O documento introduz conceitos básicos sobre processamento de imagens digitais, como vizinhança e adjacência de pixels. A vizinhança de um pixel inclui pixels adjacentes horizontal, vertical e diagonalmente. A adjacência de pixels depende se eles compartilham valores de intensidade de acordo com sua vizinhança.

1. Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Introdu¸˜o ao Processamento de Imagem
ca
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
Digital
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
Murilo Adriano Vasconcelos
entre pixels Thiago da Silva Arruda
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em Instituto de Computa¸˜o - Universidade Estadual de Campinas
ca
processamento
de imagens
digitais
March 15, 2012

2. Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital 1 Relacionamen-tos b´sicos entre pixels
a
Murilo
Adriano
Vizinhan¸a de um pixel
c
Vasconcelos Adjacˆncia de um pixel
e
Thiago da
Silva Arruda Conectividade
´
Indice
Medidas de distˆncia
a
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
2 Ferramentas matem´ticas utilizadas em processamento de
a
Ferramentas imagens digitais
matem´ticas
a
utilizadas em Vetores e matrizes
processamento
de imagens
Opera¸˜es
co
digitais
M´todos probabil´
e ısticos

3. Vizinhan¸a de um pixel
c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos 4 vizinhos na horizontal e vertical (N4 (p))
Thiago da
Silva Arruda (x + 1, y ), (x − 1, y ), (x, y + 1), (x, y − 1)
´
Indice
Cada pixel est´ a uma unidade de distˆncia de (x, y )
a a
Relacionamen- 4 vizinhos na diagonal (ND (p))
tos b´sicos
a
entre pixels (x + 1, y + 1), (x + 1, y − 1), (x − 1, y + 1), (x − 1, y − 1)
Ferramentas
matem´ticas
a
N4 (p) ND (p) = N8 (p)
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

4. Vizinhan¸a de um pixel
c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos 4 vizinhos na horizontal e vertical (N4 (p))
Thiago da
Silva Arruda (x + 1, y ), (x − 1, y ), (x, y + 1), (x, y − 1)
´
Indice
Cada pixel est´ a uma unidade de distˆncia de (x, y )
a a
Relacionamen- 4 vizinhos na diagonal (ND (p))
tos b´sicos
a
entre pixels (x + 1, y + 1), (x + 1, y − 1), (x − 1, y + 1), (x − 1, y − 1)
Ferramentas
matem´ticas
a
N4 (p) ND (p) = N8 (p)
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

5. Vizinhan¸a de um pixel
c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos 4 vizinhos na horizontal e vertical (N4 (p))
Thiago da
Silva Arruda (x + 1, y ), (x − 1, y ), (x, y + 1), (x, y − 1)
´
Indice
Cada pixel est´ a uma unidade de distˆncia de (x, y )
a a
Relacionamen- 4 vizinhos na diagonal (ND (p))
tos b´sicos
a
entre pixels (x + 1, y + 1), (x + 1, y − 1), (x − 1, y + 1), (x − 1, y − 1)
Ferramentas
matem´ticas
a
N4 (p) ND (p) = N8 (p)
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

6. Vizinhan¸a de um pixel
c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos 4 vizinhos na horizontal e vertical (N4 (p))
Thiago da
Silva Arruda (x + 1, y ), (x − 1, y ), (x, y + 1), (x, y − 1)
´
Indice
Cada pixel est´ a uma unidade de distˆncia de (x, y )
a a
Relacionamen- 4 vizinhos na diagonal (ND (p))
tos b´sicos
a
entre pixels (x + 1, y + 1), (x + 1, y − 1), (x − 1, y + 1), (x − 1, y − 1)
Ferramentas
matem´ticas
a
N4 (p) ND (p) = N8 (p)
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

7. Vizinhan¸a de um pixel
c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos 4 vizinhos na horizontal e vertical (N4 (p))
Thiago da
Silva Arruda (x + 1, y ), (x − 1, y ), (x, y + 1), (x, y − 1)
´
Indice
Cada pixel est´ a uma unidade de distˆncia de (x, y )
a a
Relacionamen- 4 vizinhos na diagonal (ND (p))
tos b´sicos
a
entre pixels (x + 1, y + 1), (x + 1, y − 1), (x − 1, y + 1), (x − 1, y − 1)
Ferramentas
matem´ticas
a
N4 (p) ND (p) = N8 (p)
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

8. Vizinhan¸a de um pixel
c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos 4 vizinhos na horizontal e vertical (N4 (p))
Thiago da
Silva Arruda (x + 1, y ), (x − 1, y ), (x, y + 1), (x, y − 1)
´
Indice
Cada pixel est´ a uma unidade de distˆncia de (x, y )
a a
Relacionamen- 4 vizinhos na diagonal (ND (p))
tos b´sicos
a
entre pixels (x + 1, y + 1), (x + 1, y − 1), (x − 1, y + 1), (x − 1, y − 1)
Ferramentas
matem´ticas
a
N4 (p) ND (p) = N8 (p)
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

9. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital V = {valores de intensidade}
Murilo Em uma imagem bin´ria V = {1} ou V = {0}
a
Adriano
Vasconcelos
Em uma imagem em gray-scale com valores de intensidade
Thiago da de 0 a 255, V pode ser qualquer subconjunto
Silva Arruda
´
4-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Indice
q ∈ N4 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Ferramentas q ∈ N8 (p)
matem´ticas
a
utilizadas em m-adjacˆncia
e
processamento
de imagens q pertence a N4 (p), ou
digitais
q ∈ Nd (p) e N4 (p) ∩ N4 (q) n˜o tem valores pertencentes a
a
V

10. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital V = {valores de intensidade}
Murilo Em uma imagem bin´ria V = {1} ou V = {0}
a
Adriano
Vasconcelos
Em uma imagem em gray-scale com valores de intensidade
Thiago da de 0 a 255, V pode ser qualquer subconjunto
Silva Arruda
´
4-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Indice
q ∈ N4 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Ferramentas q ∈ N8 (p)
matem´ticas
a
utilizadas em m-adjacˆncia
e
processamento
de imagens q pertence a N4 (p), ou
digitais
q ∈ Nd (p) e N4 (p) ∩ N4 (q) n˜o tem valores pertencentes a
a
V

11. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital V = {valores de intensidade}
Murilo Em uma imagem bin´ria V = {1} ou V = {0}
a
Adriano
Vasconcelos
Em uma imagem em gray-scale com valores de intensidade
Thiago da de 0 a 255, V pode ser qualquer subconjunto
Silva Arruda
´
4-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Indice
q ∈ N4 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Ferramentas q ∈ N8 (p)
matem´ticas
a
utilizadas em m-adjacˆncia
e
processamento
de imagens q pertence a N4 (p), ou
digitais
q ∈ Nd (p) e N4 (p) ∩ N4 (q) n˜o tem valores pertencentes a
a
V

12. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital V = {valores de intensidade}
Murilo Em uma imagem bin´ria V = {1} ou V = {0}
a
Adriano
Vasconcelos
Em uma imagem em gray-scale com valores de intensidade
Thiago da de 0 a 255, V pode ser qualquer subconjunto
Silva Arruda
´
4-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Indice
q ∈ N4 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Ferramentas q ∈ N8 (p)
matem´ticas
a
utilizadas em m-adjacˆncia
e
processamento
de imagens q pertence a N4 (p), ou
digitais
q ∈ Nd (p) e N4 (p) ∩ N4 (q) n˜o tem valores pertencentes a
a
V

13. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital V = {valores de intensidade}
Murilo Em uma imagem bin´ria V = {1} ou V = {0}
a
Adriano
Vasconcelos
Em uma imagem em gray-scale com valores de intensidade
Thiago da de 0 a 255, V pode ser qualquer subconjunto
Silva Arruda
´
4-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Indice
q ∈ N4 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Ferramentas q ∈ N8 (p)
matem´ticas
a
utilizadas em m-adjacˆncia
e
processamento
de imagens q pertence a N4 (p), ou
digitais
q ∈ Nd (p) e N4 (p) ∩ N4 (q) n˜o tem valores pertencentes a
a
V

14. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital V = {valores de intensidade}
Murilo Em uma imagem bin´ria V = {1} ou V = {0}
a
Adriano
Vasconcelos
Em uma imagem em gray-scale com valores de intensidade
Thiago da de 0 a 255, V pode ser qualquer subconjunto
Silva Arruda
´
4-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Indice
q ∈ N4 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Ferramentas q ∈ N8 (p)
matem´ticas
a
utilizadas em m-adjacˆncia
e
processamento
de imagens q pertence a N4 (p), ou
digitais
q ∈ Nd (p) e N4 (p) ∩ N4 (q) n˜o tem valores pertencentes a
a
V

15. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital V = {valores de intensidade}
Murilo Em uma imagem bin´ria V = {1} ou V = {0}
a
Adriano
Vasconcelos
Em uma imagem em gray-scale com valores de intensidade
Thiago da de 0 a 255, V pode ser qualquer subconjunto
Silva Arruda
´
4-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Indice
q ∈ N4 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Ferramentas q ∈ N8 (p)
matem´ticas
a
utilizadas em m-adjacˆncia
e
processamento
de imagens q pertence a N4 (p), ou
digitais
q ∈ Nd (p) e N4 (p) ∩ N4 (q) n˜o tem valores pertencentes a
a
V

16. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital V = {valores de intensidade}
Murilo Em uma imagem bin´ria V = {1} ou V = {0}
a
Adriano
Vasconcelos
Em uma imagem em gray-scale com valores de intensidade
Thiago da de 0 a 255, V pode ser qualquer subconjunto
Silva Arruda
´
4-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Indice
q ∈ N4 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
Ferramentas q ∈ N8 (p)
matem´ticas
a
utilizadas em m-adjacˆncia
e
processamento
de imagens q pertence a N4 (p), ou
digitais
q ∈ Nd (p) e N4 (p) ∩ N4 (q) n˜o tem valores pertencentes a
a
V

17. Adjacˆncia de um pixel
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

18. Caminhos digitais
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Um caminho entre os pixels p e q ´ uma sequˆncia de
e e
Murilo coordenada de pixels (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), ..., (xn , yn )
Adriano
Vasconcelos Os pixels (xi , yi ) e (xi−1 , yi−1 ) s˜o adjacentes
a
Thiago da
Silva Arruda 8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
´
Indice q ∈ N8 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
4-caminhos, 8-caminhos, m-caminhos
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

19. Caminhos digitais
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Um caminho entre os pixels p e q ´ uma sequˆncia de
e e
Murilo coordenada de pixels (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), ..., (xn , yn )
Adriano
Vasconcelos Os pixels (xi , yi ) e (xi−1 , yi−1 ) s˜o adjacentes
a
Thiago da
Silva Arruda 8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
´
Indice q ∈ N8 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
4-caminhos, 8-caminhos, m-caminhos
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

20. Caminhos digitais
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Um caminho entre os pixels p e q ´ uma sequˆncia de
e e
Murilo coordenada de pixels (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), ..., (xn , yn )
Adriano
Vasconcelos Os pixels (xi , yi ) e (xi−1 , yi−1 ) s˜o adjacentes
a
Thiago da
Silva Arruda 8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
´
Indice q ∈ N8 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
4-caminhos, 8-caminhos, m-caminhos
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

21. Caminhos digitais
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Um caminho entre os pixels p e q ´ uma sequˆncia de
e e
Murilo coordenada de pixels (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), ..., (xn , yn )
Adriano
Vasconcelos Os pixels (xi , yi ) e (xi−1 , yi−1 ) s˜o adjacentes
a
Thiago da
Silva Arruda 8-adjacˆncia - p e q tem valores pertencentes a V e
e
´
Indice q ∈ N8 (p)
Relacionamen-
tos b´sicos
a
4-caminhos, 8-caminhos, m-caminhos
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

22. Conectividade
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Dois pixels s e t s˜o ditos conexos se existe um caminho
a
Thiago da
Silva Arruda entre s e t em um subconjunto de pixels S
´
Indice Para um pixel, o conjunto de pixels pertencentes a S que
Relacionamen- est˜o conectados ` ele ´ chamado componente conexo
a a e
tos b´sicos
a
entre pixels
Se todos os pixels de S s˜o conexos, ent˜o S ´ um
a a e
Ferramentas
matem´ticas
a conjunto conexo
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

23. Conectividade
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Dois pixels s e t s˜o ditos conexos se existe um caminho
a
Thiago da
Silva Arruda entre s e t em um subconjunto de pixels S
´
Indice Para um pixel, o conjunto de pixels pertencentes a S que
Relacionamen- est˜o conectados ` ele ´ chamado componente conexo
a a e
tos b´sicos
a
entre pixels
Se todos os pixels de S s˜o conexos, ent˜o S ´ um
a a e
Ferramentas
matem´ticas
a conjunto conexo
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

24. Conectividade
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Dois pixels s e t s˜o ditos conexos se existe um caminho
a
Thiago da
Silva Arruda entre s e t em um subconjunto de pixels S
´
Indice Para um pixel, o conjunto de pixels pertencentes a S que
Relacionamen- est˜o conectados ` ele ´ chamado componente conexo
a a e
tos b´sicos
a
entre pixels
Se todos os pixels de S s˜o conexos, ent˜o S ´ um
a a e
Ferramentas
matem´ticas
a conjunto conexo
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

25. Regi˜es
o
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da Seja R um subconjunto de pixels de uma imagem. R ´
e
Silva Arruda
uma regi˜o se R ´ um conjunto conexo
a e
´
Indice
Duas regi˜es s˜o ditas adjacentes se a uni˜o delas forma
o a a
Relacionamen-
tos b´sicos
a um conjunto conexo
entre pixels
Ferramentas
Caso contr´rio, as regi˜es s˜o ditas disjuntas
a o a
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

26. Regi˜es
o
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da Seja R um subconjunto de pixels de uma imagem. R ´
e
Silva Arruda
uma regi˜o se R ´ um conjunto conexo
a e
´
Indice
Duas regi˜es s˜o ditas adjacentes se a uni˜o delas forma
o a a
Relacionamen-
tos b´sicos
a um conjunto conexo
entre pixels
Ferramentas
Caso contr´rio, as regi˜es s˜o ditas disjuntas
a o a
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

27. Regi˜es
o
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da Seja R um subconjunto de pixels de uma imagem. R ´
e
Silva Arruda
uma regi˜o se R ´ um conjunto conexo
a e
´
Indice
Duas regi˜es s˜o ditas adjacentes se a uni˜o delas forma
o a a
Relacionamen-
tos b´sicos
a um conjunto conexo
entre pixels
Ferramentas
Caso contr´rio, as regi˜es s˜o ditas disjuntas
a o a
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

28. Regi˜es
o
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais Figure: Duas regi˜es 8-adjacentes: Ri e Rj
o

29. Background e foreground
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Seja uma imagem com k regi˜es disjuntas
o
´
Indice A uni˜o das k regi˜es Ru ´ chamada de foreground
a o e
c
Relacionamen-
O conjunto dos pixels que n˜o pertencem a Ru (Ru ) ´
a e
tos b´sicos
a chamado background
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

30. Background e foreground
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Seja uma imagem com k regi˜es disjuntas
o
´
Indice A uni˜o das k regi˜es Ru ´ chamada de foreground
a o e
c
Relacionamen-
O conjunto dos pixels que n˜o pertencem a Ru (Ru ) ´
a e
tos b´sicos
a chamado background
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

31. Background e foreground
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Seja uma imagem com k regi˜es disjuntas
o
´
Indice A uni˜o das k regi˜es Ru ´ chamada de foreground
a o e
c
Relacionamen-
O conjunto dos pixels que n˜o pertencem a Ru (Ru ) ´
a e
tos b´sicos
a chamado background
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

32. Fronteira, borda ou contorno
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da A fronteira de uma regi˜o R s˜o os pixels de R que s˜o
a a a
Silva Arruda
adjacentes ao complemento de R
´
Indice
Fronteira interna e fronteira externa
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Se R ´ a imagem toda, ent˜o sua fronteira correspondem
e a
Ferramentas
aos pixels da primeira e ultima linhas e colunas da imagem
´
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

33. Fronteira, borda ou contorno
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da A fronteira de uma regi˜o R s˜o os pixels de R que s˜o
a a a
Silva Arruda
adjacentes ao complemento de R
´
Indice
Fronteira interna e fronteira externa
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Se R ´ a imagem toda, ent˜o sua fronteira correspondem
e a
Ferramentas
aos pixels da primeira e ultima linhas e colunas da imagem
´
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

34. Fronteira, borda ou contorno
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da A fronteira de uma regi˜o R s˜o os pixels de R que s˜o
a a a
Silva Arruda
adjacentes ao complemento de R
´
Indice
Fronteira interna e fronteira externa
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Se R ´ a imagem toda, ent˜o sua fronteira correspondem
e a
Ferramentas
aos pixels da primeira e ultima linhas e colunas da imagem
´
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

35. Distˆncia
a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Para pixels p, q e z, D ´ uma m´trica de distˆncia se:
e e a
´
Indice
D(p, q) >= 0 (D(p, q) = 0 sse p = q)
Relacionamen-
D(p, q) = D(q, p), e
tos b´sicos
a D(p, z) <= D(p, q) + D(q, z)
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

36. Distˆncia
a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Para pixels p, q e z, D ´ uma m´trica de distˆncia se:
e e a
´
Indice
D(p, q) >= 0 (D(p, q) = 0 sse p = q)
Relacionamen-
D(p, q) = D(q, p), e
tos b´sicos
a D(p, z) <= D(p, q) + D(q, z)
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

37. Distˆncia
a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Para pixels p, q e z, D ´ uma m´trica de distˆncia se:
e e a
´
Indice
D(p, q) >= 0 (D(p, q) = 0 sse p = q)
Relacionamen-
D(p, q) = D(q, p), e
tos b´sicos
a D(p, z) <= D(p, q) + D(q, z)
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

38. Distˆncia
a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Para pixels p, q e z, D ´ uma m´trica de distˆncia se:
e e a
´
Indice
D(p, q) >= 0 (D(p, q) = 0 sse p = q)
Relacionamen-
D(p, q) = D(q, p), e
tos b´sicos
a D(p, z) <= D(p, q) + D(q, z)
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

39. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Sejam os pixels p e q com coordenadas (x, y ) e (s, t)
Adriano
Vasconcelos Distˆncia euclidiana
a
Thiago da
Silva Arruda De (p, q) = (x − s)2 + (y − t)2
´
Indice Distˆncia city-block ou D4
a
Relacionamen- D4 (p, q) = |x − s| + |y − t|
tos b´sicos
a
entre pixels Os pixels com D4 = 1 est˜o na 4-vizinhan¸a de (x, y )
a c
Ferramentas Distˆncia D8
a
matem´ticas
a
utilizadas em D8 (p, q) = max(|x − s|, |y − t|)
processamento
de imagens Os pixels com D8 = 1 est˜o na 8-vizinhan¸a de (x, y )
a c
digitais

40. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Sejam os pixels p e q com coordenadas (x, y ) e (s, t)
Adriano
Vasconcelos Distˆncia euclidiana
a
Thiago da
Silva Arruda De (p, q) = (x − s)2 + (y − t)2
´
Indice Distˆncia city-block ou D4
a
Relacionamen- D4 (p, q) = |x − s| + |y − t|
tos b´sicos
a
entre pixels Os pixels com D4 = 1 est˜o na 4-vizinhan¸a de (x, y )
a c
Ferramentas Distˆncia D8
a
matem´ticas
a
utilizadas em D8 (p, q) = max(|x − s|, |y − t|)
processamento
de imagens Os pixels com D8 = 1 est˜o na 8-vizinhan¸a de (x, y )
a c
digitais

41. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Sejam os pixels p e q com coordenadas (x, y ) e (s, t)
Adriano
Vasconcelos Distˆncia euclidiana
a
Thiago da
Silva Arruda De (p, q) = (x − s)2 + (y − t)2
´
Indice Distˆncia city-block ou D4
a
Relacionamen- D4 (p, q) = |x − s| + |y − t|
tos b´sicos
a
entre pixels Os pixels com D4 = 1 est˜o na 4-vizinhan¸a de (x, y )
a c
Ferramentas Distˆncia D8
a
matem´ticas
a
utilizadas em D8 (p, q) = max(|x − s|, |y − t|)
processamento
de imagens Os pixels com D8 = 1 est˜o na 8-vizinhan¸a de (x, y )
a c
digitais

42. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Sejam os pixels p e q com coordenadas (x, y ) e (s, t)
Adriano
Vasconcelos Distˆncia euclidiana
a
Thiago da
Silva Arruda De (p, q) = (x − s)2 + (y − t)2
´
Indice Distˆncia city-block ou D4
a
Relacionamen- D4 (p, q) = |x − s| + |y − t|
tos b´sicos
a
entre pixels Os pixels com D4 = 1 est˜o na 4-vizinhan¸a de (x, y )
a c
Ferramentas Distˆncia D8
a
matem´ticas
a
utilizadas em D8 (p, q) = max(|x − s|, |y − t|)
processamento
de imagens Os pixels com D8 = 1 est˜o na 8-vizinhan¸a de (x, y )
a c
digitais

43. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Sejam os pixels p e q com coordenadas (x, y ) e (s, t)
Adriano
Vasconcelos Distˆncia euclidiana
a
Thiago da
Silva Arruda De (p, q) = (x − s)2 + (y − t)2
´
Indice Distˆncia city-block ou D4
a
Relacionamen- D4 (p, q) = |x − s| + |y − t|
tos b´sicos
a
entre pixels Os pixels com D4 = 1 est˜o na 4-vizinhan¸a de (x, y )
a c
Ferramentas Distˆncia D8
a
matem´ticas
a
utilizadas em D8 (p, q) = max(|x − s|, |y − t|)
processamento
de imagens Os pixels com D8 = 1 est˜o na 8-vizinhan¸a de (x, y )
a c
digitais

44. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Sejam os pixels p e q com coordenadas (x, y ) e (s, t)
Adriano
Vasconcelos Distˆncia euclidiana
a
Thiago da
Silva Arruda De (p, q) = (x − s)2 + (y − t)2
´
Indice Distˆncia city-block ou D4
a
Relacionamen- D4 (p, q) = |x − s| + |y − t|
tos b´sicos
a
entre pixels Os pixels com D4 = 1 est˜o na 4-vizinhan¸a de (x, y )
a c
Ferramentas Distˆncia D8
a
matem´ticas
a
utilizadas em D8 (p, q) = max(|x − s|, |y − t|)
processamento
de imagens Os pixels com D8 = 1 est˜o na 8-vizinhan¸a de (x, y )
a c
digitais

45. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Sejam os pixels p e q com coordenadas (x, y ) e (s, t)
Adriano
Vasconcelos Distˆncia euclidiana
a
Thiago da
Silva Arruda De (p, q) = (x − s)2 + (y − t)2
´
Indice Distˆncia city-block ou D4
a
Relacionamen- D4 (p, q) = |x − s| + |y − t|
tos b´sicos
a
entre pixels Os pixels com D4 = 1 est˜o na 4-vizinhan¸a de (x, y )
a c
Ferramentas Distˆncia D8
a
matem´ticas
a
utilizadas em D8 (p, q) = max(|x − s|, |y − t|)
processamento
de imagens Os pixels com D8 = 1 est˜o na 8-vizinhan¸a de (x, y )
a c
digitais

46. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Sejam os pixels p e q com coordenadas (x, y ) e (s, t)
Adriano
Vasconcelos Distˆncia euclidiana
a
Thiago da
Silva Arruda De (p, q) = (x − s)2 + (y − t)2
´
Indice Distˆncia city-block ou D4
a
Relacionamen- D4 (p, q) = |x − s| + |y − t|
tos b´sicos
a
entre pixels Os pixels com D4 = 1 est˜o na 4-vizinhan¸a de (x, y )
a c
Ferramentas Distˆncia D8
a
matem´ticas
a
utilizadas em D8 (p, q) = max(|x − s|, |y − t|)
processamento
de imagens Os pixels com D8 = 1 est˜o na 8-vizinhan¸a de (x, y )
a c
digitais

47. M´tricas de distˆncia
e a
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice Figure: Representa¸˜o da distˆncia utilizando a m´trica D4
ca a e
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Representa¸˜o da distˆncia utilizando a m´trica D8
ca a e

48. Vetores e matrizes
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice Figure: Exemplo de multiplica¸˜o vetorial
ca
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Exemplo de multiplica¸˜o entre matrizes
ca

49. Opera¸oes lineares
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Dizemos que uma opera¸˜o ´ linear se:
ca e
´
H[a · f (x, y ) + b · g (x, y )] = aH[f (x, y )] + bH[g (x, y )]
Indice
Relacionamen- Opera¸˜es lineares s˜o mais utilizadas em processamento
co a
tos b´sicos
a
entre pixels de imagens devido maior embasamento te´rico e pr´tico
o a
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

50. Opera¸oes lineares
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Dizemos que uma opera¸˜o ´ linear se:
ca e
´
H[a · f (x, y ) + b · g (x, y )] = aH[f (x, y )] + bH[g (x, y )]
Indice
Relacionamen- Opera¸˜es lineares s˜o mais utilizadas em processamento
co a
tos b´sicos
a
entre pixels de imagens devido maior embasamento te´rico e pr´tico
o a
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

51. Opera¸oes lineares
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Dizemos que uma opera¸˜o ´ linear se:
ca e
´
H[a · f (x, y ) + b · g (x, y )] = aH[f (x, y )] + bH[g (x, y )]
Indice
Relacionamen- Opera¸˜es lineares s˜o mais utilizadas em processamento
co a
tos b´sicos
a
entre pixels de imagens devido maior embasamento te´rico e pr´tico
o a
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

52. Opera¸oes aritm´ticas
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
s(x, y ) = f (x, y ) + g (x, y )
´
Indice
d(x, y ) = f (x, y ) − g (x, y )
Relacionamen- p(x, y ) = f (x, y ) × g (x, y )
tos b´sicos
a
entre pixels v (x, y ) = f (x, y )/g (x, y )
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

53. Opera¸oes aritm´ticas
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
s(x, y ) = f (x, y ) + g (x, y )
´
Indice
d(x, y ) = f (x, y ) − g (x, y )
Relacionamen- p(x, y ) = f (x, y ) × g (x, y )
tos b´sicos
a
entre pixels v (x, y ) = f (x, y )/g (x, y )
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

54. Opera¸oes aritm´ticas
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
s(x, y ) = f (x, y ) + g (x, y )
´
Indice
d(x, y ) = f (x, y ) − g (x, y )
Relacionamen- p(x, y ) = f (x, y ) × g (x, y )
tos b´sicos
a
entre pixels v (x, y ) = f (x, y )/g (x, y )
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

55. Opera¸oes aritm´ticas
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
s(x, y ) = f (x, y ) + g (x, y )
´
Indice
d(x, y ) = f (x, y ) − g (x, y )
Relacionamen- p(x, y ) = f (x, y ) × g (x, y )
tos b´sicos
a
entre pixels v (x, y ) = f (x, y )/g (x, y )
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

56. Aplica¸˜o de opera¸oes: m´dia de imagens
ca c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: M´dia de imagens para redu¸˜o de ru´
e ca ıdo:
1 K
g (x, y ) = K i=1 gi (x, y )
¯

57. Aplica¸oes: realce de imagens
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Figure: Realce utilizando a diferen¸a entre as imagens
c
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
g (x, y ) = f (x, y ) − h(x, y )

58. Aplica¸oes: realce de imagens
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Realce aplicado em uma angiografia

59. Aplica¸oes: corre¸˜o de sombreamento
c˜ ca
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Para uma imagem f (x, y ) o sombreamento pode ser
Digital definido como uma fun¸˜o h(x, y ):
ca
Murilo g (x, y ) = f (x, y ) × h(x, y )
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais ca `
Figure: Corre¸˜o de sombreamento. A esquerda a imagem original,
seguido do padr˜o de sombreamento e a imagem resultante
a

60. Aplica¸oes: corre¸˜o de sombreamento
c˜ ca
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Para uma imagem f (x, y ) o sombreamento pode ser
Digital definido como uma fun¸˜o h(x, y ):
ca
Murilo g (x, y ) = f (x, y ) × h(x, y )
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais ca `
Figure: Corre¸˜o de sombreamento. A esquerda a imagem original,
seguido do padr˜o de sombreamento e a imagem resultante
a

61. Opera¸oes em conjuntos
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa- Tem a mesma defini¸˜o das opera¸˜es em conjuntos
ca co
mento de
Imagem matem´ticos
a
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Algumas opera¸˜es b´sicas de conjuntos
co a

62. Opera¸oes em conjuntos
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Para imagens em escala de cinza os elementos de um
´
conjunto s˜o triplas (x, y , z)
a
Indice
Relacionamen- Complemento: Ac = {(x, y , K − z) | (x, y , z) ∈ A}
tos b´sicos
a
entre pixels Uni˜o: A
a B = {max(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

63. Opera¸oes em conjuntos
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Para imagens em escala de cinza os elementos de um
´
conjunto s˜o triplas (x, y , z)
a
Indice
Relacionamen- Complemento: Ac = {(x, y , K − z) | (x, y , z) ∈ A}
tos b´sicos
a
entre pixels Uni˜o: A
a B = {max(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

64. Opera¸oes em conjuntos
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Para imagens em escala de cinza os elementos de um
´
conjunto s˜o triplas (x, y , z)
a
Indice
Relacionamen- Complemento: Ac = {(x, y , K − z) | (x, y , z) ∈ A}
tos b´sicos
a
entre pixels Uni˜o: A
a B = {max(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

65. Opera¸oes em conjuntos
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens Figure: Imagem original, negativo obtido do complemento da
digitais imagem e uni˜o com outra imagem
a

66. Opera¸oes l´gicas
c˜ o
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Para imagens bin´rias os pixels s˜o agrupados em dois
a a
Thiago da
Silva Arruda grupos, frente e fundo
´
Indice As opera¸˜es b´sicas s˜o OU (OR), E (AND) e NAO
co a a ˜
Relacionamen- (NOT)
tos b´sicos
a
entre pixels
Diferentemente de imagens em escala de cinza, estas
Ferramentas
matem´ticas
a opera¸˜es envolvem regi˜es da imagem
co o
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

67. Opera¸oes l´gicas
c˜ o
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Para imagens bin´rias os pixels s˜o agrupados em dois
a a
Thiago da
Silva Arruda grupos, frente e fundo
´
Indice As opera¸˜es b´sicas s˜o OU (OR), E (AND) e NAO
co a a ˜
Relacionamen- (NOT)
tos b´sicos
a
entre pixels
Diferentemente de imagens em escala de cinza, estas
Ferramentas
matem´ticas
a opera¸˜es envolvem regi˜es da imagem
co o
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

68. Opera¸oes l´gicas
c˜ o
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Para imagens bin´rias os pixels s˜o agrupados em dois
a a
Thiago da
Silva Arruda grupos, frente e fundo
´
Indice As opera¸˜es b´sicas s˜o OU (OR), E (AND) e NAO
co a a ˜
Relacionamen- (NOT)
tos b´sicos
a
entre pixels
Diferentemente de imagens em escala de cinza, estas
Ferramentas
matem´ticas
a opera¸˜es envolvem regi˜es da imagem
co o
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

69. Opera¸oes em conjuntos
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Opera¸˜es l´gicas em imagens bin´rias
co o a

70. Opera¸oes espaciais
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Trˆs categorias
e
´
Indice Opera¸˜es de pixel unico
co ´
Relacionamen-
Opera¸˜es de vizinhan¸a
co c
tos b´sicos
a Opera¸˜es geom´tricas espaciais
co e
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

71. Opera¸oes espaciais
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Trˆs categorias
e
´
Indice Opera¸˜es de pixel unico
co ´
Relacionamen-
Opera¸˜es de vizinhan¸a
co c
tos b´sicos
a Opera¸˜es geom´tricas espaciais
co e
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

72. Opera¸oes espaciais
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda Trˆs categorias
e
´
Indice Opera¸˜es de pixel unico
co ´
Relacionamen-
Opera¸˜es de vizinhan¸a
co c
tos b´sicos
a Opera¸˜es geom´tricas espaciais
co e
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

73. Opera¸oes de pixel unico
c˜ ´
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de Faz a transforma¸˜o de um unico pixel baseado em sua
ca ´
Imagem
Digital
intensidade
Murilo
s = T (z)
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Opera¸˜o espacial de pixel unico
ca ´

74. Opera¸oes de pixel unico
c˜ ´
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de Faz a transforma¸˜o de um unico pixel baseado em sua
ca ´
Imagem
Digital
intensidade
Murilo
s = T (z)
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Opera¸˜o espacial de pixel unico
ca ´

75. Opera¸oes de vizinhan¸a
c˜ c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Faz a transforma¸˜o de um pixel baseado em sua
ca
Digital vizinhan¸a
c
Murilo
Adriano
s = T (z)
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Opera¸˜o espacial de vizinhan¸a
ca c

76. Opera¸oes de vizinhan¸a
c˜ c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Faz a transforma¸˜o de um pixel baseado em sua
ca
Digital vizinhan¸a
c
Murilo
Adriano
s = T (z)
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Opera¸˜o espacial de vizinhan¸a
ca c

77. Opera¸oes de vizinhan¸a
c˜ c
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
Figure: Angiograma original e um gerado com
1
de imagens g (x, y ) = mn (r ,c∈Sxy ) f (r , c)
digitais

78. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Duas opera¸˜es b´sicas
co a
Thiago da
Silva Arruda Transforma¸˜o espacial das coordenadas
ca
Interpola¸˜o de intensidade
ca
´
Indice
Relacionamen-
Exemplo:
tos b´sicos
a (x, y ) = T {(v , w )}
entre pixels
Se T {(v , w )} = (v /2, w /2), essa transforma¸˜o reduz a
ca
Ferramentas
matem´ticas
a imagem ` metade do seu tamanho em ambos os eixos
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

79. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Duas opera¸˜es b´sicas
co a
Thiago da
Silva Arruda Transforma¸˜o espacial das coordenadas
ca
Interpola¸˜o de intensidade
ca
´
Indice
Relacionamen-
Exemplo:
tos b´sicos
a (x, y ) = T {(v , w )}
entre pixels
Se T {(v , w )} = (v /2, w /2), essa transforma¸˜o reduz a
ca
Ferramentas
matem´ticas
a imagem ` metade do seu tamanho em ambos os eixos
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

80. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Duas opera¸˜es b´sicas
co a
Thiago da
Silva Arruda Transforma¸˜o espacial das coordenadas
ca
Interpola¸˜o de intensidade
ca
´
Indice
Relacionamen-
Exemplo:
tos b´sicos
a (x, y ) = T {(v , w )}
entre pixels
Se T {(v , w )} = (v /2, w /2), essa transforma¸˜o reduz a
ca
Ferramentas
matem´ticas
a imagem ` metade do seu tamanho em ambos os eixos
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

81. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Duas opera¸˜es b´sicas
co a
Thiago da
Silva Arruda Transforma¸˜o espacial das coordenadas
ca
Interpola¸˜o de intensidade
ca
´
Indice
Relacionamen-
Exemplo:
tos b´sicos
a (x, y ) = T {(v , w )}
entre pixels
Se T {(v , w )} = (v /2, w /2), essa transforma¸˜o reduz a
ca
Ferramentas
matem´ticas
a imagem ` metade do seu tamanho em ambos os eixos
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

82. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Duas opera¸˜es b´sicas
co a
Thiago da
Silva Arruda Transforma¸˜o espacial das coordenadas
ca
Interpola¸˜o de intensidade
ca
´
Indice
Relacionamen-
Exemplo:
tos b´sicos
a (x, y ) = T {(v , w )}
entre pixels
Se T {(v , w )} = (v /2, w /2), essa transforma¸˜o reduz a
ca
Ferramentas
matem´ticas
a imagem ` metade do seu tamanho em ambos os eixos
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

83. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos Duas opera¸˜es b´sicas
co a
Thiago da
Silva Arruda Transforma¸˜o espacial das coordenadas
ca
Interpola¸˜o de intensidade
ca
´
Indice
Relacionamen-
Exemplo:
tos b´sicos
a (x, y ) = T {(v , w )}
entre pixels
Se T {(v , w )} = (v /2, w /2), essa transforma¸˜o reduz a
ca
Ferramentas
matem´ticas
a imagem ` metade do seu tamanho em ambos os eixos
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais

84. Algumas transforma¸oes afins
c˜
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Algumas transforma¸˜es not´veis
co a

85. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Forward mapping
Adriano
Vasconcelos Para cada pixel com coord. (v, w) ´ calculada a posi¸˜o
e ca
Thiago da
Silva Arruda
(x, y) na imagem de sa´ usando T
ıda
´
Inverse mapping
Indice
Relacionamen-
Para cada coordenada dos pixels da imagem de sa´ ıda,
tos b´sicos
a calcula o pixel da imagem de entrada T −1 (x, y ) e ent˜o ´
a e
entre pixels
realizada a interpola¸˜o
ca
Ferramentas
matem´ticas
a Mais eficiente que o forward mapping
utilizadas em
processamento
Utilizado em diversas aplica¸˜es comercias como o
co
de imagens MATLAB
digitais

86. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Forward mapping
Adriano
Vasconcelos Para cada pixel com coord. (v, w) ´ calculada a posi¸˜o
e ca
Thiago da
Silva Arruda
(x, y) na imagem de sa´ usando T
ıda
´
Inverse mapping
Indice
Relacionamen-
Para cada coordenada dos pixels da imagem de sa´ ıda,
tos b´sicos
a calcula o pixel da imagem de entrada T −1 (x, y ) e ent˜o ´
a e
entre pixels
realizada a interpola¸˜o
ca
Ferramentas
matem´ticas
a Mais eficiente que o forward mapping
utilizadas em
processamento
Utilizado em diversas aplica¸˜es comercias como o
co
de imagens MATLAB
digitais

87. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Forward mapping
Adriano
Vasconcelos Para cada pixel com coord. (v, w) ´ calculada a posi¸˜o
e ca
Thiago da
Silva Arruda
(x, y) na imagem de sa´ usando T
ıda
´
Inverse mapping
Indice
Relacionamen-
Para cada coordenada dos pixels da imagem de sa´ ıda,
tos b´sicos
a calcula o pixel da imagem de entrada T −1 (x, y ) e ent˜o ´
a e
entre pixels
realizada a interpola¸˜o
ca
Ferramentas
matem´ticas
a Mais eficiente que o forward mapping
utilizadas em
processamento
Utilizado em diversas aplica¸˜es comercias como o
co
de imagens MATLAB
digitais

88. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Forward mapping
Adriano
Vasconcelos Para cada pixel com coord. (v, w) ´ calculada a posi¸˜o
e ca
Thiago da
Silva Arruda
(x, y) na imagem de sa´ usando T
ıda
´
Inverse mapping
Indice
Relacionamen-
Para cada coordenada dos pixels da imagem de sa´ ıda,
tos b´sicos
a calcula o pixel da imagem de entrada T −1 (x, y ) e ent˜o ´
a e
entre pixels
realizada a interpola¸˜o
ca
Ferramentas
matem´ticas
a Mais eficiente que o forward mapping
utilizadas em
processamento
Utilizado em diversas aplica¸˜es comercias como o
co
de imagens MATLAB
digitais

89. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Forward mapping
Adriano
Vasconcelos Para cada pixel com coord. (v, w) ´ calculada a posi¸˜o
e ca
Thiago da
Silva Arruda
(x, y) na imagem de sa´ usando T
ıda
´
Inverse mapping
Indice
Relacionamen-
Para cada coordenada dos pixels da imagem de sa´ ıda,
tos b´sicos
a calcula o pixel da imagem de entrada T −1 (x, y ) e ent˜o ´
a e
entre pixels
realizada a interpola¸˜o
ca
Ferramentas
matem´ticas
a Mais eficiente que o forward mapping
utilizadas em
processamento
Utilizado em diversas aplica¸˜es comercias como o
co
de imagens MATLAB
digitais

90. Transforma¸oes geom´tricas espaciais
c˜ e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo Forward mapping
Adriano
Vasconcelos Para cada pixel com coord. (v, w) ´ calculada a posi¸˜o
e ca
Thiago da
Silva Arruda
(x, y) na imagem de sa´ usando T
ıda
´
Inverse mapping
Indice
Relacionamen-
Para cada coordenada dos pixels da imagem de sa´ ıda,
tos b´sicos
a calcula o pixel da imagem de entrada T −1 (x, y ) e ent˜o ´
a e
entre pixels
realizada a interpola¸˜o
ca
Ferramentas
matem´ticas
a Mais eficiente que o forward mapping
utilizadas em
processamento
Utilizado em diversas aplica¸˜es comercias como o
co
de imagens MATLAB
digitais

91. Registro de imagens
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Utilizado para alinhar duas ou mais imagens em uma
Murilo
Adriano mesma cena
Vasconcelos
Thiago da Tem-se as imagens de entrada e sa´ mas a
ıda
Silva Arruda
transforma¸˜o realizada ´ desconhecida
ca e
´
Indice
Queremos estimar a transforma¸˜o realizada
ca
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Uma das principais abordagens ´ a utiliza¸˜o de pontos de
e ca
Ferramentas controle
matem´ticas
a
utilizadas em Existem v´rias t´cnicas para selecionar esses pontos, desde
a e
processamento
de imagens escolhendo manualmente at´ algoritmos que escolhem
e
digitais
automaticamente

92. Registro de imagens
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Utilizado para alinhar duas ou mais imagens em uma
Murilo
Adriano mesma cena
Vasconcelos
Thiago da Tem-se as imagens de entrada e sa´ mas a
ıda
Silva Arruda
transforma¸˜o realizada ´ desconhecida
ca e
´
Indice
Queremos estimar a transforma¸˜o realizada
ca
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Uma das principais abordagens ´ a utiliza¸˜o de pontos de
e ca
Ferramentas controle
matem´ticas
a
utilizadas em Existem v´rias t´cnicas para selecionar esses pontos, desde
a e
processamento
de imagens escolhendo manualmente at´ algoritmos que escolhem
e
digitais
automaticamente

93. Registro de imagens
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Utilizado para alinhar duas ou mais imagens em uma
Murilo
Adriano mesma cena
Vasconcelos
Thiago da Tem-se as imagens de entrada e sa´ mas a
ıda
Silva Arruda
transforma¸˜o realizada ´ desconhecida
ca e
´
Indice
Queremos estimar a transforma¸˜o realizada
ca
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Uma das principais abordagens ´ a utiliza¸˜o de pontos de
e ca
Ferramentas controle
matem´ticas
a
utilizadas em Existem v´rias t´cnicas para selecionar esses pontos, desde
a e
processamento
de imagens escolhendo manualmente at´ algoritmos que escolhem
e
digitais
automaticamente

94. Registro de imagens
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Utilizado para alinhar duas ou mais imagens em uma
Murilo
Adriano mesma cena
Vasconcelos
Thiago da Tem-se as imagens de entrada e sa´ mas a
ıda
Silva Arruda
transforma¸˜o realizada ´ desconhecida
ca e
´
Indice
Queremos estimar a transforma¸˜o realizada
ca
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Uma das principais abordagens ´ a utiliza¸˜o de pontos de
e ca
Ferramentas controle
matem´ticas
a
utilizadas em Existem v´rias t´cnicas para selecionar esses pontos, desde
a e
processamento
de imagens escolhendo manualmente at´ algoritmos que escolhem
e
digitais
automaticamente

95. Registro de imagens
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Utilizado para alinhar duas ou mais imagens em uma
Murilo
Adriano mesma cena
Vasconcelos
Thiago da Tem-se as imagens de entrada e sa´ mas a
ıda
Silva Arruda
transforma¸˜o realizada ´ desconhecida
ca e
´
Indice
Queremos estimar a transforma¸˜o realizada
ca
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Uma das principais abordagens ´ a utiliza¸˜o de pontos de
e ca
Ferramentas controle
matem´ticas
a
utilizadas em Existem v´rias t´cnicas para selecionar esses pontos, desde
a e
processamento
de imagens escolhendo manualmente at´ algoritmos que escolhem
e
digitais
automaticamente

96. Registro de imagens
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Exemplo de registro de imagens

97. M´todos probabil´
e ısticos
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Modelos probabil´ısticos podem ser utilizados para a
Thiago da
Silva Arruda
representa¸˜o de dados importantes sobre imagens
ca
´
A probabilidade de uma intensidade em uma imagem ´ e
Indice
calculada da seguinte forma
Relacionamen- nk
tos b´sicos
a p(zk ) = MN
entre pixels
Ferramentas
A variˆncia ´ calculada da seguinte forma
a e
L−1
matem´ticas
a
utilizadas em
σ2 = k=0 (zk − m)2 p(zk )
processamento
de imagens
digitais

98. M´todos probabil´
e ısticos
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Modelos probabil´ısticos podem ser utilizados para a
Thiago da
Silva Arruda
representa¸˜o de dados importantes sobre imagens
ca
´
A probabilidade de uma intensidade em uma imagem ´ e
Indice
calculada da seguinte forma
Relacionamen- nk
tos b´sicos
a p(zk ) = MN
entre pixels
Ferramentas
A variˆncia ´ calculada da seguinte forma
a e
L−1
matem´ticas
a
utilizadas em
σ2 = k=0 (zk − m)2 p(zk )
processamento
de imagens
digitais

99. M´todos probabil´
e ısticos
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Modelos probabil´ısticos podem ser utilizados para a
Thiago da
Silva Arruda
representa¸˜o de dados importantes sobre imagens
ca
´
A probabilidade de uma intensidade em uma imagem ´ e
Indice
calculada da seguinte forma
Relacionamen- nk
tos b´sicos
a p(zk ) = MN
entre pixels
Ferramentas
A variˆncia ´ calculada da seguinte forma
a e
L−1
matem´ticas
a
utilizadas em
σ2 = k=0 (zk − m)2 p(zk )
processamento
de imagens
digitais

100. M´todos probabil´
e ısticos
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Modelos probabil´ısticos podem ser utilizados para a
Thiago da
Silva Arruda
representa¸˜o de dados importantes sobre imagens
ca
´
A probabilidade de uma intensidade em uma imagem ´ e
Indice
calculada da seguinte forma
Relacionamen- nk
tos b´sicos
a p(zk ) = MN
entre pixels
Ferramentas
A variˆncia ´ calculada da seguinte forma
a e
L−1
matem´ticas
a
utilizadas em
σ2 = k=0 (zk − m)2 p(zk )
processamento
de imagens
digitais

101. M´todos probabil´
e ısticos
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital A variˆncia de intensidades em uma imagem ´ diretamente
a e
Murilo
Adriano
proporcional ao contraste
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
Indice
Relacionamen-
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais
Figure: Contrastes

102. Referˆncia
e
Introdu¸˜o ao
ca
Processa-
mento de
Imagem
Digital
Murilo
Adriano
Vasconcelos
Thiago da
Silva Arruda
´
GONZALEZ, Rafael C.; Woods, Richard E. Processamento
Indice
Relacionamen-
de Imagens Digitais 3a Edi¸˜o
ca
tos b´sicos
a
entre pixels
Ferramentas
matem´ticas
a
utilizadas em
processamento
de imagens
digitais