Istorija kljuc za okruzno takmicenje za 6. razred 2022
podsetnik-iz-matematike-formule
1. А Л Г Е Б А Р С К И И З Р А З И
1
ABAB
2 1ABAB :
3
ABBA (закон комутације за сабирање) ABBA (закон комутације за множење)
4
ABCABC (закон асоцијације за сабирање)
ABCABC (закон асоцијације за множење)
5
ABCABAC (закон дистрибуције множења према сабирању)
ABCACBC (закон дистрибуције сабирања према множењу)
6
22222222ABAABBABAABB (квадрат бинома)
7
332233223333 ABAABABBABAABABB (куб бинома)
8
22ABABAB (разлика квадрата)
9
3322ABABAABB (збир кубова)
10
3322ABABAABB (разлика кубова)
11
4422ABABABAB Милош Станић 1 Техничка школа Ужице
2. ОПЕРАЦИЈЕ СА СТЕПЕНИМА
чинилаца...nnaaaaa na (степен) a (основа степена) n (изложилац степена)
1
nmnmaaa (множење степена једаких основа)
2
: nnmnmmaaaa (дељење степена једнаких основа) a
3
mnnmaa (степеновање степена)
4
010a за a
5 11nnna (превођење степена са негативним изложиоцем у aa степен са позитивним изложиоцем)
6
nnnnnnabab (множење степена једнаких изложилаца) abab (степеновање производа)
7 nnnnnnaa (дељење степена једнаких изложилаца) bbaa (степеновање количника) bb
Милош Станић 2 Техничка школа Ужице
3. ОПЕРАЦИЈЕ СА КОРЕНИМА
defnnax xa (дефиниција корена)
1
nnnnnnabab (множење корена једнаких изложилаца) abab (кореновање производа)
2
nnnnnnaa (дељење корена једнаких изложилаца) bbaa (кореновање количника) bb
3
mnmnaa (кореновање корена)
4
nnmpm
p
5
pqpqaa (пребођење корена у степен (и обрнуто))
Милош Станић 3 Техничка школа Ужице
4. К В А Д Р А Т Н А Ј Е Д Н Ч И Н А
Квадратна једначина: 20AxBxC
кој има канонски облик: Милош Станић 4 Техничка школа Ужице
где је: и
решава се по обрасцу: 21,242BBACxA
Бројеви 1x и 2x називају се решења или корени квадратне једначине.
Израз 24BAC (који се налази под кореном у претходном обрасцу) назива се дискриминанта и означава са D , то јест:
24DBAC
Ако је 0D онда су решења 1 и xx реална и различита.
Ако је 0D онда су решења 1 и xx реална и једнака.
Ако је 0D онда су решења 1 и xx конјуговано комплексна.
Квадратни трином 2AxBxC се раставља на чиниоце по обрасцу:
212AxBxCAxxxx
ВИЈЕТОВЕ ФОРМУЛЕ:
За једначину:
20AxBxC
важе Вијетове формуле:
12BxxA
12CxxA
Ако једначину 20AxBxC поделимо са добијамо: A
220/: 0AxBxCABCxxAA
Увођењем смене: и BCpqAA добијамо једна 2xpxq е Вијетове формуле:
12xxp 12xxq
5. Милош Станић 5 Техничка школа Ужице
Л О Г А Р И Т А М
log 0 1 0defxabxabaab
10 logb, 10loglogbb
e, ...2,7182818284590452353602874713527e 2,72e, lnb то
lnlogbb
log abab
2 logcaac
1212 logloggaaabbbb
lo(логаритам производа)
11224 logab
5 loglognaabn
6 log10a
a
log7loglogaccbba
c
7
18loglog abba
19loglog aabb
6. Милош Станић 6 Техничка школа Ужице
ТРИГОНОМЕТРИЈА
Тригономе
90 ( углови и су
cinoss
a
c sosincbc atgbctg bctgatg
ке функцој углова од:
е
30;60;45.
32ah
sin30
a2a 1 3cos30ha a33cos30sin6022 230tg 33306033tgctg 302ahctga 32a2331 303603ctgtg
14. Трансформација производа у збир и разлику:
11sincossinsin2
12sinsincoscos2
13coscoscoscos2
Милош Станић 14 Техничка школа Ужице
15. Милош Станић 15 Техничка школа Ужице
УРА
ПОВРШИНА И ОБИМ РАВНИХ ФИГ
1 Pab 22Oa
2 22 или 2dPaP 4Oa
3 или 22cchabPP Oabc
или abPahPbh
4 22Oa
16. Милош Станић 16 Техничка школа Ужице
Ромб :
5
12 или 2ddPahP
4Oa
6
222abahbhchP
Oabc
Х
Pssasbsc
Г 2abcs
Prs
Гп
r s4abcPR
R
18. 10
Делтоид:
122ddP 22Oa
b
11
Ч
Милош Станић 18 Техничка школа Ужице
122ddP
Oabcd
12
К
2Pr 2Or
19. Милош Станић 19 Техничка школа Ужице
уга:
12.1
Делови кр
180rl
2360irP
( 2irlP
К iPPP 2 или 3602iirr
PP 22adPad
2Olа
К
RrPPP
2222PRrRr
RrOPP
222r
20. Милош Станић 20 Техничка школа Ужице
Г
,
dA
222121xxyy
2121mxnxxmn (координате деобене тачке) mynyymn
,Sxy :1:1mn
е
цијално, ако је ра
о
AB
а
121222xxx (
ко
21. Површина троугла
Милош Станић 21 Техничка школа Ужице
12323131212
Px
11223311121xyPxyxy
12 xxxx
1233yyyy
22. Једначина праве:
ykxn k(коефицијент правца праве)
ktg
(угао између праве и xосе)
n
0AxByC
Милош Станић 22 Техничка школа Ужице
1xy
mn
m(одсечак (сегмент) на xоси)
n(одсечак (сегмент) на yоси)
cossin
x (
x p(
23. Милош Станић 23 Техничка школа Ужице
Међусобни у равни:
положај две праве
121212 ll kknn 121212ll kknn
1212llP
1l 2l
1122: : lykxnlykxn
важи: 1212llkk (услов паралелности две праве
) 12121llk (услов нормалности две праве) k
12
1l 2l
е кдну тачку:
роз је
1
1 xx
е
1x ;
1x
24. 220AxByCxyDxEyF
кружнице
псе боле
р
C
Милош Станић 24 Техничка школа Ужице
222xpyqr ,pq (координате центра кружнице) r (полупречник кружнице) Специјално, ако је центар кру
почетак, то јест ако је0p
0q 22 xyr
25. Милош Станић 25 Техничка школа Ужице
Једанчина ЛИПСЕ:
Е 12rr
је скуп тачака у равни које имају особину да је за свак
1F 2F 2a.
22222222221xybxayabab
a хоризонт b вертикална (мала) поуоса c жижна даљина
1,2,0Fc жиже (фокуси)
1,21,2,0;,0AaBb 12,rr радијус вектори
12OBF
д
222222bacabcb
26. Милош Станић 26 Техничка школа Ужице
Је :
дначина ХИПЕРБОЛЕ
Дефиниција:
Хипербола је скуп тачака у равни које имају особину да је за сваку од њих разлика раст 12rr од две фиксн
2a. 1 и 2F (жиже) констант
Ј
22221xyb byx (једначине асимптота хиперболе) a a хоризонтална (реална) полуоса b вертикална (имагинарна) поуоса c жижна даљина
1,2,0Fc жиже (фокуси)
1,2,0Aa темена хиперболе
Применом Питагорине теореме на
2NOA добијамо: 222222222acbcabbca
27. Једначина ПАРАБОЛЕ:
Дефиниција
Парабола је скуп тачака у равни које имају особину да је свака од њих подједнако удаљена од једн
F d
22yp p p
;02pF жижа (фокус) : 2pdx једначина директрисе
Милош Станић 27 Техничка школа Ужице
29. Милош Станић 29 Техничка школа Ужице
тарне фу
Елеменнкције
рна функција:
је:
xR fDR 0.y за xm 0,0, y за xmy за xm fy за xD
30. Милош Станић 30 Техничка школа Ужице
(2) Степена функција
nyx 2;kyx kN
1) Домен:
Фу
нкциј
xR
fDR
00.
y за x
0y
за x
(4) Монотоност
y з
а x
Екст min00y за x
21;kyx kN
xR fDR 00y за x 00,0, y за xy за x
31. (3
) Експоненцијална функција: 1a 01a
Милош Станић 31 Техничка школа Ужице
xR fDR
Ну
ле функције: Нема нула
ункције. 0
f
fy за xD
32. Милош Станић 32 Техничка школа Ужице
ИНВЕРЗНА ФУНКЦИЈА
11:fAB
д
xfx инверзна функција 111:fBA fxx
1ffxx
fx 1fx yx
П
logxabxab xya yx
33. Милош Станић 33 Техничка школа Ужице
(4) Логаритамска функција
1a
01a
(1) Дом
0x 0,fD 01y за x 01,00, y за xy за x 01,00, y за xy за x fy за xD fy за xD
34. Милош Станић 34 Техничка школа Ужице
ко је основа логаритма број
А
2,72e
логариоз
lnx lnyx
А
10
логар
logx logyx
lnyx
logyx
35. Милош Станић 35 Техничка школа Ужице
(5) ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ФУНКЦИЈЕ
(5.1) sinyx fDR
00y за xk 0;1;2;3;...k 002;202;2y за xkky за xkk 2;22232;222y за xky за xkk maxmin1223122y за xky за xk
36. Милош Станић 36 Техничка школа Ужице
(5.2) ycosx
(1) домен:
f
(2)
10y за x
0;1;2;3;...k
. где је
где је k maxmin
102y за xk
37. Милош Станић 37 Техничка школа Ужице
(5.3) ytgx
Ток функцује:
D
0;1;2;k3;...
0y за x
0;1;2;3;...k
) зн 00;
2
y fy за xD 0;1;2;3;...k
38. (5.4) yctgx
Ток функцује:
(1) домен:
Милош Станић 38 Техничка школа Ужице
0;1;2;3;...k
0y за x
0;1;2;3;...k
(3) знак функције:
где је
(4) монотоност:
где је
0;1;2;3;...k
39. Милош Станић 39 Техничка школа Ужице
нкције инверзне тригонометријским функцијама (АРКУС ФУНКЦИЈЕ)
(6) Фу
(6
arcsinyx
1,1x 1,1fD 00y за x 00,01y за xy за x fy за xD
(6.2) arccosyx
1,1x 1,1fD
( 01y за x Моно fy за xD
40. (6.3) yarctgx
xR fDR 0y за x
: fy за xD Милош Станић 40 Техничка школа Ужице
41. Милош Станић 41 Техничка школа Ужице
(6.4) yarcctgx
То
к функције:
xR fDR
ле фун
0 за fy за xD