Estructuras de Datos Espaciales (Topico Especial)

Estructuras de Datos Espaciales
Tópico Especial
Demián Gutierrez
Departamento de Computación
Septiembre 2013
Demián Gutierrez Universidad de Los Andes
Estructuras de Datos Espaciales 1/119

introducción

¿qué tipos de datos vamos a manejar?
P1
P2
P3
P4
P5
L1
L2
L3
R1
R2
R3
R5
R6
R4
...generalmente en 2D, en 3D,
y en algunos casos, también n-dimensionales

¿qué operaciones vamos a realizar?
¿qué problemas vamos a resolver?

“construir” una estrucura de datos en base a un conjunto de datos
(puntos, líneas, rectángulos, etc)
insertar/eliminar elementos en una estructura de datos
(no aplica a todas)
realizar algún tipo de consulta
realizar algún tipo de combinación, división, etc

P1
P2
P3
P4
P5
L1
L2
L3
R1
R2
R3
R5
R6
R4
consultas:
¿qué “formas” están contenidas en un área dada?

P1
P2
P3
P4
P5
L1
L2
L3
R1
R2
R3
R5
R6
R4
stabbing:
¿qué “formas” son atravesadas por una recta dada?

L1
L2
L3
L4
L5
L6
ordenamiento:
¿qué “formas” están atrás (o adelante) de qué “formas”?

L1
L2
L3
L4
L5
L6
1
¿2 , 3?
4
5
6
ordenamiento:
¿qué “formas” están atrás (o adelante) de qué “formas”?

P3
P2
P1
P4
P5
P6
P7
P8
P9
punto/objeto más cercano:
¿cuál es el punto u objeto más cercano a un punto dado?
(no tratado en el presente tópico especial)

P3
P2
P1
P4
P5
P6
P7
P8
P9
¿se ve trivial?
¿qué algoritmo se les ocurre?

P3
P2
P1
P4
P5
P6
P7
P8
P9
k=3
una variante:
¿cuáles son los k-puntos más cercanos?

P3
P2
P1
P4
P5
P6
P7
P8
P9
par de puntos más cercanos:
dado un conjunto de puntos ¿cuál es el par de puntos más
cercanos entre si?

P3
P2
P1
P4
P5
P6
P7
P8
P9
¿se ve trivial?
¿qué algoritmo se les ocurre?

búsqueda de patrones y grupos / clasiﬁcación:
¿qué patrones o grupos existen en un conjunto de puntos?
¿dado un nuevo punto ¿a qué grupo pertenece?

tomado de:
https://onramps.instructure.com/courses/723227/wiki/classifying-data

clasiﬁcación / compresión:
¿qué áreas o bloques contienen información
similar o del mismo tipo?

tomado de:
http://ivrg.epﬂ.ch/supplementary_material/RK_SIGGRAPH_Asia09

pathﬁnding:
¿camino óptimo del punto A al punto B? ¿hay un camino?
¿cómo explotar ciertas características espaciales para optimizar
algoritmos tradicionales de búsqueda?

muchas otras
en general, las estructuras de datos espaciales
tienen un campo de aplicación extremadamente ámplio

objetivos

implementar un conjunto de estructuras de datos
espaciales para aprender lo más posible sobre el tema
sentar las bases de lo que puede ser en el futuro una
biblioteca de estructuras de datos espaciales y geometría
computacional escrita en Java

plan inicial de trabajo

basado principalmente en el libro de
Hanan Samet,
The Design and Analisys of Spatial Data Structures
+ BSPs (binary space partition)

Point Data
Nonhierarchical Data Structures
Point Quadtrees
K-D Trees
Range Trees
Region Based Quadtrees

Collection of Small Rectangles
Plane-Sweep Methods and the Rectangle Intersection Problem
Multiple Quadtree Block Representations
R-Trees

Volume Data
Region Octrees
PM Octrees
BSP (Binary Space Partition)

Algunos Extras/Aplicaciones
Hierarchical A*
Marching Squares
Convex Hull (Polígono/Casco Convexo)
Algoritmo de Douglas-Peucker (Suavizado de Polígonos)

point quadtrees

son el equivalente, en 2D de un árbol binario de búsqueda
1 3
2
4
5
6
8
7 9
10
11
12
14
13 15

cada punto en un Point Quadtree
divide el espacio en cuatro cuadrantes
P1
NW NE
SESW

la división del espacio se hace recursivamente
por cada punto que se inserta
P1
NE
SESW
P2
NW
NW NE
SESW

el resultado es una estructura “arborea”,
donde cada nodo tiene cuatro hijos
NW NE SW SENW NE SW SE NW NE SW SE NW NE SW SE
NW NE SW SE
...
esta “forma” es bastante común y se verá
también en otras estructuras

la estrategia de búsqueda consiste en encontrar características
geométricas que permitan descartar caminos completos para así
“podar” ramas completas
NW NE SW SENW NE SW SE NW NE SW SE NW NE SW SE
NW NE SW SE
...
esta estrategia es usada también en otras estructuras “arboreas”

la eliminación, es una operación más compleja que en un árbol
binario de búsqueda (1/3)
1 3
2
4
5
6
8
7 9
10
11
12
14
13 15

1 3
2
5
4
6
8
7 9
10
11
12
14
13 15

1 3
2
5
6
8
7 9
10
11
12
14
13 15

si se analiza el siguiente point quadtree
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9

se obtiene el siguiente árbol
... ... P7 ...... ... ... P6 ... P8 ... ... P9 ... ... ...
P2 P3 P4 P5
P1
si queremos eliminar P1, ¿quién es el sucesor o el predecesor?
¿con quién se intercambia el nodo que queremos eliminar?
¿hay un orden natural en los datos?

en este caso, ¿con quién intercambiamos P1?
P1
P6
P7
P8
P9

¿y en este caso? ¿con quién intercambiamos P1?
P1
P6 P7
P8
P9

¿y en este otro caso? ¿con quién intercambiamos P1?
P1
P6
P7
P8
P9

buscar un nodo e insertar un hijo tiene un costo promedio de
O(log4N)
el peor caso en la búsqueda de un rango es de O(2N1/2
)
eliminación (algoritmo simple): se busca el nodo a eliminar
(O(log4N)) y se reinsertan los nodos que están por debajo del
nodo eliminado (¿O((M +1)log4N), donde M es el número de
hijos del nodo eliminado?)
eliminación (algoritmo complejo): hay algoritmos más complejos y
difíciles de implementar que reducen la cantidad de nodos que es
necesario reinsertar

10.000 nodos (ver la barra de estado de la captura de pantalla)

k-d-trees

cada punto divide el espacio en dos “semiespacios”
P1
x<=Px1
x> Px1
la división se hace usando sólo una de las coordenadas del punto
y una línea paralela a uno de los ejes

la coordenada y el eje seleccionados para hacer la división
dependen del nivel del punto dentro del árbol que conforma la
estructura de datos
P1
x<=Px1
x> Px1
y<=Py2
y> Py2
P2
P3
y<=Py3
y> Py3

para niveles impares se utiliza la coordenada X del punto y la
división se hace paralela al eje Y, de lo contrario, se utiliza la
coordenada Y y la división se hace paralela al eje X
P1
P2 P3
... ...
P4
... ...
P5
... ...
P6
... ...
P7
x<=Px1
x> Px1
y<=Py2
y> Py2
y<=Py3
y> Py3
x <= > <= > <= > <= >
L1: X
L2: Y
L3: X
L4: Y
...
esta idea puede fácilmente extenderse a datos
multidimensionales

buscar un nodo e insertar un hijo tiene un costo promedio de
O(log2N)
el peor caso en la búsqueda de un rango es de O(kN1−1/k
),
donde k es el número de claves o dimensión del árbol
eliminación: la eliminación es un algoritmo complejo, tiene
similitud con la eliminación en un árbol binario.
la cota máxima de eliminar un nodo seleccionado aleatoriamente
es O(log2N), siendo el peor caso eliminar la raiz, que es
linealmente acotado

10.000 nodos (ver la barra de estado de la captura de pantalla)

point region quadtree

dada una región bien definida
usualmente un rectángulo cuyos lados miden 2n

el espacio se divide recursivamente en cuatro partes según sea
necesario, de tal forma que cada parte tenga 1/4 del área del
rectángulo inicialmente deﬁnido
P1
el rectángulo inicial corresponde al nodo raiz del árbol,
cada división corresponde a un nodo hijo

en algunos casos no es necesario hacer ninguna división, porque
el punto insertado corresponde a un nodo vacío
P1
P2

las divisiones se hacen recursivamente a medida que se insertan
puntos. . .
P1
P2
P3

garantizando que siempre haya sólo un punto por nodo
P1
P2
P3
P4

esto puede traer algunos problemas
¿cómo se resuelven?

Plane-Sweep Methods and the Rectangle
Intersection Problem

PROBLEMA:
¿Qué rectángulos se intersectan con qué rectángulos?
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
Solución ingenua, todos contra todos (muy poco eﬁciente)

Dada una línea, alineada con el eje X se puede “barrer” el plano
de izquierda a derecha
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
Las coordenadas de inicio y de ﬁn en X de cada rectángulo se
pueden almacenar en un árbol binario de búsqueda (o alguna
otra estructura similar) para mantener un orden

Cuando se encuentra un rectángulo, se añade a una estructura
de datos adicional, pero esta vez, ordenada por el inicio y el ﬁn
en Y de cada rectángulo
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R1
Por la naturaleza del barrido en X se sabe que cada rectángulo
en la estructura de datos adicional se intersectan al menos en X

Cada vez que se añade un elemento a la estructura de datos
adicional se veriﬁca si el rectángulo nuevo se intersecta con
alguno de los rectángulos previamente insertados
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R1
, R2

Si se encuentra una intersección en Y, entonces se sabe que
ambos rectángulos se intersectan en el espacio
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R1
, R2
, R3

Cuando el barrido en X llega al ﬁnal de un rectángulo, lo remueve
de la estructura de datos adicional
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R2
, R3

etc. . .
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R3

etc. . .
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R3
, R4

etc. . .
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R4

Multiple Quadtree Block Representations

. . .
dada una región bien definida,
usualmente rectangular

. . .
R1

. . .
R1
R2

. . .
R3
R1
R2

. . .
R3
R4
R1
R2

. . .

R-Trees

para entender un R-Tree, es necesario entender un B+ Tree
5 5 7 5 7 97 9
11 5 7 9 11 Oops... 5 7 9 11
5 7 9 11
9
...

5 7 9 11
9
5 7 8 9 11
9
8
5 7 86 9 11
9
6
5 6 7 8
7 9
...
9 11

5 6 7 8
7 9
9 11
4 653 7 8
7 9
9 11
3, 4
43 7 8
5 7 9
9 11
...
5 6

eventualmente, no sólo se desborda un nodo hoja sino que
también se desborda un nódo interno
43 7 8
5 7 9
9 115 6
43 7 8
5 7 9
9 11 12 13
12, 13
5 6

en ese momento, el árbol crece un nivel
y al mismo tiempo se mantiene balanceado
43 7 8
5 7 9 12
9 11
...
5 6 12 13
43 7 8
9 12
9 11
...
5 6 12 13
5
7

un R-Tree funciona de forma similar, salvo por el hecho de que no
existe un orden absoluto en los datos a almacenar
a b c
a
b
c
a
b
c
d
w x
a c b d
a
b
c
d
e
f
w x
a c e b d f
es perfectamente válido que los rectángulos se solapen entre sí

a medida que se insertan nodos, estos se van agrupando en
zonas rectangulares, que a su vez se agrupan en zonas
rectangulares y así de forma recursiva.
w y x
c e b d fa g w y
c e b fa g d h
x z
u v
a
b
c
d
e
f
g
w
y x
a
b
c
d
e
f
g h
y x vu
w
z

dos de las heurísticas principales usadas para agrupar
rectángulos
a
c e
g
a
c e
g
a
c e
g
a
c e
g
(1)
(2)
(1) minimizar el área de los rectángulos y (2) minimizar el área o
la cantidad de intersecciones de los rectángulos

también es posible tener r-trees en 3D
(tomado de wikipedia)

Octrees

son estructuras muy similares a los quadtrees, pero en 3D
en lugar de dividir el plano en 4 partes como en los quadtrees,
el espacio se divide en 8 partes
(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Octree2.svg)

los órdenes de ejecución son similares a los de los respectivos
quadtrees, sólo que en lugar de usar log4 se usa log8
(por razones evidentes)

Binary Space Partitioning
BSP

en un mundo plano, desde el punto de vista de la cámara,
tenemos que “dibujar” los siguientes segmentos
L1
L2
L2
, L1
L1
, L2
dependiendo del orden en que se dibujen se obtienen
distintos resultados, sólo hay un orden correcto

sin embargo, aquí tenemos un problema:
L1
L2
L2
, L1
L1
, L2
correcto

para resolverlo, es necesario “cortar” uno de los segmentos,
transformándolo en dos segmentos distintos
L1
L2
L3
Correcto: L3
, L2
, L1

BSP 2D: Prestar atención al punto amarillo (1/2)

BSP 2D: Prestar atención al punto amarillo (2/2)

BSP 3D

Algunos “Extras"

desde hace algún tiempo, me interesa mucho el problema de la
búsqueda de caminos
después de todo, si se desea implementar un “ambiente virtual” o
un buen juego masivo multijugador de rol es importante tener una
buena IA, y para esto es muchas veces es crítico tener una
buena búsqueda de caminos

con mapas pequeños, es fácil y eﬁciente buscar caminos entre
dos puntos usando Dijkstra, una búsqueda por amplitud o A*
Tomado de:
http://theory.stanford.edu/ amitp/GameProgramming/

con un mapa grande tenemos problemas de rendimiento
cada pixel es un nodo: 1024 nodos por 1024 nodos = 1048576

Dijkstra: 6.9 segundos

A*: 3.6 segundos

una posible solución. . .

A* jerárquico: 0.15 segundos

el problema también se puede atacar desde otro punto de vista

el mapa original
Tomado de: http://www.ai-blog.net/archives/000152.html

una posibilidad es usando waypoints,
pero esta estrategia trae muchos problemas

la mejor solución es usando mallas de navegación,
pero el problema es construir las mallas para cada mapa

recast: genera automáticamente mallas de navegación
detour: calcula caminos en función de las mallas de navegación
http://www.mooncollider.com/recast-and-detour/

mi intento:
En 2D y es un trabajo en progreso. . .

calcular los contornos de las paredes y obstáculos
(usando marching squares)

marching squares: casos posibles

marching squares: detalle de la imagen

bien, pero: ¿cual es el problema con el “marching squares”?
ver la imagen a detalle:

para resolver el problema, se implementó el algoritmo de Douglas
Peucker, que básicamente sirve para simpliﬁcar polígonos

aún quedan algunos problemas que resolver
pero la idea es, una vez que se resuelva el problema de los
contornos, aplicar una Triangulación Delaunay y usar el resultado
como malla de navegación
to be continued. . .

¿Futuro?
Continuar desarrollando la colección de estructuras de datos y
algoritmos para transformarla en una biblioteca de estructuras de
datos espaciales y algoritmos de geometría computacional

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