Optimum receiver for digital signal

1
Optimum Receiver for Digital
Signal
Jay Chang

2
數位信號的統計特性數位信號的統計特性數位信號的統計特性數位信號的統計特性
最佳接收準則最佳接收準則最佳接收準則最佳接收準則
確知確知確知確知/隨相隨相隨相隨相/起伏數位信號的最佳接收起伏數位信號的最佳接收起伏數位信號的最佳接收起伏數位信號的最佳接收
實際實際實際實際/最佳接收機性能比較最佳接收機性能比較最佳接收機性能比較最佳接收機性能比較
數字信號的匹配濾波接收數字信號的匹配濾波接收數字信號的匹配濾波接收數字信號的匹配濾波接收
最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統

3
最佳: 一個相對的概念, 指在某種準則或某種意義下的最佳
在噪聲干擾下, 如何最佳的接收有用信號, 使接收性能最優化
最直觀常用的準則
• 差錯機率最小準則
• 輸出信噪比最大準則
兩種準則下最佳接收問題:
• 結構
• 性能
• 最佳信號形式
Optimum Receiver for AWGN Channels

4

5
雜訊雜訊雜訊雜訊n(t)的的的的統計特性統計特性統計特性統計特性
以二進位為例研究接收電壓的統計特性
假設:
• 通信系統中的雜訊是均值為0的帶限高斯白色雜訊其單邊功率譜密度為n0
• 並設發送的二進位碼元為“0”和“1”，其發送機率分別為P(0)和P(1) prior probability
• 則P(0) + P(1) = 1
若此通信系統的基帶截止頻率小於fH
則根據抽樣定理, 接收雜訊電壓可以用其抽樣值表示, 抽樣速率≥奈奎斯特速率2fH
設在一個碼元持續時間TB內以2fH的速率抽樣, 共得到k個抽樣值, 則有k ＝ 2fHTB
雜訊 n(t) 的統計特性
• 設n(t)是均值0的高斯白噪聲, 其 k 維機率密度函數為:
0 1
, (0) (1) 1
(0) (1)
P P
P P
 
+ = 
 
1 2 1 2( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( )k k kf f n n n f n nn f f n= =⋯ ⋯
統計獨立 2
2
1
2
2
1 1
( ) exp
22
1
( ) exp
22
k
ik
inn
i
i
nn
f n
n
f n
n
σπσ
σπσ
=
 
= − 
 
 
= − 
 
∑（）

6
若此通信系統的基帶截止頻率小於fH
則根據抽樣定理, 接收雜訊電壓可以用其抽樣值表示, 抽樣速率≥奈奎斯特速率2fH
設在一個碼元持續時間TB內以2fH的速率抽樣, 共得到k個抽樣值, 則有k ＝ 2fHTB
當k很大時, 在一個碼元持續時間TB內接收的雜訊平均功率可以表示為
2 2 2
0
1 1
2 2
2 0
1 0
2
0
0
2
1 1 1
( )
2
1 1
( )
2
: SSB PSD
:
:
B
B
k k T
i i
i iH B B
k
n
T
i
n
i
n
n H
n n n t dt
k f T T
n n t dt
n
n f
n
σ
σ
σ
σ
= =
=
= =
=
=
=
∑ ∑ ∫
∑ ∫
雜訊的標準差
雜訊的方差雜訊
雜訊
平均功率
1 2 1 2( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( )k k kf f n n n f n nn f f n= =⋯ ⋯
統計獨立 2
2
1
2
2
1 1
( ) exp
22
1
( ) exp
22
k
ik
inn
i
i
nn
f n
n
f n
n
σπσ
σπσ
=
 
= − 
 
 
= − 
 
∑（）

7
則n(t)的k維機率密度函數:
n = (n1, n2, …, nk)k維向量, 表示一個碼元內噪聲的k個抽樣值, 它可以看作是k維空間中的一個點.
在碼元持續時間TB,噪聲SSB PSD n0和抽樣數k(它和系統頻寬有關)給定後, f(n)僅決定於該碼元
期間內噪聲的能量
( )
( )
2
2
1
2
0
0
1
( ) exp
2
1
( ) e
1
2
1
( )xp
2
B
k
i
in
k
n
T
k
n
n n
n n t d
f
k
t
n
f
πσ
πσ
σ =
 
= − 
 
→ ∞
 
= − 
 
∑
∫
2
0
( )
BT
n t dt∫

8
接收接收接收接收電壓電壓電壓電壓r(t)的的的的統計特性統計特性統計特性統計特性
設接收電壓r(t)為信號電壓s(t)和雜訊電壓n(t)之和: r(t) = s(t) + n(t)
則在發送碼元確定之後, 接收電壓r(t)的隨機性將完全由雜訊決定
故它仍服從高斯分佈, 其方差仍為σn
2, 但是均值變為s(t)
當發送碼元”0”的信號波形為s0(t)時, 接收電壓r(t)的k維聯合機率密度函數為:
當發送碼元”1“的信號波形為s1(t)時, 接收電壓r(t)的k維聯合機率密度函數為:
若通信系統傳輸的是M進制碼元, 即可能發送s1, s2, …, si, …, sM之一
則當發送碼元是si時, 接收電壓的k維聯合機率密度函數為:
( )
[ ]
2
0 00
0
1 1
( ) exp ( ) ( )
2
BT
k
n
f r t s t dt
nπσ
 
= − − 
 
∫r
( )
[ ]
2
1 10
0
1 1
( ) exp ( ) ( )
2
BT
k
n
f r t s t dt
nπσ
 
= − − 
 
∫r
( )
[ ]
2
0
0
1 1
( ) exp ( ) ( )
2
BT
i ik
n
f r t s t dt
nπσ
 
= − − 
 
∫r

9

10
數位信號的最佳數位信號的最佳數位信號的最佳數位信號的最佳接收接收接收接收
最佳最佳最佳最佳means: 碼誤率碼誤率碼誤率碼誤率Pe最低最低最低最低
主要討論在二進位數字字通信系統中如何使雜訊引起的碼誤機率最小
判決規則
設在一個二進位通信系統中發送碼元”1”的機率為P(1), 發送碼元”0”的機率為P(0)
則總碼誤率Pe等於
式中
• Pe1 = P(0/1) －發送”1”時, 收到”0”的條件機率；
• Pe0 = P(1/0) －發送”0”時, 收到”1”的條件機率；
• 上面這兩個條件機率稱為錯誤轉移機率
設分界線為r0′, 判決規則為:
• 接收向量r < r0′(落在A0區域), 判發送碼元是”0”
• 接收向量r > r0′(落在A1區域), 判發送碼元是”1”
(0 /1) (1/ 0( 0) )1) (e P P PPP = +

11
A0 A1
r
f0(r) f1(r)
r0′′′′
P(A0/1)
P(A1/0)
0 1( /1)(1) (0) ( / 0)e PAP P AP P= +
0
0
0 0 1
1 0 0
( /1) ( ) (
(1/ 0)
(0 /1) )
( / 0) ( > ) ( )
P A P f d
P A P f dP
P
′
−∞
∞
′
′= = ≤ =
′= = =
∫
∫
r
r
r r r r
r r r r
錯誤機率:
總碼誤率:
發送”1”時, 發送”1”時收到誤判為”0” + 發送”0”時, 發送”0”時收到誤判為”1”
0
0
1 0(1) ( ) (0) ( )e P f d P f dP
′ ∞
′−∞
= +∫ ∫
r
r
r r r r

12
求使Pe最小的最佳判決分界點 r0
0
0
1 0(1) ( ) (0) ( )e P f d P f dP
′ ∞
′−∞
= +∫ ∫
r
r
r r r r
0
1 0 0 0
0 0
1 0
0
(1) ( ) (0) ( ) 0
( ) (1)
( ) (0)
eP
P f P f
f
f
r P
r P
∂
=
′∂
− =
=
r
r r

13
若 0
1
( ) (1)
( ) (0)
f P
f P
r
r
> ，則判為”0”
0
1
( ) (1)
( ) (0)
f P
f P
r
r
< ，則判為”1”若
先驗機率相等
P(1) = P(0)
—稱為“最大似然準則最大似然準則最大似然準則最大似然準則”, 可使碼誤率最小
推廣到
M進制
判判判判
決決決決
規規規規
則則則則 —— s0(t)
—— s1(t)
若 f0(r) > f1(r), 則判為”0”
若 f0(r) < f1(r), 則判為”1”
A0 A1
r
f0(r) f1(r)
r0′′′′
P(A0/1)
P(A1/0)
( ) ( ), ( )
1, 2 ,,
i j if f
j i
j M
s t>
≠ 

= ⋯
若則判為
其中
r r

14
0 1(0) ( ) (1) ( ) ,P f P fr r>
若則判為”0”
0
1
( ) (1)
,
( ) (0)
rf
f Pr
P
>
可改寫為: 則判為”0”
兩邊同除以P(r) — 為接收 r 的機率
0 1(0) ( ) (1) ( )
,
( ) ( )
P f r P f r
P r P r
> 則判為”0”
由Bayes' theorem可將上式改寫為：
(0) (1),r rf f> 則判為”0”
(0) (1),r rf f< 則判為”1”同理
—— 稱為最大後驗機率準則最大後驗機率準則最大後驗機率準則最大後驗機率準則
fr(1)是收到r後發送”1”的條件機率
稱為後驗機率後驗機率後驗機率後驗機率

15
—— 按以上準則判決均可使碼誤率最小
等價
在平均分布條件下：
稱為後驗機率後驗機率後驗機率後驗機率
Maximize a posteriori probability (MAP)Maximum-likelihood (ML)
= Least-squares (only in Gaussian distribution)

16
Optimum Receiver for AWGN Channels
Maximize a posteriori probability (MAP)
|
|
ˆ arg max ( | )
( | ) ( )
( | )
( )
( ) ,
( | )
if , ( ) .
then MAP ML.
r
p
p p
p
p
r
p r
p r
p const
Ψ
=
=
Ψ
Ψ Ψ
Ψ
Ψ Ψ =
⇔
Ψ r
Ψ
Ψ Ψ r
r Ψ Ψ
Ψ r
r
等價於
最大化以為條件下的機率
叫先驗機率沒有觀測信號時的機率
叫後驗機率
是平均分布離散變量
The ML estimate of ψ is the value that maximizes p(r| ψ).
The MAP estimate is the value of ψ that maximizes the a posteriori probability density function
Maximum-likelihood (ML)
= Least-squares (only in Gaussian distribution)
| 1 2 3
|
| 1 2
2
3
1 3
( ) ( ) ( )
{ ( )}
ˆ arg max ( , , | )
ˆ arg ma
, ,
ˆ
x ( | )
( , | )ML ,E
r s
s
r s
r t s t n t
H
s p r r r s
r r r s
s
p
p r r r ss s
= +
= +
=
= r Ψ
Ψ
r s Ψ n
Ψ r Ψ
根據觀測來估計參數
對參數的是使為得最大的值

17
先驗與後驗先驗與後驗先驗與後驗先驗與後驗
後驗機率: 根據Rx接收到資料的條件下, 這個接收資料最有可能是因為Tx發射哪個信號造成
的, 就認為是Tx發射的那個信號.
先驗機率: 看Tx在發射哪個信號的條件下, 經過AWGN信道後接收到資料的機率最大.
對於Rx來說, 在Tx發射的資料可能取值已知的情況下, 先驗機率和後驗機率是相等的.
2
2
1 1 2 2
1 1 2 2
~ (0, )
~ ( , )
a priori probability:
( | ) ( ), ( | ) ( )
posterior probability :
( | ) ( ), ( | ) ( )
w N
y x w N x
prob y x prob w y x prob y x prob w y x
prob x y prob w y x prob x y prob w y x
σ
σ= +
= = − = = −
= = − = = −

18
確知確知確知確知/隨相隨相隨相隨相/起伏起伏起伏起伏數位信號的最佳接收數位信號的最佳接收數位信號的最佳接收數位信號的最佳接收

( )n t
)(ts ( )r t
19
二進位確知信號最佳接收機結構二進位確知信號最佳接收機結構二進位確知信號最佳接收機結構二進位確知信號最佳接收機結構
雜訊n(t)是高斯白噪聲，均值為 0，單邊功率譜密度為 n0
設發送碼元波形 s0(t) 和 s1(t)，其持續時間為 (0, TB ) ，且能量相等：
2
0 00
( )
BT
E s t dt= ∫
則接收信號：
Pe min
2
1 10
( )
BT
E s t dt= ∫=
任務：按照最大似然準則, 構造其結構, 使碼誤率最小

20
判為 s0(t)
判為 s1(t)
[ ]
2
0 00
0
1 1
( ) exp ( ) ( )
2
BT
k
n
f r t s t dt
nπσ
 
= − − 
 
∫（）
r
[ ]
2
1 10
0
1 1
( ) exp ( ) ( )
2
BT
k
n
f r t s t dt
nπσ
 
= − − 
 
∫（）
r
根據 0 1(0) ( ) (1) ( )P f P fr r> ，
0 1(0) ( ) (1) ( )P f P fr r< ，
代
入
化
簡
為
0 0 1 10 0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
B BT T
r t s t dt W r t s t dt W+ > +∫ ∫
並利用 E0=E1 進行化簡：
判為 s0(t)
判為 s1(t)
0 0 1 10 0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
B BT T
r t s t dt W r t s t dt W+ < +∫ ∫
0
0
0
1
ln (0)
2
ln (1)
2
n
W P
n
W P
=
=

21
二進位確知信號最佳接收機結構二進位確知信號最佳接收機結構二進位確知信號最佳接收機結構二進位確知信號最佳接收機結構
等概時P(1) = P(0)，簡化為:
相關器(correlation)
0
0
0
1
ln (0)
2
ln (1)
2
n
W P
n
W P
=
=
積分器
積分器
比較判決
比較判決
積分器
積分器 M進制、等概、確知信
號的最佳接收機原理

22

23
在二進位最佳接收機中，若
0 0 1 10 0
( ) ( ) ( ) ( )
B BT T
r t s t dt W r t s t dt W>+ +∫ ∫
則判為 s0(t) 。因此，發送碼元”1”時錯判為”0”的機率為：
“0”對應s0(t)
“1”對應s1(t)
B B
0 0 1 10 0
= ( ) ( )(0/1) ( ) ) ]([
T T
r t s t dt W r t s t dtP WP + +∫ ∫>>>>
P(0/1)為發”1”時，收到”0”的條件機率；
P(1/0)為發”0”時，收到”1”的條件機率。
e (0/1)(1) (0) (1/ 0)PP P PP= +
二進位通信系統的總碼誤率為
二進位確知信號最佳接收機二進位確知信號最佳接收機二進位確知信號最佳接收機二進位確知信號最佳接收機碼碼碼碼誤性能誤性能誤性能誤性能

24
B B
0 0 1 10 0
= ( ) ( )(0/1) ( ) ) ]([
T T
r t s t dt W r t s t dtP WP + +∫ ∫>>>>
將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，並利用 E0 = E1 進行化簡
B 2
0 00
( )
T
E s t dt= ∫
B 2
1 10
( )
T
E s t dt= ∫
[ ] 20
1 0 1 00 0
(0) 1
( ) ( ) ( ) ln [ ( ) ( )]
2 (
(0 / )
1) 2
1
B BT Tn P
n t s t s t dt s tP P s t dt
P
= − − −
 
 
 
<∫ ∫
ξξξξ a—高斯隨機量 —常數
2
2
21
((0 (/ )
2
1 ) )
a
x
a
P f d eaP dxξσ
ξπσ
ξ ξ ξ
−
−∞ −∞
= = =< ∫ ∫

25
P.S. 求 f (ξξξξ ) ：
[ ]{ } [ ]1 0 1 20 0
( ) ( ) [ ( )] ( ) ([ ] ( )) 0
B BT T
E s t s t dt EE n n t st t s t dtξ = − = − =∫ ∫
[ ] [ ]{ }2
1 0 1 00 0
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
B BT T
E E n t s t s t n s t s t dtdtD ξ τξ ′ ′ ′= = − −∫ ∫
[ ][ ][ ]1 0 1 00 0
( ) ( ) ( (( ) ) )( )
B BT T
s t s t s t s t dtE n t n t dt′ ′ ′= − −′∫ ∫
[ ] 0
0
( )
2
(0)
( )
/ 2,
0
( )
,
n
t t
n
E n t n t
t t
t t
δ
δ
′= −
′=
=
′≠
′



[ ]
2 20
1 00
( ) ( )
2
BTn
s t s t dt ξσ= − =∫
2
2
1
( ) exp
22
f
ξξ
ξ
πσ
ξ
σ
  
= − 
  
∵∵∵∵n(t)是均值為0的高斯白噪聲 ∴∴∴∴ξ ~高斯分佈∵∵∵∵n(t)是均值為0的高斯白噪聲 ∴∴∴∴ξ ~高斯分佈
n(t)的自相關函數：
∴∴∴∴

26
同理, 發送碼元”0”時錯判為”1”的機率為:
2
2
21
((1 (/ )
2
0 ) )
b
x
b
P f d ebP dxξσ
ξπσ
ξ ξ ξ
−
−∞ −∞
= = =< ∫ ∫
20
0 10
(1) 1
ln [ ( ) ( )]
2 (0) 2
BTn P
s t s t db t
P
= − −∫
式中
因此，總碼誤率為
(0 /1) (1/ 0( 0) )1) (eP P P PP= +
22
2 2
2 21
2
(1) 0)
1
2
(
xx
a b
e e dx eP xP dP ξξ σ
ξ
σ
ξ πσπσ
−
−∞
−
−∞
= +∫ ∫

27
先驗機率對先驗機率對先驗機率對先驗機率對碼碼碼碼誤率的影響誤率的影響誤率的影響誤率的影響
20
0 10
20
0 1
0
(0) 1
ln [ ( ) ( )]
2 (1) 2
(1) 1
ln [ ( ) ( )]
-
2 (0) 2
B
B
T
T
n P
s t s t dt
P
n P
s t s t dt
P
a
b
∞= − − =
= − − = ∞
∫
∫
當先驗機率 P(0) = 0 及 P(1) = 1 時：
總碼誤率Pe = 0
2 2
2 2
2 21 1
2
(1) )
2
(0
x x
a b
e e dx e dxPP P ξ ξσ σ
ξ ξπσ πσ
− −
−∞ −∞
= +∫ ∫
-
a
b
= ∞
= ∞
當先驗機率 P(0) = 1 及 P(1) = 0 時：總碼誤率Pe = 0

28
2 2
2 2
2 21 1
2
(1) )
2
(0
x x
a b
e e dx e dxPP P ξ ξσ σ
ξ ξπσ πσ
− −
−∞ −∞
= +∫ ∫
當先驗機率 P(0) = P(1) = 1/2 時: a = b
可簡化為:
2
2
2 2
0 10
1 1
, [ ( ) ( )]
22
B
x
c T
e e dx s t s t dP tcξσ
ξπσ
−
−∞
= = − −∫ ∫
這時,碼誤率:
當先驗機率相等時:
• 對於給定的雜訊功率σξ
2, 碼誤率僅和兩種碼元波形之差[s0(t) – s1(t)]的能量有關, 而與波形
本身無關。差別越大, c 值越小, 碼誤率Pe也越小.
當先驗機率不等時:
• 由計算表明, 先驗機率不等時的碼誤率將略小於先驗機率相等時的碼誤率。就碼誤率而
言, 先驗機率相等是最壞的情況.

29
P(0)=P(1)=1/2 先驗先驗先驗先驗機率相等機率相等機率相等機率相等時時時時碼碼碼碼誤率的計算誤率的計算誤率的計算誤率的計算
1 1ρ− ≤ ≤
2 2
0 0 1 10 0
( ) ( )
B BT T
E s t dt E s t dt= =∫ ∫
當 s0(t) = s1(t) 時, ρ＝ 1, max
當 s0(t) = -s1(t) 時, ρ＝-1, min
E0 = E1 = Eb
互相關係數 ρ
在噪聲強度給定的條件下,碼誤率完全決定於信號碼元s0(t)和s1(t)的區別
因此, 引入s0(t)和s1(t)的互相關係數:
2
2
2
2
0 10
1
2
1
[ ( ) ( )] (1 )
2
B
x
e
T
b
c
P e dx
s t s dt Ec t
ξσ
ξπ
ρ
σ
−
−∞
=
= − − = − −
∫
∫

30
2 2
2 2
2 2
2 2
(1 )2 2
2 2 2
(1 )/ 2 (1 )/ 2
(1 )/ 2 (1 )/ 2
1 1
2 2
/ 2
/ 2
/ 2
1 1
2
2
(1 )1 1 2 1
1
2 2 2
b
b b
b b
x x
c E
e
E E
z z
e
z z b
E E
P e dx e dx
z x
z x
dz dx
P e dz e dz
E
e dz e dz erf
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ρσ σ
ξ ξ
ξ
ξ
ξ
ρ σ ρ σ
ξ
ξ
ρ σ ρ σ
πσ πσ
σ
σ
σ
σ
πσ π
ρ
π π σ
− −
− −
−∞ −∞
− − − −
− −
−∞ −∞
∞ ∞
− −
− −
= =
=
=
=
= =
− 
= = = − 
 
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2
0
2 20
1 0 00
0 0
2
( )
( ) [ ( ) ( )] (1 )
2
(1 ) (1 )1 1
1
2 2 2 2
s
x
z
T
b
b b
e
erf x e dz
n
D s t s t dt n E
E E
P erf erfc
n n
ξ
ξ
π
σ ξ ρ
ρ ρ
−
   
  
    
=
= = − = −
    − −
∴ = − =     
     
∫
∫∵

31
2
0
0
0
0
error f
(1 ) (1
unction
omplementary error fun
)1 1
1
2 2 2 2
where
2
( ) ,
( ) 1 ( ) ctionc
:
:
:
,
b
x
z
e
b
bE E
erf erfc
n n
erf x e dz
erfc x erf x
P
E
n
ρ
ρ
π
ρ
−
    − −
= − =     
     
=
= −
∫
碼元能量
碼元相關係數
雜訊功率譜密度
上式是一個非常重要的理論公式, 它給出了理論上二進位等能量數位信號碼誤率的最佳(最
小可能)值.
實際通信系統中得到的碼誤率只可能比他差, 但是絕對不可能超過它.
當Eb/n0一定時, ρ↓, Pe↓.
等機率等能二進位
確知數位信號的碼誤率的最小值
0 0 00 (1/ )
s B s s
B
b s
n
PT P P
n n T n B
E P
SNR
n P
= = = = =
0 10
( ) ( )
BT
b
s t s t dt
E
ρ =
∫

32
最佳接收性能最佳接收性能最佳接收性能最佳接收性能特點特點特點特點
碼誤率僅和Eb/n0以及相關係數ρ有關, 與信號波形及雜訊功率無直接關係.
碼元能量Eb與雜訊功率譜密度n0之比, 實際上相當於信號雜訊功率比Ps/Pn。因為若系統頻寬B
等於1/TB, 則有
按照能消除ISI的Nyquist速率傳輸基帶信號時, 所需的最小頻寬為(1/2TB) Hz.
對於已調信號, 若採用的是2PSK或2ASK信號, 則其佔用頻寬應當是基帶信號頻寬的兩倍, 即恰
好是(1/TB) Hz. 所以, 在工程上, 通常把(Eb/n0)當作信號雜訊功率比信號雜訊功率比信號雜訊功率比信號雜訊功率比看待.
0 0 00 (1/ )
s B s s
B
b s
n
PT P P
n n T n B
E P
SNR
n P
= = = = =

33
最佳接收性能最佳接收性能最佳接收性能最佳接收性能特點特點特點特點(continue)
相關係數 ρ 對於碼誤率的影響很大.
當兩種碼元的波形相同, 相關係數最大, 即ρ = 1時, 碼誤率最大
• 這時的碼誤率Pe = ½.
• 因為這時兩種碼元波形沒有區別, 接收端是在沒有根據的亂猜
當兩種碼元的波形相反, 相關係數最小, 即ρ = -1時, 碼誤率最小
• 這時的最小碼誤率等於
• E.g. 2PSK信號的相關係數就等於 -1.
當兩種碼元正交, 即相關係數 ρ = 0時,
• 碼誤率等於
• E.g. 2FSK信號的相關係數就近似等於零
當兩種碼元中有一種的能量等於零, E.g. 2ASK信號
• 碼誤率為
0 0
1 1
1
2 2
b b
e
E E
P erf erfc
n n
    
= − =       
     
0 0
1 1
1
2 2 2 2
b b
e
E E
P erf erfc
n n
    
= − =       
     
0 10
0 0
( ) ( )(1 ) (1 )1 1
1 ,
2 2 2 2
B
e
T
b b
b
s t s t dtE E
erf erfc
n n E
P
ρρ
ρ
    − −
= − = =     
     
∫
2
00
0 0
1
[ ( )]
2
1 1
1
2 4 2 4
BT
b b
e
c s t dt
E E
P erf erfc
n n
= −
   
= − =      
   
∫

34
n
0
mi
1
2
b
e
E
P erfc
n
 
=  
 
1/ 2eP =
0
1
2 4
b
e
E
P erfc
n
 
=  
 
0
1
2 2
b
e
E
P erfc
n
 
=  
 
0 10
0
( ) ( )1 (1 )
,
2 2
BT
b
e
b
s t s t dtE
erfc
n E
P
ρ
ρ
 −
= =  
 
∫
歸納
2PSK信號
2FSK 等能
2ASK 非等能
ρ = -1
ρ = 0
ρ = 0
ρ = 1
當s1(t) = -s2(t)
當兩種碼元正交
當s1(t) = s2(t)
討論：
• 使ρ = -1的信號是最佳信號形式
• 性能: 2PSK > 2FSK > 2ASK 依次差3 dB

35
多進制通信多進制通信多進制通信多進制通信系統系統系統系統的碼誤率的碼誤率的碼誤率的碼誤率
若不同碼元的信號正交, 且先驗機率相等, 能量也相等, 則其最佳誤碼率計算結果如下：
M: 進制數；
E: M進制碼元能量；
n0 : 單邊雜訊功率譜密度。
由於一個M進制碼元中含有的比特數k = log2M,
• 每個比特的能量等於
• 並且每比特的信噪比為
下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關係曲線
1/2 2 2
0
1
2
-
2 2
1 1
1
2 2
M
E x y
y
n
e e dx e dyP
π π
−
 
∞ + − 
 
−∞ −∞
 
 = −
  
∫ ∫
2/ logbE E M=
0 0 2 0log
bE E E
n n M n k
= =

36
Pe
0.693
Eb/n0
碼碼碼碼誤率誤率誤率誤率Pe與與與與Eb/n0關係曲線關係曲線關係曲線關係曲線
由此曲線看出
1. 對於給定的碼誤率，當k增大
時，需要的信噪比Eb/n0減小。
2. 當k 增大到∞時，誤碼率曲線
變成一條垂直線；這時只要
Eb/n0等於0.693(-1.6 dB)，就
能得到無碼誤的傳輸。

37

38
隨隨隨隨相數位相數位相數位相數位信號的最佳信號的最佳信號的最佳信號的最佳接收接收接收接收 (相位帶有隨機性的接收信號稱為隨相信相位帶有隨機性的接收信號稱為隨相信相位帶有隨機性的接收信號稱為隨相信相位帶有隨機性的接收信號稱為隨相信號號號號)
假設：
• 2FSK信號的能量相等、先驗機率相等、互不相關；
• 通信系統中存在帶限白色高斯噪聲；
• 接收信號碼元相位的機率密度服從均勻分佈。
因此，可以將此信號表示為
將此信號隨機相位的機率密度表示為
假設碼元能量相等所以有
0 0 0 0
1 1 1 1
( , ) cos( )
( , ) cos( )
s t A t
s t A t
φ ω φ
φ ω φ
= +
= +
0
0
1/ 2 , 0 2
( )
0, others
f
π φ π
φ
≤ <
= 

1
1
1/ 2 , 0 2
( )
0, others
f
π φ π
φ
≤ <
= 

2 2
0 0 0 1 1 10 0
( , ) ( , )
B BT T
bE s t dt E s t dt Eϕ ϕ= = = =∫ ∫

39
判決判決判決判決條件條件條件條件
我們知道討論確知信號的最佳接收時, 對於先驗機率相等的信號, 按照下式條件作判決:
• 若接收向量r使f1(r) < f0(r)，則判發送碼元是”0”，
• 若接收向量r使f0(r) < f1(r)，則判發送碼元是”1”。
對於隨機相位的接收信號, 上式中的 f0(r)和f1(r)可分別表示為:
經過複雜運算, 獲得最終判決條件
2
0 0 0 0 00
2
1 1 1 1 10
0 0 1 1 0 1
( ) ( ) ( / )
( ) ( ) ( / )
( / ) ( / )
!
f f f d
f f f d
f f
π
π
φ φ φ
φ φ φ
φ φ φ φ
=
=
∫
∫
r r
r r
r r條件機率密度和是在和給定條件下的機率密度
所以他們只決定於噪聲的統計特性

40
隨相信號的最佳接收判決隨相信號的最佳接收判決隨相信號的最佳接收判決隨相信號的最佳接收判決規則規則規則規則
• 若接收向量r 使M1
2 < M0
2，則判為發送碼元是”0”，
• 若接收向量r 使M0
2 < M1
2，則判為發送碼元是”1”。
上面就是最終判決條件，其中：
按照上面判決準則構成的隨相信號最佳接收機的結構示於下圖中
2 2
0 0 0 00 0
2 2
1 1 1 10
0
1
0
1 1 0
0 ( )cos ( )sin
( )cos ( )sin
B B
B B
T T
T T
M
M
X Y r t tdt r t tdt
X Y r t t
X Y
X d r t t tYt d
ω ω
ω ω
= + = =
= + = =
∫ ∫
∫ ∫
二進位隨相信號最
佳接收機結構：
0
1
( )
( )
s t
s t

41

42
隨相信號最佳接收機隨相信號最佳接收機隨相信號最佳接收機隨相信號最佳接收機的的的的碼碼碼碼誤率誤率誤率誤率
(0 /1) (1/ 0( 0) )1) (e P P PPP = +
發送碼元”0”時錯判為”1”的機率:
當發送時:
• 上支路: 信號+雜訊， ∴ f(M0)~廣義瑞利(Rice)分佈
• 下支路: 雜訊， ∴ f(M1)~瑞利分佈
利用2FSK包絡檢波的分析方法和結論, 可得:
先驗機率相等時:
最後, 上述最佳接收機及其碼誤率也就是2FSK確知信號的非相干接收和碼誤率
• 因為隨相信號的相位帶有由信道引入的隨機變化, 所以在接收端不可能採用相干接收方法.
• 換句話說, 相干接收只適用於相位確知的信號
• 對於隨相信號而言, 非相干接收已經是最佳的接收方法了
( ) 0
0 1 0 1 1 00
((1/ 0) )[ ( ) ]
M
P M M f M f MP dM dM
∞ ∞
= < = ∫ ∫
0 0( , )s t ϕ
021
2
(1/ 0)
bE
n
eP
−
=
(0 /1) (1/ 0)e PPP = =

43

44
起伏起伏起伏起伏數位數位數位數位信號的最佳接收信號的最佳接收信號的最佳接收信號的最佳接收 (振幅和振幅和振幅和振幅和相位相位相位相位帶有隨機性的接收信號帶有隨機性的接收信號帶有隨機性的接收信號帶有隨機性的接收信號稱為稱為稱為稱為起伏起伏起伏起伏信號信號信號信號)
一樣假設等概、等能、正交、幅度和相位隨機的2FSK為例:
• 2FSK信號的能量相等、先驗機率相等、互不相關；
• 通信系統中存在帶限高斯白噪聲；
因此設發送的起伏信號碼元為
A0和A1是由於多徑效應引起的隨機起伏振幅, 服從瑞利分佈:
由於Ai是餘弦波的振幅, 所以信號si(t, ϕi, Ai)的功率σs
2和其振幅Ai的均方值之間的關係為
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
( , , ) cos( )
( , , ) cos( )
s t A A t
s t A A t
ϕ ω ϕ
ϕ ω ϕ
= +
= +
2
2
2
2
2
( ) exp , 0, 1
,
,2
2
, [ ]/ 2 ( , )
i i
i i
s ii i i
ss
A
s t A
A
f A A i
E A
σ
σ ϕ
σ
 
= − ≥ = 
 
=式為信號中的功率
0 1 1 2[0, 2 ] : 1/( ) ( 2)f fϕ ϕ π ϕ ϕ π= =和的機率密度在內服從均勻分佈
2 2
[ ] 2i sE A σ=

45
接收接收接收接收向量向量向量向量r的的的的機機機機率密度率密度率密度率密度
由於r不但具有隨機相位, 還具有隨機起伏的振幅, 機率密度f0(r)和f1(r) 分別表示為:
經過繁複的計算, 以上兩式的計算結果如下:
可見, 比較 f0(r) 和 f1(r) 仍可化為比較 M0
2 和 M1
2 的大小. 因此, 起伏信號最佳接收機的結構和
隨相信號最佳接收機的一樣.
2
0 0 0 0 0 0 0 00 0
2
1 1 1 1 1 1 1 10 0
( ) ( ) ( ) ( / , )
( ) ( ) ( ) ( / , )
f f A f f A dA d
f f A f f A dAd
π
π
φ φ φ
φ φ φ
∞
∞
=
=
∫ ∫
∫ ∫
r r
r r
2
0
2
0
0 2 2
0 0 0
2
0
1 2 2
0 0
2
1
0
2
( ) exp
( )
2
( ) exp
( )
s
B s B s
s
B s B s
n
f K
n T n n T
n
f K
n T n
M
n T
Mσ
σ σ
σ
σ σ
 
′=  
+ + 
 
′=  
+ + 
r
r ( )
2
0
0
1
exp ( )
2
BT
k
n
r t dt
n
K
πσ
 
− 
 ′ =
∫ n0 －雜訊功率譜密度；
σn
2 －雜訊功率。

46

47
碼碼碼碼誤率誤率誤率誤率
和隨相信號最佳接收時一樣, 比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M0
2和M1
2的大小.
所以, 起伏信號最佳接收機的結構和隨相信號最佳接收機的一樣
但是, 這時的最佳碼誤率則不同於隨相信號的碼誤率
起伏信號的碼誤率為:
• 式中, 為接收碼元的統計平均能量
0
1
2 ( / )
eP
E n
=
+
E
由碼誤率曲線看出:
• 有多徑衰落時, 性能隨Pe下降而迅速變壞；
• 當 Pe=10-2 時, 衰落使性能下降約10 dB；
• 當 Pe=10-3 時, 下降約20 dB。
有衰落
無衰落

48

49
實際接收機實際接收機實際接收機實際接收機 Pe 最佳接收機最佳接收機最佳接收機最佳接收機 Pe
相干接收2ASK
非相干接收2ASK
相干接收2FSK
非相干接收2FSK
相干接收2PSK
差分相干接收2DPSK
相干接收2DPSK
1
/ 4
2
erfc r 0
1
/ 4
2
berfc E n
( )
1
exp / 4
2
r− ( )0
1
exp / 4
2
bE n−
1
/ 2
2
erfc r 0
1
/ 2
2
berfc E n
( )
1
exp / 2
2
r− ( )0
1
exp / 2
2
bE n−
1
2
erfc r 0
1
/
2
berfc E n
( )
1
exp
2
r− ( )0
1
exp /
2
bE n−
1
1
2
erfc r erfc r
 
− 
  0 0
1
1
2
b bE E
erfc erfc
n n
 
−  
 
整理整理整理整理

50
0/~ br E n比較比較比較比較
0
:
S
B
S
n
r
N
= =
實際接收機
0
0 0
:
1
b
B
S SE
n
T
T
n n
= =
最佳接收機
在S和n0相同的條件下,
0
~ ~
1b
B
E
r B
n T
⇒
0
0
.
:
1
:
1
(BPF BW)
b
e e
B
b
e e
B
E
B r P P
T n
E
B r P P
T n
 
= = = 
 
 
> < < 
 
佳實
佳實
極限時
最佳接收機與實際接收機性能
優
相同
實際上
最佳接收機實於際接收機的性能

51

52
Matched Filter
Time domain raise cosine freq domain raise cosine

53
如何設計H(ω)？使其輸出信噪比 ro 在抽樣時刻 t0 有最大值。
研究研究研究研究：：：：
匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器的的的的傳輸特性傳輸特性傳輸特性傳輸特性 — H(ω)
是一種能在抽樣時刻上獲得最大輸出信噪比的最佳線性濾波器。
ro
數位信號接收等效原理圖
輸出為：
假設輸入信號碼元s(t) 的頻譜密度函數為S(f)；信道高斯白噪聲n(t)的雙
邊功率譜密度為n0/2, n0為雜訊單邊功率譜密度；濾波器的輸入為:
( ) ( ) ( ), 0 Br t s t n t t T= + ≤ ≤
( ) ( ) ( ), 0o o By t s t n t t T= + ≤ ≤

54
2 2
( )) ( ) )( (j f t j
o
f t
os t e dS f H f Sf e df fπ π
∞ ∞
−∞ −∞
= =∫ ∫
其中，輸出信號為：
輸出雜訊平均功率為：
因此，抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與雜訊平均功率之比為：
( ) ( ) ( ), 0o o By t s t n t t T= + ≤ ≤
0
0
2
2
2
0
20
( ) ( )( )
( )
2
j f
o
o
t
H f S f e dfs
r
nN H f
t
df
π∞
−∞
∞
−∞
= =
∫
∫

55
0
2 22
o
0 2
( ) )
2
(
(
)
j f t
df df
r
n
df
eH f
H f
S f π∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞
⋅
≤
∫ ∫
∫
2
2 2
( ) ( )( ) ( )X f X fdf df dY f fY f
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
⋅≤∫ ∫ ∫
2
2 2
( ) ( )( ) ( )X f X fdf df dY f fY f
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
⋅≤∫ ∫ ∫
( )X f ( )Y f
利用Schwartz不等式：
“=”成立的條件：
0
2
2
o
o
20o
2
0( )
( )
2
( ) ( ) j tf
S f dfs
r
nN H f d
H ft e
f
π∞
−∞
∞
−∞
= =
∫
∫
*
( )) (kYX f f=

56
max
0
2
o
E
r
n
=
0* 2
(( ) ) j f t
S ff eH k π−
=僅當僅當僅當僅當
2
o
0 / 2
( ) dfS
n
f
r
∞
−∞∫≤≤≤≤
式中，
2 2
( ( )S f df s t dt E
∞ ∞
−∞ −∞
= =∫ ∫）
o
0
2E
r
n
即 ≤≤≤≤
)( ()X f H f=
02
( )( ) j f t
Y f S f e π
=
獲得最大獲得最大獲得最大獲得最大信噪比信噪比信噪比信噪比：：：：
H(f) 即為最佳接收濾波器的傳輸特性。
它等於輸入信號碼元頻譜S(f)的複共軛。故稱此濾波器為匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器。
H(f) 即為最佳接收濾波器的傳輸特性。
它等於輸入信號碼元頻譜S(f)的複共軛。故稱此濾波器為匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器。
互為共軛
輸入信號碼元的能量

57
0* 22 2
( )(( )) j fj f j ttt f
H f e df k eft eh dfS ππ π
∞ ∞
−
−∞ −∞
= =∫ ∫
0( )
*
22
( ) j t tf j f
k e dfs e dπ τ π
τ τ
∞
− −
−∞
∞
−
−∞
 
 
=
∫ ∫
00 (( )) ( )k s dt t s tk tττ τδ
∞
−∞
= =− −+∫
02 ( )
( )j f t t
k e df s dπ τ
τ τ
∞ ∞
− +
−∞ −∞
 
  
= ∫ ∫
0 22 ( - )
( )1 j f t j ft
k e dfe s dτπ π
τ τ
∞ ∞
−
−
∞ −∞
 

⋅
 
= ∫ ∫
匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器的的的的衝激衝激衝激衝激響響響響應應應應— h(t) ( )H f⇔
含義含義含義含義：：：：
h(t)是輸入信號s(t)的鏡像s(-t)及時間軸上的平移(右移t0).
0* 2
(( ) ) j f t
S ff eH k π−
=
0
0
1 ( )
( ) ( )
FT
FT
j t
t
F e f t tω
δ
ω ±
⇔
⇔ ±

58
因此， t0 ≥ TB
通常取 t0 = TB
這時 h(t) = s(TB - t)
0 0( ) ( ) [ ( )]h t s t t s t t= − = − −
問題： t0 = ？
鏡像鏡像鏡像鏡像及右移右移右移右移
圖解：：：：
• 一個實際的匹配濾波器應該是物理可實現的，其衝
激响應必須符合因果關係，在輸入衝激脈衝加入前
不應該有衝激响應出現，即必須有：
• 接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時刻t0之後
必須為零。一般不希望在碼元結束之後很久才抽樣，
故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = TB。
• 故匹配濾波器的衝激回應可以寫為

59
conv
0
o
0
lution?integral
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
os t s t h t s t d
s t d
k s x s x
h
ks t
t t dx kR t t
τ τ
τ τ
τ
τ
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
= ∗ = −
= −
= + − = −
−
∫
∫
∫
具有交換律
k = 1 時
0( ) ( )os t R t t= −
t = t0 時
2
-0max[ ( )] ( ) ( ) ( )0o os t s R s Et tt d
∞
∞
= = = =∫
匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器匹配濾波器的的的的輸出信號輸出信號輸出信號輸出信號— so(t)
匹配匹配匹配匹配濾波器濾波器濾波器濾波器可看成是一個計算輸入信號自相關函數的相關器可看成是一個計算輸入信號自相關函數的相關器可看成是一個計算輸入信號自相關函數的相關器可看成是一個計算輸入信號自相關函數的相關器!!
若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的波形為 P.S. h(t) = s(TB - t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
o B
B B
R even
s t s t h d k s t s T d
k s s T t d kR t T
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ
∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞ ∈
= − = − −
′ ′ ′= − − − = −
∫ ∫
∫
匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入
信號碼元波形的自相關函數的k倍。

60
通過Tx and Rx 都採用RRC filter
• 滿足Nyquist 準則→ no ISI
• 實現matched filter → max SNR
在之前討論應沒有涉及信號波形, SNR只決定於E and n0
匹配濾波器對於任一種數字信號波形都適用, 不論BB signal or modulated signal

61
Summary 匹配濾波器:
根據系統規定的傳輸波形，設計匹配濾波器；
信號不同，匹配濾波器不同；M元波形，對應 M個匹配濾波器；
應用：構造最佳接收機、替代相關器。
0o (( )) Rs tt t= −
0o ( ) 0( )ts R E= =
t0 ≥ TB
0(( ) )s th t t= −
max
0
2
o
E
r
n
=
0* 2
( )( ) tj f
eSH f f π−
=
2 2
( ( )S f df s t dE t
∞ ∞
−∞ −∞
= =∫ ∫）
⇔

62
Ex1. 設接收信號碼元s(t)的表示式為
試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形.
Solve: 上式所示的信號波形是一個矩形脈衝
其頻譜為
1, 0
( )
0, other
Bt T
s t
t
≤ ≤
= 

0 t
A
TB
h(t)
0 t
A
TB
s(t)
( )
( ) ( )
0
22
2*
2 2 2
0
1
( ) ( ) 1
2
( ) ( )
1 1
( ) 1 1
2 2
( ) ( )
impulse response
( ) ( )
1
0
,
,
,
1
B
B B B
j fTj ft
j ft
j fT j fT j fT
B B
S f s t e dt e
j f
H f kS f e
H f e e e
j f j f
h t ks t t
h
k
t T
k
t s T t
ππ
π
π π π
π
π π
∞
−−
−∞
−
− −
= = −
=
= − = −
= −
=
= − ≤ ≤
=
∫
令可得其匹配濾波器的傳輸函數為
令得到此匹配濾波器的為
表面上看來, h(t)的形狀和信號s(t)的形狀一樣
實際上, h(t)的形狀是s(t)的波形以t = TB/2為軸線反轉而來
由於s(t)的波形對稱於t = TB/2, 所以反轉後, 波形不變.
convolution
m
2
ax
0 0
2
( ) ( )
( ) ( ),
22
)(
o B
B
o
o
s t h t
s t kR t T
s t
A TE
n n
r
= ∗
= −
= =
⇒個方波三角波
( )2
( ) 1
1
2
Bj fT
eH f
j f
π
π
−
= −
理想理想理想理想
積分器積分器積分器積分器
延遲延遲延遲延遲TB
1
jω
2 Bj fT
e π−

63
試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形.
Solve: 上式所示的信號波形是一個余弦振盪其頻譜為
0cos2 , 0
( )
0, other
Bf t t T
s t
t
π ≤ ≤
= 

0 0
0
0 0
2 2
0
0
2 ( ) 2 ( )
0 0
2 2* *
2 ( ) 2 ( )2
0
,
( ) ( ) cos2
1 1
4 ( ) 4 ( )
( ) ( ) ( )
1 1
4 ( )
B
B B
B
B BB
T
j ft j ft
j f f T j f f T
j ft j fT
j f f T j f f Tj fT
S f s t e dt f te dt
e e
j f f j f f
H f S f e S f e
e e e e
j f f
π π
π π
π π
π ππ
π
π π
π
∞
− −
−∞
− − − +
− −
− +−
= =
− −
= +
− − − +
= =
   − −   = +
−
∫ ∫
因此匹配濾波器的傳輸函數為
2
0
0
0
0
2
2
max
0
impulse response
4 ( )
( ) ( ) cos2 ( ), 0
/ , int
( ) cos2 ,
,
0
2
Bj fT
B B B
B
B
B
B
o
j f f
h t s T t f T t t T
T n f n
h t f t t T
A T
E
A T
r
n
π
π
π
π
−
+
= − = − ≤ ≤
= ∈
= ≤ ≤
=
=
匹配濾波器的為
為了便於畫出波形圖令

64
0 0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0, 0 , 2 , 2
( ) ( ) ( )
0
( ) cos2
0, ,
cos2 (
0 2 , ,
)
1
c
2
B
B
o
B B B
B o
t
o
B
s t s h t
s t h t T
T T T T
t t T s t h t
d
t t t t
t
s t f f
s t
t d
T
τ τ τ
τ
π τ π τ τ
∞
−∞
= −
< ≤ < ≤ ≤ >
≤ <
= −
>
=
< −
∫
∫
這時的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出
由於現在和在區間外都等於零故上式中的積分可以分為如下幾段進行計算
當和時式中的和不相交故等於零
當時
[ ]0 0 0 00
0
0 0 0 0
0
0
0
0
0
1
os2 cos2 ( 2 ) cos2 sin 2
2 4
2
2 1
( ) cos2 cos2 ( ) cos2 sin 2
2 4
1
4
cos2 , 0
2
2
( ) cos2 , 2
2
0,
B
B
t
B B
o
t
B
o B B
T
B
T
B
t
f t f t d f t f t
f
t
t
s t f f t d f t f t
f
f
f
t
f t t
T t
s t f t T t T
T T
T
T
π π τ τ π π
π
π τ π τ τ π π
π
π
π
π
−
+ − = +
≤ ≤
−
= − = −
≤
−
=
∴
<
≤ ≤
∫
∫
∵
當時
很大可以忽略
convolution
other
2 cos cos
t





⇒




個波三角波為波包的波

65
匹配匹配匹配匹配濾波器濾波器濾波器濾波器形式的最佳接收機形式的最佳接收機形式的最佳接收機形式的最佳接收機
對於二進制確知信號
匹配濾波器
• 有兩個匹配濾波器，分別匹配於兩種信號
碼元。在抽樣時刻對抽樣值進行比較判決。
哪個匹配濾波器的輸出抽樣值更大，就判
決那個為輸出。
• 若此二進位信號的先驗機率相等，則此方
框圖能給出最小的總誤碼率。
• 匹配濾波器可以用不同的硬體電路實現，
也可以用軟體實現。目前，由於軟體無線
電技術(SDR)的發展，它日益趨向於用軟體
技術實現.
相關接收機相關接收機相關接收機相關接收機
積分器
積分器
等效條件等效條件等效條件等效條件：：：：
兩者輸出相等
濾波器
相關器 (t = TB時時時時)
兩者等效兩者等效兩者等效兩者等效
均能使均能使均能使均能使 Pe min
https://github.com/gnuradio/gnuradio

67
匹配濾波器的性能匹配濾波器的性能匹配濾波器的性能匹配濾波器的性能
用上述匹配濾波器得到的最大輸出信噪比就等於最佳接收時理論上能達到的最高輸出信噪比.
max
0
2
o
E
r
n
=
0
matc
( )
he
( ) ( ), ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
d filter output
: ( ) , correlation out u) ( p t)
B
B
B
B
t
Bt T
T
B
y t r t h t h t s T t
y t r h t d
y t
y t k r u s T t u du
y T k r u st T r t s tu du
τ τ τ
∞
−∞
−
= ∗ = −
∴ = −
= − →
= →=
+
∫
∫
∫
∵
在抽樣時刻輸出電壓輸入與作
匹配濾波器輸出電壓的波形可以
相關運算
表
寫成
示只有輸入電
correlator matched filter
( ) ( ) (
1
)
,B
r t s t n t
t T k=
⇔
= +
=
等效
壓時
在時刻才有最大的輸出信噪比通常
都是最佳
令
接收方法
匹配濾波器
相關接收機相關接收機相關接收機相關接收機
積分器
積分器

68
試比較它分別通過匹配濾波器和相關接收器時的輸出波形
Solve: 上式所示的信號波形是一個余弦振盪其頻譜為
0cos2 , 0
( )
0, other
Bf t t T
s t
t
π ≤ ≤
= 

2
0 0 00 0 0
0 00
0
0
0
( ) ( ) ( ) cos2 cos2 cos 2
1 1 1
(1 cos4 ) sin 4
2 2 8 2
cos2 ,
,
, / 2,
,
2
( )
t t t
t
o
y t s t s t dt f t f tdt f tdt
t
f t d
f t t
t t f t
f
t
f t
s t
π π π
π π
π
π
= = ⋅ =
= + = + ≈
=
∫ ∫ ∫
∫
此信號碼元通過後輸出信號波形等於
式中假定很大結果可以近似等於即與成直
相關接收器
匹
線關係
此信號碼元通過後輸出信配濾號波形波器等於
0
0
2
cos2 , 2
2
0, other
,,
B
B B
B
B
t
T t
f t T t T
T
t
t
T
π

≤ <

−
≤ ≤




=由此圖可見只有當時兩者的抽樣值才相等
相關器輸出y(t)
TB
匹配濾波器輸出so(t)
( )
( )o
y t
s t

69
匹配濾波器的實際應用匹配濾波器的實際應用匹配濾波器的實際應用匹配濾波器的實際應用
匹配濾波器的衝激响應h(t)應該和信號波形s(t)嚴格匹配, 包括對相位也有要求.
對確知信號的接收, 這是可以做到的.
對於隨相信號而言, 就不可能使信號的隨機相和h(t)的相位匹配. BUT 匹配濾波器還是可以用於
接收隨相信號的.
下面就對此進一步的分析.
( ) ( )
0
0
0 00
0 0 0 00 0
( ), follow Ex2. ( )
( ) ( ) cos2 ( ), 0
( ) ( ) ( )cos ( )
( )cos cos ( )sin sin
( )cos2
( )
B B B
t
B
t t
B B
h t s T t f T t t T
r t h t r T t d
r d T t r d T
r y
y t
t
r
t t
π
τ ω τ τ
τ ω τ τ ω τ ω τ τ ω
τ π
   
      
= − = − ≤ ≤
= ∗ = − +
= − − −
=
∫
∫ ∫
設此匹配濾波器的輸入是則此濾波器的輸出由卷積公式求出為
[ ]
( ) ( )
2 2
0 0 0 00 0
0 0
2
0
2
0 0 00
( )sin 2 cos 2 ( )
cos cos
t t
B
B B
f d r f d f T t
TX Y Mt T t
τ τ τ π τ τ π θ
ω θ ω θ
   + ⋅ − +
      
= ⋅ − + = − +   +  
∫ ∫ 01 0
0
00
( )sin 2
where tan
( )cos2
t
t
r f d
r f d
τ π τ τ
θ
τ π τ τ
−
 
 =
 
  
∫
∫
• 由上式看出當t = TB時, y(t)的包絡和隨相信
號最佳接收判決條件式中的M0和M1形式
相同.
• 所以, 按照隨相信號最佳接收時的判決準
則比較M0和M1, 就相當於比較上式的包絡.
• 此結構同樣適用於對起伏信號作最佳接收.

70
Summary 匹配濾波器:
0o (( )) Rs tt t= −
0o ( ) 0( )ts R E= =
t0 ≥ TB
0(( ) )s th t t= −
max
0
2
o
E
r
n
=
0* 2
( )( ) tj f
eSH f f π−
=
2 2
( ( )S f df s t dE t
∞ ∞
−∞ −∞
= =∫ ∫）
⇔

71

72
最佳基最佳基最佳基最佳基帶帶帶帶(BB)傳輸系統傳輸系統傳輸系統傳輸系統
設計目標設計目標設計目標設計目標: 無無無無碼間串碼間串碼間串碼間串擾擾擾擾 & 碼誤率碼誤率碼誤率碼誤率最小最小最小最小
(ISI), Nyquist
,
(
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
( ) ,
) ISI
( ) ( ) ( ), AW
,
GNT R
T R
B
i B B
H f G f C f G f
i
H T
T
H
H f
G f C
T
G f
f
f
π π
ω ω
=
+ = ≤∑
為了消除碼間串擾要求必須滿足第一準則
當時忽略了雜訊的影響只考慮
分析在滿足消除的條件之後
如何設計以使系統在條件下誤碼率
碼間串擾
現在我們將
我們將消除了碼間串擾並且使碼誤率最小的基帶傳輸系統
最小
稱為最佳基帶傳輸系統
設計最佳基帶傳輸系統的方法
由於信道的傳輸特性C(f)往往不易得知, 並且還可能是時變的, 在系統設計時, 有兩種分析方法:
1. 假設信道具有理想特性, 即假設C(f) = 1.
2. 考慮到信道的非理想特性.

73
(ISI), Nyquist
,
(
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
( ) ,
) ISI
( ) ( ) ( ), AW
,
GNT R
T R
B
i B B
H f G f C f G f
i
H T
T
H
H f
G f C
T
G f
f
f
π π
ω ω
=
+ = ≤∑
碼間串擾
現在我們將
最小

74
02*
*
( ) 1, :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
:
1. ( ) ISI ,
2
( ) ,
2.
( ) ( )
, ( )
( ) ,
( )
T R T R
B
i B B
j ft
R
i
R i
C
H G C G G G
H
i
H T
T T
H f kS f e
G
S
G S
π
ω
ω ω ω ω ω ω
ω
π π
ω ω
ω
ω
ω
−
=
= =
+ = ≤
=
=
∑
設理想通道則系統傳輸總特性
最佳化的兩個條件
應滿足無的頻域條件即
使系統輸出碼誤率最小
最佳接收時要求接收匹配濾波器的傳輸特性是
輸入信號頻譜的複共軛即
0 0
0 0
0 0
1/2 1/
*
* *
22 2
2
( ) ( )
3.
( ) (
( ) ( ) a
) ( )
( ) (
nd (
) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
) ( )
j t j t
T
j t j t
j ft j ftR i T
R R
R
R
R
T
T
e G e
G S e G e
G f G f H f e G f H f e
H G G
G H G H
ω ω
ω ω
π π
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω ω
− −
− −
− −∗ ∗ ∗
=
= =
= ⇒ =

⇒

= =
=
⇒
聯立
得到接收匹配濾波器應滿足的條件為
)(
)(
2
1
ω
ω
H
GT =
1=
)(ωC
)(
)(
2
1
ω
ω
H
GR =
)(tn
{ }na { }na′
)(td
最佳基帶傳輸系統組成:

75
最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統的的的的碼碼碼碼誤率性誤率性誤率性誤率性能能能能
,
,
:
0, 2 , 4 , , (
, 3
2
,
,
,
, ( )
)
1
:
k
k
k
A
d d
d d M d
M A
M
d
A d d M d
ξ
ξ ξ
= ± ±
± ±
+ +
≤
±
± −
−
⋯
⋯
設基帶信號碼元為進制的多電平信號其每個碼元在抽樣時刻的樣值電壓
一個碼元可以取下列種電平其中之一
為相鄰電平間隔的一半
接收
在抽樣時刻"信號雜訊"的樣值=
若雜訊抽樣值不超過即
端判決判決門限
則不
器的應
會發生
設置平為電
錯誤判決
多電平位置
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
, 3 , , ( 3) ,
( 1) ,
( 1) ,
:
1
2
1 1 1
2
2 2
1
1
where ,
K
K
K
e
A d d M d d
A M d d
A M d d
P M P d P d P d
M
M P d P d P d
M
P d
M
P d d
ξ
ξ
ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ
ξ ξ
= ± ± ± − >
= − < −
= − − >
 = − > + < − + > 
 
= − > + > + >  
 
= − > 
 
>
⋯當時噪聲抽樣
當最
的抽樣
高電平時噪聲抽樣
當最低電平時噪聲抽樣
錯誤機率
噪聲噪值而是抽樣值大於聲的機率
發生錯誤判決的情況發生錯誤判決的情況發生錯誤判決的情況發生錯誤判決的情況

76
計算噪聲計算噪聲計算噪聲計算噪聲抽樣抽樣抽樣抽樣值大於值大於值大於值大於d的的的的機機機機率率率率
( )
0
2
2 2 22 1/2 1/20 0 0
2
2
SSB PSD
( )
: ( ) ( ) , ( ) 1
2 2 2
1
PDF: ( ) exp
22
:
1
2 ( ) 2
2
R
R
R
d
n
n
n n n
G f df H f df H f df
f
n
P d f d
σ
σ
ξ
ξ
σπσ
ξ
ξ ξ ξ
πσ
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
∞
= = = =
 
= − 
 
> = =
∫ ∫ ∫
∫
設接收濾波器輸入端高斯白噪聲的為
接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率方差為
則設
其輸出噪聲一維
噪聲在抽樣時刻的抽樣值
根據雜訊樣值分佈的對稱性可得
( )
2
2 2 2
2
2
/ 2
exp , / 2
2
2
exp
2
1
1
2
d
d
e
d z
d
z dz erfc
d
P erfc
M
σ
ξ
ξ ξ σ
σ
π σ
σ
∞
∞
 
− = 
 
 
= − =  
 
  
= −   
   
∫
∫
變數變換
下頁, 將上式中的 Pe ~ d/σ 的關係變換成 Pe ~ E/n0的關係

77
( )TG ω ( )RG ω⊕
{ }na { }na′
( )n t
( )d t
( )is t
2 2 2 2
22
{ }
( ) ( )
:
( ) ( )* ( ) ( )
where ( ) ( )
:
( ) ( ) ( ) , use Parseval
n
n B
n
i T n T B
n
T T
T B T
B B B B B
a
d t a t nT
s t d t g t a g t nT
g t G
E a a a a
S g t kT dt G f df H f df
T T T T T
δ
ω
∞
=−∞
∞
=−∞
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= −
=
= = −
⇔
= = − = = =
∑
∑
∫ ∫ ∫
設對應的基帶信號為
則發送濾波器輸出信號即接收濾波器輸入信號為
接收信號的平均功率為
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 22 2 2 2
2/2
22 2 2 2 2
1
2
2 2
2
theorem
, [ ]
,
, 3 , , ( 1)
1 1 1 1 1
3 3 [ 1 ]
2 2
1 3 5 1 2 1 ( 1)
3
3
( 1)
3 (
n
n k
k
M
i
B
B
a a E a
a A d d M d
a E A d d d d M d
M M M M M
d
d M d i M
M M
STd
S M d
T M
=
=
= = ± ± ± −
 = = + − + + − + + ± − 
 = + + + − = − = −   
∴ = − ⇒ =
−
∑
⋯
⋯
為輸入基帶信號電平的方均值即
若系統各部分增益歸一化則有
2
3
,
1) ( 1)
E
E
M
=
−
為接收信號的平均碼元能量

78
( )
2
0
0
1 1 3
1 1
( 1)2
when 2:
1
/
2
e
e
d E
P erfc erfc
M M M n
M
P erfc E n
σ
     
= − = − ⋅      −      
=
=
為二進位雙極性基帶信號的最佳接收機的碼誤率
由此圖可見, 當碼誤率較低時, 為保持碼誤率不變, M值增大到2倍信噪比大約需要增大7 dB.
M進制多電平信號的誤碼率曲線:
M進制多電平信號進制多電平信號進制多電平信號進制多電平信號的的的的碼碼碼碼誤率誤率誤率誤率曲線曲線曲線曲線

79
(ISI), Nyquist
,
(
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
( ) ,
) ISI
( ) ( ) ( ), AW
,
GNT R
T R
B
i B B
H f G f C f G f
i
H T
T
H
H f
G f C
T
G f
f
f
π π
ω ω
=
+ = ≤∑
碼間串擾
現在我們將
最小

80
非非非非理想信道的理想信道的理想信道的理想信道的最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統
1. 使碼誤率最小
接收信號碼元的頻譜等於GT(f)⋅C(f)
為了使高斯白噪聲條件下的接收碼誤率最小, 在接收端可以採用一個匹配濾波器
此匹配濾波器的傳輸函數GR′(f)和接收信號碼元的頻譜匹配GR′(f) = GT*(f)⋅C*(f)
基帶傳輸系統的總傳輸特性為: H(f) = GT(f)⋅C(f)⋅GR′(f) = GT(f)⋅C(f)⋅ GT*(f)⋅C*(f) =|GT(f)|2|C(f)|2
此總傳輸特性H(f)能對於高斯白噪聲的碼誤率最小, BUT還沒有滿足消除ISI的條件.
2. 消除ISI
H(f)必須滿足:
可在接收端增加一個橫向均衡濾波器T(f), 使系統總傳輸特性滿足上式要求.
3. 1. and 2.聯立,對T(f)的要求:
1
,
2
B
i B B
i
H f T f
T T
 
+ = ≤ 
 
∑
2 2( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ,
2( ) ( )
( ) ,
B
i i
BT
i
i i
T T
B B
T
T f f
TG f C f
i i
G f G f C C f
T T
= ≤
   
= + = +   
   
∑
非非非非理想信道的最佳基帶傳輸系統

81
• 最後需要說明的是, 上面的討論是假定發送濾波器和信道特性已給定, 由設計接收濾波器使系
統達到最佳化.
• 理論上, 自然也可以假定接收濾波器和信道特性已給定, 設計發送濾波器使系統達到最佳；或
者只給定信道特性, 聯合設計發送和接收濾波器兩者使系統達到最佳.
• 但是, 分析結果表明, 這樣做的效果和僅使接收濾波器最佳化的結果差別不大.
• 所以在業界設計時, 還是以設計最佳接收濾波器的方法較為實用.
非非非非理想信道的理想信道的理想信道的理想信道的最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統最佳基帶傳輸系統

82
Thank you for your attention

83
GT(f) C(f) GT*(f)C*(f) T(f)
最佳接收濾波器
n(t)

High data rates in noise-limited scenarios
84
1 10 100
0
50
100
150
200
250
300
Bandwidth-limited
region
Ebn0ratio(dB)
Bandwidth utilization γ
power-limited
region
0.1 1 10
-10
-5
0
5
10
15
20
Bandwidth-limited
region
Ebn0ratio(dB)
Bandwidth utilization γ
power-limited
region
2
2 2
0
2
0
0 0
Def BW utilizat
log 1
log 1 log 1
log 1
2 1
min
ion,
.
b
b
b b
S
C BW
N
E RS
R C BW BW
N N BW
E
N
E E
N
R
B
N
W
γ
γ γ
γ
γ
 
= ⋅ + 
 
 ⋅ 
≤ = ⋅ + = ⋅ +  
⋅   
 
≤ + 
 
  −
⇒ ≥ =

≡

⇒


1. ߛ < 1, Eb/N0 = const, N0固定Eb也固定. S = Eb × R, S ↑, R ↑.
2. ߛ > 1, min required Eb/N0 increases rapidly with ߛ, if R of
same order or larger than BW, if without increase
corresponding BW, S ↑↑↑, R ↑.

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