Conception d'une passerelle haubannée

1. Analyse d’une
structure en
éventail
une passerelle
piétonne
haubannée
Conception de structures
Automne 2012
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval

2. Introduction 2
La figure ci-contre illustre schématiquement une
passerelle piétonne construite en montagne pour
franchir un obstacle. Elle fait 3 m de largeur, 14 m
de longueur et est supportée par des câbles en
acier. Le pontage, qui est constitué de planches
de bois de 89 mm d’épaisseur, repose sur deux
poutres en bois accrochées à des câbles d’acier
eux-même supportés par deux poteaux en bois.
À l’aide de la méthode graphique,
nous allons analyser cette structure
et voir si on peut modifier sa
géométrie pour la rendre plus
efficace.

3. Calcul des charges externes 3
La passerelle est soutenue par deux
rangée parallèles de câbles. Nous
allons analysé l’une de ces rangées.
Nous considérons que la passerelle
supporte une charge uniformément
répartie sur toute la surface de son
tablier. Mais, puisque la méthode
graphique nous oblige à faire
l’hypothèse que les charges sont
concentrées aux noeuds, nous
supposerons que la structure
supporte trois charges externes P
qui sont appliquées aux points
d’intersection entre les câbles et les
poutres.
échelle : 1 carreau = 1 m
P P P

4. Calcul des charges externes 4
Calcul de la charge uniformément répartie sur le tablier de la passerelle
Sachant que le masse volumique du bois est égale à 5,5 kN/m3 et que le pontage
fait 89 mm d’épaisseur, il est facile ce calculer la charge morte (wD) sur le tablier de
la passerelle (on estime que le poids de poutres et du garde-corps sont
négligeables)
wD = 5,5 kN/m3 x 0,089 m = 0,5 kN/m2
Sachant également que le C.N.B. impose une charge vive de 4,8 kN/m2 pour les
passerelles, la charge totale majorée wF est donc égale à :
wF = 1,25 wD + 1,5 wL = (1,25 x 0,5) + (1,5 x 4,8) = 7,8 kN/m2
Calcul des charges concentrées P
La charge totale majorée appliquée à chacun des noeuds de la
structure est obtenue en multipliant la valeur de wF par l’aire tributaire :
PF = 7,8 kN/m2 x 1,5 m x 4 m = 47 kN

5. Diagramme de forme 5
On trace le diagramme de forme à l’échelle en indiquant les charges
externes appliquées ainsi que les trois réactions d’appui. On y ajoute la
numérotation par intervalles (A à F et 1 à 3)
A
1 2 3
47 kN 47 kN 47 kN
B
E D C F
T
H
V

6. Réactions d’appui 6
Normalement la première étape de l’analyse consisterait à calculer les
réactions d’appui.
On peut, bien sûr, calculer ces réactions d’appui en appliquant les trois
conditions d’équilibre statique (Σ Fv = 0 ; Σ Fh = 0 ; Σ M = 0) mais ce calcul
est fastidieux parce que les membrures de la structure sont inclinées selon
divers angles.
Puisque les réactions d’appui sont trois forces non parallèles, on peut les
trouver directement, et plus facilement, en traçant le polygone de forces.

7. Polygone de forces 7
A
1 2 3
diagramme de forme
polygone de forces
Tout d’abord, rapportons les trois charges
externes de 47 kN sur notre polygone de forces.
Cela nous permet d’y placer les point d, e, f et a.
d
e
47 kN
f
a
47 kN 47 kN 47 kN
B
E D C F

8. Polygone de forces 8
A
1 2 3
E D C F
47 kN 47 kN 47 kN
diagramme de forme
d
e
f
a
1
polygone de forces
2
3
B
Plaçons ensuite les points 1, 2 et 3 en traçant les
forces dans chacun des câbles et chacune des
membrures du tablier.

9. Polygone de forces 9
A
1 2 3
diagramme de forme
d
e
f
a
1
polygone de forces
2
3
Traçons maintenant une ligne parallèle à B3
Puis une ligne parallèle à AB
Les deux lignes se croisent au point B
b
47 kN 47 kN 47 kN
B
E D C F

10. Polygone de forces 10
A
1 2 3
diagramme de forme
Complétons le polygone de force en traçant une
ligne horizontale parallèle à BC
Puis une ligne parallèle à CD
Les deux lignes se croisent au point C
d
e
f
a
1
polygone de forces
2
3
c b
47 kN 47 kN 47 kN
B
E D C F

11. Polygone de forces 11
A
1 2 3
47 kN 47 kN 47 kN
B
E D C F
diagramme de forme
On peut maintenant trouver facilement les trois
réactions d’appui à partir du polygone de forces
d
e
f
a
1
320 kN
polygone de forces
2
3
c b
320 kN
170 kN
170 kN
415 kN
415 kN
Si on y ajoute la résultante des forces externes (une force
verticale de 141 kN (3 x 47 kN) orientée vers le bas), on
constate que polygone des forces est fermé ce qui
confirme l’équilibre statique de la structure.
141 kN

12. Polygone de forces 12
d
e
141 kN
A
B
1 2 3
E D C F
80 kN
Pour tracer le polygone de forces nous avons choisi de décom-poser
la réaction d’appui à la base du poteau selon deux axes
a
1
430 kN
f
2
3
320 kN
orthogonaux, l’un horizontal (BC) et l’autre vertical (CD).
Il pourrait être plus pratique de décomposer cette réaction
d’appui selon deux axes non-orthogonaux parallèles au poteau
(B3) et au tablier (D3). 80 kN
c b
diagramme de forme
320 kN
47 kN 47 kN 47 kN 430 kN

13. Optimisation de la structure 13
A
1 2 3
E D C F
diagramme de forme
320 kN
B
80 kN
47 kN 47 kN 47 kN 430 kN
d
e
f
a
1
2
3
c b
En regardant la polygone de force, on constate aisément que les
plus grands efforts se retrouvent dans le poteau et le câble AB
b
On constate également que l’on peut réduire considérablement
ces efforts en modifiant l’angle du câble AB

14. Optimisation de la structure 14
A B
1 2 3
E D C F
diagramme de forme
1
2
145 kN
80 kN
225 kN
d
e
141 kN
f
a
Après avoir modifié l’angle du câble, on obtient donc une
structure beaucoup plus efficace que notre structure initiale.
3
b
c
47 kN 47 kN 47 kN
145 kN
80 kN
225 kN

15. Optimisation de la structure 15
A B
1 2 3
E D C F
47 kN 47 kN 47 kN
diagramme de forme
80 kN
230 kN
d
e
f
a
Peut-on encore améliorer la performance de la structure ?
3
1
2
3
b
c
150 kN
En examinant le polygone de forces, on constate que l’on peut
réduire les efforts dans le tablier (membrures F-1, E-2 et D-3) et
dans les câbles qui le soutiennent (A-1, 1-2 et 2-3) en modifiant
l’angle du poteau.

16. Optimisation de la structure 16
résultante
des forces
externes
1 2 3
diagramme de forme
A
B
E D C F
47 kN 47 kN 47 kN
0
En plaçant le sommet du poteau dans l’axe vertical passant par la résultante
des forces externes, on élimine la réaction d’appui BC puisque la résultante des
forces externes et les réactions aux deux appuis forment un ensemble de trois
forces non parallèles qui convergent obligatoirement vers un même point (en
l’occurrence, le sommet du poteau)

17. Optimisation de la structure 17
1 2 3
diagramme de forme
150 kN
230 kN
d
e
f
a
2
1
3
b,c
A
B
E D C F
47 kN 47 kN 47 kN
0 kN
polygone de forces
On obtient finalement notre structure optimisée. On remarque que
les efforts internes dans le poteau et dans le câble AB demeurent
les mêmes mais que les efforts dans toutes les autres membrures
sont diminués substantiellement.

18. 18
d
e
f
a
1
2
3
b
c
d
e
f
a
2
1
3
b,c
polygone de forces
avant optimisation
polygone de forces
après optimisation

19. 19
structure
initiale
structure
optimisée

20. 20
d
e
f
a
1
2
3
c b
d
e
f
a
2
1
3
b,c
polygone de forces
initial
polygone de forces
optimisé
force
externe force
externe

21. Stabilité latérale 21
Si la base des poteaux est rotulée, la structure est
instable puisque rien n’empêche le déplacement
latéral des poteaux à leur sommet.
déplacement latéral
On pourrait encastrer les poteaux à leur base
mais, d’une part cette opération est difficile et,
d’autre part, la longueur effective de flambement
est alors doublée (k = 2) ce qui réduit considé-rablement
la résistance à la compression du
poteau.
La solution la plus efficace pour assurer la
stabilité de la structure consiste simplement
à incliner les deux poteaux de façon à
créer un triangle très stable.

22. Géométrie optimisée 22
On obtient finalement la géométrie
optimisée de la passerelle.
Toujours dans un souci de
simplification, nous avons décidé
de n’utiliser qu’un seul câble pour
lier le sommet du poteau à la
falaise (on limite ainsi le nombre
d’ancrages à construire sur un site
peu accessible).

23. Espace tridimensionnel 23
En utilisant la méthode graphique, nous avons calculé
les efforts internes dans chacune des membrures en
considérant que toutes ces membrures étaient situées
dans un même plan vertical.
Cela n’est plus vrai puisque nous avons choisi
d’incliner les poteaux selon un axe perpendiculaire au
plan vertical initial.
230 kN
27 kN
232 kN
Pour calculer les forces réelles dans chacune des
membrures, il faudrait donc décomposer les forces
dans un espace tridimensionnel. La figure ci-contre
montre la décomposition des forces dans le poteau.
On constate aisément que lorsque l’angle entre la
membrure inclinée et le plan vertical est faible,
l’influence de l’inclinaison sur l’effort interne dans
la membrure est négligeable. Par exemple un angle
de 10° modifie de moins de 4% l’effort dans une
membrure.

24. Dimensionnement des poteaux 24
Charge maximale pondérée : Pf = 230 kN
Longueur équivalente de flambement : Le = k L = 1 x 12,2 m = 12 200 mm
Choix : 315 x 304 mm
Pr = 260 kN > 230 kN

25. Dimensionnement des câbles 25
Câble entre le sommet des poteaux et la falaise :
Pf = 2 x 150 kN = 300 kN (câble reliant le sommet du poteau à la falaise)
propriétés de l’ac i e r : ! a d m = 3 5 0 M P a e t ! = 0, 9
−−−−−−−
!
4Pf
!"#adm
−−−−−−−−−−−−−−−−
4 × 300000N
!
d ! = ≃ 15mm
% × 0, 9 × 350 N
mm2

26. Dimensionnement des poutres 26
Les poutres qui supportent le tablier sont
sollicitées en compression et en flexion.
L’effort de compression maximal est
obtenu directement à partir du polygone
de forces (force f-2 ou e-1, page 17):
= Pf 19kN
L’effort de flexion est égal à :
wf × L2
(7, 8 kN × ) ×
m2
3m
2 (4m)2
8
Mf = = = 23, 4kN − m
8
Choix : 130 x 228 mm
Pf
+ Mf
= + = 0, 11 + 0, 90 = 1, 01 ! 1 Pr
Mr
19kN
166kN
23, 4kN − m
26kN − m

27. 27
Structure initiale Structure optimisée
La qualité esthétique des structures est une notion subjective. On sait cependant que les
formes que l’on retrouve dans la nature ont généralement été optimisées au cours du long
processus de l’évolution et que ces formes dites «naturelles» influencent grandement notre
perception esthétique des choses. Il en résulte que, indépendamment des aspects purement
techniques et fonctionnels, les structures optimisées produisent des géométries qui sont
généralement perçues comme étant plus harmonieuses par la majorité des personnes.