Quasi Monte Carlo et ses applications financières ( pour une audience 'technique!!')

Koïos Intelligence
Recherche et développement
Atelier de recherche
Comment générer des points quasi-Monte
Carlo eﬃcacement
Application : tariﬁcation d’une option asiatique
Mohamed Hanini
hanini@koiosintelligence.ca
November 24, 2017

Ko IntelligenceIos 1
Contenu
Introduction
Approche théorique
Application
Mohamed Hanini | Comment générer des points quasi-Monte Carlo

Qu’est ce qu’on peut faire avec les méthodes QMC?
Applications
1. Évaluer des produits dérivés (Front oﬃce),
2. Calculer une Valeur à Risque (Risque de marché),
3. Sensibilité des prix d’options (Greeks- Couverture),
4. Centre d’appel et systèmes de service,

Qu’est ce qu’on peut faire avec les méthodes QMC?
Applications
1. Évaluer des produits dérivés (Front office),
2. Calculer une Valeur à Risque (Risque de marché),
3. Sensibilité des prix d’options (Greeks- Couverture),
4. Centre d’appel et systèmes de service,
Pourquoi QMC ?
1. Plus effice que Monte Carlo,
2. Efficace ? Gain en temps et espace de stockage!.
Exemple : l’impact macro-économique d’un choc sur une grande
institution.
Défis ? agrégation de données, temps de calcul etc..
D’où l’importante d’efficacité en temps et en espace mémoire.
Présentation visant une audiance "quantitative"!

Comment peut on approximer une intégrale?
Méthodes
1. Monte Carlo (MC),
2. Quasi-Monte Carlo (QMC) et QMC randomisée (RQMC).

Comment peut on approximer une intégrale?
Méthodes
1. Monte Carlo (MC),
2. Quasi-Monte Carlo (QMC) et QMC randomisée (RQMC).
Notre approche pratique QMC-RQMC
1. Lancer une recherche pour une méthode de construction donnée
pour trouver un vecteur générateur. comment trouver ce vecteur
?
2. Minimiser un critère choisi (une ﬁgure de mérite).
Représentation du critère:
Erreur pire cas, erreur quadratique (QMC),
variance (RQMC),
Autres?

Monte Carlo (MC)
Méthodes d’intégration multidimensionnelle
Monte Carlo (MC), Quasi-Monte Carlo (QMC) et QMC randomisée
(RQMC)
Soit X un système (output) à valeur réelle qu’on veut simuler, qui
peut être écrit en fonction de, disons d valeurs successives d’une
séquence, par exemple: X = f(u1, u2, . . . , ud).
µ = E[X] = E[f(u1, u2, . . . , ud)] =
[0,1)d
f(u) du
Technique d’inversion Exemple: X une V.A exp(λ)
F(X) = 1 − exp(−λX) = U ∼ U[0, 1)
⇒ X = − log(1 − U)/λ.

Monte Carlo (MC)
(RQMC)
µ = E[X] = E[f(U)] =
[0,1)d
f(u) du
MC standard: Générer n points (v.a.) i.i.d de U(0, 1)d
, soit
U0, . . . , Un−1;

Monte Carlo (MC)
(RQMC)
µ = E[X] = E[f(U)] =
[0,1)d
f(u) du
, soit
U0, . . . , Un−1; Estimer µ par ˆµn,MC = 1
n
n−1
i=0 f(Ui),
En = ˆµn,MC − µ converge en Op(n−1/2
).

Monte Carlo (MC)
(RQMC)
µ = E[X] = E[f(U)] =
[0,1)d
f(u) du
, soit
n
n−1
i=0 f(Ui),
).
Var[ˆµn,MC] = E[(ˆµn,MC − µ)2
)] = σ2
/n = O(n−1
) converge lentement
comme une fonction de n, où σ2
= [0,1)d f(u) du − µ2
.

Monte Carlo (MC)
(RQMC)
µ = E[X] = E[f(U)] =
[0,1)d
f(u) du
, soit
n
n−1
i=0 f(Ui),
).
Var[ˆµn,MC] = E[(ˆµn,MC − µ)2
)] = σ2
/n = O(n−1
) converge lentement
comme une fonction de n, où σ2
= [0,1)d f(u) du − µ2
. Théorème
limite central
√
n(ˆµn,MC − µ)/σ ⇒ N(0, 1) lorsque n → ∞.

Quasi-Monte Carlo (QMC)
Intégration multidimensionnelle
µ = E[f(U)] =
[0,1)d
f(u) du
Estimateur QMC
ˆµn,QMC =
1
n
n−1
i=0
f(ui).
On remplace les points indépendants MC par u0, . . . , un−1 un
ensemble de n points (structurés) qui couvrent le cube unitaire (0, 1)d
de manière plus uniforme que les points MC.

µ = E[f(U)] =
[0,1)d
f(u) du
Estimateur QMC
ˆµn,QMC =
1
n
n−1
i=0
f(ui).
Méthodes d’intégration: réseaux polynomiaux et digitaux.
Méthodes de construction: exemple Korobov, CBC etc...

µ = E[f(U)] =
[0,1)d
f(u) du
Estimateur QMC
ˆµn,QMC =
1
n
n−1
i=0
f(ui).
Méthodes d’intégration: réseaux polynomiaux et digitaux.
Méthodes de construction: exemple Korobov, CBC etc...
Erreur pire cas converge dans O(n−α+
) où α ≥ 1

Quasi-Monte Carlo randomisé (RQMC)
Estimateur RQMC
ˆµn,RQMC,l =
1
n
n−1
i=0
f(ui).
On va randomiser l’ensemble de n points structurés u0, . . . , un−1 : de
façon individuelle. Chaque point Ui ∼ U[0, 1)d
.

Estimateur RQMC
ˆµn,RQMC,l =
1
n
n−1
i=0
f(ui).
. Avec m estimateurs
i.i.d, on peut construire un estimateur sans biais
ˆµn,RQMC = 1
m
m
l=1 ˆµn,RQMC,l.

Estimateur RQMC
ˆµn,RQMC,l =
1
n
n−1
i=0
f(ui).
. Avec m estimateurs
i.i.d, on peut construire un estimateur sans biais
ˆµn,RQMC = 1
m
m
l=1 ˆµn,RQMC,l.
Var[ˆµn,RQMC] = Var[f(ui)]
n + 2
n2 i<j Cov[f(ui), f(uj)].

Réseau d’intégration
Réseau primal
Ld =



v =
d
j=1
hjvj tel que chaque hj ∈ Z



,
où v1(z), v2(z), . . . , vd(z) ∈ Rd
sont linéairement indépendants sur R
et Ld contient Zd
, Pn = Ld ∩ [0, 1)d
.
.

Réseau primal
Ld =



v =
d
j=1



,
où v1(z), v2(z), . . . , vd(z) ∈ Rd
et Ld contient Zd
, Pn = Ld ∩ [0, 1)d
.
Réseau de rang 1: ui = iv1 mod 1 pour i = 0, 1, . . . , n − 1.
nv1 = a = (a1, a2, . . . , ad) ∈ Zd
n.
.

Réseau primal
Ld =



v =
d
j=1



,
où v1(z), v2(z), . . . , vd(z) ∈ Rd
et Ld contient Zd
, Pn = Ld ∩ [0, 1)d
.
nv1 = a = (a1, a2, . . . , ad) ∈ Zd
n.
Exemple: Construction de Korobov a = (1, a, a2
mod n, . . . , ad−1
mod n) = O(n), car 0 ≤ a ≤ n − 1.

Réseau primal
Ld =



v =
d
j=1



,
où v1(z), v2(z), . . . , vd(z) ∈ Rd
et Ld contient Zd
, Pn = Ld ∩ [0, 1)d
.
nv1 = a = (a1, a2, . . . , ad) ∈ Zd
n.
mod n, . . . , ad−1
mod n) = O(n), car 0 ≤ a ≤ n − 1.
Réseau dual
L⊥
d = h ∈ Rd
: hT
v ∈ Z pour tout v ∈ Ld ⊆ Zd
.

Réseau primal
Ld =



v =
d
j=1



,
où v1(z), v2(z), . . . , vd(z) ∈ Rd
et Ld contient Zd
, Pn = Ld ∩ [0, 1)d
.
nv1 = a = (a1, a2, . . . , ad) ∈ Zd
n.
mod n, . . . , ad−1
mod n) = O(n), car 0 ≤ a ≤ n − 1.
Réseau dual
L⊥
d = h ∈ Rd
: hT
v ∈ Z pour tout v ∈ Ld ⊆ Zd
.
Représentation des critères dans le dual

Comment choisir le vecteur générateur?
Approche naïve:
1. Considérant toutes les possibilités pour trouver le vecteur
générateur,
2. minimiser l’erreur pire cas ou la variance du problème qu’on a en
main.

Comment choisir le vecteur générateur?
Approche naïve:
1. Considérant toutes les possibilités pour trouver le vecteur
générateur,
2. minimiser l’erreur pire cas ou la variance du problème qu’on a en
main.
Approche pratique
1. Raﬃner l’espace de recherche pour trouver g(z)
2. minimiser une ﬁgure of mérite donnée
Avec une méthode de construction choisie:
composante par composante (CBC),
composante par composante rapide (Fast-CBC),
Korobov
Autres?

Exemple de Règle de réseau rang 1
Réseau de rang 1
Pn = ui =
ia
n
mod 1 : 0 ≤ i ≤ n − 1 ,
Règle de réseau de rang 1 = 1
n
n−1
i=0 f(ui),
nombre de points: n,
vecteur générateur: a ∈ Zd
.
0 1
0
1
a/n
u1
u2
original
a = (1, 3)
0 1
0
1
u2
shifted

Exemple de Règle de réseau rang 1
Réseau de rang 1
Pn = ui =
ia
n
mod 1 : 0 ≤ i ≤ n − 1 ,
Règle de réseau de rang 1 = 1
n
n−1
i=0 f(ui),
nombre de points: n,
vecteur générateur: a ∈ Zd
.
Règle de réseau randomisé
Pn,∆ = {Ui = (ui + U) mod 1 : 0 ≤ i ≤ n − 1} ,
point aléatoire: U ∼ U[0, 1)d
.
0 1
0
1
a/n
u1
u2
original
a = (1, 3)
0 1
0
1
U
u2
shifted

Projection d’un réseau d’intégration
⇒ On veut idéalement n valeurs distinctes pour chaque projection à
une dimension Pn({j}) de Pn ainsi les composantes de a se trouvent
dans:
Un = {a ∈ Z : 1 ≤ a ≤ n − 1 et pgcd(a, n) = 1}.
Pour n premier:
il y’a n − 1 choix pour chaque composante de a,
il y’a (n − 1)d
possibilités pour générer le vecteur a.
Pour tout sous ensemble ν ⊆ {1, 2, . . . , d}, la projection Ld(ν) de Ld
est aussi un réseau, ayant un ensemble de points Pn(ν).

Réseau d’intégration polynomial
Réseau primal
Ld =



v(z) =
d
j=1
hjvj tel que chaque hj ∈ Zb[z]



,
où v1(z), v2(z), . . . , vd(z) ∈ Ld
b (ensemble de séries de Laurent) où
vj(z) = gj(z)/P(z), lequel P(z) ∈ Zb[z] un polynôme de degré m.
Pn = ϕ(Ld) ∩ [0, 1)d
.

Réseau primal
Ld =



v(z) =
d
j=1



,
où v1(z), v2(z), . . . , vd(z) ∈ Ld
Pn = ϕ(Ld) ∩ [0, 1)d
.
Réseau dual
L∗⊥
d =



h ∈ Nd
0 :
d
j=1
hj(z)vj(z) ∈ Zb[z] pour tout v(z) ∈ Ld



,

Réseau primal
Ld =



v(z) =
d
j=1



,
où v1(z), v2(z), . . . , vd(z) ∈ Ld
Pn = ϕ(Ld) ∩ [0, 1)d
.
Réseau dual
L∗⊥
d =



h ∈ Nd
0 :
d
j=1
hj(z)vj(z) ∈ Zb[z] pour tout v(z) ∈ Ld



,
Représentation des critères dans le dual

Construction des points
Structure des points pour une règle de réseau polynomial de rang 1
ui,j = ϕ
qi(z)gj(z) mod P(z)
P(z)
tel que ϕ : Lb → R.
=⇒ ϕ
∞
l=w
xlz−l
=
∞
l=w
(xl)b−l
,

ui,j = ϕ
qi(z)gj(z) mod P(z)
P(z)
=⇒ ϕ
∞
l=w
xlz−l
=
∞
l=w
(xl)b−l
,
Approche pratique
1. Tronquer la série de Laurent à L ui,j =
L
l=w xlb−l
,
2. Trouver tous les xl ∈ {0, 1} pour une base b = 2.

ui,j = ϕ
qi(z)gj(z) mod P(z)
P(z)
=⇒ ϕ
∞
l=w
xlz−l
=
∞
l=w
(xl)b−l
,
Approche pratique
1. Tronquer la série de Laurent à L ui,j =
L
l=w xlb−l
,
2. Trouver tous les xl ∈ {0, 1} pour une base b = 2.
ui = (u1,i, u2,i, . . . , uj,i, . . . , ui,d) le ième point

Exemple de Règle de réseau polynomial rang 1
Règle de réseau polynomial de rang 1
Pn = ui =
qi(z)g(z) mod P(z)
P(z)
: q(z) ∈ Zb[z]
Réseau polynomial de rang 1 = 1
n
n−1
i=0 f(ui)
Polynôme primitif: P(z) de degré m.
vecteur générateur: g(z) ∈ Zb[z]d
Exemple (cas particulier): règle de Korobov g(z) = (1, g(z), g(z)2
mod P(z), . . . g(z)d−1
mod P(z))
R
¯
éseau polynomial de rang 1 randomisé
Pn,∆ = {ui = ui + ∆ : 0 ≤ i ≤ n − 1}
point aléatoire: ∆ ∼ U[0, 1)d
, ˆui,j = (ui,j + ∆i,j) mod b

Exemple de Règle de réseau polynomial de rang 1
Erreur quadratique QMC
Peut converger avec n plus rapide que Monte Carlo dépendant de :
la régularité de la fonction à intégrer
Uniformité des points du réseau polynomial (choix du paramètre
g(z))

Exemple de Règle de réseau polynomial de rang 1
Erreur quadratique QMC
Peut converger avec n plus rapide que Monte Carlo dépendant de :
la régularité de la fonction à intégrer
Uniformité des points du réseau polynomial (choix du paramètre
g(z))
réseau polynomial de
n = 64 points
P(z) = z6
+ z + 1 en
2D
0 1
0
1
Bon réseau
g(z) = (1, z5 +
z3 + z2 + z + 1)
0 1
0
1
très mauvais réseau
g(z) = (1, 1)

Réseaux digitaux
Définition
Soit un nombre premier b ≥ 2, appelé base, un réseau digital en base b
formé par n = bm
points en d dimensions est défini en sélectionnant d
matrices génératrices C1, C2, . . . , Cd, où chaque Cj est une ∞ × m.
La matrice dont les éléments appartiennent aux corps fini
Fb = 0, 1, 2, . . . , b − 1. ⇒ La matrice Cj détermine la coordonné j de
tous les points.
On définit ui pour i = 0, 1, 2, . . . bm
− 1,
on écrit la représentation binaire de i en base b,
on multiplie le vecteur des coefficients binaires par Cj mod b
pour obtenir les coefficients binaires de ui,j.

Réseaux digitaux
Définition
Soit un nombre premier b ≥ 2, appelé base, un réseau digital en base b
formé par n = bm
points en d dimensions est défini en sélectionnant d
matrices génératrices C1, C2, . . . , Cd, où chaque Cj est une ∞ × m.
La matrice dont les éléments appartiennent aux corps fini
Fb = 0, 1, 2, . . . , b − 1. ⇒ La matrice Cj détermine la coordonné j de
tous les points.
⇒ Semblable à la composante gj(z) du vecteur g(z)
On définit ui pour i = 0, 1, 2, . . . bm
− 1,
on écrit la représentation binaire de i en base b,
on multiplie le vecteur des coefficients binaires par Cj mod b
pour obtenir les coefficients binaires de ui,j.

Réseaux digitaux
Soit
i =
k−1
l=0
ai,lbl
,
et soit



ui,j,1
ui,j,2
...


 = Cj





ai,0
ai,1
...
ai,k−1





mod b.
ui,j =
∞
l=1
ui,j,lb−l
et ui = (ui,1, ui,2, . . . , ui,d).
⇒ L’ensemble de points résultant est un réseau digital en base b. En
pratique on tronque l’expansion ui,j, disons à L. Pourb = 2, les Cj
sont des L × m matrices binaires.

Transformée de Walsh
f(u) =
h∈Nd
0
ˆf(h) walb,h(u),
où
ˆf(h) = [0,1)d f(u)walb,h(u)du et walb,h(u) = exp (2πih · u)/b.

Transformée de Walsh
f(u) =
h∈Nd
0
ˆf(h) walb,h(u),
où
ˆf(h) = [0,1)d f(u)walb,h(u)du et walb,h(u) = exp (2πih · u)/b.
Erreur d’intégration (propriété de Sloan)
En =
1
n
n−1
i=0
f(ui) −
[0,1)d
f(u) du =
0=h∈L∗⊥
d
ˆf(h).

Expression de la variance
Pour un réseau randomisé, la variance peut s’exprimer:
Var[ˆµn,RQMC] =
0=h∈L∗⊥
d
| ˆf(h)|2
.
D’un point de vue de la réduction de la variance, un réseau
optimal pour f minimise Df (Pn)2
= Var[ˆµn,RQMC].
Pas très utilisé comme critère, solution ?
⇒ Erreur pire cas
e(HK; Pn) = sup
f∈HK ,||f||K ≤1
|Qn(f) − I(f)|.

Critères pratiques
Soit la classe de fonctions suivante:
Eν,d(c) = {f : [0, 1]d
→ R : | ˆf(h)| ≤ c b−νµ1(h)
pour tout h ∈ Nd
0},
où ν > 1 et c > 0. On obtient ainsi
|Qn(f) − I(f)| ≤
0=h∈L∗⊥
d
c b−νµ1(h)
, ν > 1,
La quantité
Tν =
0=h∈L∗⊥
d
c b−νµ1(h)
, ν > 1,
Dépend uniquement de la classe de fonctions Eν,d(1).
A implémenter!

De quoi on a besoin?
Pour trouver des bons réseaux digitaux et polynomiaux
Des figures de mérite et des poids adaptés à un problème,
pour un nombre de points n, pour un polynôme et une dimension
d,
plusieurs méthodes de constructions,
Options: comme la normalisation etc.
Nos travaux de recherche
Implanter les figures de mérite pour les réseaux digitaux et
polynomiaux.
Comparer (application) la performance des méthodes
d’intégration de notre logiciel par rapport aux autres méthodes
d’intégration.
Définir des nouveaux critères pour des classes de fonctions non
considérés (explorées) ⇒ fonctions non bornées! ?

Ce qui existe déjà
À notre connaissance
Dirk Nuyens’ Code Matlab
une méthode de construction (Fast CBC)
Choix de paramètres restreint (ex: seulement une dizaine de
polynômes primitifs )
seulement un type de poids (poids produit)
Pas de points QMC/RQMC points générés et testés! pas
d’application!!

Ce qui existe déjà
À notre connaissance
Dirk Nuyens’ Code Matlab
une méthode de construction (Fast CBC)
Choix de paramètres restreint (ex: seulement une dizaine de
polynômes primitifs )
seulement un type de poids (poids produit)
Pas de points QMC/RQMC points générés et testés! pas
d’application!!
Des tables de vecteur générateur
J. Dick
D. Nuyens

Structure de Polylatbuilder
Points du
réseau poly-
nomial et digital
Figures de mérite Type de poids Méthodes de
construction
Erreur dans
un espace de
Walsh
t-valeur
Test spectral
Autre heuris-
tique ?
Poids Produit
Poids dépen-
dant de
l’ordre
Poids General
Poids produit-
et-dépendant-
ordre (POD)
CBC
Fast CBC
Random Ko-
robov
Korobov
Exhaustive

Mesures de qualité
Figure de mérite implantée
E(f, g(z))
1/q
) = e(g(z); n; ||.||p,α,γ)
La pire fonction:
χ(g(z); n; ||.||p,α,γ) =
0=v⊂1:t
γv
q/2
j∈v
ω(uj)

Mesures de qualité
Figure de mérite implantée
E(f, g(z))
1/q
) = e(g(z); n; ||.||p,α,γ)
La pire fonction:
χ(g(z); n; ||.||p,α,γ) =
0=v⊂1:t
γv
q/2
j∈v
ω(uj)
Le noyau
ω(uj) =
∞
h=1
wal2,h(uj)
2qα log2hj
= 12(
1
6
− 2 log)2uj −1
)

Méthodes de construction
Construction CBC
Sachant n, on construit un vecteur générateur
g(z) = (g1(z), g2(z), . . . , gd(z)).
On fixe g1(z) = 1,
g1(z) reste fixe, on choisit g2(z) du sous ensemble des
composantes de vecteurs générateurs. pour minimiser le critère
d’erreur désiré en 2 dimensions,
With g1(z), g2(z) restent fixe, on choisit g3(z) du sous ensemble
des composantes de vecteurs générateurs. pour minimiser le
critère d’erreur désiré en 3 dimensions,
ed(gd(z); Pn; ||.||p,α,γ)q
= ed−1(g(z)d−1; n; ||.||p,α,γ)q
+ Θd(g(z)d)

Results – g(z) with Fast CBC
Valeurs des g(z)
P(z) = z10
+ z3
+ 1 P(z) = z7
+ z + 1
t gt(z) Square Error gt(z) Square Error
1 1 1.58 10−8
1 1.01 10−6
2 z9
+ z8
+ z5
3.6 10−8
z6
+ z5
+ z3
+ z 2.22 10−6
3 z9
+ z8
+ z6
+ z2
+ z + 1 6.36 10−8
z6
+ z5
+ z4
+ z2
3.74 10−6
4 z8
+ z6
+ z5
+ z4
+ z3
+ z2
+ z 1.03 10−7
z5
+ z4
+ z + 1 5.70 10−6
5 z8
+ z6
+ z1
1.57 10−7
z5
+ z3
8.18 10−6
6 z9
+ z7
+ z4
+ z2
+ z 2.36 10−7
z5
+ z4
+ z3
1.16 10−5
7 z8
+ z7
+ z6
+ z3
+ z2
3.34 10−7
z6
+ z3
+ z + 1 1.56 10−5
8 z9
+ z8
+ z6
+ z5
+ z4
+ z3
+ 1 4.55 10−7
z6
+ z5
+ z3
+ z2
+ 1 2.03 10−5
9 z9
+ z8
+ z6
+ z4
+ z3
+ z2
6.25 10−7
z6
+ z5
+ z4
+ z3
+ z + 1 2.7 10−5
10 z8
+ z6
+ z5
+ z4
+ z2
+ 1 8.64 10−7
z5
+ z4
+ z3
+ z 3.43 10−5

QMC square error
Fait en C++
Résultats encourageants
Bonne uniformité de la règle de réseau polynomial (bon
paramètre g(z))

QMC square error
Fait en C++
Résultats encourageants
Bonne uniformité de la règle de réseau polynomial (bon
paramètre g(z))
points du réseau
polynomial pour
n = 1023, P(z) =
z10
+ z3
+ 1 en 2D
0 1
0
1
good lattice
g(z)

Application Financière: option asiatique
Équation diﬀérentielle stochastique (EDS)
dSt = µSt dt + σSt dWt
La solution de EDS St = S0 exp(r−σ2
/2)t+σBt

Application Financière: option asiatique
Équation différentielle stochastique (EDS)
dSt = µSt dt + σSt dWt
La solution de EDS St = S0 exp(r−σ2
/2)t+σBt
Tarification de l’option
La payoff de l’option est X = e−rt
max(0, 1
d
s
j=1 Stj
− K), et le
prix
c = E[X |Ft]
v(s0, T) = E[e−rt
f(S1 . . . St) |Ft]

Option d’achat asiatique– Résultats numériques
v(s0, T) = e−rt
(0,1)d
max(0,
1
d
d
i=1
S0 exp [(r − σ2
)ti
+σ ti − ti−1
i
j=1
Φ−1
(uj)] − K)du1 . . . dud
Techniques de réduction de variance pour MC
control variate CV1 = e−rt
max(0, Y − K) où Y =
t
j=1(Stj )1/d
control variate CV2 = e−rt
max(0, Y − K) où Y =
t
j=1(Stj
)1/d
Variable antithetique (VA)

Call Asian option– Numerical results
Comparaison des méthodes QMC
Table: Valeur de l’option asiatique avec un temps d’exercice basé sur la
conﬁguration suivante:(j)/10, pour j = 1, 2, . . . , d = 10, un nombre de
n = 210
points, et un prix d’exercice K = 100
MC RQMC RQMC
Polynômes Entiers
Valeur de l’option 3.37 3.33 3.354
Écart type 4.52 0.015 0.025
Variance Ratio 95.17 33.06

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