Planteo de ecuaciones

Facultad de Ciencias
E Ingeniería
E.A.P. de Ingeniería:
Electrónica y Telecomunicaciones
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CICLO PRE - UCH
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe
www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938
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TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES SEMESTRE: 2017 - I
TURNO: Mañana PABELLÓN: B AULA: 502 B SEMANA: 2 FECHA: 22/03/17
PLANTEO DE ECUACIONES
Representar en el lenguaje matemático, el
enunciado de un problema es lo que llamaremos en
adelante plantear una ecuación.
Entenderemos también que no todo enunciado o
frase u oración del lenguaje común puede ser
traducido al lenguaje matemático.
Si una determinada oración o frase de nuestro
lenguaje común es medible, entonces podemos
afirmar que tal enunciado puede ser expresado
en el lenguaje matemático.
¿Cómo podremos representar en el lenguaje
matemático situaciones de lenguaje común?
① Leemos varias veces con mucho cuidado la
situación o problema propuesto, con el fin de
establecer los datos que se nos proporciona y
aquello que se nos pide calcular.
② Esto último lo representamos por
una incógnita para lo cual usaremos por lo
general, las últimas letras del alfabeto: 𝑥 , 𝑦 ó 𝑧.
③ Escribimos la ecuación que exprese las
condiciones del problema.
④ Resolvemos dicha ecuación.
⑤ Interpretamos el resultado en el lenguaje
común.
Forma verbal forma simbólica
Un número desconocido
El triple de un número
Una cantidad aumentada
en 20
Un número disminuido en
60
60 disminuido en un
número
Seis veces el número de
lápices
El exceso de un número
sobre 50 es 10
“x” excede a “y” en 8
El doble de un número
aumentado en 3
El doble de la suma de un
número con 3
“a” es cuadro veces “b”
La relación que hay entre
2 números es 2 a 5
La suma de tres números
consecutivos es 18
La suma de tres números
impares consecutivos es
33
Tres números son
proporcionales a 3, 4 y 5
respectivamente
El doble del cuadrado de
un número
El cuadrado del doble de
un número
La cuarta parte de un
número
La tercer parte de un
número sumada con su
quinta parte

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EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en
18 equivale al triple de su valor.
Resolución:
 Sea el número: x
 Según el enunciado del problema:
x + 18 = 3x
Resolviendo:
18 = 2x
9 = x
 . El número es 9
2. El exceso del doble de un número sobre 18 es
igual al triple del número disminuido en 10.
¿Cuál es el número?
Resolución:
 Sea” x” el número
 El exceso del doble del número sobre 18
es: 2x – 18
 El triple del número disminuido en 10 es:
3(x – 10)
 Luego, según el enunciado
2x – 18 = 3(x – 10)
Resolviendo:
2x – 18 = 3x – 30
12 = x  El número es 12
3. Se tienen dos números, el mayor excede al
menor en 15 unidades. Si al menor se le
aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la
mitad del mayor
Resolución:
Recuerda que:
Si A excede a B en 15, entonces:
A + B = 15
 Sean los números:
# menor = x
# mayor = x + 15
 Según el enunciado
Resolviendo
4x + 3x = 2(x + 15)
7x = 2x + 30
5x = 30
x = 6
 Luego los números son:
.
21156
6


# ma yor
# menor
.
4. Hallar dos números sabiendo que uno excede
al otro en 8 unidades y que el menor es 35
unidades menos que el doble del mayor
Resolución:
 Como nos dicen que uno de los números
excede al otro en 8, entonces
# menor = x
# mayor = x + 8
 Del enunciado
Resolviendo:
x = 2x + 16 – 35
19 = x
 Finalmente, los números son
27
19


# ma y or
# men or
5. La suma de tres números enteros
consecutivos es 47 unidades más que el
número menor. Hallar el mayor de los tres
números.
Resolución:
 Sean los tres números enteros
consecutivos:
 
3 #
#
4 2
3 15
4 2
mayor
menor sus
x
x x
 
  
 

 
 
35
2 8 35
# menor menos que el doble del # mayor
x x

  

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   
  
mayorermediomenor
xxx
#int##
2;1; 
 Del acuerdo a los datos del problema
x + (x + 1) + (x + 2)) x + 47
Resolviendo:
3x + 3 = x + 47
2x = 44
x = 22
 Entonces # mayor = 22 + 2 = 24
6. Si se multiplica el menor y el mayor de los
tres números pares consecutivos, se obtiene
un número que es 96 unidades menos que el
producto del mayor y el segundo de los tres
mencionados. Halla dichos números.
Resolución:
 Como los números pares consecutivos se
van generando de 2 en 2, entonces serán:
   
    
#erma yor##do#ermenor#
x;x;x
321
42 
 Del acuerdo a los datos:
x (x + 4) = (x + 4) (x + 2) – 96
Resolviendo:
x2
+ 4x = x2
+ 6x + 8 – 96
88 = 2x
44 = x
 Luego dichos números son 44; 46 y 48
7. Si al triple de la edad que tenía Manuel hace
10 años, se le resta su edad actual, se obtiene
la edad que tendrá dentro de 5 años ¿Cuál es
su edad?
Resolución:
 Sea “x” la edad actual de Manuel
Entonces:
Su edad hace 10 años era: (x – 10)
Su edad dentro de 5 años será: (x + 5)
 Según datos:
3(x – 10) – x = x + 5
Resolviendo:
3x – 30 – x = x + 5
x = 35
 Por lo tanto, la edad actual de Manuel es
35 años
8. Valeria dice: “Gasté los 2/7 de lo que tenía y
S/. 20 más, quedándome con la quinta parte
de lo que tenía y S/. 16 más.” ¿Cuánto tenía
Valeria?
Resolución:
 Sea “x” el dinero que tenía Valeria
 Si gasta los
7
2
de lo que tenía y S/. 20
más, le quedan:
20
7
5
20
7
2
20
7
2






 xxxxx ... (I)
 La quinta parte de lo que tenía y S/. 16
más es:
16
5
1
x ... (II)
 De acuerdo al enunciado del problema, las
expresiones (I) y (II) son equivalentes, o
sea:
16
5
1
20
7
5
 xx
Resolviendo:
25x – 700 = 7x + 560
18x = 1260
x = 70
 Luego Valeria tenía 70 soles
9. 9. Un estudiante lee 64 página de la novela
“Cien años de soledad”, y al día siguiente lee
1/3 de lo que le falta; si todavía le quedan por
leer los 4/7 del total de páginas, ¿Cuántas
páginas tiene dicha novela?
Resolución:
 Sea “x” el total de páginas.
 Según datos:
El 1er
día lee 64 páginas, entonces le falta leer
(x - 64) páginas
El 2do
día lee
3
64x
páginas

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Y todavía le quedan por leer x
7
4
páginas.
Se deduce que:
Lo que lee el primer día, más lo que lee el segundo
y más lo que le quedan por leer, será igual al total
de páginas. Entonces:
xx
x



7
4
3
64
64
Resolviendo:
MCM (3; 7) = 21
1 344 + 7(x – 64) + 12x = 21x
1 344 + 7x – 448 + 12x = 21x
896 = 2x
448 = x
 Por lo tanto la novela tiene 448 página
PROBLEMAS
1. La edad de Johan aumentada en 8 es 27 ¿Cuál
es la edad de Johan?
2. El doble de un número disminuido en 70 es 48.
3. El triple de la suma de un número con 6 es 48
4. El número de hombres es 5 veces el número
de mujeres, si en total hay 42 personas, entre
hombres y mujeres ¿Cuántas mujeres hay?
5. El número de hombres es 5 veces más que el
número de mujeres, si en total hay 42
personas entre hombres y mujeres, ¿Cuántos
hombres hay?
6. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de
“A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”?
7. El dinero que tengo aumentado en su mitad es
45 ¿Cuánto tengo?
8. Hallar un número, tal que al agregarle 432
obtengamos su triple disminuido en 8.
9. Al retirarse 14 personas de una reunión se
observa que ésta queda disminuida en sus
9
2
partes. ¿Cuántas quedaron?
10. A Sebastián le preguntan la hora y responde:
“Quedan del día 9 horas menos que las ya
transcurridas”. ¿Qué hora es?
11. ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17
equivale a la diferencia entre los
5
3
del
número y sexta parte del mismo?
12. Noventa soles se reparten entre tres
hermanos proporcionalmente a sus edades que
son como 5, 3 y 1; si se repartiera
equitativamente, ¿Cuánto más recibiría el
menor?
13. Doce es excedido por 18 en la misma medida
que el número es excedido por su triple. Hallar
el exceso de 20 sobre el número.
14.Tenía S/. 85, gasté cierta suma y lo que me
queda es el cuádruplo de lo que gasté ¿Cuánto
gasté?
15. El martes gané el doble de lo que gané el
lunes, el miércoles el doble de lo que gané el
martes, el jueves el doble de lo que gané el
miércoles; el viernes S/. 30 menos que el
jueves y el sábado S/. 10 más que el viernes.
Si en los 6 días he ganado S/. 911 ¿Cuánto gané
el miércoles?
16. Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da
6 pasos más que subiendo de cinco en cinco.
¿Cuántos peldaños tiene la escalera?
17. Compré el cuádruple del número de caballos
que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos
más y 5 vacas más tendría el triple de número

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de caballos que el de vacas. ¿Cuántos caballos
y cuántas vacas compré?
18. Calcular cuatro números consecutivos tales
que la tercera parte de la suma de los
mayores sea 10 unidades menos que la suma
de los dos primeros.
19. Al preguntar un padre a su hijo cuanto había
gastado de los 350 soles que le dio, éste
respondió: “He gastado las
4
3
partes de lo
que no gasté”. ¿Cuánto gastó?
20. AL comprar 20 naranjas, me sobra S/. 480,
pero al adquirir 24 naranjas, me faltarían
S/. 120 ¿Cuánto cuesta cada naranja?
Problemas
1. 5 Veces la suma de un número con 3 es igual a
40. hallar el número.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. El óctuplo de un número, más 5 es igual al
quíntuplo de la suma del número con 10. Hallar
el número.
a) 12 b) 11 c) 10 d) 15 e) 16
3. El exceso del triple de un número sobre 42
equivale al exceso de 286 sobre el número.
a) 12 b) 22 c) 82 d) 46 e) 30
4. Hallar la medida de un ángulo, tal que el
exceso del triple de su suplemento sobre el
doble de su complemento es igual a 320º
a) 20° b) 40° c) 10° d) 15° e) 60°
5. Hallar el mayor de cinco números enteros
consecutivos; sabiendo que el exceso de la
suma de los tres menores sobre la suma de
los dos mayores es 28.
a) 36 b) 34 c) 32 d) 30 e) 28
6. Hallar el menor de tres números
consecutivos; si sabemos que los
5
4
del
mayor exceden a los
4
3
del intermedio, en
una cantidad igual a la sexta parte del
menor disminuida en
5
1
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
7. Hallar dos números cuya suma es 1060 y su
diferencia es 320.
a) 340 b) 350 c) 360 d) 370 e) 380
8. ¿A qué hora las horas transcurridas es igual
al décuplo de la midan de las que faltan
transcurrir?
a) 8am b) 6am c) 8pm d) 5pm e) 7am
9. Dos hermanos pesan juntos 152 kg y los
8
7
del peso del menor exceden en 3 kg a los
4
3
del peso del otro ¿Cuánto pesa cada uno?
a) 78 y 80 b) 72 y 80 c) 80 y 82
d) 76 y 81 e) 45 y 50
10.Se ha gastado $148, utilizando 72 billetes
de $1 y $5 ¿Cuántos de $1 se utilizó?
a) 53 b) 54 c) 55 d) 56 e) 57
Problemas y más problemas
1. Hallar un número que, aumentado en 14
equivale al triple del mismo número Rpta. 7
2. La suma de dos números consecutivos enteros
es 35 ¿Cuáles son esos números? Rpta.17 y
18
3. Hallar dos números sabiendo que uno excede
en 8 unidades al otro y que el menor
aumentado en su 3/5 es 5 unidades menos que
el mayor. Rpta. 13 y 5

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4. El triple de un número aumentado en 16
equivale al exceso de 60 sobre el mismo
número. Hallar dicho número. Rpta. 3
5. Un número más su mitad igual al exceso del
doble del mismo sobre 9. Hallar el doble de
dicho número. Rpta. 36
6. A un alambre se le da dos cortes de manera
que la longitud del primer trozo es los 2/9 del
total, y la del segundo 6 metros más que el
primero y la del tercero los 4/9 del total.
¿Cuál es la longitud total del alambre? Rpta.
54 m
7. La edad de Ernesto dentro de 8 años será el
doble de la edad que tuvo hace 5 años. ¿Cuál
es su edad actual? Rpta. 18 años
8. Hallar un número cuyos 7/8 excedan a sus
3/4 en 5. Rpta. 40
9. Si un número aumentado en 8 se multiplica por
el mismo número disminuido en 3, resulta el
cuadrado del número, más 76. ¿Cuál es el
número? Rpta. 20
10.La suma de tres números enteros
consecutivos, es lo mismo que el exceso de 39
sobre el menor de los números. ¿Cuál es el
número mayor? Rpta. 11
11.Si a un número se le suma 5, se multiplica por
la suma por 3, se le resta 6 del producto y se
divide la diferencia por 7, se obtiene un número
que tiene 5 unidades menos que el número
inicial. Hallar el número aumentado en 3. Rpta.
14
12.Ángel tiene 18 años más que Frank. hace 18
años la edad de Ángel equivalía a los 5/2 de la
edad de Frank. Hallar la edad que tiene Ángel.
Rpta. 48 años
13.Si al cuádruple de la edad que tenía hace 3
años, le resto el doble de la edad que tendré
dentro de 4 años, obtengo mi edad. ¿Cuál es
mi edad? Rpta. 20 años
14.Las edades de Ángel, Beto y Carlos suman 53
años. la edad de Beto es 1/3 de la edad de
Carlos y la edad de Ángel es 4 años más que
la edad de Carlos ¿Cuál es la edad de Beto?
Rpta. 7 años
15.Andrea tiene cierta suma de dinero. Gastó
S/. 30 en libros y los 3/4 de lo que le quedaba
después del gasto anterior, en ropa, si todavía
le quedan S/. 30 ¿Cuánto tenía al principio?
Rpta. S/. 150
16.En 3 días Fiorella ganó 185 soles. Si cada día
ganó 3/4 de lo que ganó el día anterior
¿Cuánto ganó el primer día? Rpta. S/. 80
BIBIOGRAFIA:
ACADEMIA ADUNI, Asociación Aduni (2003)
Compendio académico de matemática Editor:
Lumbreras Lima
INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
(2008) Aritmética Análisis del número y sus
aplicaciones Edición: 3a ed. Editor: Instituto de
Ciencias y Humanidades Lima
REFERENCIA:
www.jacobiperu.com

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