กรณฑ์ที่สอง

2. 1.1 สมบัติของ เมื่อ
เมื่อ แทนจานวนจริงบวกใดๆ หรือ ศูนย์ ( ) รากที่สอง
หรือกรณฑ์ที่สองของ คือจานวนที่ยกกาลังสองแล้วได้
ซึ่งรากที่สองของ มีสองราก คือ
รากที่เป็นบวก แทนด้วยสัญลักษณ์
และ รากที่เป็นลบ แทนด้วยสัญลักษณ์ -
ดังนั้น ( )2= และ ( - )2 =

3. ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 100
วิธีทา (10) 2 = 100 และ ( -10 ) 2 = 100
ดังนั้นรากที่สองของ 100 คือ 10 และ -10
Ans.
ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่สองของ 0.0004
วิธีทา 0.0004 = ( 0.02 )2
และ 0.0004 = (- 0.02 )2
ดังนั้น รากที่สองของ 0.0004 คือ 0.02 และ – 0.02 Ans.

4. ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สองของ 13
= 13
= 13

5. 1. จานวนใดบ้างเป็นรากที่สอง
ของแต่ละจานวนต่อไปนี้
1) 36 2) 196
3) 50 4) 200
5) 16 6) 24
81 75
7) 0.16 8) 0.049

6. 2. จานวนต่อไปนี้ เป็นรากที่สองของจานวนใด

7. 1. จานวนใดบ้างเป็นรากที่สองของแต่ละจานวนต่อไปนี้
1) 36
รากที่สองของ 36 คือ 6 และ -6
2) 196
รากที่สองของ 196 คือ 14 และ -14
3) 50
รากที่สองของ 50 คือ 50 และ - 50
หรือ 5 2 และ - 5 2

8. 2. จานวนต่อไปนี้ เป็นรากที่สองของจานวนใด
7) - 9
16
2
เพราะว่า - 9 = - 3
16 4
ดังนั้นรากที่สองของ - 9 = - 3
16 4 Ans.

9. ค่าสัมบูรณ์ของจานวนใดๆ หาได้จากระยะที่จานวนนั้น
อยู่ห่างจาก 0 บนเส้นจานวน เช่น
-3 -2 -1 0 1 2 3
2 อยู่ห่างจาก 0 บนเส้นจานวน เป็นระยะทาง 2 หน่วย
ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ 2 คือ 2 หน่วย ใช้สัญลักษณ์ 2
2= 2
-2 อยู่ห่างจาก 0 บนเส้นจานวน เป็นระยะทาง 2 หน่วย
ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ -2 คือ 2 หน่วย ใช้สัญลักษณ์ -2
-2 = 2

10. สมบัติต่างๆ ของรากที่สอง
ถ้า เป็นจานวนจริงใดๆ และ
1) ถ้า แทนค่าสัมบูรณ์ของ
แล้ว และ
2) เมื่อ
3) เมื่อ

11. 1.2 การดาเนินการของจานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง
สมบัติอื่นๆ ของกรณฑ์ที่สอง ถ้า เป็นจานวนใดๆ และ
เมื่อ
สมบัติการสลับที่สาหรับการบวก
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สาหรับการบวก
สมบัติการสลับที่สาหรับการคูณ
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สาหรับการคูณ
สมบัติการแจกแจง

12. ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ
วิธีทา
=
=
= Ans.
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ
วิธีทา
Ans.

14. ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ
วิธีทา
ใช้สมบัติการแจกแจง
โดยมี 3 เป็นตัวร่วม
Ans.

15. ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ 3 20  500
วิธีทา 3 20  500  3 4  5  100  5
 (3  2) 5  10 5
 6 5  10 5 ใช้สมบัติการแจก
แจง 5
โดยมี
เป็นตัวร่วม
 (6  10 ) 5
 4 5 Ans.

17. ข้อ 1 หน้า 16 จงหาผลลัพธ์
1) 8 2 7 2  (8  7) 2
 15 2 Ans.
2) 500  3 125  245
 100  5  3 25  5  49  5

18. การคูณและการหาร
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ 12  2 3
วิธีทา
12  2 3  43  2 3
 2 32 3
 ( 2  2) 3  3
 4 3
 12 Ans.

19. ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ 2 ( 2  12 )
วิธีทา
2 ( 2  12 )  ( 2  2 )  ( 2  12)
 ( 2  2 )  ( 2  12 )
 2  2 12
 2  24
 2  46
 22 6 Ans.

20. ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลัพธ์ของ 2 242
18
วิธีทา 2 242 242
2
18 18
2  121
2
29
121
2
9
11
 2
3
22 1 Ans.
 7
3 3

21. ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าประมาณของ 50 เมื่อกาหนดให้ 6  2.449
3
วิธีทา 50 
50
3
3
5 5 2

3
5 2

3
2 3
5 
3 3
5
 6
3

5 2.449  4.082 Ans.
3

23. ข้อ 1 หน้า 23 จงหาผลลัพธ์
1) 50  5  50  5
 25  2  5
 5 10
5) 2 3  ( 12  3 72 )  (2 3  12 )  (2 3  3 72 )
 (2 3 12 )  (6 3  72 )
 2 36  6 216
 2 36  6 36  6
 ( 2  6)  ( 6  6 6 )
 12  36 6

24. ข้อ 2 หน้า 23 จงหาผลลัพธ์
2) 3 18000 3 900  20

20 20
3 30 20

20
 90
3 2
4) 12 8  ( 18 ) 
3 2  12 4  2  ( 9  2 ) 
72 36  2
3 2
 (12  2 2 )  (3 2 ) 
6 2
1
 24 2  (3 2 ) 
2
1
 24  2  (3) 
2
 72

25. ข้อ 4 หน้า 23 จงทาจานวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
7 3 5 11  11  7  3
5 11   
11 11 11
(5 11)  4

11
55  4

11
51

11
51 11
 
11 11
51 11

11

26. ข้อ 5 หน้า 23 จงหาผลลัพธ์ 49a 2b 2  (5ab) 2
( 2ab ) 2
เมื่อ a 0, b 0
49a 2b 2  (5ab) 2 7ab  5ab
( 2ab ) 2 
2ab
12ab

2ab
6

27. 1.3 การนาไปใช้ เป็นการนาความรู้ทั้งหมดที่เกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง มาแก้ปัญหาโจทย์
ตัวอย่างที่ 1 การเดินทางไกลของลูกเสือหมูหนึ่งเป็นไปตามแผนผัง ดังรูป
่
น เดินทางจากจุด A ไปทางเหนือ 7 กิโลเมตร ถึงจุด B
แล้วเดินต่อไปทางทิศตะวันออก 9 กิโลเมตร ถึงจุด C
D
จากนั้นเดินต่อไปทางทิศเหนือ 6 กิโลเมตร แล้วตั้งค่ายทีจุด D
่
6
B
C จงหาว่าที่ตั้งค่ายพักแรมอยู่ห่างจากจุด A กี่กิโลเมตร
9
7
7
วิธีทา ลาก AD , AE และ ED
ทาให้เกิด สามเหลี่ยมมุมฉาก AED โดยมีมุม E เป็นมุมฉาก
A E
9
โดยทฤษฎีบทของพีธากอรัส จะได้ AD2 = AE2 + ED2
ดังนั้น AD2 = 92 + 132 = 81 + 169 = 250
นั่นคือ AD = 250
เพราะฉะนั้น ค่ายพักแรมอยู่ห่างจากจุด A ประมาณ 5 10 โลเมตร
กิ

28. ตัวอย่างที่ 2 รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีความยาวด้านละ a หน่วย จะมีความสูง
และพื้นที่เป็นเท่าไร
วิธีทา กาหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า มีทุกด้านยาว a หน่วย
ลาก AD ตั้งฉากกับ BC ที่จุด D
A ทาให้ AD แบ่งครึ่ง BCที่จุด D
ADC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
a
a
โดยทฤษฎีบทของพีธากอรัส
ดังนั้น AD2  AC2  CD 2
B a a C
2 D 2 a
2
จะได้ AD  a   
2 2
2

29. A 2
a
AD  a   
2
2
a
a
a2
AD  a 2 
4
B a
2 D
2
a C 3a 2
AD 
4
3
AD  a
2
3
ดังนั้น ส่วนสูงของสามเหลี่ยม ABC  a วย
หน่
2
1 3 3 2
จะได้พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC   a  ( a )  a ตารางหน่วย
2 2 4

30. จงหาพื้นที่รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
ที่มีด้านยาวด้านละ aหน่วย ทาได้ไหม
a
a a ลากเส้นแบ่งรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมออกเป็น
สามเหลี่ยมด้านเท่าได้ 6 รูป โดยมีจุดยอดมุมเดียวกัน
3 2
a a พื้นที่ ด้านเท่า 1 รูป  ตารางหน่วย
a
a a 4
3 2
พื้นที่ ด้านเท่า 6 รูป  6  ( ตารางหน่วย
a )
a 4
3 3 2
พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า  ตารางหน่วย
a
2

31. กรณฑ์ที่สองของจานวนจริง
จงหากรณฑ์ที่สองต่อไปนี้ แล้วหา 1 1
ความสัมพันธ์ของคาตอบที่ได้กับ
จานวนที่อยู่ในเครื่องหมายกรณฑ์ 121  11
12321  111
1234321  1111
123454321  11111
1234565432 1  111111
1234567654 321  1111111
1234567876 54321  11111111

33. บอกได้ไหม !
จงพิจารณาว่าประโยคในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ เพราะเหตุใด

34. ตัวอย่างคาตอบ / ใครตอบถูกบ้าง
เพราะว่า 5 3
จริง !
นา 3 มาคูณทั้งสองข้าง
3 5 3 3
แต่ 35
ดังนั้น 3 5  5 3