3乗となる）
h
S
h/2
S
S/4

8. 証明手順1：上半分を反転する
• さらに、元の錐体から反転した部分を削った
残り（右図の青い部分）の体積は
(7/8)V－(1/8)V = (3/4)V
h
S
h/2
S
S/4

9. 証明手順2：高さごとの面積計算
• いま作った立体において、底面から高さkの
断面の面積は
S
S/4
k
[補足]
最初の行における 1－k/h や k/(h/2) は、切断面が錐体の頂点から
どれだけ離れたかの比率（頂点が0、底面が1）である。
また、その比率を2乗しているのは、錐体の切断面の面積なので
頂点から離れるにつれて2乗で拡大していくためである。

10. 証明手順3：
カヴァリエリの原理を適用
• カヴァリエリの原理を使えば、いまの立体の
体積を求める代わりに、「高さが h/2、
高さ k での断面積が
である別の立体」の体積を求めてもよい。

11. 証明手順3：
カヴァリエリの原理を適用
• 「高さが h/2、高さ k での断面積が
である別の立体」としては、以下のようなものが
考えられる。
なぜなら、「k/(h/2)」は「断面の高さ k に比例して面積が小さく
なる」ことだからである。
h/2
S
S/4
h/2
S

12. 証明手順3：
カヴァリエリの原理を適用
さらに、このように変形できることから、
求めたい体積は角柱(円柱)の半分、
つまり [S×(h/2)]÷2 = Sh/4 となる。
なお、上図のように貼り合わせられるのは角柱の場合のみであるが、
そうでなくても逆さまに二つ並べれば「どの高さkでも面積がSになる立体」
となるので、カヴァリエリの原理により角柱(円柱)の体積に一致する。
h/2
S
h/2
S

13. まとめると
• 証明手順1により、角錐(円錐)の上半分を
反転させて削ったものの体積は、(3/4)V
（V：もとの角錐(円錐) の体積）
• 証明手順3により、その体積は Sh/4
• ゆえに、(3/4)V = Sh/4 ∴ V = Sh/3