Kalkulus melibatkan pengiraan kuantiti yang tidak diskrit menggunakan pembezaan dan pengamilan. Pembezaan mengukur kadar perubahan fungsi terhadap input. Aplikasi pentingnya termasuk pengoptimuman untuk mencari nilai maksimum atau minimum.

1. 1. Pengenalan
Kalkulus merupakan salah satu bidang matematik yang melibatkan pengiraan atau
perhitungan kuantiti-kuantiuti yang tidak diskrit. Ia mengandungi pembezaan dan
pengamilan yang menggunakan algebra dan geometri koordinat. Manakala Kalkulus
Pembezaan pula melibatkan penentuan kadar perubahan. Pembezaan yang dikenali
sebagai ‘differentiation’ atau ‘derivate’ adalah pengukuran bagaimana sebuah fungsi
perubahan sebagai perubahan daripada inputnya. Pembezaan boleh dianggap perubahan
sesuatu kuantiti sebagai tindak balas kepada perubahan dalam kuantiti yang lain.
Pembezaan atau terbitan merupakan suatu ukuran bagi perubahan dalam fungsi y = ƒ (x)
berhubung dengan perubahan pembolehubah bebas. Perbezaan itu sendiri ditakrifkan oleh
sebuah ungkapan dalam bentuk:
sama seperti jika derivatif dy / dx mewakili keputusan bagi dari kuantiti by dy dx kuantiti.
Ianya juga boleh ditulis sebagai:
df (x) = f ‘ (x) dx
Antara Aplikasi pembezaan yang paling banyak membantu dalam kehidupan
seharian
kita
ialah
pengoptimuman.
Pengoptimuman
bermaksud
penyelesaian
masalah meminimum atau memaksimumkan satu fungsi nyata dengan memilih secara
sistematik
Perumusan
nilai pemboleh
ini,
yang
ubah
integer atau nyata di
menggunakan
fungsi
objektif
dalam set yang
skalar
dan
dibenarkan.
bernilai
nyata,
berkemungkinan adalah contoh teringkas; pengitlakan teori dan teknik pengoptimuman
kepada perumusan yang lain, merangkumi bidang yang besar dalam matematik gunaan.
Dalam erti kata mudahnya, pengoptimuman bermaksud mencari nilai "terbaik yang tersedia"
dari beberapa fungsi objektif berdasarkan domain yang ditetapkan, termasuk pelbagai jenis
fungsi objektif yang berbeza dan jenis domain yang berbeza (Wikipedia). Masalah
pengoptimuman boleh dinyatakan dalam tatatanda matematik seperti berikut:
Diberi: Satu fungsi f : A
R dari beberapa set A hingga nombor nyata
Cari: Elemen x0 dalam A sehinggakan :
f(x0) ≤ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses peminimuman

2. f(x0) ≥ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses pemaksimuman
Rajah 1: Kemaksimuman sebuah paraboloid

3. 2. Pengurusan Grafik
Penyelesaian aplikasi pembezaan tentang masalah maksimun dan minimum
1. Baca masalah dan cuba fahami kehendak soalan. Apa yang diberikan? Apa yang
boleh didapati?
2. Buat lakaran/gambaran jika sesuai.
3. Tentukan pembolehubah yang akan digunakan dan teliti label gambar anda atau
gambar rajah dengan pembolehubah ini. Langkah ini adalah sangat penting kerana ia
membawa secara langsung atau tidak langsung kepada penciptaan persamaan
matematik.
4. Tuliskan semua persamaan yang berkaitan dengan masalah atau gambarajah.
Jelas menunjukkan bahawa persamaan yang anda akan diminta untuk
memaksimumkan atau meminimumkan.
5. Sebelum melakukan pembezaan, pastikan bahawa persamaan pengoptimuman
fungsi hanya satu pemboleh ubah. Kemudian membezakan menggunakan kaedahkaedah yang terkenal pembezaan.
6. Sahkan bahawa keputusan anda adalah nilai maksimum atau minimum
menggunakan ujian pertama atau kedua derivatif bagi extrema

4. 3. Penyelesaian Bukan Rutin
1. 2x + x + y= 72
3x + y =72
Y = 72-3x
P×L×T
V = 2x(x)(Y)
V = 2x²(72-3x)
V = 144x²-6x
V min
0 = 6 (48x – 1)
X = 6 , 48x -1 = 0
48x = 1
X=
min v =
2. Perimeter A = RM 3. 00
2x + y = 3
Y = 3 -2x
Luas A = x(y)
A = x(3-2x)
A = 3x – 2
4x = 3
X=
Perimeter B = RM 2.00

5. Luas pagar
A
3.
Apabila r = 6

6. 4.
5.

7. Max v = x= 1
6. Contoh Soalan Dan Penyelesaianya
Contoh 1:
Seorang Pengurus sebuah kompleks 80-unit apartmen cuba untuk membuat keputusan
tentang berapa sewa akan dikenakan untuk setiap apartmen. Melalui Pengalaman telah
menunjukkan bahawa
sewa yang kenakan ialah sebanyak
RM200, dan biasanya
keseluruhan unit akan penuh. Pada unit purata tambahan akan kekal kosong bagi setiap
RM20 setiap peningkatan dalam sewa. Cari sewa yang harus dikenakan supaya
mendapat hasil atau pulangan yang maksimun.
Nombor bilangan
Kadar sewa
meningkat RM20
Bilangan yang
Jumlah pendapatan
diduduki
0
200
80
16000
1
220
79
17380
2
240
78
17820
3
260
77
20020
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
X
200 + 20x
80 – x
(200+20x)(80 – x)

8. Oleh itu, kadar sewa yang patut dikenakan ialah:
Oleh itu, pulangan yang maksimun:
35+10=45
=

9. Contoh 2:
Sebuah kotak berbentuk segiempat tepat mempunyai tapak berukuran
dan
lebar. Diberi jumlah panjang semua tepi kotak itu ialah
apabila
panjang
. Cari nilai
mempunyai nilai maksimum dan isipadu kotak,
7. Kepentingan Aplikasi Pembezaan
Pembezaan amat membantu kita dalam memudakan kehidupan kita dan membantu
dalam pengenalan kepada pelbagai perkara baru dalam matematik dan yang utama
dalam kehidupan harian kita. Pembezaan dapat diaplikasikan dalam pebagai bidang.
Antaranya adalah:
a) Bidang Ekonomi
Pembezaan dapat membantu kita mengenali keuntungan yang dianggarkan dalam
penjualan sesuatu barang atau modal yang perlu dikeluarkan dalam membuat
sesuatu barang berdasarkan jumlah kuantitinya. Dimana Pembezaan membantu
sesuatu peniaga untuk membuat keputusan dalam perniagaannya berdasarkan
anggaran yang dibuat berdasarkan persamaan yang dibuat menggunakan
pembezaan. Oleh itu, kita dapat mencari dan mengelakkan kerugian yang mungkin
berlaku dalam sesuatu perniagaan. Malah kita juga dapat menganggarkan sama
ada sesuatu perniagaan itu akan laris atau tidak berdasarkan pembinaan graf dan

10. menganggarkan keputusan yang boleh berlaku dalam masa depan. Ini amat
membantu dalam ekonomi terutamanya pada para usahawan. Disamping itu juga,
pembezaan digunakan dalam menganggarkan nilai maksimum dan minimum
dalam sesuatu perkara. Sebagai contoh adalah menganggarkan kuuntungan
tertinggi dalam sesuatu ataupun juga kuantiti maksimum danminimum yang boleh
digunakan bagi mengelakkan kerugian. Manakala dalam pembinaan bangunan,
seseorang usahawan perlu tahu kuantiti bahan yang digunakan dan pembezaan
membantu dalam mencari nilai maksimum atau minimum bagi memastikan kualiti
pengeluarannya adalah terjamin dan dalam masa yang sama kita tidak mengalami
kerugian. Bukan itu sahaja, penggunaan tenaga kerja serta bahan juga boleh
dianggarkan menggunakan pembezaan ini. Oleh itu, secara keseluruhannya,
penggunaan
pembezaan
dalam
ekonomi
adalah
tidak
dapat
dielakkan
dan semestinya dapat membantu kita dalam meningkatkan kualiti keusahawanan
seseorang itu dan membantu dalam membuat keputusan.
b) Bidang Kejuruteraan
Semasa zaman Isaac Newton lagi, pelayaran kapal adalah memang berbahaya
kerana kita tidak kenal akan arah membawa kapal dengan betul dan satu-satunya
garis panduan yang digunakan adalah melalui bintangdan cara itu juga adalah
susahmelihatkan
cuaca
yang
tidak
menentu.
Dengan
adanya
kalkulus
ini, makaadalah lebih senang untuk pelayaran dilakukan dan arah dapat dibaca
dan dikenali dengan lebih senang.Selain daripada itu juga, dalam bidang
kejuruteraan, pembezaan membantu dengan banyak dimana dalam aplikasi
piston, yang banyak digunakan bukan sahaja dalam perkapalan tetapi juga
kenderaan. Pembezaan membolehkan kita menemui dan mengaplikasikan piston
yang digunakan dalam semua kenderaan. Penemuan ini adalah amat penting dan
berguna kepada kita hasil daripada perkembangan pembezaan ini.
c) Bidang Sains
pembezaan dapat digunakan untuk mencari kadar perubahan atau ‘rate of change’
tidak kira dalam tindak balas kimia mahupun benda lain. Pembezaan membantu

11. seorang untuk mencari kadar tindak balas sesuatu bahan kimia terhadap bahan
lain dan ini membantu kita untuk menciptaan pelbagai peralatan atau bahan
kegunaan harian. Perubahan dari segi keadaan, suhu dan sebagainya boleh
disukat dan dikaji menggunakan pembezaan ini dan ini amatlah berguna dalam
penemuan bahan-bahan baru
8. Rumusan
Aplikasi pembezaan adalah satu topik yang agak sukar untuk dikuasi jika
tidak benar memahami dengan lebih mendalam dan tidak membuat latihan
tambahan. Namun demikian apabila membuat tugasan ini secara tidak lansung,
sedikit sebanyak membantu saya dalam memahami topic ini dengan lebih jelas.
Sebelum kita boleh menggunakan kalkulus atau teknik-teknik lain untuk
menyelesaikan masalah maksimum dan minimum, kita perlu menterjemah
masalah ke dalam bentuk matematik yang kita boleh menyelesaikan, dan kita perlu
untuk memeriksa penyelesaian matematik kami untuk melihat jika ia benar-benar
satu penyelesaian masalah asal. Selalunya, bahagian-bahagian yang paling sukar
masalah memahami masalah dan menterjemahkan ke dalam bentuk matematik.
Mentelahan pula, dalam topik ini kita perlu meneliti beberapa masalah yang
memerlukan kefahaman, menterjemahan masalah, penyelesaian, dan memeriksa
atau menyemak semula. Kebanyakan masalah ini tidak seperti yang rumit kerana
mereka keperluan seorang saintis yang bekerja, jurutera atau ekonomi untuk
menyelesaikan, tetapi mereka mewakili satu langkah dalam membangunkan
kemahiran yang diperlukan.

12. 9. Refleksi
Topik ini agak sukar dikuasi dan difahami. Dimana memerlukan latihan
pengukuhan yang lebih bagi menguasi topik ini. Dalam aplikasi pembezaan
memerlukan pemahaman konsep yang mendalam barulah dapat memahami
keseluruhannya. Sebagai contoh, kita perlu tahu kaedah pembezaan dengan betul
barulah dapat menjawab soalan yang ditanya. Selain daripada itu, topik
pengoptimuman juga amat mencabar dimana topik ini banyak mengaplikasi dalam
kehidupan sebenar. Ini kerana, apabila melibatkan soalan yang berkaitan
penyelesaian masalah, agak sukar untuk memahami kehendak soalan dan
kadang-kadang keliru dengan soalan dan juga kehendak soalan. Bagi saya,
memerlukan lebih banyak contoh soalan yang berkaitan untuk memahami lagi
topik ini.

13. Rujukan
i.
G.A.HOW & J.T SIM, siri teks STPM, Matematik Tulen ( Longman 1997-2001)
ii.
Gerald L. Bradley & Karl J. Smith, International Edition, Calculus Second
Edition,(Prentice Hall)
iii.
Wellesley-Cambridge Press, MITOPENCOURSEWARE, Calculus Online Textbook
Published in 1991
iv.
http://www.thestudentroom.co.uk
v.
http://www1.imada.sdu.dk/~hjm/MM501/Adams/kap4.pdf
vi.
http://www.intmath.com/applications-differentiation/7-maximum-minimumproblems.php
vii.
http://simple.wikipedia.org/wiki/Differentiation#Uses_of_differentiation
viii.
http://ms.wikipedia.org/wiki/Pembezaan

14. Lampiran