Técnicas numéricas en Mecánica de Fluidos

Universidad de Oviedo
ÁREA DE MECÁNICA DE FLUIDOS
http://web.uniovi.es/Areas/Mecanica.Fluidos/

MONOGRAFÍAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

TÉCNICAS NUMÉRICAS EN
MECÁNICA DE FLUIDOS

Rafael Ballesteros Tajadura
José González Pérez
Jesús Manuel Fernández Oro
Katia María Argüelles Díaz

© Rafael Ballesteros Tajadura
ISBN 84-607-9546-2
DEPÓSITO LEGAL AS-05282-2003
Gijón 2003

Técnicas Numéricas en Mecánica de Fluidos 3

Índice.

Prólogo .................................................................................... 5

1.- Introducción....................................................................... 7
1.1.- Perspectiva histórica .................................................................................................. 7
1.2.- Aplicaciones habituales de las técnicas numéricas ................................................... 8
1.3.- Niveles de aproximación empleados en las técnicas numéricas. ........................10

2.- Modelos físico-matemáticos............................................ 13
2.1.- Modelos de flujo potencial ..................................................................................13
2.2.- Ecuaciones para flujo ideal..................................................................................13
2.3.- Modelo para flujo ideal, estacionario y rotacional ..............................................14
2.4.- Solución directa de las ecuaciones de Navier-Stokes..........................................14
2.5.- Modelos parabólicos de las ecuaciones de Navier-Stokes ..................................14
2.6.- Modelo de flujo incompresible............................................................................15
2.7.- Modelos para la simulación de la turbulencia .....................................................15
2.8.- Modelos de dos ecuaciones: modelo k-ε .............................................................18
2.9.- Modelos matemáticos para la Capa Límite .........................................................20

3.- Aspectos matemáticos del procedimiento de cálculo ...... 23
3.1.- Condiciones iniciales y de contorno....................................................................25
3.2.- Consideraciones físicas .......................................................................................27

4.- Métodos de resolución y naturaleza de las ecuaciones de
gobierno ................................................................................ 29
4.1.- Ecuaciones de gobierno, condiciones de contorno y condiciones iniciales ........30
4.2.- Discretización de las ecuaciones .........................................................................31
4.3.- Métodos de discretización empleados .................................................................38
4.4.- Discretización temporal.......................................................................................56
4.5.- Tipos de aproximación numérica utilizadas en la práctica..................................58
4.6.- Resolución numérica de problemas sencillos......................................................62

4 Técnicas Numéricas en Mecánica de Fluidos

5.- Discretización del dominio: generación de mallados ...... 99
5.1.- Clasificación de los mallados basada en la conectividad
y estructura de datos......................................................................................... 100
5.2.- Métodos de generación de mallados no estructurados...................................... 102
5.3.- Mallados “Multiblock” ..................................................................................... 103
5.4.- Mallados ajustados a los contornos (“Body Fitted Coordinates” o BFC) ........ 105

6.- Bibliografía .................................................................... 109

Anexo I.- El metodo Von Neumann para analisis de
estabilidad ........................................................................... 113

Anexo II.- Ecuaciones en sistemas generalizados............... 123

Anexo III.- Glosario de términos empleados en técnicas
numéricas ............................................................................ 129


Prólogo.

Las técnicas numéricas en Ingeniería han experimentado un gran desarrollo en las
últimas décadas. De esta tendencia no se ha apartado una rama tan característica de la
Ingeniería Mecánica como es la Mecánica de Fluidos. En este trabajo se intenta recopilar las
técnicas más utilizadas y los tratamientos que se pueden hacer de las ecuaciones de
constitución con el fin de obtener una solución numérica de las mismas.

Esta publicación constituye el resultado de varios años de impartición de la asignatura
de doctorado “Dinámica de Fluidos Computacional” que los profesores del Área de Mecánica
de Fluidos de la Universidad de Oviedo han realizado en distintos Departamentos de la
misma. Los autores han tratado de recoger la tradición y conocimientos que comparten con el
resto de compañeros del Área, a los que agradecen sus enriquecedores comentarios.


1.- Introducción.

La dinámica de fluidos computacional (o CFD, acrónimo de las palabras inglesas
“Computational Fluid Dynamics”) consiste en el análisis del movimiento de los fluidos
mediante simulaciones con ordenadores. Su objetivo es la búsqueda de una solución
aproximada de las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos, discretizando o
dividiendo el dominio de cálculo en pequeños elementos y resolviendo allí dichas ecuaciones.

Los métodos numéricos aplicados a la Mecánica de Fluidos resultan una herramienta
muy útil para el diseño y análisis de las distintas situaciones prácticas en las que se utilizan
los fluidos.

1.1.- Perspectiva histórica.

Hasta finales de los años 60 los ordenadores no alcanzaron velocidades de cálculo
suficientes como para resolver casos sencillos. Hasta entonces, las técnicas experimentales
constituían prácticamente la única herramienta de análisis y diseño de cualquier problema de
Mecánica de Fluidos.

En la actualidad, los ensayos experimentales siguen siendo necesarios para la
comprobación de las prestaciones de diseños complejos, pero los continuos avances en la
capacidad de los ordenadores y en los algoritmos permiten una reducción importante en el
número de ensayos necesarios. Así, por ejemplo, el diseño típico de un modelo de ala de avión,
exige en la actualidad 3 o 4 ensayos en túnel aerodinámico, en lugar de los 10 o 15 que eran
necesarios anteriormente. En realidad, la palabra que mejor definiría hoy la relación entre
ambas herramientas podría ser la de complementariedad (Strazisar, 1994, Lakshminarayana,
1991).

A lo largo de los últimos veinte años, las técnicas de CFD han evolucionado, mejorando
los programas comerciales e introduciéndose en las distintas áreas de la ingeniería hasta hacerse
un hueco dentro de las necesidades reales de la industria. Dichos programas se vienen usando
de manera creciente paralelalelamente a la mejora de los sistemas informáticos que les sirven de
soporte.

Desde su inicial concepción, orientada a la industria aeroespacial, la técnicas numéricas
se han extendido a un número creciente de aplicaciones dentro de un amplio espectro de
industrias, desde las más clásicas como la automovilística o electrónica, hasta las nuevas
aplicaciones en industrias alimentarias y biomédicas. Sin embargo, aún no se emplean las
técnicas numéricas como auténticas herramientas de diseño. En realidad, se obtendrán los
mayores beneficios cuando se llegue a un nivel de utilización en el día a día del diseño
industrial, es decir, cuando su difusión sea tal que puedan llegar a ser utilizadas por ingenieros
sin demasiada especialización en estas técnicas y no estar restringida su utilización a los
expertos en la materia.


1.2.- Aplicaciones habituales de las técnicas numéricas.

Es innegable que la industria aeroespacial fue pionera en el trabajo con técnicas CFD y
que todavía hoy se encuentra entre las vanguardias en la explotación de estas técnicas, pero cada
día resultan más comunes las aplicaciones en “procesos industriales”, donde los flujos son a
baja velocidad y muchas veces prácticamente incompresibles. Esta denominación de proceso
industrial se usa a menudo en la bibliografía técnica (Hirsch, 1995) para distinguir dichas
aplicaciones de las aeronáuticas o de flujos a altas velocidades, con grandes efectos de
compresibilidad. Entre las aplicaciones más importantes en que se emplean las técnicas
numéricas, se tienen:

a) Industria automovilística. Las aplicaciones típicas son el estudio de la aerodinámica
de vehículos, la climatización del habitáculo interior, el enfriamiento del bloque motor, el flujo
en válvulas de distribución, el diseño de filtros y elementos de control y las investigaciones
sobre la descarga de combustible en depósitos.

b) Industria electrónica. Los problemas más estudiados son el flujo y la distribución de
temperaturas en las carcasas electrónicas, el enfriamiento de distintos componentes, el flujo de
aire en las unidades de discos, los procesos de construcción de chips usando la técnica de
deposición química del vapor (CVD) y algunos problemas indirectos, como la ergonomía de
grandes salas.

c) Industrias de proceso y químicas. Problemas habituales resueltos con técnicas CFD
son el flujo de plásticos, los estudios en conducción de lodos, el flujo del vidrio fundido, los
flujos de tintes, la deposición de vapores químicos, el llenado de moldes, estudios en procesos
de combustión y los flujos reactivos complejos (con intercambio de calor, masa y reacciones
químicas).

d) Industria de conformados metálicos. Las aplicaciones más comunes en esta industria
son los procesos de fundición continua, las fundiciones abiertas, la extrusión de metales y los
procesos de solidificación (construcción de hélices de barco, por ejemplo).

e) Industria nuclear. Algunos estudios relacionados con el flujo en conductos de
sustancias originadas en los procesos de reacción nuclear, el enfriamiento del reactor, estudios
relacionados con el intercambiador de calor, el flujo en el interior del reactor, el
almacenamiento de residuos nucleares, el diseño de torres de enfriamiento y las investigaciones
sobre chorros térmicos.

f) Industria de recubrimientos de película fina. Entre otros, los problemas estudiados por
medio de técnicas CFD han sido el recubrimiento de cintas magnéticas, el recubrimiento de
películas de fotografía o de sonido, el recubrimiento de adhesivos, multitud de aplicaciones en
la industria papelera y los recubrimientos de fibra óptica.

g) Industria biomédica y farmacéutica. Entre otras aplicaciones, destacan el flujo de la
sangre en la venas y arterias, el flujo a través de distintas prótesis, el flujo en el interior del
corazón, los distintos estudios en fenómenos de centrifugación y el diseño de sistemas de
inyección intravenosa.


h) Industria alimentaria. Destacan los diseños de procesos de pasteurización, los estudios
en equipos de procesado de alimentos con estructura toroidal, la extrusión de fluidos y los
hornos de convección.

i) Industria aeroespacial. Las aplicaciones habitualmente estudiadas son los efectos de la
microgravedad, la ventilación de habitáculos, el diseño de vehículos espaciales, los flujos de
combustible en conductos y tanques, estudios varios en motores de propulsión.

j) Industria aeronáutica y naval. Estudios en perfiles aerodinámicos, diseño de trenes de
aterrizaje, estudios en hélices marinas y el diseño de carenas de barcos.

k) Otras aplicaciones. Destacan los estudios en oceanografía, predicciones en hidrología
(planificación de embalses, regímenes de precipitaciones, entre otros), los flujo en conductos
(calefacción, flujos internos en edificaciones, ingeniería de complejos urbanos), los flujos
medioambientales, la meteorología, los estudios de flujos alrededor de edificios, puentes y otras
estructuras exteriores, las investigaciones relacionadas con la propagación de humos, los
estudios sobre el enfriamiento y crecimiento del vidrio, el flujo en máquinas de desplazamiento
positivo, las investigaciones en flujos con varias fases (sprays), el estudio de los MEMS (Micro
Electro-Mechanical Systems) y las aplicaciones en turbomáquinas.

Por lo tanto, la panorámica es realmente amplia y susceptible de crecimiento en el
futuro.

Las ventajas que proporciona el análisis con técnicas CFD se pueden resumir en las
siguientes:

- Reducción sustancial de tiempos y de costes en los nuevos diseños.
- Posibilidad de analizar sistemas y condiciones muy difíciles de simular
experimentalmente: velocidades supersónicas, temperaturas extremas y elementos
en movimiento relativo.
- Capacidad de estudiar sistemas bajo condiciones peligrosas o más allá de sus
condiciones límite de funcionamiento, por ejemplo, accidentes con sustancias
tóxicas.
- Nivel de detalle prácticamente ilimitado. Los métodos experimentales son tanto
más caros cuanto mayor es el número de puntos de medida, mientras que los
programas CFD pueden generar un gran volumen de resultados sin coste añadido,
y con posibilidad hacer estudios paramétricos.
- Un valor añadido es poder poner en el producto la etiqueta de “Diseñado con ayuda
del ordenador”, y la facilidad para generar gráficos fácilmente interpretables, que
estimulan la “compra” del producto (lo cual, por otro lado, constituye un riesgo).

Aunque se razone que se abaratan los costes respecto a las técnicas experimentales, las
técnicas CFD no son gratuitas. En primer lugar, son necesarias máquinas de gran capacidad
de cálculo (los usuarios de técnicas CFD trabajan habitualmente con los ordenadores más
potentes que existen), y un software con precio todavía no accesible al gran público. En
segundo lugar, se necesita personal cualificado que sea capaz de dominar los programas y,
sobre todo, analizar adecuadamente los resultados.

Los desarrollos en el campo de las técnicas numéricas dedicadas al estudio de flujos se
están acercando cada vez más a los de otras herramientas de CAE como las de análisis de


esfuerzos en sólidos y estructuras. Su retraso se debe a la gran complejidad de las ecuaciones
y, sobre todo, a la dificultad de modelizar adecuadamente ciertos fenómenos como la
turbulencia, los flujos multifásicos y la combustión.

Uno de los mayores inconvenientes de las técnicas CFD consiste en que no siempre es
posible llegar a obtener resultados suficientemente precisos y siempre está presente la
posibilidad de cometer graves errores en cuestiones básicas. Esto proviene de:

- Simplificación del fenómeno a estudiar para que el hardware y software sean capaz
de abordarlo. El resultado será tanto más preciso cuanto más adecuadas hayan sido
las hipótesis y las simplificaciones realizadas.
- La existencia de insuficientes e incompletos modelos para la simular el efecto de la
turbulencia, los flujos multifásicos o la combustión, entre otros.
- La tendencia humana de creerse todo lo que se ha obtenido utilizando un ordenador,
sobre todo cuando se presentan los resultados en forma atractiva.

1.3.- Niveles de aproximación empleados en las técnicas numéricas.

El desarrollo de las técnicas numéricas y su aplicación a cualquier ciencia o tecnología
han dado lugar al desarrollo y a la concienciación generalizada de uno de los conceptos básicos
en ingeniería como es el de grado de aproximación. Esta idea es bastante clara si se considera
que lo que se pretende con cualquier técnica numérica es conocer las variables físicas a partir de
la resolución numérica de una serie de ecuaciones que gobiernan el fenómeno.

Se han de definir y establecer las distintas aproximaciones que introducen los métodos
numéricos. En lo referente a la Mecánica de Fluidos, la primera aproximación que aparece es el
planteamiento del modelo físico-matemático que defina el comportamiento real de un
determinado flujo. Dicho modelo matemático está habitualmente basado en la hipótesis del
continuo, válida para la mayor parte de problemas industriales, pero que tiene sus limitaciones
para casos extremos de flujos de gases. Una vez hecha esta salvedad, aplicando las leyes básicas
de la física clásica se puede establecer una serie de ecuaciones diferenciales que gobiernan el
comportamiento matemático de toda partícula fluida. La resolución exacta de dichas ecuaciones
serviría para determinar completamente cualquier movimiento en el seno de un fluido. Se puede
decir que un modelo matemático se define únicamente tras haber considerado el nivel de
aproximación a la realidad requerido a la hora de obtener la exactitud deseada en el cálculo de
una serie de variables dependientes. Desafortunadamente, debido a la complejidad de las
ecuaciones diferenciales que aparecen, a la complejidad geométrica de los flujos, y a la
complejidad de las condiciones de contorno o iniciales, no resulta posible obtener soluciones
analíticas de dichas ecuaciones de gobierno.

Establecidas las ecuaciones de gobierno resulta imprescindible introducir una segunda
aproximación al problema. La forma clásica de abordarlo sería construir un modelo a escala
reducida del flujo en cuestión y analizarlo experimentalmente en el laboratorio. La
aproximación numérica implica introducir algunas hipótesis simplificativas que aproximen lo
más posible los resultados finales a los que se obtendrían si se pudiera calcular la solución
exacta. Dichas hipótesis se dirigen habitualmente hacia la simplificación tanto de la geometría a
estudiar como de las ecuaciones a resolver. Obviamente, al no disponerse de la solución
analítica exacta resulta bastante complicado establecer de antemano qué hipótesis sirven y


cuales son descartables y, por tanto, en cualquier simulación aplicada a la Mecánica de Fluidos,
es preciso dedicar mucho esfuerzo al análisis de los resultados obtenidos antes de aceptarlos
como válidos.

Una vez definidas las ecuaciones diferenciales simplificadas, aparece otro problema
relacionado con el posible tratamiento que se pueda hacer de dichas ecuaciones usando técnicas
computacionales. Por medio de los ordenadores resulta muy fácil resolver una ecuación o
sistema de ecuaciones algebraico, sin embargo, las ecuaciones que estudian el movimiento de
los fluidos son ecuaciones diferenciales no lineales. Resulta obligatorio realizar la
transformación de las ecuaciones de forma que puedan ser resueltas por un ordenador. El paso
de las ecuaciones diferenciales a sus equivalentes lineales constituye otro nivel de aproximación
y normalmente recibe el nombre de discretización de las ecuaciones.

En cuanto a la geometría a estudiar, se debe señalar que la aproximación a la que debe
someterse no sólo es de orden descriptivo respecto a su contorno sino que además ha de
establecerse la definición del espacio ocupado por el fluido. En este sentido, resulta
imprescindible referir los puntos a un determinado sistema de coordenadas en los que se
pretenderá resolver las ecuaciones para obtener soluciones de las variables deseadas. Aunque el
campo fluido sea un continuo, no se puede pretender resolver las ecuaciones en todos los puntos
de un determinado volumen, porque entonces se tendría un número enorme de ecuaciones a
resolver. Por tanto, hay que elegir cierto conjunto de puntos en los que se resolverán las
mencionadas ecuaciones y que serán los puntos dónde finalmente se conocerán los valores de
las variables fluidas. La definición de estos puntos es lo que se denomina habitualmente
discretización espacial del dominio (también se habla de generación del mallado). El proceso
descrito no deja de ser otra aproximación que se introduce en el cálculo y que define el nivel de
aproximación espacial.

En el caso de tener ecuaciones que dependan de la variable tiempo (flujo no
estacionario) es esencial la definición de un nivel de aproximación temporal. No es posible
tampoco estudiar la evolución de las variables en el tiempo de forma continua. El nivel indicará
la forma de modelizar la evolución real introduciendo lo que se denomina discretización
temporal del sistema de ecuaciones. A partir de la solución calculada se podrá realizar un
promediado temporal oportuno para estudiar ciertas características medias del flujo que
dependan de la evolución de las variables con el tiempo.

Finalmente, se pueden manipular las ecuaciones eliminando ciertos términos cuya
influencia en un determinado problema se considere despreciable. La conclusión de que algún
término no afecta a la solución de una determinado flujo se debe alcanzar tras analizar
detenidamente la sensibilidad del problema ante valores dispares de dicho término.
Normalmente dicho estudio se hace tras adimensionalizar convenientemente las ecuaciones y
realizar el correspondiente análisis de semejanza (técnicas asintóticas). Esta cuestión es de
importancia capital en la Mecánica de Fluidos y está en el origen de cualquier estudio
experimental. Desde el punto de vista numérico, la eliminación de algún término en las
ecuaciones introduce lo que se denomina nivel de aproximación dinámico de las ecuaciones
consideradas.

Resumiendo, desde el modelo matemático (ecuaciones diferenciales no lineales) que
aproxima la realidad física en un medio continuo se llega a un número finito de ecuaciones
algebraicas que eliminan algún término de las ecuaciones de partida y que aproximan la
evolución temporal real que, tras resolver con técnicas apropiadas, proporcionan una


aproximación al valor de las variables incógnita en los puntos elegidos como discretización
espacial del dominio de cálculo. En definitiva, se establece un nivel de aproximación numérico
límite por debajo del cuál será imposible acercarse al valor real de las variables en los puntos
elegidos. Sin embargo, desde un punto de vista ingenieril, el proceso descrito es perfectamente
válido y ha significado a lo largo de la evolución de las técnicas numéricas, la posibilidad de
mejorar diseños y ahorrar mucho esfuerzo que de otra manera supondría trabas insalvables a la
evolución de muchos sectores industriales. En la figura 1 se muestra gráficamente la
panorámica explicada en este apartado.

Figura 1.- Las técnicas numéricas en la Mecánica de Fluidos.


2.- Modelos físico-matemáticos.

Existen varias posibles simplificaciones en cuanto a la definición del modelo
matemático que describe el movimiento de las partículas de un fluido, de gran interés por dar
lugar a soluciones válidas en distintos problemas, que han sido ampliamente utilizadas en
muchas aplicaciones numéricas. Se enumeran y describen brevemente los modelos más
importantes. Normalmente cada una de estas estrategias ha sido desarrollada para un tipo
particular de flujo.

2.1.- Modelos de flujo potencial.

Describen el comportamiento de flujos irrotacionales de fluidos ideales, desarrollados
en los albores de las técnicas numéricas. La teoría básica para el cálculo consiste en partir de
la definición del concepto de potencial de velocidades. Constituye una simplificación
adicional muy empleada para el cálculo de flujos estacionarios. Conceptualmente es de gran
interés, pero está cayendo en desuso.

2.2.- Ecuaciones para flujo ideal.

Cuando el número de Reynolds es suficientemente elevado, lo que ocurre en muchas
de las aplicaciones prácticas de la Mecánica de Fluidos, despreciar los efectos viscosos y de
conducción de las ecuaciones resulta una aproximación bastante cómoda pues elimina los
términos difusivos de segundo orden en las ecuaciones diferenciales y hace que las ecuaciones
de gobierno pasen a ser de primer orden, con todo lo que lleva asociado en cuanto a
simplificación de cálculos.

Con las hipótesis de despreciar los efectos viscosos y la transferencia de calor por
conducción, es decir, si se considera al fluido como ideal, se obtienen las ecuaciones de Euler.
Los modelos numéricos que resolvían las ecuaciones de Euler eran hasta hace poco los únicos
existentes. Hoy en día este tipo de modelos constituye el punto de partida para el desarrollo de
modelos más completos (Arts, 1989).

Las ecuaciones de Euler fueron desarrolladas por este famoso matemático suizo hacia
el año 1670. Adoptan las expresiones siguientes:

Continuidad:

dρ
+ ρ∇·u = 0 (1)
dt


Cantidad de movimiento:

∂u
ρ + ρ(u·∇)u = −∇p + ρ f e (2)
∂t

donde f e es la resultante de las fuerzas volumétricas externas que afecta a cada partícula.
Habitualmente sólo se considera la fuerza debida a la gravedad, pero puede tener otros
componentes: fuerzas electromagnéticas, fuerzas de Coriolis, fuerzas centrífugas, etc.

2.3.- Modelo para flujo ideal, estacionario y rotacional.

Es un tipo de modelos muy similar a los del fluido ideal. Consiste en reducir el
número de variables que intervienen en los cálculos introduciendo la vorticidad en las
ecuaciones de cantidad de movimiento y de la energía. Normalmente se parte de la
denominada representación de Clebsch para la velocidad en función de la vorticidad. No se
consideran aquí ni las pérdidas por viscosidad en la capa límite ni los efectos de la
turbulencia.

2.4.- Solución directa de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes constituyen una modelización correcta del flujo de
un fluido Newtoniano, incluyendo todos los efectos viscosos y térmicos. Adecuadamente
resueltas incluyen los efectos de la turbulencia y de la capa límite. Pero esta resolución directa
(ver Hirsch, 1988) requiere de una discretización espacial y temporal tan fina que está
claramente fuera del alcance de cualquier aplicación industrial. Se ha estimado (Moin et al.,
1997) en varios cientos de años de CPU del ordenador más potente existente en aquel año el
cálculo de un segundo de vuelo de un avión comercial.

La resolución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes sí que es posible si se
utilizan modelos adecuados para simular el efecto de la turbulencia y de la capa límite en
discretizaciones no tan detalladas. Un poco más adelante se hablará de ellos.

2.5.- Modelo parabólico de las ecuaciones de Navier-Stokes (PNS).

Este tipo de modelos ha sido desarrollado para el cálculo de flujos supersónicos e
hipersónicos, donde la captura de las ondas de choque, gradientes de presión, esfuerzos
viscosos superficiales y transferencia de calor son los objetivos más importantes para
cualquier diseño.

Las ecuaciones de gobierno parabólicas se obtiene a partir de las de Navier-Stokes
considerando las siguientes hipótesis:

- Flujo estacionario.


- Los gradientes de esfuerzos viscosos son despreciables en la dirección de las líneas
de corriente.
- Los gradientes de presión en la dirección de las líneas de corriente se aproximan
por su valor en zonas de capa límite cercanas.

Se ha investigado mucho en las ecuaciones parabólicas de Navier-Stokes (Parabolized
Navier-Stokes) y se han desarrollado muchos algoritmos en los últimos años (Hirsch, 1988 y
Hoffman, 1989), aunque su aplicación está muy limitada al sector aeroespacial.

2.6.- Modelo de flujo incompresible.

Un flujo se denomina incompresible cuando la densidad del fluido en cada instante
permanece independiente de las variaciones de presión. La importancia de los flujos
incompresibles es indudable y algunos autores, como Batchelor (1967), llegan a afirmar que los
problemas relacionados con este tipo de flujos constituyen la aplicación más importante y
compleja de resolver de la Mecánica de Fluidos.

Cuando el flujo es además isotermo, las ecuaciones de gobierno se simplifican
notablemente y la solución para las distintas variables se hace independiente de la
temperatura. El sistema de ecuaciones requerido queda reducido a la ecuación de continuidad
y la de cantidad de movimiento, que expresadas adimensionalmente y con la única presencia
de la gravedad como fuerza volumétrica, adoptan la forma:

Continuidad:

∇·u = 0 (3)


du ∇p 1 2 1
=- + ∇ u+ g (4)
dt ρ Re Fr

Contrariamente a lo que pudiera pensarse, la hipótesis de incompresibilidad complica
bastante la resolución de las ecuaciones. No sólo la densidad sino también los distintos
coeficientes de transporte del fluido son independientes de la presión y de la temperatura. De esta
forma, las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento son independientes de la
ecuación de la energía, que no es necesario resolver para obtener los campos de velocidades y
presión. Pese a la ventaja que esto parece implicar, en la práctica, las dos ecuaciones a resolver se
vuelven “rígidas” por la ausencia de derivada temporal en la ecuación de continuidad, y su
solución resulta más dificultosa al no ser posible una iteración tomando ambas como punto de
partida.

2.7.- Modelos para simulación de la turbulencia.

El número de Reynolds de un flujo da una medida de la importancia relativa de las
fuerzas de inercia, asociadas con los efectos convectivos, y las fuerzas viscosas. En


experimentos con fluidos se observa que para valores inferiores a un número de Reynolds
denominado crítico, el flujo es intrínsecamente estable y las capas de fluido adyacentes se
deslizan unas sobre otras de forma ordenada. El régimen del flujo se denomina laminar.

Si el flujo tiene un valor del número de Reynolds por encima del denominado crítico,
se manifiestan en éste unas perturbaciones que dan lugar a un cambio radical del carácter del
flujo. El movimiento se vuelve intrínsecamente no estacionario, incluso con condiciones de
contorno constantes. Este régimen se denomina flujo turbulento.

La turbulencia se define como el estado de movimiento de un fluido en el que las
distintas variables relevantes (presión, velocidad, etc.) fluctúan de una forma desordenada. Se
trata de un estado no estacionario desde el punto de vista macroscópico en el que las distintas
variables adoptan valores dependientes tanto de la posición como del tiempo y estos valores
varían de una forma aleatoria y desordenada.

La descripción del movimiento de las partículas fluidas debido al efecto de la
turbulencia resulta altamente complejo y constituye un problema aún sin solución desde el
punto de vista de los métodos numéricos. Se han propuesto varias formas de resolver el
problema utilizando distintas aproximaciones. A continuación se exponen los métodos
conocidos como simulación directa, simulación de los grandes vórtices y promediado
temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes.

- Simulación directa de las ecuaciones (“Direct Simulation”, DS).

Este método (cuyas iniciales provienen de la denominación inglesa Direct Simulation)
consiste, en realidad, en no utilizar ningún modelo para la turbulencia, sino realizar
discretizaciones temporales y espaciales que sean capaces de simular el flujo en un
determinado problema.

La resolución directa de las ecuaciones de Navier-Stokes resulta hoy en día abordable
sólo para un número muy limitado de problemas simples de interés académico. Los grandes
centros dedicados a la Mecánica de Fluidos disponen de líneas de investigación con esta
orientación, pero tanto las limitaciones en memoria de almacenamiento de las variables, como
en el tiempo de cálculo hacen de momento impensable la solución generalizada de problemas
prácticos usando este tipo de técnicas. Según Vandromme (1989), la primera solución de este
tipo se realizó en 1981 en la Universidad de Stanford.

- Simulación de grandes vórtices (“Large Eddy Simulation”, LES).

Este tipo de técnicas numéricas reducen la complejidad de las ecuaciones de gobierno
considerando sólo parte de los efectos turbulentos del flujo. Se estudia el intercambio
energético entre las denominadas “fluctuaciones de gran escala” y se simula el efecto de las
pequeñas escalas de la turbulencia.

Se trata de un tipo de modelo intermedio entre la simulación directa y el promediado
temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes, que extiende el promedio temporal a la captura
de ciertos efectos turbulentos básicos de forma numérica. En los modelos de simulación de


grandes vórtices, las ecuaciones no estacionarias del flujo se resuelven para el flujo principal
y para los vórtices grandes mientras que se modela el efecto de los vórtices pequeños.

Aunque sin llegar al extremo de la simulación directa, sólo es posible para problemas
simplificados y requiere unas capacidades de cálculo muy elevadas.

- Modelos que promedian temporalmente las ecuaciones de Navier-Stokes
(RANS).

Los modelos de promedio de las ecuaciones de Navier-Stokes (Reynolds Averaged
Navier-Stokes) han sido muy estudiados y resultan bastante útiles en la mayoría de los
problemas prácticos resueltos mediante técnicas numéricas.

El procedimiento de promediar las leyes que describen el movimiento de una partícula
se introduce en las ecuaciones con el fin de obtener los comportamientos promedio y
turbulento (aleatorio) de las distintas variables. El punto de partida es muy sencillo. Se trata
de obtener una descomposición de las variables en su valor medio y su valor fluctuante. Por
ejemplo, para la velocidad, la descomposición sería:

u = u + u' (5)

donde la componente media de la velocidad se obtiene haciendo la integral de la velocidad
instantánea:

1 T
T∫0
u (t) = u(t) dt (6)

suponiéndose que el periodo de integración (T) es lo suficientemente grande en comparación
con la escala temporal de la turbulencia, pero lo suficientemente pequeño como para captar
cualquier fenómeno no estacionario distinto a la turbulencia. La utilización de este tipo de
métodos es bastante adecuado, pues la mayoría de los fenómenos no estacionarios en
Mecánica de Fluidos tiene lugar a frecuencias con rangos muy alejados del rango de
frecuencias de la turbulencia.

El proceso de promediado temporal de las ecuaciones diferenciales, da lugar a unos
términos, denominados de tensiones de Reynolds (“Reynolds stresses”), que involucran
medias de los productos de la fluctuaciones de las componentes de la velocidad, cuya relación
con las componentes medias del flujo es desconocida. Para obtener dicha relación es
necesario introducir un modelo adicional, denominado modelo de turbulencia o de cierre. Las
distintas posibilidades prácticas en cuanto a modelos de turbulencia son analizadas a
continuación.

Habitualmente lo que interesa son los efectos de la turbulencia sobre los valores
medios de las variables: la velocidad media y la presión media en el caso del flujo en un
conducto; en el caso de un avión, las fuerzas medias de resistencia y sustentación; para el caso
de un motor, los efectos de la turbulencia sobre las relaciones de mezcla entre combustible y
comburente.


Para conseguir esto, las ecuaciones de Navier-Stokes se promedian sobre las escalas
de las fluctuaciones de turbulencia (RANS). Estos métodos dan lugar a un campo de flujo
promediado y simulado que es más uniforme que el flujo real, y, por tanto, reduce
drásticamente el número de puntos de la discretización espacial y de la temporal necesario
para obtener las variables buscadas.

Un modelo de turbulencia es un procedimiento numérico que permite relacionar los
valores medios de las fluctuaciones de las variables con los valores promedio (en la
nomenclatura propia de estos métodos, se habla de cerrar el sistema de ecuaciones), de forma
que se puedan resolver las ecuaciones de gobierno. Un modelo de turbulencia será útil, dentro
de un programa CFD de propósito general, si es exacto, sencillo y económico
(computacionalmente hablando). Los modelos de turbulencia más comunes son los siguientes
(Wilcox, 1993):

Modelos algebraicos:

Modelo de cero ecuaciones: modelo de la longitud de mezcla.
Modelo Cebeci-Smith-Mosinki.
Modelo Baldwin-Lomax.

Modelos de viscosidad turbulenta:

Modelo de una ecuación: modelo k.
Modelo de dos ecuaciones: modelos k-ε, k-ω2 o q-ω, modelo RNG.

Modelos de ecuaciones de las tensiones de Reynolds (RSM).

Cada uno de ellos tiene sus ventajas e inconvenientes. Aquí se expondrá más en
detalle el modelo k-ε, por ser muy extendido.

2.8.- Modelos de dos ecuaciones: modelo k-ε.

Como modelo de cierre o estrategia numérica para resolver de forma aproximada las
ecuaciones de Navier-Stokes, se desarrollan dos ecuaciones de transporte adicionales
(similares a las definidas por las ecuaciones 3 y 4), una para la energía cinética turbulenta (k)
y otra para la tasa de disipación de energía cinética turbulenta (ε). Estas variables se definen
según las expresiones:

k=
2
(
1 2
u ' + v' 2 + w ' 2 ) (7)

ε = 2 ν e ij e ij
' '
(8)

'
donde e ij es la parte fluctuante del tensor de velocidad de deformación.

Las ecuaciones de transporte para k y ε se basan en el conocimiento de los procesos
que producen los cambios en esas variables y son (Versteeg et al., 1995):


∂ ( ρk ) µ 
+ ∇·( ρku ) = ∇· t grad k  + 2µ t E ij E ij − ρε (9)
∂t  σk 

∂ (ρ ε ) µ  ε ε
+ ∇·( ρ ε u ) = ∇· t grad ε  + C1ε 2 µ t E ij E ij − C2ε ρ ε (10)
∂t  σε  k k

donde Eij es el tensor de componentes medias de la velocidad de deformación. El significado
físico de las anteriores expresiones se puede resumir en el siguiente balance:

 Velocidad de  Transporte de k / ε  Transporte de k / ε   Producción   Destrucción 
 + =  + de k / ε  − de k / ε 
cambio de k / ε   por convección   por difusión     

Aparecen varios conceptos cinemáticos relacionados con las “escalas” o longitudes
típicas asociadas a los distintos movimientos del flujo (flujo principal medio y flujo oscilante
o turbulento, relacionado con los vórtices). La escala de velocidad ζ es característica de los
remolinos y de las propiedades del flujo principal y se define según la expresión:

∂ u
ζ =C (11)
∂ y

donde C es una constante adimensional y la escala de longitud turbulenta (o longitud de
mezcla), que se define como:

k 3/ 2
= (12)
ε

Este método utiliza la velocidad de disipación ε de los remolinos pequeños para
definir la escala de longitud de los remolinos grandes porque, para altos números de
Reynolds, la velocidad de extracción de energía del flujo de los remolinos grandes es igual a
la velocidad de transferencia de energía a los remolinos pequeños. Si esto no fuese así, la
energía en algunas escalas de la turbulencia podría aumentar o disminuir sin límite, cosa que
no ocurre en la práctica con lo que se justifica el uso de la velocidad de disipación ε dentro de
la definición de la escala de longitud “ ”.

Aplicando la misma aproximación del modelo de la longitud de mezcla se puede
obtener la viscosidad turbulenta como:

k2
µ t = ρC µ ζ = ρC µ (13)
ε

Las ecuaciones de transporte de k y ε contienen cinco constantes ajustables Cµ, los
números de Prandt (σk y σε), C1ε y C2ε, aunque se suelen emplear valores fijos para una
amplia gama de flujos turbulentos. Los números de Prandtl (números adimensionales que
muestran el peso relativo de los términos viscosos frente a los términos de transmisión de
calor por conducción) relacionan las difusividades de k y ε con la viscosidad turbulenta (µt).


Las principales ventajas e inconvenientes del modelo, tal y como pueden encontrarse
en la bibliografía consultada (Lakshminarayana, 1991 y Versteeg et al., 1995), son las
siguientes:

a) Ventajas:

- Sólo se necesita fijar las condiciones iniciales y de contorno.
- Resultados satisfactorios para una gran cantidad de flujos.
- Es el modelo turbulento más ampliamente utilizado en la mayoría de flujos en
aplicaciones industriales.
- Se dispone de leyes de pared desarrolladas como condiciones de contorno para este
tipo de modelos.

b) Inconvenientes:

- Implementación más compleja que los modelos algebraicos debido a la
introducción de dos ecuaciones diferenciales adicionales.
- Pobres resultados en casos como: flujos no confinados, flujos con grandes
gradientes longitudinales, flujos turbulentos completamente desarrollados en
conductos no circulares.

2.9.- Modelos matemáticos para la Capa Límite.

La capa límite es la zona del campo fluido próxima a un contorno sólido en la que se
manifiestan especialmente los efectos viscosos. Debido a la viscosidad y a la condición de no
deslizamiento, cerca de cualquier contorno sólido aparece un gradiente de velocidades en la
dirección normal a dicho contorno. Este gradiente de velocidades condiciona el intercambio
energético entre las distintas partículas de fluido con velocidades diferentes, originando
vorticidad y turbulencia.

El problema básico para la modelización numérica del intercambio energético en la
capa límite sobre cualquier frontera sólida consiste en la definición correcta de las velocidades
de las partículas en una zona muy próxima a dicha frontera. Esto implica una densidad de
mallado muy elevada, necesaria para capturar los distintos fenómenos que se producen dentro
de la capa límite.

Esta dificultad se ha abordado usando varias aproximaciones, que se pueden englobar
en cuatro grupos: modelos de distribución de las pérdidas, modelos de capa de cortadura,
modelos de capa límite y leyes de pared, que son brevemente explicados a continuación.

- Modelos de distribución de las pérdidas (“Distributed Loss Models”).

Este tipo de modelos constituye una aproximación muy usada en flujos internos (el
fluido está confinado en un canal de paso limitado por paredes sólidas). La hipótesis básica
consiste en suponer que el efecto de las tensiones cortantes debidas a la viscosidad es


equivalente a una fuerza de rozamiento distribuida a lo largo del canal de paso y definida por
valores semi-empíricos conocidos del problema a resolver.

Aunque con este tipo de modelos se puede predecir el flujo en gran parte de la
geometría, es claro que se pierde la definición en zonas cercanas a las superficies sólidas. A
veces esta falta de precisión en la definición del flujo no es tolerable y se requiere superponer
algún modelo de capa límite complementario.

Los modelos de distribución de pérdidas fueron muy populares en los inicios de las
técnicas CFD cuando la potencia de cálculo hacía difícil de llevar a la práctica cualquier otro
tipo de modelo (Bosman, 1976).

- Modelos de capa límite (“Boundary Layer Approximations”).

Derivado de los estudios de Prandtl sobre la estructura del flujo para elevados valores
del número de Reynolds. Bajo estas condiciones, el campo de velocidades en un fluido se
puede separar en dos zonas, una de flujo no viscoso alejada de los contornos sólidos y otra
dominada por los efectos de la viscosidad, denominada capa límite.

Las ecuaciones de este tipo de modelos se pueden derivar de las del modelo de la capa
de cortadura simplificándolas aún más mediante la hipótesis del valor despreciable de la
velocidad en la dirección normal a la superficie considerada en comparación con la velocidad
en la dirección de las líneas de corriente.

También existen muchas aplicaciones prácticas de este tipo de modelos (Launder et
al., 1972)

- Modelos de la capa de cortadura (“Thin Shear Layer, TSL”).

Son métodos apropiados para flujos con elevados números de Reynolds en los que las
zonas de influencia viscosa, estelas o capas de cortadura ocupan una extensión muy reducida
dentro de la geometría del problema estudiado. Fuera de estas zonas, resulta suficiente con
considerar el modelo de fluido ideal.

Para este tipo de modelos se requiere una discretización espacial muy densa en las
zonas en las que se espera influencia de los términos viscosos. En realidad, se trata de un
cálculo ligeramente más avanzado que el correspondiente al modelo de capa límite, porque en
este caso la geometría de la capa límite es resultado del cálculo y no se introducen hipótesis
adicionales.

Este tipo de modelos ha sido aplicado a multitud de problemas relacionados con
aplicaciones aerodinámicas (Hirsch, 1988).

- Leyes de pared.

Una posibilidad distinta a los modelos mencionados consiste en incluir en los cálculos
alguna aproximación para la distribución de velocidades esperada. Con tal fin, se pueden


utilizar las distribuciones de velocidad obtenidas experimentalmente, pero la práctica habitual
consiste en utilizar los datos de distribuciones teóricas. En el contexto de los métodos
numéricos, las funciones o “leyes de pared” constituyen un conjunto de fórmulas semi-
empíricas que relacionan los valores de las distintas variables en las zonas próximas a los
contornos sólidos y sobre dichos contornos. Normalmente incluyen tanto las relaciones para
las variables medias y fórmulas para el tratamiento de la turbulencia en zonas próximas a los
contornos sólidos.

La definición de las distintas fórmulas, con rangos de aplicabilidad variables,
provienen de los estudios sobre capa límite y parten de la definición de las variables
adimensionales características de dichos estudios. Suelen distinguirse dos zonas que dan lugar
a la utilización de las denominadas leyes para capas internas y leyes para capas externas.

En la bibliografía existen multitud de modelos basados en alguna hipótesis sobre la
distribución de velocidades dentro de la capa límite (Launder et al., 1972 o White, 1991).


3.- Aspectos matemáticos del procedimiento
de cálculo.

Los modelos matemáticos de la mayoría de fenómenos físicos pueden ser expresados
como un sistema de ecuaciones en derivadas parciales cuasi-lineales de primer o segundo
orden. Las propiedades matemáticas de estos sistemas de ecuaciones son un reflejo de las
propiedades físicas de los flujos.

Las ecuaciones de flujo representan un balance entre fenómenos de convección y
difusión además de la inclusión de términos fuente. En los flujos difusivos aparecen términos
con derivadas de segundo orden como consecuencia de la Ley de Fick generalizada. Por el
contrario en los flujos convectivos aparecen derivadas de primer orden que expresan
propiedades de transporte o arrastre. Cada una de estas contribuciones tiene influencia en la
naturaleza matemática de las ecuaciones. En concreto se distingue entre los siguientes tipos de
sistemas de ecuaciones en derivadas parciales:

• Elípticos.
• Parabólicos.
• Hiperbólicos.

Antes de dar una descripción matemática rigurosa de cada tipo, se considera como
ejemplo la componente sobre el eje x de la ecuación de Navier-Stokes para un flujo laminar e
incompresible en coordenadas cartesianas:

∂u ∂p
+ ρ ( u·∇ ) u = - + µ ∆u (14)
∂t ∂x

Si se adimensionaliza la ecuación 14 utilizando unas magnitudes de referencia L, T y
V se obtiene:

VT ∂ u ∂p 1
+ ( u ·∇ ) u = − + ∆u (15)
L ∂t ∂ x Re

donde:

ρVL VL
• Re = = es el número de Reynolds y
µ ν
VT
• el número de Strouhal.
L

Se analizan a continuación dos casos particulares:


Para Números de Reynolds muy bajos (un flujo muy viscoso), el término
convectivo puede ser despreciado, quedando por tanto:

V2 T ∂ u ∂p
− + ∆ u = Re (16)
ν ∂t ∂x

Analizando la ecuación anterior puede verse que, teniendo en cuenta la naturaleza
del flujo (estacionario o no estacionario) aparecen dos tipos de ecuación:
∂u
• Flujo Estacionario ⇒ = 0.
∂t

∂p
∆u = Re (Comportamiento elíptico) (17)
∂x

∂u
• Flujo No Estacionario ⇒ ≠ 0.
∂t

V2 T ∂ u ∂p
∆u = + Re (Comportamiento parabólico) (18)
ν ∂t ∂x

Para Números de Reynolds muy altos y fuera de la capa límite, los efectos
viscosos apenas tienen influencia en el flujo. La ecuación queda entonces reducida
a la ecuación de Euler (Ecuación de primer orden).

∂u ∂p
+ ρ ( u·∇ ) u = - (Comportamiento hiperbólico) (19)
∂t ∂x

La distinción entre unas ecuaciones y otras tiene una gran importancia porque los
métodos numéricos de discretización y resolución de problemas son diferentes en cada caso.
Los fenómenos de difusión actúan en todo el espacio independientemente de la dirección
predominante del flujo (comportamiento elíptico). Por el contrario, los fenómenos de
convección actúan en la dirección de propagación, en regiones concretas del espacio
(comportamiento hiperbólico)

Entre ambas posibilidades, una ecuación con comportamiento parabólico representa una
situación intermedia que se puede interpretar como un proceso de difusión en todas las
direcciones pero amortiguado en el tiempo.

En las ecuaciones de Navier-Stokes no estacionarias, la ecuación de continuidad es
hiperbólica mientras que las ecuaciones de la cantidad de movimiento y de la energía son
parabólicas en espacio y tiempo. Se habla de un comportamiento parabólico-hiperbólico. Sin
embargo, en las ecuaciones de Navier-Stokes en su versión estacionaria, las ecuaciones de la
cantidad de movimiento y de la energía tienen un comportamiento elíptico por lo que se
tienen propiedades elíptico-hiperbólicas.


3.1.- Condiciones iniciales y de contorno.

Se dice que un problema cuya resolución depende de una ecuación diferencial en
derivadas parciales está “bien planteado” si la solución depende de manera continua de las
condiciones iniciales y de contorno. Se consideran dos tipos de problemas:

• Problema de Condición Inicial. Se conoce la solución en t = 0 y se busca la
evolución de dicha solución en el tiempo.
• Problema de Condición de Contorno. Se fijan las condiciones en los
contornos del dominio y se busca la solución en su interior. En este caso existen
tres variantes posibles: condición de Dirichlet, condición de Neumann y condición
de Robin, que se detallarán en el apartado 4.

En este apartado se analiza cómo se transmite la información relativa a la solución en
las distintas regiones de flujo. Se detalla el fenómeno de propagación de la solución para cada
uno de los tipos de clasificación de las EDPS.

• Sistemas Hiperbólicos.

En la figura 2 se considera un problema hiperbólico bidimensional: Γ constituye un
contorno del dominio y la solución U sobre el trozo de contorno AB se propaga en el
dominio del flujo siguiendo las superficies características S A , S B que surgen en AB .

Existe una región, llamada “zona de Dependencia”, que delimitan las superficies
características que surgen de A y de B junto con el trozo de contorno AB y que determinan
la solución en el punto P . Asímismo existe una región, llamada “zona de Influencia”, en la
cual la solución resulta influenciada por la solución en el punto P .

Figura 2.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema hiperbólico.


• Sistemas Parabólicos.

En la figura 3 se muestra lo que ocurre en un problema parabólico bidimensional.

Figura 3.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema parabólico.

En este tipo de problemas ambas superficies características no tienen más que una
línea en común ( S A ). La “zona de Dependencia” del punto P se extiende a un lado de la
línea S A y la “zona de Influencia” ocupa el semiespacio restante.

• Sistemas Elípticos.

En la figura 4 se considera un problema elíptico bidimensional. En este caso no hay
superficies características y en consecuencia las “zonas de Dependencia y de Influencia”
coinciden y son iguales a todo el dominio del problema.

Figura 4.- Zonas de influencia y de dependencia de un problema elíptico.

La naturaleza del problema a resolver es un aspecto crucial en la selección de la
técnica de discretización más apropiada. Hay que recurrir a la teoría de las ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales.


3.2.- Consideraciones físicas.

Considérese un problema estacionario de transferencia de calor, en el que se requiere
hallar la distribución de temperatura en una barra de sección transversal rectangular constante
y longitud infinita. El problema es bidimennsional y la ecuación a resolver es:

∂2 T ∂2 T
+ =0 (20)
∂ x2 ∂ y2

Para resolver el problema la ecuación debe ser completada con un conjunto de
condiciones de contorno. Supóngase que se conoce una solución y que se introduce una
perturbación en un punto P (p.e. un foco de calor). Dicha perturbación va a ser percibida en
todos los demás puntos de la barra. Por tanto, las temperaturas en todos los puntos del
dominio están relacionadas entre sí y con las condiciones de contorno. Habrá que especificar
la temperatura (o el flujo de calor) en todos los puntos del contorno para determinar la
solución. Se trata de un “problema de contorno”.

Ejemplo: se quieren estudiar movimientos de pequeña amplitud en un conducto recto. Las
ecuaciones gobernantes son:

∂ρ ∂ρ ∂u
+u +ρ =0
∂t ∂x ∂x
(21)
∂u ∂u 1 ∂P
+u =−
∂t ∂x ρ∂x

y la ecuación de la energía se reduce a la igualdad s = cte (entropía constante). Esto permite
relacionar las variaciones de presión y densidad:

∂P ∂ρ
= a2 (22)
∂x ∂x

siendo “a” la velocidad del sonido.

Si la amplitud es pequeña:

∂ρ ∂ρ ∂u ∂u
u << y u << (23)
∂x ∂t ∂x ∂t

entonces:

∂ρ ∂u
+ρ =0
∂t ∂x
(24)
∂u a 2 ∂ρ
=−
∂t ρ ∂x

donde ρ es la densidad del fluido en reposo; combinando ambas ecuaciones:


∂ 2ρ 2 ∂ 2ρ
−a =0 (25)
∂ t2 ∂ x2

Esta ecuación diferencial de segundo orden se debe resolver en un dominio espacio-
temporal. Considérese de nuevo el efecto de una perturbación introducida en el dominio; esta
perturbación lógicamente sólo afectará a tiempos t ≥ ti (donde ti es el instante en el que se
produce dicha perturbación), es decir, sólo a una parte del dominio temporal. No se puede
pues imponer condiciones de contorno en tiempos después de tt. En este caso, los puntos del
dominio están relacionados sólo con los puntos que pueden influenciarles, y la solución puede
ser obtenida avanzando progresivamente en el dominio temporal (“time-marching”). Se trata
de un “problema de valor inicial”.
o0o

A continuación se describe la naturaleza de algunos problemas de Mecánica de
Fluidos:

Problemas de contorno (PC).

Flujo estacionario subsónico no viscoso irrotacional.
Flujo estacionario viscoso.

Problemas de valor inicial (PVI).

Flujo no estacionario.
Flujo estacionario supersónico no viscoso.
Flujo en capa límite.

Problemas híbridos.

Flujo estacionario subsónico rotacional.
Flujo estacionario no viscoso irrotacional con zonas subsónicas y supersónicas.


4.- Métodos de resolución y naturaleza de
las ecuaciones de gobierno.

La solución de un determinado problema utilizando las técnicas numéricas implica los
siguientes pasos:

1) El planteamiento inicial de las ecuaciones a resolver (ecuaciones de gobierno con
condiciones de contorno apropiadas).
2) La obtención de los distintos campos de propiedades fluidas.
3) La interpretación crítica de las soluciones obtenidas (coherencia de resultados y
obtención de variables macroscópicas, como esfuerzos, rendimientos, etc.). En la
figura 5 se muestra un esquema simplificado de todo el proceso.

En este apartado se describe de forma general las distintas posibilidades y se resuelven
varios ejemplos prácticos de flujos sencillos.

Figura 5.- Esquema general de los métodos numéricos.


4.1.- Ecuaciones de gobierno, condiciones de contorno y condiciones
iniciales.

Las leyes que rigen el movimiento de una partícula fluida son conocidas desde
mediados del siglo XIX. Son las denominas ecuaciones de Navier-Stokes, que pueden
expresarse con distintas nomenclaturas, en distintos sistemas de referencia y con distintas
notaciones (ver Aris, 1962; Batchelor, 1967; White, 1979 o Hirsch, 1988; por ejemplo). Para
un fluido Newtoniano, se pueden expresar así (Hirsch, 1988):

Continuidad:

dρ
+ ρ∇·u = 0 (26)
dt


du ∂u  1 
ρ =ρ + ρ (u·∇)u = −∇p + µ ∇ 2 u + ∇ ( ∇·u )  + ρ f e (27)
dt ∂t  3 

Energía:

∂ (ρ E)
∂t
( )
+ ∇·(ρ u E) = ∇·(k∇T) + ∇· σ·u + Wf + q H (28)

Las ecuaciones 26 a 28 están obtenidas teniendo en cuenta que cualquier evolución
física de un sistema está gobernada por leyes de conservación. El concepto de conservación
significa que la variación de una determinada magnitud intensiva o propiedad en un
determinado volumen es debida al efecto neto de las fuentes internas de esa magnitud y al
efecto del flujo de esa magnitud que atraviesa la frontera del volumen que define al sistema.
En el caso de la Mecánica de Fluidos, las propiedades que se conservan son la masa, la
cantidad de movimiento y la energía.

Algunas veces, en las técnicas numéricas no se intenta resolver estas ecuaciones
directamente sino que se adimensionalizan de forma que, por un lado, resulte más cómodo
manejar las ecuaciones sin preocuparse de las unidades y, por otro, se pueda llegar a
despreciar términos por su valor muy inferior al resto de términos de la ecuación. Tal y como
se ha señalado, eliminar ciertos términos resulta necesario en casi todos los problemas de
Mecánica de Fluidos.

Ya sea en su forma dimensional o adimensional, se trata de un sistema de cinco
ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales y no estacionarias. Las incógnitas o
variables dependientes son la velocidad (3 componentes), la presión, la temperatura, la
densidad y la viscosidad. Para su correcta solución se deberá disponer de dos ecuaciones
adicionales que relacionen la densidad y la viscosidad del fluido con la temperatura y la
presión (ecuaciones de estado). La solución analítica de estas ecuaciones con las
correspondientes condiciones de contorno y condiciones iniciales definiría el campo fluido en
una geometría cualquiera. Sin embargo, como se ha dicho, es imposible encontrar una
solución analítica exacta de estas ecuaciones.


Condiciones de contorno y condiciones iniciales.

De tanta importancia como las ecuaciones de gobierno resultan las condiciones de
contorno y condiciones iniciales. En la mayoría de los textos dedicados a las técnicas
numéricas se concede gran importancia a las discusiones sobre las distintas posibles
condiciones de contorno e iniciales.

Las condiciones iniciales definen el estado del fluido en el instante inicial considerado
como origen para la evolución temporal (t = 0). Por tanto, para la correcta definición de un
problema se deberá conocer el valor que tienen todas las variables en ese instante. Muchas
veces, en problemas resueltos mediante técnicas numéricas esto es imposible, con lo que se ha
de buscar una alternativa. La más sencilla y habitual consiste en dar a todas las variables un
valor cero, asumiendo que, si se avanza suficientemente en el tiempo, se llega a un estado
estacionario, o periódico, independientemente de la solución inicial, según las condiciones de
contorno sean constantes o periódicas. Tiene como ventaja la sencillez de implementación,
pero tiene una gran desventaja, pues si dicha solución inicial se aparta bastante de la solución
real, puede dar lugar a problemas de convergencia en cuanto a la resolución de las ecuaciones.

En función del tipo de evolución temporal, se clasifican las ecuaciones diferenciales y,
por tanto los problemas de origen, en elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Una ecuación
diferencial se clasifica dentro de un grupo u otro dependiendo de la forma de dependencia
espacio-temporal de la evolución de las variables.

Las condiciones de contorno pueden ser de varios tipos. Los más comunes en la
práctica son:

a) Condiciones de contorno tipo Dirichlet. La variable dependiente es conocida en la
frontera física del problema.
b) Condiciones de contorno tipo Neumann. Se conoce en la frontera física del
problema el valor del gradiente normal de la variable dependiente.
c) Condiciones de contorno tipo Robin. La condición conocida constituye una
combinación lineal de los tipos anteriores.
d) Condiciones de contorno mixtas. En unas zonas de la frontera física se tienen
condiciones de contorno Dirichlet y en otras zonas condiciones del tipo Neumann.

La correcta definición de las condiciones de contorno constituye una parte
fundamental en la definición de un problema numérico.

4.2.- Discretización de las ecuaciones.

A lo largo de la historia de los métodos numéricos aplicados a la Mecánica de Fluidos
muchas han sido las aproximaciones o formas de pasar del modelo fisico-matemático al
modelo numérico discreto. Las técnicas modernas se construyen con un requerimiento
adicional importante, consistente en la condición de que el resultado final de la discretización
sea fácilmente integrable en una arquitectura de cálculo determinada. Se indican a
continuación las técnicas más comunes que cumplen este requerimiento y que son usadas en
las distintas aproximaciones en CFD.


La aplicación de las leyes básicas de la Física permite obtener las relaciones entre las
distintas variables a través de un conjunto de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:
son las Ecuaciones de Constitución de la Mecánica de Fluidos (ecuaciones 26 a 28). Por
desgracia, debido a su gran complejidad, rara vez es posible resolverlas de un modo exacto
(solución analítica del problema) y es necesario buscar métodos alternativos que proporcionen
una buena predicción, es decir, métodos que proporcionen una solución numérica
aproximada. Así, la solución numérica aproximada se obtendrá a partir de la resolución de
una serie de relaciones algebraicas obtenidas mediante técnicas de discretización de las
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

En la figura 6 se muestra de forma esquemática la metodología propuesta por los
métodos numéricos.

Figura 6.- Metodología utilizada en las resoluciones numéricas.


4.2.1.- Consistencia, convergencia y estabilidad.

Se dice que el sistema de ecuaciones algebraicas generadas en el proceso de
discretización es consistente con el sistema original si, cuando el espaciado del mallado
tiende a cero, el sistema de ecuaciones es equivalente al sistema en derivadas parciales en
cada punto.

La comprobación de la consistencia requiere la sustitución de la solución exacta en las
ecuaciones algebraicas resultantes de la discretización, y la expansión de todos los términos
como series de Taylor en torno a un punto. Para obtener consistencia, la expresión resultante
debe estar formada por la ecuación en derivadas parciales original más un resto, el cual debe
anularse si el mallado se refina.

Se define la convergencia como la capacidad que tiene un conjunto de ecuaciones
algebraicas para representar la solución analítica de un conjunto de ecuaciones diferenciales,
si ésta existiese. Las ecuaciones se dice que convergen si la solución numérica tiende a la
solución analítica cuando el espaciado del mallado o el tamaño del elemento tiende a cero.

Una solución de un sistema de ecuaciones algebraicas que aproxima un sistema de
ecuaciones en derivadas parciales es convergente si la solución aproximada es igual a la solución
exacta para cada valor de la variable independiente cuando el espaciado en el mallado tiende a
cero (numéricamente esto se expresa diciendo que ∆x, ∆t → 0).

Un conjunto de ecuaciones resulta estable si los valores de las variables implicadas
tienden hacia una solución correcta sin que los errores de cálculo en la solución discreta
deformen los resultados mientras se realiza el proceso numérico.

El concepto de estabilidad está relacionado con el crecimiento o la atenuación de errores
introducidos en la fase de cálculo, pues el ordenador introduce un error de redondeo en cada
cálculo que realiza. Se utilizan distintos métodos numéricos para obtener una valoración de dicha
estabilidad. Destaca por su mayor flexibilidad el método de las perturbaciones discretas, aunque
existe otros muchos, como el de Von Neumann.

- Método de las perturbaciones discretas: En este método se introduce una
perturbación en un punto y se observa su efecto en los puntos vecinos. Si la perturbación se
atenúa a medida que la solución procede, el esquema numérico es estable. Pero si la perturbación
crece con la solución, el esquema es inestable.

- Método de Von Neumann: Permite establecer la condición necesaria y suficiente para
la estabilidad de problemas lineales. En el resto de casos, el método se aplica localmente,
congelando los términos no lineales, por lo que solo proporciona condiciones necesarias.

En el método de Von Neumann, la solución de la ecuación en diferencias finitas se
desarrolla en series de Fourier; la atenuación o el crecimiento de las amplitudes de los modos
indican si el algoritmo numérico es o no estable.

En la práctica se dice que un proceso numérico converge si los valores de las variables
en los puntos del dominio tienden hacia unos valores fijos mientras la solución progresa. Esto
es así porque en muchos casos no se puede demostrar matemáticamente la convergencia
“estricta”. En el caso de un cálculo no estacionario en una turbomáquina, la convergencia no


se entiende como la obtención de un valor fijo para las distintas variables dependientes sino
como la obtención de una variación periódica de los valores de cada una de estas variables.

Teorema de equivalencia de Lax: Dado un problema lineal correctamente planteado y
una aproximación por diferencias finitas que satisface la condición de consistencia, la estabilidad
es condición necesaria y suficiente para que sea convergente.

En la figura 7 se muestra un resumen de los conceptos desarrollados en este apartado.

Figura 7.- Requisitos que han de cumplir las discretizaciones en los métodos numéricos.

4.2.2.- Dificultades asociadas a la naturaleza de las ecuaciones de gobierno.

En este apartado, se van a mostrar algunas limitaciones prácticas de la estabilidad de
los métodos numéricos y se va a introducir el concepto de problema rígido.

Considérese la ecuación:

du
= qu u(0)=1 con q: número complejo (29)
dt

Si se discretiza según un método de diferencias finitas centrado en el tiempo, se
obtiene:

u n +1 − u n −1
= qun (30)
2 ∆t

Esta discretización particular se denomina método explícito del punto medio (en inglés
“leap frog”). En el apartado 4.5 se amplía el estudio a otros tipos de métodos utilizados en la
práctica. Si se expresa ahora u n +1 en función de u n y de u n −1 , se puede obtener que el factor
de amplicación (ω) debe cumplir la ecuación:


ω 2 − 2 q ∆t ω − 1 = 0 (31)

que tiene dos raíces:

ω1, 2 = q ∆ t ± 1 + (q ∆ t ) 2 (32)

y debería satisfacer la condición ya mencionada de ω≤ 1 + O(∆t). Si ahora se aplica el
método para q = −1 y ∆t = 0.1, se requiere de dos valores iniciales para iterar. El primero
viene dado por la condición de contorno, es decir:

u 0 = 1.0 (33)

y el segundo puede calcularse utilizando alguna fórmula aproximada, por ejemplo la
simplificación de una fórmula de dos puntos. En la figura 8 se muestra la solución para los
valores u1 = 0.9 (línea continua) y u1 = 0.85 (círculos). Aparecen oscilaciones que no son
permisibles. Se puede observar como el concepto de estabilidad no es suficiente, porque el
límite ∆ t → 0 no aporta suficiente información del método de discretización. Se introduce
entonces el concepto de estabilidad absoluta, que indica que una solución debe mantenerse
limitada (sin oscilar) para n → ∞ para un valor finito de ∆t.

u [m/s]
1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 t [s] 1.0
Figura 8.- Evolución de la solución usando el método del punto medio.

Para una solución iterativa del problema propuesto, la solución con estabilidad
absoluta se define como un conjunto z = q ∆t tales que la secuencia de valores un permanezca
limitada (sin oscilaciones). Matemáticamente, esto implica:

ω ≤1 (34)

Para el método del punto medio, el factor de amplificación se obtiene según la
ecuación 32, por lo que ω1 = ω2 = − 1, por lo que la única opción de estabilidad es


ω1 = ω 2 = 1 , es decir, ω = eiα. Sustituyendo este resultado en la ecuación 32 y resolviendo
para z, se obtiene:

z = i sen α (35)

Es decir, la región de estabilidad es el segmento del eje imaginario entre –i y +i. Por lo
que para q = −1 no es posible obtener un valor de ∆t que proporcione un método con
estabilidad absoluta, lo cual explica el comportamiento observado en la figura 8.

Sin embargo, el caso del método del punto medio constituye una situación límite. Si se
considera el método de Euler hacia adelante (“forward Euler”) y se discretiza la misma
ecuación 29, se obtiene:

u n +1 − u n
= q un (36)
∆t

de donde se obtiene ω = 1 + q ∆t. La región de estabilidad será ahora el conjunto de los z tales
que 1 + z ≤ 1 , es decir, una circunferencia de radio unidad centrada en z = -1, tal y como se
muestra en la figura 9. Para q = -1, la solución numérica del problema permanece limitada
(sin oscilaciones) siempre que –2 ≤ - ∆t ≤ 0 o bien ∆t ≤ 2. Esta condición no es demasiado
rígida y limitará el valor de ∆t, pero no a valores demasiado pequeños. Para obtener una
precisión suficiente el salto temporal debe estar siempre en torno a una fracción de la escala
de tiempos del problema en cuestión. En este caso, la escala de tiempos máxima admisible
resulta ser la unidad (1/ q ).

Figura 9.- Región de estabilidad para el método de Euler hacia adelante.

Por ejemplo, si se considera la ecuación diferencial ordinaria dada por el sistema:

d  u1   − 3 1   u1 
 =   (37)
d t  u 2   0 − 100   u 2 


en el que los coeficientes de la diagonal principal tienen valores tan dispares, y se observa su
solución (combinación lineal de dos soluciones particulares):

 u1  1  −3t  1  −100t
  = C1   e + C2  e (38)
 u2  0  − 97 

El segundo término decae muy rápido y no se pierde generalidad si en la práctica se
desprecia. Sin embargo, el segundo término, que corresponde al valor propio q2 = -100
impone un límite ∆t ≤ 0.02.

Este ejemplo muestra como siempre resulta ser la menor escala de tiempo la que
impone un límite al salto temporal. Para problemas con grandes rangos de escalas de tiempo,
el problema se vuelve rígido y las restricciones pueden hacer muy difícil su solución
utilizando técnicas CFD. Desafortunadamente, los problemas con escalas de tiempo muy
amplias son comunes en la Mecánica de Fluidos.

Con el fin de abordar la mencionada limitación, se deben buscar soluciones que se
encuentren limitadas. Para ello sería necesario que la región de estabilidad incluyera el
semiplano izquierdo por completo. Entonces se tendría condición de estabilidad absoluta o A-
estabilidad. Por ejemplo, si se considera la discretización de la ecuación 29 según un esquema
de Euler hacia atrás (“backward Euler”), se obtiene:

u n +1 − u n
= q u n +1 (39)
∆t

En este caso, el factor de amplificación es 1/(1 – q ∆t) y la región de estabilidad viene
dada por 1 − z ≤ 1 , que se corresponde con el círculo de radio 1 y centrado en z = 1 (figura
10).

Figura 10.- Región de estabilidad para el método de Euler hacia atrás.


Existe una diferencia clara entre los dos esquemas “hacia adelante” y “hacia atrás”. En
el primero, la solución en un instante “n+1” se obtiene explícitamente de la solución en el
instante “n”, realizando operaciones aritméticas. Sin embargo, en el segundo caso, los valores
en el nuevo instante aparecen de forma implícita en la solución de una ecuación algebraica.
Aparece la diferenciación entre métodos explícitos y métodos implícitos.

Se puede extraer la conclusión general de que los métodos explícitos resultan más
económicos para cada paso temporal. Desafortunadamente, se ha demostrado que los métodos
explícitos nunca pueden ser A-estables.

Por lo tanto, la elección entre un método explícito o implícito requiere siempre buscar
un equilibrio entre la sencillez a la hora de programar y la estabilidad del método. Para
problemas en los que no exista demasiada rigidez tales como los de flujos no viscosos, los
métodos explícitos resultan competitivos, principalmente para problemas tridimensionales,
por requerir una menor cantidad de información almacenada. Por el contrario, para problemas
muy rígidos, tales como los flujos con viscosidad predominante o con reacciones químicas,
los métodos implícitos son generalmente los más utilizados, a pesar del incremento de
necesidades de almacenamiento de las variables que imponen.

4.3.- Métodos de discretización empleados.

El objetivo de la discretización es sustituir el problema continuo con infinitos grados de
libertad en espacio y tiempo por un problema discreto con finitos grados de libertad. En función
de que la discretización se realice en el dominio temporal o en el dominio espacial, se presentan
diferentes métodos de discretización:

- Discretización temporal: Diferencias finitas

- Discretización espacial: Diferencias finitas
Elementos finitos
Volúmenes finitos
Residuos ponderados

Se agrupan estos en tres métodos básicos en la discretización de las ecuaciones de
gobierno: diferencias finitas, volúmenes finitos y residuos. A continuación se describen
brevemente las tres posibilidades.

4.3.1.- Método de las diferencias finitas.

Está basado en la representación de una derivada mediante una aproximación por
diferencias entre los puntos vecinos. Utilizando los desarrollos en series de Taylor se
describen las derivadas como diferencias entre los valores de una variable en varios puntos
del espacio o del tiempo. Mediante la aplicación de tales aproximaciones, el sistema original
de ecuaciones diferenciales se reduce a un sistema de ecuaciones algebraicas, que es resuelto
mediante técnicas convencionales.


La discretización en diferencias finitas está especialmente ideada para una malla
cartesiana. Su extensión a geometrías curvilíneas más complejas requiere la transformación de
las ecuaciones de gobierno por medio del correspondiente cambio de base a un sistema de
coordenadas que siga la dirección de dichas geometrías curvilíneas. Una vez realizado el
cambio de variable, el método de diferencias finitas es aplicable a resolución de problemas en
dichas geometrías (Hoffman, 1988).

Considérese una ecuación en derivadas parciales sobre un dominio rectangular (ver
figura 11).

Se sustituye el espacio continuo por un mallado (regular):

xi, j , yi, j con i = 1...iN j = 1...jM (40)

de tal forma que se cumple:

xi, j = ∆x i
yi, j = ∆y j (41)

Figura 11.- Dominio cartesiano para definir un problema bidimensional dado.

Se define una función en los puntos del mallado (i, j):

ui, j = u (xi , yj ) (42)

A continuación, se estiman las derivadas en un punto (i, j) por cocientes de diferencias,
basados en la definición de derivada, es decir:

∂u u(x + ∆x, y) - u(x, y)
= lim (43)
∂x ∆x →0 ∆x

Si ∆x es lo suficientemente pequeño, el cociente de diferencias es una buena
aproximación de la derivada.

Existen varias posibilidades a la hora de elegir el cociente de diferencias:


Diferencia hacia delante.

∂u  u i+1, j - u i, j
 = (44)
∂x  i, j ∆x

Diferencia centrada.

∂u  u i+1, j - u i-1, j
 = (45)
∂x i, j 2∆x

Diferencia hacia atrás.

∂u  u i, j - u i-1, j
 = (46)
∂x i, j ∆x

El error de truncado es la diferencia entre la derivada real y el cociente de diferencias. Se
obtiene mediante desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto (i, j). Por ejemplo en el caso
de la diferencia hacia adelante:

∂u  ∆ x 2 ∂ 2u  ∆ x 3 ∂ 3u 
u i+1, j = u i, j + ∆x  + + + ... (47)
∂x i, j 2 ∂ x 2 i, j 3! ∂ x 3 i, j
 
∂u  u i+1, j - u i, j ∆x ∂ 2u  ∆ x 2 ∂ 3u 
 = - - + ... (48)
∂x  i, j ∆x 2 ∂ x 2 i, j 3! ∂ x 3 i, j
 

o en el caso de la diferencia centrada:

∂u  ∆ x 2 ∂ 2u  ∆ 3 ∂ 3u 
u i+1, j = u i, j + ∆x  + + x + ... (49)
∂x i, j 2 ∂ x 2 i, j 3! ∂ x 3 i, j
 
∂u  ∆ x 2 ∂ 2u  ∆ x 3 ∂ 3u 
u i-1, j = u i, j - ∆x  + - + ... (50)
∂x i, j 2 ∂ x 2  i, j 3! ∂ x 3 i, j
 
∂u  u i+1, j - u i-1, j ∆ x 2 ∂ 3u 
 = - + ... (51)
∂x  i, j 2∆x 6 ∂ x 3  i, j


El orden de la discretización es la menor potencia del incremento (∆x en este caso) que
aparece en el error de truncado. En la diferencia hacia delante es de primer orden:

∆x
E.T. = - u + ... = O(∆x) (52)
2 xx

y en la diferencia centrada resulta de segundo orden:

∆ x2
E.T. = - u + ... = O(∆ x 2) (53)
6 xxx


Una expresión puede ser de primer orden en un punto y de segundo en otro; así la
expresión siguiente sería de primer orden para el punto (i, j) y de segundo orden para el punto
(1+1/2, j):

u i+1, j - u i, j
u x )i, j = + O(∆x) (54)
∆x

u i+1, j - u i, j
u x )i+ 1 , j = + O(∆ x 2 ) (55)
2 ∆x

La discretización en un mallado no uniforme puede reducir el orden del error de truncado
(ver figura 12).

∆x i ∆x i+1
x
i-1 i i+1
Figura 12.- Mallado no uniforme unidimensional.

∂u  ∂u  ui +1 - u i u i - u i-1
 -  -
∂x i +1 ∂x i ∆ x i +1 ∆ xi
u xx )i = = + E.T. (56)
∆ x i +1 - ∆ x i ∆ x i +1 - ∆ x i
2 2

En general, el error de truncado se mantendrá de segundo orden si

∆ x i +1 = ∆ x i + O(∆ x 2 ) (57)

es decir, si los mallados son regulares.

Otro aspecto que influye en el error de la discretización es la distorsión del mallado, es
decir, que sus direcciones no sean ortogonales. Considérese el mallado de la figura 13.

i j+1

θ i+1 j

ij S
y
i-1 j

x
i j-1

Figura 13.- Mallado bidimensional no ortogonal (direcciones “x” y “S”).


Supóngase que se desea evaluar las derivadas siguientes:

∂u  ∂u 
 y  (58)
∂x i, j ∂y i, j

Entonces:

∂u  u i, j+1 - u i, j-1
 = (59)
∂y i, j ∆y
∂u  u i+1, j - u i-1, j
 = (60)
∂S i, j ∆S

Como, por otro lado, se puede deducir a partir de la figura 14 la relación:

∂ ∂ ∂
= senθ + cos θ (61)
∂S ∂x ∂y

entonces, se deduce:

∂u  u i+1, j - u i-1, j 1 u i, j+1 - u i, j-1
 = - cotgθ (62)
∂x  i, j ∆S senθ ∆y

Se observa que cuando θ es pequeño la derivada respecto a x se convierte en la diferencia
de dos términos de gran magnitud, reduciéndose la exactitud del cálculo. Así pues se tenderá a
utilizar mallados lo más ortogonales posible para evitar estos errores.

Otro aspecto a destacar de este método es que precisa la utilización de mallados
cartesianos, aunque las ecuaciones diferenciales originales se pueden expresar en un sistema de
coordenadas curvilineas arbitrario.

4.3.2.- Método de los volúmenes finitos.

Considérese una ecuación genérica en derivadas parciales que proviene de una ley de
conservación integral:

∂u
+∇ F=Q (63)
∂t

Integrando para un cierto volumen

∂
∫ u dΩ + ∫ F dΓ = ∫ Q dΩ, ∀Ω
∂t Ω
(64)
∂Ω Ω

Por ejemplo, para la ecuación de continuidad se tiene:

Técnicas numéricas en Mecánica de Fluidos

Técnicas numéricas en Mecánica de Fluidos

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Técnicas numéricas en Mecánica de Fluidos

Similaire à Técnicas numéricas en Mecánica de Fluidos (20)

Técnicas numéricas en Mecánica de Fluidos