Презентация числовые ряды. Миронюк С.А.

1. Числовые ряды
Вып.: ст. ХК ГУТ
гр. СО-11
Миронюк Сергей

2. - Определение числового ряда
- Сумма ряда
- Примеры числовых рядов
- Определение частичной суммы
- Сходящиеся и расходящиеся ряды
- ,Признак Даламбера исследование
на сходимость

3. Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных
последовательностей: U1, u2, u3, un, …,
и с понятием бесконечных рядов u1 + u2 + u3 + … + un + …
числа u1, u2 , u3, … – члены ряда.
Пользуясь введенным Эйлером знаком суммы ,
рассмотрим частичные суммы данного ряда.
s1 = u1 – первая частичная сумма,
s2 = u1 + u2 – вторая частичная сумма,
s3 = u1 + u2 + u3 – третья и т.д.
Сумма sn = u1 + u2 + u3 + … + un - частичная сумма ряда.
∑
∞
=1n
nu

4. u1, u2 , u3, …, un, …
s1, s2 , s3, …, sn, … , где
s1 = u1,
s2 = u1 + u2,
s3 = u1 + u2 + u3,
……………………………
sn = u 1+ u2 + u3 + … + un,
……………………………
При частичная сумма имеет предел
∞→n S
nS
n
=
∞→
lim

5. Сходящиеся и расходящиеся ряды
Ряд называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм
имеет конечный предел
Этот предел называется суммой сходящегося ряда.
Если последовательность частичных
сумм не имеет конечного предела, то ряд
называется расходящимся.
S
nS
n
=
∞→
lim

6. Пример 1
Выражение
1 + (–1) + 1 + (–1) + … + (–1)n+1
+ …
является рядом.
Составим частичные суммы
s1 = 1, s2 = 1 – 1 = 0, s3 =1 – 1 + 1 = 1, …,
2
)1(1
)1(...11
1
1
+
+ −+
=−++−=
n
n
ns

7. Пример 2
Выражение
является рядом.
Из членов
составляют частичные суммы
...
2
1
...
8
1
4
1
2
1
1
1
+





+++++
−n
,...
2
1
,...,
4
1
,
2
1
,1
1−






n
,...
2
1
2,...,
4
3
1,
2
1
1,1
1
321
−






−====
n
nssss

8. Пример 3
Ряд
1 + 2 + 3 + 4 + … + n + … -
расходящийся, т.к. последовательность
его
частичных сумм
s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6, … ,
имеет бесконечный предел.
,...
2
)1( +
=
nn
sn

9. Пример 4
Ряд
1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1
+ … -
расходящийся, т.к. последовательность его
частичных сумм
не имеет никакого предела.
,...
2
)1(1
,...,1,0,1
1
321
+
−+
====
n
nssss

10. .
)1(
1
1
∑
∞
= +n nn
,...).3,2,1(
1
11
)1(
1
=
+
−=
+
n
nnnn
.
1
1
1
1
11
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
+
−=





+
−++





−+





−+





−=
nnn
Sn
.1
1
11
limlim =





+
−=
∞→∞→ nn
S
n
n
n
Поэтому

11. Ряд
u1 + u2 + … + un + …
может сходится, когда общий член
ряда un стремится к нулю:
.0lim =
∞→
n
n
u

12. Пример 5
Ряд
0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + … - расходится, т.к.
общий член ряда не стремиться к нулю.
Пример 6
Ряд
1 – 1 + 1 – 1 + … - расходится, т.к. общий член
ряда не стремится к нулю.

13. Если знаменатель прогрессии удовлетворяет
неравенству:
|q| < 1,
то последовательность частичных сумм (Sn)
имеет предел:
который называют суммой бесконечно
убывающей геометрической прогрессии (т.е.
суммой ряда).
,
1 q
a
S
−
=

14. Признак Даламбера
Если члены положительного ряда
а1+а2+ …+ аn+…
таковы, что существует ,
то при ряд сходится,
а при ряд расходится.
ρ=+
∞→ n
n
n a
a 1
lim
1ρ
1ρ

15. Применение признака
Даламбера
Примеры
Исследовать на сходимость следующие ряды:
1.
2.
Решение: воспользуемся признаком Даламбера:
ряд сходится.
...
10
!
...
10
321
10
21
10
1
...
3
...
3
3
3
2
3
1
32
32
n
n
n
n
++
⋅⋅
+
⋅
+
+++++
11
3
1
3
++
+
=
=
nn
nn
n
a
n
a
токт
nn
a
a
n
n
n
nn
nn
n
n
,1
3
1
..,
3
1
3
:
3
1
3
1
limlimlim 1
1
===




 +
=
+
∞→
+
∞→
+
ρ

16. Применение признака
Даламбера
Решение второго примера:
т.к. , то ряд расходится.
( )
11
10
!1
10
!
++
+
=
=
nn
nт
n
a
n
а
( ) ( ) ∞=
+
=
+
=


 +
=
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→ 10
1
10!
10!1
10
!
:
10
!1
limlimlimlim 11
1 n
n
nnn
a
a
n
n
n
n
nn
nn
n
n
∞=ρ

17. Краткая историческая
справка
 Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783)
— французский математик,
механик и философ-просветитель,
иностранный почетный член
Петербургской АН (1764). В 1751-57
вместе с Дени Дидро редактор
«Энциклопедии». Сформулировал
правила составления
дифференциальных уравнений
движения материальных систем
(см. ниже Д'Аламбера принцип).
Обосновал теорию возмущения
планет. Труды по математическому
анализу, теории
дифференциальных уравнений,
теории рядов, алгебре.