Chuyên Đề LTĐH Toán 2013 - Biên Soạn VNMath

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
ketnoitrithuc2013.blogspot.com - chia sẻ kiến thức thi ĐH

Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc
ếp
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 1 -
I/ PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính
chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)...
Câu 2 (1 điểm):
Công thức lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu 3 (1 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu 4 (1 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu 5 (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện
tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 6 (1 điểm):
Bài toán tổng hợp.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
Theo chương trình chuẩn:
Câu 7a (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, elip.
- Viết phương trình đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Câu 8a (1 điểm)
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Đường tròn, Mặt cầu.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 9a (1 điểm):
- Số phức.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số.
Theo chương trình nâng cao:
Câu 7b (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:
- Đường tròn, ba đường conic.
- Viết phương trình đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Đường tròn, mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
- Số phức.
- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lôgarit.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.
Theo Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị:
- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của 3 dạng hàm số sau:
- Lƣu ý khi vẽ đồ thị:
+ Không đƣợc vẽ đồ thị ra ngoài mặt phẳng tọa độ.
+ Nét vẽ đồ thị phải trơn, không có chỗ gấp khúc. Thể hiện sự “uốn” của đồ thị tại các điểm uốn.
+ Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn
(nếu có).
2. Phƣơng trình lƣợng giác:
- Ghi nhớ các công thức lƣợng giác, quan hệ giữa các góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác của các góc đặc
biệt và cách giải các dạng phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nêu trong SGK.
- Thông thƣờng ta nên hạ bậc các biểu thức lƣợng giác bậc cao về các biểu thức lƣợng giác bậc thấp
hơn có trong phƣơng trình để dễ dàng đƣa về phƣơng trình tích.
- Nếu trong phƣơng trình chủ yếu là các hàm lƣợng giác sin và cos thì ta nên biến đổi các hàm tan và
cot về các hàm sin và cos.
3. Phƣơng trình (vô tỉ), bất phƣơng trình (vô tỉ), hệ phƣơng trình, phƣơng trình logarit:
- Thuộc các công thức logarit.
- Nắm rõ cách giải các pt, bpt cơ bản.
- Ứng dụng thành thạo 2 phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình cơ bản là PP thế và PP cộng đại số, trong
đó PP thế là PP đƣợc ứng dụng nhiều nhất.
- Nắm rõ cách giải các dạng hpt thông dụng: đối xứng loại 1, loại 2; hệ đẳng cấp.
- Nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình và hệ phƣơng trình có thể giải dễ dàng bằng cách đặt ẩn phụ
(thông thƣờng ta phải biến đổi một chút để có thể nhìn ra ẩn phụ cần phải đặt).
4. Nguyên hàm, tích phân:
- Nắm rõ nguyên hàm của các hàm thông dụng.
- Nắm rõ 2 phƣơng pháp thông dụng để tính tích phân: phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân
từng phần:
+ Phƣơng pháp đổi biến thƣờng áp dụng cho các hàm đa thức, phân thức và có chứa căn thức.
+ Phƣơng pháp tích phân từng phần thƣờng áp dụng cho những hàm có dạng tích của 2 biểu thức khác
nhau về bản chất: đa thức – lƣợng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lƣợng giác- hàm mũ.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
- Lƣu ý về tích phân của hàm số lẻ, hàm số chẵn.
- Trong một số trƣờng hợp, ta có thể đổi biến bằng cách đặt.
5. Hình học không gian:
- Nắm vững công thức tính thể tích của các khối thông dụng.
- Ứng dụng các định lí về quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian để tạo đƣợc mối liên
hệ giữa độ dài các cạnh và các góc, qua đó tính đƣợc độ dài các cạnh và số đo của các góc chƣa biết.
6. Bất đẳng thức, cực trị:
- Nắm vững các bất đẳng thức thông dụng, đặc biệt là BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki.
- Với một số bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta nên quy về cực trị của hàm 1 biến rồi dùng ứng
dụng của đạo hàm trong việc tìm min, max của hàm số.
7. Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian: Nên ghi định hƣớng làm bài (sơ đồ
giải) trƣớc khi giải.
8. Số phức: Một số bài toán có thể ứng dụng công thức Moa-vrơ nếu có thể đƣa các số phức về dạng
lƣợng giác của các góc đặc biệt.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Vaán ñeà 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá......................................................................................................... 16
1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1..................................................................................................... 16
2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2..................................................................................................... 16
Vaán ñeà 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị................................................................................. 16
Vaán ñeà 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị............................................................................... 16
Vaán ñeà 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ.............................................................................. 17
1. Định nghĩa:.......................................................................................................................... 17
2. Chú ý:.................................................................................................................................. 17
Vaán ñeà 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ....................................... 17
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng).............................. 17
Vaán ñeà 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng).. 18
1. Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1) ................................................................................... 18
2. Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)............................................................................... 18
3. Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3)........................................................................... 18
4. Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4)................................................................ 18
Vaán ñeà 7: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị ........................................................ 18
Vaán ñeà 8: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị............................................. 18
1. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3........................................................ 19
Trƣờng hợp 1:............................................................................................................ 191.1.
Trƣờng hợp 2:............................................................................................................ 191.2.
Trƣờng hợp 3:............................................................................................................ 191.3.
2. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu .......................................................... 19
Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt....................................................... 192.1.
rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt.......................................................... 192.2.
Vaán ñeà 9: SỰ TIẾP XÖC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG................. 19
Vaán ñeà 10:Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng)....................... 19
1. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm  0 0 0;M x y : ................ 20
2. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho
trƣớc. ................................................................................................................................... 20
3. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm ( ; )A AA x y .
............................................................................................................................................. 20
Vaán ñeà 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc .............................................................................. 20
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Vaán ñeà 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x)........... 21
Vaán ñeà 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song
hoặc vuông góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc ......................................................... 21
Vaán ñeà 14: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với
đồ thị (C): y = f(x)........................................................................................................... 21
Vaán ñeà 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp
tuyến đó vuông góc với nhau.......................................................................................... 21
Vaán ñeà 16: HỌ ĐỒ THỊ .................................................................................................................... 22
Vaán ñeà 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)........................................................... 22
Vaán ñeà 18: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua...................... 22
Vaán ñeà 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua................................. 22
Vaán ñeà 20: TẬP HỢP ĐIỂM........................................................................................................ 23
1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. ........................................................................................ 23
2. Dạng 2:................................................................................................................................ 23
Vaán ñeà 21: HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng).................................. 23
1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số ( )y f x . ................................................................................. 23
2. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số  y f x ........................................................................... 23
Vaán ñeà 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên...................................................... 24
Vaán ñeà 23:Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b .......... 24
Vaán ñeà 24:Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) ................................. 24
Vaán ñeà 25: Khoảng cách.................................................................................................................... 25
Vaán ñeà 1: Coâng thöùc löôïng giaùc.......................................................................................................... 26
1. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc ).................................................................................. 26
2. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc ) ............................................................................... 26
3. COÂNG THÖÙC NHAÂN........................................................................................................ 26
NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)..................................................................................... 263.1.
NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc)....................................................................................... 273.2.
4. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc) ................................................................................................... 27
5. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)....................................................................................... 27
6. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc) ............................................................................. 27
7. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc) ............................................................................. 27
8. CUNG LIEÂN KEÁT :............................................................................................................ 28
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Vaán ñeà 2: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC ................................................................................ 28
1. CÔ BAÛN : ........................................................................................................................... 28
2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos..................................................... 28
Daïng asinx + bcosx = c (1) ( a2
+ b2
 0 ) ............................................................. 282.1.
3. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI:............................................................................................ 29
Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc: .............................................................................. 293.1.
Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx .............................................................. 293.2.
Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx:.................................................................... 293.3.
4. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT : ........................................................................................ 30
Toång bình phöông :................................................................................................... 304.1.
Ñoái laäp :..................................................................................................................... 304.2.
Vaán ñeà 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC ............................................ 30
1. Phƣơng pháp 1: Dùng các công thức lƣợng giác đƣa về phƣơng trình dạng tích............... 30
2. Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số:............ 31
3. Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng
cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. .................................................................. 31
4. Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.......................................................................... 32
Vaán ñeà 4: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC.................................................................... 36
1. Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù) ......................................................................................... 36
Chuù yù:........................................................................................................................ 371.1.
2. Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng:......................................................................................... 37
Vaán ñeà 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ..................................................................................... 37
Vaán ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT: Ax = B ...................... 39
................................................... 391. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ VEÀ PT VAØ BPT OÂN THI ÑAÏI HOÏC:
Vaán ñeà 2: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN SOÁ......................................................... 39
............................... 401. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH OÂN THI ÑAÏI HOÏC:
Phƣơng pháp đƣa về dạng tích................................................................................... 421.1.
Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................................... 421.2.
Vaán ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI MOÄT AÅN ax2
+ bx + c = 0 ( a  0) ................................ 43
Vaán ñeà 4: DAÁU NHÒ THÖÙC ........................................................................................................... 44
Vaán ñeà 5: DAÁU TAM THÖÙC.......................................................................................................... 44
Vaán ñeà 6: SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁ ............................ 44
Vaán ñeà 7: PHÖÔNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN........................................... 45
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
1. Aùp duïng:............................................................................................................................. 46
a. Để bình phƣơng 2 vế phƣơng trình – bất phƣơng trình thì một là ta biến đổi cho 21.1.
vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm. ............................................................ 47
Chuyển về phƣơng trình – bất phƣơng trình tích: ..................................................... 471.2.
Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với ,0 1iA i n   khi đó pt tƣơng đƣơng1.3.
với: , ,1 20 0 0nA A A   ................................................................................................... 48
Sử dụng lập phƣơng:.................................................................................................. 481.4.
Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu: ....................................................................... 481.5.
1.5.1. TH1: Mẩu luôn dƣơng hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:............................ 48
1.5.2. TH2: Mẩu âm dƣơng trên từng khoảng thì ta chia thành từng trƣờng hợp:........... 49
Dạng 2:....................................................................................................................... 491.6.
Dạng 3:....................................................................................................................... 501.7.
Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để). ......................................................................... 501.8.
Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác). ................................................................ 511.9.
Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình)........................................................... 511.10.
2. Phƣơng pháp hàm số........................................................................................................... 52
Vaán ñeà 8: PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI................................................... 54
Vaán ñeà 9: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI.............................................. 54
Vaán ñeà 1: BAÛNG TÍCH PHAÂN ........................................................................................................ 55
1. Coâng thöùc NewTon _ Leibnitz : ........................................................................................ 55
2. Tích phaân töøng phaàn : ........................................................................................................ 55
3. Ñoåi cô soá :........................................................................................................................... 55
4. Tính chaát :........................................................................................................................... 55
5. Baûng tích phaân : ................................................................................................................. 55
Vaán ñeà 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá ............................................................. 57
Vaán ñeà 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn............................................... 58
Vaán ñeà 4: Thieát laäp coâng thöùc truy hoài .......................................................................................... 58
Vaán ñeà 5: ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN ..................................................................................................... 58
1. Dieän tích hình phaúng.......................................................................................................... 58
2. Theå tích vaät theå .................................................................................................................. 59
Vaán ñeà 1: MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VAØ THÖÔØNG DUØNG TRONG VIEÄC GIAÛI TOAÙN
HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN.......................................................................................... 60
Vaán ñeà 2: Khoaûng caùch trong khoâng gian...................................................................................... 61
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng........................................................... 61
2. Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng: ...................................................... 62
3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : ........................................................ 62
4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng..................................................................................... 62
Vaán ñeà 3: Caùch xaùc ñònh goùc trong khoâng gian............................................................................. 63
1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: ................................................................................................ 63
2. Goùc giöõa hai maët phaúng:.................................................................................................... 63
3. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:............................................................................... 63
Vaán ñeà 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶC BIỆT .............................................................. 64
1. Hình chóp tam giác đều ...................................................................................................... 64
2. Hình chóp tứ giác đều ......................................................................................................... 64
3. Hình chóp có một canh bên vuông góc với đáy.................................................................. 64
4. Phƣơng pháp xác định đƣờng cao các loại khối chóp:........................................................ 65
Vaán ñeà 5: DIEÄN TÍCH & THEÅ TÍCH HÌNH CHOÙP...................................................................... 65
1. DIỆN TÍCH:........................................................................................................................ 65
Diện tích xung quanh, toàn phần của hình chóp ĐỀU: ............................................. 651.1.
2. THỂ TÍCH: ......................................................................................................................... 65
3. TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý).................................................................................................. 65
4. HÌNH CHÓP CỤT.............................................................................................................. 66
DIỆN TÍCH ............................................................................................................... 664.1.
THỂ TÍCH ................................................................................................................. 664.2.
Vaán ñeà 6: HÌNH LĂNG TRỤ.......................................................................................................... 66
1. DIỆN TÍCH:........................................................................................................................ 66
2. THỂ TÍCH: ......................................................................................................................... 67
Vaán ñeà 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU ....................................................................... 67
1. HÌNH TRỤ.......................................................................................................................... 67
Diện tích: ................................................................................................................... 671.1.
Thể tích:..................................................................................................................... 671.2.
2. HÌNH NÓN......................................................................................................................... 67
Diện tích: ................................................................................................................... 672.1.
Thể tích:..................................................................................................................... 672.2.
3. HÌNH NÓN CỤT................................................................................................................ 67
Diện tích: ................................................................................................................... 673.1.
Thể tích:..................................................................................................................... 683.2.
4. HÌNH CẦU ......................................................................................................................... 68
Vaán ñeà 8: GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ........................ 68
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
1. PHÖÔNG PHAÙP: ............................................................................................................... 68
2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian ...................................................................... 68
Vaán ñeà 1: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC ....................................................................................................... 73
1. Ñònh nghóa : ........................................................................................................................ 73
2. Tính chaát :........................................................................................................................... 73
3. BÑT Coâ Si :........................................................................................................................ 73
4. BÑT Bunhia Coâp ski (chú ý) ............................................................................................. 73
5. BÑT BecnuLi : ................................................................................................................... 73
6. BÑT tam giaùc :................................................................................................................... 74
Vaán ñeà 2: Cấp số cộng, cấp số nhân................................................................................................ 74
1. Cấp số cộng:........................................................................................................................ 74
2. Cấp số nhân:........................................................................................................................ 74
3. Ví duï: .................................................................................................................................. 74
Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :.................................................................................................. 76
Vaán ñeà 2: ÑÖÔØNG THAÚNG........................................................................................................... 76
1. Phöông trình tham soá : ....................................................................................................... 76
2. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2
+ B2
 0)............................................... 77
3. Phöông trình phaùp daïng :................................................................................................... 77
4. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc K : .............................................. 77
5. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) :................................................... 77
6. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén)......................................... 77
7. Phöông trình chính taéc : ..................................................................................................... 77
8. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(a, 0), B(0, b) ( ñoaïn chaén ) : ...................................... 77
9. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán Ax + By + C = 0 : ........................................... 77
10. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : .............................................................................. 78
11. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 :................................................................................... 78
12. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 : ......................................... 78
Vaán ñeà 3: ĐƢỜNG TRÕN .............................................................................................................. 79
1. Phƣơng trình đƣờng tròn:.................................................................................................... 79
2. Sự tƣơng giao giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn: ................................................................ 79
3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn ............................................................................. 79
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x0;y0) có dạng:..................................................... 793.1.
Dạng 2: Tiếp tuyến của (C) đi qua M(x0;y0).............................................................. 793.2.
Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuông góc) với đƣờng thẳng : Ax + By3.3.
+ C = 0 79
Dạng 4: Tiếp tuyến của (C) khi biết trƣớc hệ số góc k:............................................. 803.4.
4. Phƣơng trình tích của một điểm M(x0; y0) đối với đƣờng tròn (C): ................................... 80
5. Trục đẳng thức .................................................................................................................... 80
Vaán ñeà 4: CAÙC COÂNG THÖÙC HÌNH HOÏC CÔ BAÛN: ................................................................. 80
1. Tam giác đều cạnh a: .......................................................................................................... 80
2. Tam giác vuông:.................................................................................................................. 80
3. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): .............................................................................. 80
4. Nửa tam giác đều: ............................................................................................................... 80
5. Tam giác cân:...................................................................................................................... 80
6. Hình chữ nhật:..................................................................................................................... 80
7. Hình thoi: ............................................................................................................................ 80
8. Hình vuông:......................................................................................................................... 81
9. Hình bình hành:................................................................................................................... 81
10. Đƣờng tròn:......................................................................................................................... 81
11. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC ................................................................................. 81
Vaán ñeà 5: ELIP ................................................................................................................................ 81
1. Tiếp tuyến Elip:................................................................................................................... 81
Vaán ñeà 6: HYPEBOL ...................................................................................................................... 82
1. Tiếp tuyến của Hyperbol:.................................................................................................... 82
Vaán ñeà 7: PARAPOL ...................................................................................................................... 82
1. Tiếp tuyến của Parapol (P): y2
= 2px.................................................................................. 83
Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :.................................................................................................. 83
Vaán ñeà 2: Pheùp toaùn........................................................................................................................ 83
1. Định nghĩa :......................................................................................................................... 84
2. Tính chất : ........................................................................................................................... 84
Vaán ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG........................................................................ 85
1. Phƣơng trình tham số :........................................................................................................ 85
2. Phƣơng trình tổng quát : ..................................................................................................... 85
3. Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn : .......................................................................... 85
4. Các dạng chính tắc :............................................................................................................ 85
5. Chùm mặt phẳng :............................................................................................................... 86
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
6. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG ............................................................... 86
7. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ........................................................................................ 86
8. KHOẢNG CÁCH ............................................................................................................... 86
Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG ........................................................................... 87
1. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG .......................................................... 87
Phƣơng trình của các trục tọa độ : ............................................................................. 871.1.
Chuyển dạng phƣơng trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc :....................... 871.2.
2. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG ......................................................... 87
3. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG .................................. 88
4. GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG........................................................... 88
Góc giữa hai đƣờng thẳng : ....................................................................................... 884.1.
Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng :....................................................................... 894.2.
5. KHOẢNG CÁCH ............................................................................................................... 89
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :........................................................ 895.1.
Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng :..................................................... 895.2.
Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau :........................................................ 895.3.
6. HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG ................................................................................... 89
Điểm .......................................................................................................................... 896.1.
Đƣờng thẳng .............................................................................................................. 906.2.
Vaán ñeà 5: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN............................ 90
1. Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C).................................... 90
2. Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)............................................... 90
3. Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đƣờng thẳng d ......................... 90
4. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R)................................................................... 90
5. Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng........................................ 90
6. Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)....................................................................... 91
7. Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d) ..................................................... 91
8. Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB....................................................................... 91
9. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A....................................................................... 91
10. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (  )........................................................................ 91
11. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)........................................................................ 91
12. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h.............................................................. 91
13. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h ............................................................... 91
14. Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900
.............................. 92
15. Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(  )một góc   900
............................... 92
16. Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất ................. 92
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
17. Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ......................................... 92
18. Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn(C) có bán
kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trƣớc)............................................................................ 92
19. Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)........................................... 93
20. Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có
bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trƣớc) .................................................................... 93
21. Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có
bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trƣờng hợp d cắt (S) tại 2 điểm)............................................ 93
Vaán ñeà 6: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG
GIAN............................................................................................................................... 93
1. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c) ......................................... 93
2. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B............................................................................. 94
3. Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đƣờng thẳng (  ) ............................................... 94
4. Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P)............................................................................ 94
5. Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)...................................... 94
6. Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp............................................................. 94
7. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) ...................................................................... 94
8. Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đƣờng thẳng d1, d2:....................... 94
9. Dạng 9: Viết pt đƣờng thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3............................................. 95
10. Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đƣờng thẳng d1 và cắt d2 ............................. 95
11. Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đƣờng thẳng d' ............................ 95
12. Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d1, d2 cho trƣớc.................. 95
13. Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đƣờng thẳng d' tại giao điểm I
của (P) và d'......................................................................................................................... 95
14. Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dƣờng thẳng chéo nhau d1, d2 : .................. 95
15. Dạng 15 : Viết pt đƣờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d1,d2 . ........ 96
16. Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đƣờng thẳng d1 .................... 96
17. Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc
0 0
(0 ;90 )  (= 300
, 450
,
600
)...................................................................................................................................... 96
18. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc
0 0
(0 ;90 )  ..... 96
19. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc
0 0
(0 ;90 )  ........... 96
20. Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h............. 97
Vaán ñeà 7: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI ............................................................ 97
1. Dạng 1. Xác định vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và mặt phẳng............................... 97
2. Dạng 2. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( ) ......................... 97
3. Dạng 3. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc qua mặt phẳng ( ) .............. 97
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
4. Dạng 4. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đƣờng thẳng  ........................ 97
5. Dạng 5. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc............................................... 98
6. Dạng 6. Xác định hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng  lên mp( ) .......................... 98
7. Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đƣờng thẳng 1 lên mp( ) theo phƣơng 2 cắt
( ) .................................................................................................................................... 100
8. Dạng 8. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua M và cắt 1 , 2 với 1 , 2 chéo nhau và
không đi qua M ................................................................................................................. 100
9. Dạng 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  cắt 1 , 2 và song song với 3 .................. 100
10. Dạng 10. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua M và vuông góc với 1 , cắt 2 trong đó
1 2,M   ........................................................................................................................ 101
11. Dạng 11. Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau
1 2,  ................................................................................................................................ 102
12. Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất :............................................. 103
Dạng 1: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; ).A x y z B x y z Tìm ( ): 0M P ax by cz d     để12.1.
(MA+MB)min. ....................................................................................................................... 103
Dạng 2: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; ).A x y z B x y z Tìm ( ): 0M P ax by cz d     để12.2.
MA MB max. ..................................................................................................................... 104
Dạng 3: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2( ; ; ); ( ; ; )A x y z B x y z . Tìm M  cho trƣớc sao cho (MA +12.3.
MB) min................................................................................................................................. 104
Vaán ñeà 8: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ MAËT CAÀU........................................................................... 105
1. Phƣơng trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R .......................................................... 105
2. Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu .................................................................... 105
3. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu......................................................................... 105
4. CAÙC DAÏNG TOAÙN......................................................................................................... 105
Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A ............................................................................ 1054.1.
Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB........................................................................... 1064.2.
Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp() ................................................................. 1064.3.
Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD .......................................................... 1064.4.
Daïng 5: Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α)....................................................... 1064.5.
Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A........................................................... 1064.6.
Daïng 7: Vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu:............................................................ 1064.7.
Vaán ñeà 1: HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC................................................................................................... 107
Vaán ñeà 2: ÑAÏO HAØM ................................................................................................................... 107
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
1. Ñònh nghóa ñaïo haøm :....................................................................................................... 107
2. Qui taéc tính ñaïo haøm :...................................................................................................... 107
3. Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn :.............................................................. 107
Vaán ñeà 3: LUYÕ THÖØA – LOGARIT............................................................................................ 109
1. LUYÕ THÖØA...................................................................................................................... 109
Ñònh nghóa luyõ thöøa ................................................................................................ 1091.1.
Tính chaát cuûa luyõ thöøa............................................................................................ 1091.2.
Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc .................................................................... 1091.3.
2. II. LOGARIT .................................................................................................................... 110
Ñònh nghóa............................................................................................................... 1102.1.
Tính chaát.................................................................................................................. 1102.2.
Caùc qui taéc tính logarit ........................................................................................... 1102.3.
Ñoåi cô soá ................................................................................................................. 1102.4.
Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ, PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT.............................................. 110
1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ..................................................................................................... 110
Phöông trình muõ cô baûn:......................................................................................... 1101.1.
Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ ........................................................... 1111.2.
1.2.1. Ñöa veà cuøng cô soá:.............................................................................................. 111
1.2.2. Logarit hoaù: ......................................................................................................... 111
1.2.3. Ñaët aån phuï:.......................................................................................................... 111
1.2.4. Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá:.................................................................... 111
2. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT.......................................................................................... 111
Phöông trình logarit cô baûn .................................................................................... 1112.1.
Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit...................................................... 1112.2.
Vaán ñeà 5: BAÁT PHÖÔNG, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT .................................... 112
Vaán ñeà 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ........................................................................................ 112
Vaán ñeà 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................ 112
Vaán ñeà 1: HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP......................................................................... 113
1. Hoaùn vò : ........................................................................................................................... 113
2. Toå hôïp :............................................................................................................................. 113
3. Chænh hôïp : ....................................................................................................................... 113
Vaán ñeà 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT ....................................................................................... 113
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
1. Nguyên tắc đếm ................................................................................................................ 113
Chú ý:....................................................................................................................... 1131.1.
2. XÁC SUẤT....................................................................................................................... 113
Không gian mẫu:...................................................................................................... 1132.1.
Xác suất: .................................................................................................................. 1132.2.
CÁC CÔNG THỨC................................................................................................. 1132.3.
Vaán ñeà 3: Nhị thức NIUTƠN ........................................................................................................ 114
1. Công thức nhị thức Newtơn:............................................................................................. 114
2. Các nhận xét về công thức khai triển: ( )n
a b .............................................................. 114
3. Một số dạng đặc biệt:........................................................................................................ 114
4. Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơn ...................................................................... 115
1. Khaùi nieäm soá phöùc........................................................................................................... 117
2. Bieåu dieãn hình hoïc:.......................................................................................................... 117
3. Coäng vaø tröø soá phöùc:........................................................................................................ 117
4. Nhaân hai soá phöùc : ........................................................................................................... 117
5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z a bi  ................................................... 118
6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi....................................................................................... 118
7. Chia hai soá phöùc:.............................................................................................................. 118
8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc:................................................................................................. 118
9. Phöông trình baäc hai Az2
+ Bz + C = 0........................................................................... 118
10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc:......................................................................................... 118
11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc....................................................................... 119
12. Coâng thöùc Moa–vrô:........................................................................................................ 119
13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc:............................................................. 119
14. Các dạng bài tập:............................................................................................................... 119
Dạng 1 : Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình14.1.
trên tập số phức..................................................................................................................... 119
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.......................................................... 12314.2.
Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giác .............................. 12414.3.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Vaán ñeà 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá
1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
+ Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
+ Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Vaán ñeà 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:
 Hàm số bậc ba 3 2
y ax bx cx d    có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
+ 3 2
0 0 0 0( )y x ax bx cx d   
+ 0 0( )y x Ax B  , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.
 Hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
 


= ( )
( )
P x
Q x
(aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a
 .
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
 hoặc 0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et.
Vaán ñeà 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Hàm số bậc ba
3 2
( )y f x ax bx cx d     .
 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
1 1 1
2 2 2
( )
( )
y f x Ax B
y f x Ax B
   

  
 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2. Hàm số phân thức
2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
 
  
 .
 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 0
0
0
'( )
'( )
P x
y
Q x

.
 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:
'( ) 2
'( )
P x ax b
y
Q x d

  .
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Vaán ñeà 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
1. Định nghĩa:
 Đƣờng thẳng 0x x đgl đƣờng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x nếu ít nhất một trong các điều
kiện sau đƣợc thoả mãn:
0
lim ( )
x x
f x

 ;
0
lim ( )
x x
f x

 ;
0
lim ( )
x x
f x

 ;
0
lim ( )
x x
f x

 
 Đƣờng thẳng 0y y đgl đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
0lim ( )
x
f x y

 ;
0lim ( )
x
f x y


 Đƣờng thẳng , 0y ax b a   đgl đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x nếu ít nhất một trong
các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
 lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b

   ;  lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b

  
2. Chú ý:
a) Nếu ( )
( )
( )
P x
y f x
Q x
  là hàm số phân thức hữu tỷ.
 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng 0x x .
 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phƣơng trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:
 ( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x 
  
hoặc  ( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x 
  
Vaán ñeà 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng)
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
 Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phƣơng).
– Tính y.
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.
+ Vẽ các đƣờng tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị nhƣ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trƣờng
hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm
thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
y
x
m A
(C)
c.(d) : y
yC
yC
x
y
x
A
y = kx
m(C
M
M
b1
b2
d1
d
d2
O
Vaán ñeà 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng)
 Cơ sở của phƣơng pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
 Để biện luận số nghiệm của phƣơng trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:
1. Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phƣơng trình hoành độ giao điểm của hai đƣờng:
(C): y = f(x)
d: y = m
 d là đƣờng thẳng cùng phƣơng với trục hoành.
 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
2. Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tƣơng tự nhƣ trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
3. Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phƣơng trình hoành độ
giao điểm của hai đƣờng:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
 Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phƣơng với đƣờng thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0;
m).
 Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) có hệ số góc k.
 Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận.
4. Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4)
Khi đó (4) có thể xem là phƣơng trình
hoành độ giao điểm của hai đƣờng:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x0) + y0
 d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0).
 Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) đi qua M0.
 Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận.
Chú ý:
 Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:   x   thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với   x  .
 Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.
Vaán ñeà 7: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong
đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.
Vaán ñeà 8: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: 3 2
0ax bx cx d    (a  0) (1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: 3 2
( )y f x ax bx cx d    
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
x1xA xB xC
C
(C)
yCĐ
y
A
o
x2
x
a > 0
yCT
B
f(0)
x1x
A
xB x
C
C
(
C
y
CĐ
y
A
o
x2
x
a > 0
y
CT
B
f(0
)
x1
x
A
xB x
C
C
(C)
y
CĐ
y
A
o x2 x
a < 0
y
CT
Bf(
0)
(C)
A
x0 O x
y
(h.1a)
(C)
A
x0 x
y
(h.1b)x1 o x2
yCT
yCĐ
1. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3
Trƣờng hợp 1:1.1.
(1) chỉ có 1 nghiệm
 (C) và Ox có 1 điểm chung

CÑ CT
f khoâng coù cöïc trò h a
f coù cöïc trò
h b
y y
( .1 )
2
( .1 )
. 0


 
(1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox
 2
( .2)
. 0CÑ CT
f coù cöïc trò
h
y y

 
(1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
 2
( .3)
. 0CÑ CT
f coù cöïc trò
h
y y

 
2. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt2.1.
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CÑ CT
CÑ CT
f coù cöïc trò
y y
x x
a f hay ad

 

 
 
rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt2.2.
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CÑ CT
CÑ CT
f coù cöïc trò
y y
x x
a f hay ad

 

 
 
Vaán ñeà 9: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG.
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị
(C) của hàm số tại điểm  0 0 0; ( )M x f x .
Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm  0 0 0; ( )M x f x là:
y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phƣơng trình sau có
nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
 


(*)Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đƣờng đó.
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2
+ bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phƣơng trình
2
ax bx c px q    có nghiệm kép.
Vaán ñeà 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
1. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm  0 0 0;M x y :
 Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
 Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)
2. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trƣớc.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).
  có hệ số góc k  f (x0) = k (1)
 Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
'( )
f x kx m
f x k
  


(*)
 Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau:
+  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan
+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = 1
a

+  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì tan
1
k a
ka




3. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm ( ; )A AA x y .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0).
 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0)
  đi qua ( ; )A AA x y nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x) (2)
 Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
 Phương trình đường thẳng  đi qua ( ; )A AA x y và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)
  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A Af x k x x y
f x k
   


(*)
Vaán ñeà 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc
1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có
nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
 


(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2
+ bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình 2
ax bx c px q    có nghiệm kép.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Vaán ñeà 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x)
1. Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của  và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của  và (C2).
  tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( ) (1)
'( ) (2)
( ) (3)
'( ) (4)
f u au b
f u a
g v av b
g v a
  
 

 

 Từ (2) và (4)  f (u) = g (v)  u = h(v) (5)
 Thế a từ (2) vào (1)  b = (u) (6)
 Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b. Từ đó viết phương trình của .
2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp
tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.
Vaán ñeà 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song
hoặc vuông góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc
 Gọi M(x0; y0)  (C).  là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f (x0).
 Vì  // d nên f (x0) = kd (1)
hoặc   d nên f (x0) = 1
dk
 (2)
 Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0)  (C).
Vaán ñeà 14: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với
đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M Mf x k x x y
f x k
   


 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)
 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Vaán ñeà 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp
tuyến đó vuông góc với nhau
Gọi M(xM; yM).
 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M Mf x k x x y
f x k
   


 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)
 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f (x1).f (x2) = –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
1 2
(3) 2
( ). ( ) 0
coù nghieäm phaân bieät
f x f x

 
Vaán ñeà 16: HỌ ĐỒ THỊ
Cho họ đƣờng (Cm): y = f(x, m) (m là tham số).
M(x0; y0)  (Cm)  y0 = f(x0, m) (1)
Xem (1) là phƣơng trình theo ẩn m.
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M.
 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M.
Khi đó, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (Cm).
 Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M.
 Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M.
Vaán ñeà 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)
Cách 1:
 Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m), m (1)
 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
 Dạng 1: (1)  Am + B = 0, m
 Dạng 2: (1)  2
0Am Bm C   , m

0
0
A
B
 


(2a) 
0
0
0
A
B
C
 


 
(2b)
 Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0.
Cách 2:
 Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m), m (1)
 Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi.
 F (m) = 0 (3)
 Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định.
Vaán ñeà 18: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
 Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua.
M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1)
 Dạng 1: (1)  Am + B = 0 vô nghiệm m  0
0
A
B
 


(2a)
 Dạng 2: (1)  2
0Am Bm C   vô nghiệm m 
2
0
0
0
4 0
A B
C
A
B AC
  
 
 
  
(2b)
Chú ý:  Kết quả là một tập hợp điểm.
 Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua.
Vaán ñeà 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
 Ta có: M(x0; y0)  (Cm)  y0 = f(x0, m) (1)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Am + B = 0 (2a) hoặc 2
0Am Bm C   (2b)
 Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (Cm) đi qua M.
Vaán ñeà 20: TẬP HỢP ĐIỂM
Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất .
 Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phƣơng trình của tập hợp điểm đó.
1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.
1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M.
2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m.
Có các trƣờng hợp xảy ra:
Trƣờng hợp 1: M ( )
( )
x f m
y g m
 


Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:
F(x, y) = 0 (gọi là phƣơng trình quĩ tích)
( )
x a haèng soá
y g m
 


Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng x = a.
( )
x f m
y b haèng soá
 


Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng y = b.
3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bƣớc 1), ta tìm đƣợc điều kiện của x hoặc y để
tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích.
4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phƣơng trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x
hoặc y (ở bƣớc 3).
2. Dạng 2:
Trong trƣờng hợp ta không thể tính đƣợc toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập đƣợc một hệ thức
chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm đƣợc hệ thức dạng F(x, y) = 0.
Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình
F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích.
Vaán ñeà 21: HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng)
Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
 Vẽ đồ thị hàm số tƣơng ứng trong các khoảng của miền xác định.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số ( )y f x .
Đồ thị (C) của hàm số ( )y f x có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dƣới trục hoành qua trục hoành.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.
2. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số  y f x .
Đồ thị (C) của hàm số  y f x có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
(d)
(C)
(D)
B
A I
A
BI
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.
Vaán ñeà 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )
( )
P x
y
Q x

có toạ độ là những số nguyên:
 Phân tích ( )
( )
P x
y
Q x
 thành dạng ( )
( )
a
y A x
Q x
  , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.
 Khi đó
x
y
 


 Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a.
 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.
Vaán ñeà 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB
 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng:
:
1
y x m
a
  
 Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C):
f(x) =
1
x m
a
  (1)
 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).
 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm
được m  xA, xB  yA, yB  A, B.
Chú ý:  A, B đối xứng nhau qua trục hoành  A B
A B
x x
y y
 

 
 A, B đối xứng nhau qua trục tung  A B
A B
x x
y y
  


 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b 
2
A B
A B
x x
y y b
 

 
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a  2A B
A B
x x a
y y
  


Vaán ñeà 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng: ( )y k x a b   .
 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) = ( )k x a b  (1)
 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k  xA, xB.
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O  A B
A B
x x
y y
  

 
Vaán ñeà 25: Khoảng cách
Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB=
2 2
( ) ( )B A B Ax x y y  
2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0:
d(M, ) =
0 0
2 2
ax by c
a b
 

3) Diện tích tam giác ABC:
S =  2
2 21 1
. .sin . .
2 2
AB AC A AB AC AB AC 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Vaán ñeà 1: Coâng thöùc löôïng giaùc
1. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc )
1/. 122
 xCosxSin
2/.
Cosx
Sinx
Tanx 
3/.
Sinx
Cosx
Cotx 
4/. 1. CotxTanx
5/.
xCos
xTan 2
2 1
1 
6/.
xSin
xCot 2
2 1
1 
Ñieàu kieän toàn taïi :
 Tanx laøx  / 2 + k , k  Z
 Cotx laø x  k , k  Z
 Sinx laø – 1  Sinx  1
 Cosx laø – 1  Cosx  1
Chuù yù :
 a2
+ b2
= ( a + b)2
– 2ab
 a3
+ b3
= ( a + b)3
– 3ab( a + b)
2. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc )
Nhớ: “ Sin thì sin cos, cos sin
Cos thì cos cos, sin sin nhớ trừ (dấu đối)”
7/. SinaSinbCosaCosbbaCos  )(
8/. SinaSinbCosaCosbbaCos  )(
9/. CosaSinbSinaCosbbaSin  )(
10/. CosaSinbSinaCosbbaSin  )(
11/.
TanaTanb
TanbTana
baTan



1
)(
12/.
TanaTanb
TanbTana
baTan



1
)(
13/.
CotbCota
CotaCotb
baCot



1
)(
14/.
CotbCota
CotaCotb
baCot



1
)(
3. COÂNG THÖÙC NHAÂN
NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)3.1.
15/. SinaCosaaSin 22 
16/. )tan1(21122 222222
aaCosaSinaCosaSinaCosaCos 
17/.
aTan
Tana
aTan 2
1
2
2


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc)3.2.
18/. CosaaCosaCos 343 3

19/. aSinSinaaSin 3
433 
20/.
aTan
aTanTana
aTan 2
3
31
3
3



4. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc)
21/.
2
212 aCos
aSin

  aSinaCos 2
221 
22/.
2
212 aCos
aCos

  aCosaCos 2
221 
23/.
4
333 aSinSina
aSin


24/.
4
333 aCosCosa
aCos


5. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)
25/.
2
1
2
t
t
Sinx

 26/.
2
2
1
1
t
t
Cosx


 , vôùi
2
x
Tant 
27/.
6. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc)
Nhớ: “Sin cộng sin bằng hai lần sin cos. Sin trừ sin bằng hai lần cos sin
Cos cộng cos bằng hai lần cos cos. Cos trừ cos bằng hai lần cos sin”
28/.
22
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa


29/.
22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa


30/.
22
2
ba
Cos
ba
SinSinbSina


31/.
22
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina


32/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( 

33/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( 

34/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)( 

35/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)( 

7. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc)
36/.   )(
2
1
baCosbaCosCosaCosb 
37/.  )()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb 
38/.  )()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb 
39/.  )()(
2
1
sincos baSinbaSinba 
2
1
2
t
t
Tanx


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
 Đặc biệt:













4
cos2
4
sin2cossin

xxxx













4
cos2
4
sin2cossin

xxxx
8. CUNG LIEÂN KEÁT :
Cos ñoái Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – Sin
Sin buø Sin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – Cos
Phuï cheùo Sin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = Sin
Khaùc  Tan Tan( + ) = Tan ; Cot( + ) = Cot
Sai keùm / 2 Sin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – Sin
Vaán ñeà 2: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
1. CÔ BAÛN :
Sinu = Sinv 







2
2
kvu
kvu
k  Z
Cosu = Cosv 2kvu 
Tanu = Tanv kvu 
Cotu = Cotv kvu 
Sinu = 0 ku 
Sinu = 1  22/ ku 
Sinu = –1  22/ ku 
Cosu = 0  ku  2/
Cosu = 1 2ku 
Cosu = – 1  2ku 
2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos
Daïng asinx + bcosx = c (1) ( a2
+ b2
 0 )2.1.
Phöông phaùp :
Caùch 1: Chia hai veá cho 22
ba  ≠ 0
Ñaët :  Sin
ba
b
Cos
ba
a



 2222
;
Ta coù
22
)(
ba
c
xSin

 (*)
(*) Coù nghieäm khi 1
22

 ba
c
222
cba 
(*) Voâ nghieäm khi 222
cba 
Caùch 2:
 Kieåm chöùng x = (2k + 1) coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình hay khoâng?
 Xeùt x  (2k + 1) Ñaët :
2
x
Tant 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Theá
2
2
2
1
1
;
1
2
t
t
Cosx
t
t
Sinx





Vaøo phöông trình (1)  ( )
 x = ?
Cách 3:
Chia hai vế cho a (giả sử a ≠ 0)
Khi đó (1)
( )
( )
3. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI:
Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc:3.1.
Giaû söû a 0
02
 cbSinxxaSin ; ( ñaët 1,  tSinxt )
02
 cbCosxxaCos ; (ñaët 1,  tCosxt )
02
 cbTanxxaTan ; ( ñaët 

kxTanxt 
2
, )
02
 cbCotxxaCot ; ( ñaët kxCotxt  , )
Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx3.2.
Daïng: 022
 xcCosbSinxCosxxaSin (1)
03223
 xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2)
Phöông phaùp :
Caùch 1:
Kieåm cosx = 0  x = / 2 + k coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ?
 Xét cosx  0  x  / 2 + k . Chia hai veá cho Cos2
x ( daïng 1), chia Cos3
x ( daïng 2) ñeå ñöa
phöông trình ñaõ cho veà daïng phöông trình baäc hai, baäc ba ñoái vôùi Tanx.
Caùch 2:
Daïng (1) coù theå söû duïng coâng thöùc haï baäc vaø
2
2xSin
SinxCosx  theá vaøo
Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx:3.3.
Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phöông phaùp: Ñaët : 2),
4
(2  txSinCosxSinxt

0
2
1
(*)
2


 c
t
bat
t ( neáu coù) x
Chuù yù:
Daïng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giaûi töông töï :
Ñaët : 2),
4
(2  txSinCosxSinxt

0
2
1
(*)
2


 c
t
bat  t ? ( neáu coù)  x ?
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
4. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT :
Toång bình phöông :4.1.
A2
+ B2
+ ........+ Z2
= 0  A = B = ......= Z = 0
 A  0, B  0,......, Z  0
Ta coù : A + B + .... + Z = 0  A = B = .....= Z = 0
Ñoái laäp :4.2.
Giaû söû giaûi phöông trình A = B (*)
Neáu ta chöùng minh





KB
KA






KB
KA
(*)
3/.








klBA
kB
lA






kB
lA
4/. 1,1  BA






1
1
1
B
A
AB hay





1
1
B
A
Vaán ñeà 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
1. Phƣơng pháp 1: Dùng các công thức lƣợng giác đƣa về phƣơng trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phƣơng tình: sin2
x + sin2
3x = cos2
2x + cos2
4x (1).
Giải
Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với:
1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x   
  
 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 52cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2
π kππ
xx kπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
π π
x kπ x nπ

   
 
          
  
    
  
Ví dụ 2. Giải phƣơng trình: cos6
x+sin6
x = 2 ( cos8
x+sin8
x) (2).
Giải
Ta có (2)  cos6
x(2cos2
x1) = sin6
x(12sin2
x)
 cos2x(sin6
x–cos6
x) = 0
 cos2x(sin2
x–cos2
x)(1+sin2
x.cos2
x) = 0
 cos2x = 0
 2 ,( )
2 4 2
π π kπ
x kπ x k     
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình: 6 3 4
8 2 cos 2 2sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x    (3).
Giải
Ta có:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos2 )(cos2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2
2(cos2 cos2 cos4 ) 2
2
cos2 (1 cos4 )
2
2
cos2 .cos 2
4
2
cos2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
    
  
      
  
  
 
     ,( )kπ k 
2. Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phƣơng trình lƣợng giác: 8 8 17
sin cos
32
x x  (4).
Giải
Ta có (4)
4 4
4 21 cos2 1 cos2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
    
         
   
Đặt cos2
2x = t, với t[0; 1], ta có 2 2
1
17 13 26 1 6 0
134 4
2
t
t t t t
t


        
  

Vì t[0;1], nên 21 1 cos4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x

    
cos4x = 0  4 ,( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k     
Ví dụ 5. Giải phƣơng trình lƣơng giác: 2sin3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5)  2(1 cos2
x)sinx + 2 – 2 cos2
x + cosx – 1 = 0
 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0
 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x k π k
x x x x
   
     
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | 2t  , khi đó phƣơng trình (*) trở thành:
2t + t2
– 1 + 1 = 0  t2
+ 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2 ( 4
t π
x x x nπ n
t lo

          ¹i)
Vậy nghiệm của phƣơng trình đã cho là:
4
π
x nπ   ; 2 , ( , )x k π n k 
3. Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phƣơng trình: |sin |
cosx
π x (6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin | 0,x  nên |sin | 0
1x
π π  , mà |cosx| ≤ 1.
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

ếp
Do đó
2 2 2
0| sin | 0 ,( )
(6)
0| cos | 1 ,( )
k nx k π k π nx x kπ k
xx nπ x nπx x nπ n

         
        
       
(Vì k, n  Z). Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x = 0.
4. Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sƣ phạm 2) Giải phƣơng trình:
2
1 cos
2
x
x  .
Giải
Đặt
2
( )=cos
2
x
f x x  . Dễ thấy f(x) = f(x), x  , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trƣớc hết ta chỉ xét với x
≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến
với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
2
π 
 
 
thoả mãn phƣơng
trình:
2
2
sin cos 2
n
n n
x x

  .
Giải
Đặt f(x) = sinn
x + cosn
x, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1
x – nsinx.cosn-1
x.
= nsinx.cosx(sinn-2
x – cosn-2
x)
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;
2
 
 
 
, ta có minf(x) = f
4
 
 
 
=
2
2
2
n
Vậy x =
4

là nghiệm duy nhất của phƣơng trình đã cho.
BÀI TẬP
Giải các phƣơng trình sau:
1. cos3
x+cos2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2
2
x k x n

   
2. tanx.sin2
x2sin2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin2
x ĐS: ; 2
4 3
x k x n
 
      
3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thƣơng Mại)
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
   
        
4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k

 .
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)
ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l

            với
1
sin
4
   .
6. sinx4sin3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x k

  .
7. sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
    
     
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
4 2
x k
 
 
8. sin3
x.cos3x+cos3
x.sin3x=sin3
4x
HD: sin2
x.sinx.cos3x+cos2
x. cosx.sin3x=sin3
4x ĐS:
12
x k

 .
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Chuyên Đề LTĐH Toán 2013 - Biên Soạn VNMath

Chuyên Đề LTĐH Toán 2013 - Biên Soạn VNMath

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à Chuyên Đề LTĐH Toán 2013 - Biên Soạn VNMath

Similaire à Chuyên Đề LTĐH Toán 2013 - Biên Soạn VNMath (20)

Plus de Hải Finiks Huỳnh

Plus de Hải Finiks Huỳnh (20)

Dernier

Dernier (20)

Chuyên Đề LTĐH Toán 2013 - Biên Soạn VNMath