Interés compuesto

CATEDRATICO. ING. RAFAEL SALCEDO
MUÑOZ

CENTRO DE APOYO ARENILLAS

I ng. Civil. Raf ael Salcedo
Muñoz

CATEDRATICO. ING. RAFAEL SALCEDO MUÑOZ

INTERÉS COMPUESTO
Se caracteriza por que el interés generado en una unidad
de tiempo se suma al capital y este valor nuevamente gana
interés y se acumula al nuevo capital. Ejemplo:

M= capital[1 + interés (tiempo)]
Primer periodo M = 4.000.000 [1+ 0,10(1) = 4.400.000
Segundo periodo M = 4.400.000 [1+ 0,10(1) = 4.840.000
Tercero periodo M = 4.840.000 [1+ 0,10(1) = 5.324.000
Cuarto periodo M = 5.324.000 [1+ 0,10(1) = 5.856.400
Quinto periodo M = 5.856.400 [1+ 0,10(1) = 6.442.040

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INTERÉS SIMPLE
Interés producido por un capital al que se acumulan
los réditos para que produzcan otros. Ejemplo:

I= capital (interés) (tiempo)
I = 4.000.000 (0.10) (5) = 2.000.000
Monto a cobro = C + I
M = 4.000.000 + 2.000.000
M = 6.000.000
MUÑOZ

DIFERENCIA DE LOS RESULTADOS
Los montos de cobros son variables ya que en el
compuesto se acumulan en el nuevo capital y en simple es
constante durante todos los periodos.

Monto interés compuesto = 6.442.040
Monto interés simple = 6.000.000

MUÑOZ

VARIABLES DE INTERÉS COMPUESTO
Periodo de capitalización.- el espacio de tiempo en que
el interés se adiciona o se acumula al capital, puede ser
anual, semestral, trimestral, mensual, etc. (n)

Tasa de interés.- representa la tasa diaria, mensual,
semestral, anual, etc., depende si la capitalización es día,
mes, semestre, año, etc. (i)

MUÑOZ

Ejemplo: 5.2 Ejemplo: 5.2

t = 7 años . Calculo n y la tasa de i, de un
n=. numero total de meses . capital colocado a interés
# meses del periodo de capitalización compuesto durante 9 años, con
n = 7(12) / 6 = 14 semestres una tasa de interés del 24%
semestral
i=. tasa anual .= . Tasa anual
# capitalizaciones en el año m tasa nominal anual 24%

n = 0,15 / 2 = 0,075 t = 9 años ;

m=. 360 . n = 9(12) / 6 = 18
# días del periodo

m = 360 / 180 = 2 i = 0,24 / 2 = 0,12

MUÑOZ

FORMULA DEL MONTO A INTERÉS COMPUESTO
 El monto de un capital a interés compuesto, o monto compuesto, es el
valor del capital final o capital acumulado después de sucesivas
adiciones de los intereses.
Formula de cálculo: I = Cit

Capital al Monto al
Primer año
Periodo inicio del Interés final del I = 100.000 (0,12) 1 = $ 12.000
periodo periodo M = 100.000 + 12.000 = 112.000
1 100.000 12.000 112.000
Segundo año
2 112.000 13.440 125.440 I = 112.000 (0,12) 1 = $ 13.440,00
M = 11200.000 + 13.440,00 = 125.440,00
3 125.440 15.052,80 140.492,80
tercer año
4 140.492,80 16.859,14 157.351,94 I = 125.440 (0,12) 1 = $ 15.052,80
M = 125.440 + 15.052,80 = 140.492,80

Cuarto año
I = 140.492,80 (0,12) 1 = $ 16.859,14
M = 140.492,80 + 16.859,14 157.351,94
MUÑOZ

 De conformidad con el análisis realizado, hemos identificado que a medida
que se presentan las necesidades ya sean personales, de las empresa publica o
privada en relación de los calculo se incrementa el capital de acuerdo a los
métodos a utilizar como por ejemplo los de :

a) interés simple,
b) interés compuesto, y que inclusive se pueden relacionar con otros tipos de
operaciones matematicas.
n Ejm:
M = C(1+i) que se podrá continuar hasta la enésima potencia.

m.t
M= C(1+j/m)

M = Monto C = Capital inicial
j = Tasa de interés nominal m = número de capitalización en el año
t = número de años

MUÑOZ

MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CAPITALIZACION FRACIONARIOS
 Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de capitalización, se
presenta el caso de los periodos de capitalización Fraccionario, Ejm:
Deuda = 4años y 9meses
Tasa de interés = 14%capitalizable semestralmente

4 (12) + 9 57 54 3
n = ------------------- = ----- = ----- + ----- = 9.5 semestre.
6 6 6 6

TASAS EQUIVALENTES

FORMULAS DE EQUIVALENCIA TASA NOMINA – TASA EFECTIVA
 El monto de $ 1,00 a la tasa i en un año, es 1(1+1) = 1 + i = M
m
 El monto de $ 1,00 a la tasa j con m capitalizaciones en el año, es M = (i + j/ m)
 Considerando que los dos montos son iguales, se puede plantear la identidad
m
(1+i) = (1 + j /m)

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ALTERNATIVAS DE TASAS DE INTERÉS
INVERSIÓN COMPARANDO ANTICIPADA
TASAS DE INTERÉS  Es la que permite pagar o
 En el mercado financiero es cobra de forma anticipada los
frecuente encontrar tasas de intereses, y su aplicación es
interés con diferentes tipos de igual a la de la alternativa de
capitalización, su análisis deberá inversión comparado tasa de
ser matemática, interés y el descuento
Ejm: Calcular (n ) y (i ) de un bancario.
capital compuesto durante 5años Ejm: la tasa de interés efectiva
a una tasas de interes 15% anual anticipada es equivalente a
capitalizables trimestralmente. una tasa anticipada del 48%
t = 5 años i = 15% anual capitalizable
n = 5 (12)/3 = 20; divide #meses del periodo cuatrimestralmente.
m = 360/90 = 4; se capitaliza 4 veces año m = 360/120 =3
-3
1 + i = (1- 0.48/3)
i = 0.15 /4 =0.0375 = 3 ,75% i = 1,6871821 – 1
MUÑOZ

CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DEL TIEMPO EN INTERÉS COMPUESTO
 Esta se calcula partiendo de la formula Ejm.: ¿A qué tasa efectiva se convertirá
del Monto a interés compuesto. un capital de $300.000,oo en un
monto de 450.000,00 en 6 año?.
n
n
M = C(1+i) ; M = C(1 + m . t
j/m) M = C(1+i) esto es = M/C = (1+i)
450.000 6 6
M ________ = (1+ i) = 1,5 = (1+ i)
n
------- = (1+ i) 300.000
C
Para despejar i , se presenta tres
Por logaritmo
alternativas. Utilizando logaritmos:
6
Log 1 ,5 = Log (1+i)
n
Log (M/C) = Log (1+i)
Log 1 ,5 = 6 Log (1+i)

Log (M/C) = n Log (1+i) 0.176091 / 6 = Log (1+i)

0.029348 = Log (1+i)
__________ = Log (1+i)
Log (M/C)
n CATEDRATICO. ING. RAFAEL SALCEDO
MUÑOZ

EL VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO, O CALCULO DEL CAPITAL
 El valor actual a interés
compuesto es el valor de un
documento, bien o deuda, antes
de la fecha de su vencimiento,
considerando determinada tasa de
interés -m.t
Para el efecto, se considera la formula -2(4)
n
del monto a interés compuesto:
M = C(1+i) , de donde se despeja C -8
M -n
(1+ i) n
C = --------- C = M (1 + i )
m.t
M = C(1 + j/m) -m.t
entonces

C = M (1 + j /m) formula del valor
actual a interés compuesto.

MUÑOZ 0 1 2 3 4años

PRECIO DE UN DOCUMENTO Ejm.: Se calcula el monto
10
 Cuando se negocia a la par, es decir , la M= 3.000.000(1+0,05) = $8.142.242,54
tasa de negociación es la misma que la Se halla el valor actual o precio de negociación:
nominal y el precio se mantiene sin
variaciones; cuando se negocia con a) primera alternativa, i = 18 % anual
0

premio a tasa de negociación es menor capitalizando trimestralmente.
que la nominal y el precio sube C= 8.142.242,54( 1+ 0.045) -12
C= $ 4.801.186,205. Esta es una negociación con
1

premio.
2

b) segunda alternativa, i=21% Capitalizando
-6
semestralmente, C= 8.142.242,54( 1+ 0.105)
3

C= $ 4.472.706,152. Esta es una negociación a la par.
4

c) Tercera alternativa, i= 24% efectiva
C= 8.142.242,54( 1+ 0,24) -3
5

C= $ 4.270.502,49. Esta es una negociación con castigo
es el precio más bajo de los tres.

MUÑOZ

VALOR ACTUAL CON EL TIEMPO FRACIONARIO

-n -1

(3) (12) + 8 44 42 2 2
6 6 6 6 6
-7 -1
0,14 2
2 12

-7 -1
2
6

-1

MUÑOZ

DESCUENTO COMPUESTO
 Es la diferencia entre el monto y el valor actual de un documento, deuda, etc. El
descuento compuesto puede calcularse de dos maneras.
Descuento compuesto Matemático ó el Descuento compuesto Bancario.
-n
Ejm.: Dc = M – M(1+i) Ejm.: Dbc = M[1- ( 1 – d)-n ]
M= 9.000.000; i=15%; n= 3; M= 9.000.000; d=15%; n= 3;
3
Dc= M[1-(1+i) -n] Dbc= 9.000.000 [1- (1-0,15) ]
-3
Dc= 9.000.000 - 9.000.000 (1+0,15) Dbc= 9.000.000 [1- 0,614125]
-3
Dc= 9.000.000 [1-(1,15) ] Dbc= $ 3.472.875

Dc= 9.000.000 (1 - 0,657516)
Es notable que el bancario es mayor con
Dc= 9.000.000 (0,342484) una diferencia por tal razón no se lo
utiliza de forma frecuente.
Dc= $ 3.082.353,91

Calcular el descuento compuesto de un documento cuyo monto será $9.000.000, luego de 10
años, si se descontó tres años antes deING.vencimiento a una tasa de interés del 15% efectiva.
CATEDRATICO. su RAFAEL SALCEDO
MUÑOZ

ECUACION DEL VALOR E INTERÉS COMPUESTO
Se utilizan cuando se requiere remplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto
de diferentes valores o capitales disponibles en diferentes tiempos, tomando en
consideración una fecha común, llamada también fecha focal.

Ejm.: Obligaciones de la empresa Tercer año $900.000 a 12meses plazo; $ 1.200.000 a
18mese plazo, y 1.800.00 0 a 24meses plazo ¿si consigue que sus acreedores le
acepten consolidar sus tres deudas para cancelarlas al final de 24meses cual será el
valor de este pago ?

Se toma los 24meses como fecha focal por ser la fecha de pago; los dos primeros
valores serán montos por cuanto ganaran intereses por 2 y 1 periodos y el ultimo no se
altera:
2 1
x= 900.000 (1+0,075) + 1.300.000 (1+0,075) + 1.800.000

x= 900.000 (1,155625) + 1.300.000 (1,075) + 1.800.000

x= 1.040.062,50 + 1397.500 + 1.800.000

x= $ 4.237.562,50 el interés es alto SALCEDO
CATEDRATICO. ING. RAFAEL
MUÑOZ

COMPARACIÓN DE OFERTAS
La selección de ofertas en compras y ventas de bienes o servicios, se considera las
ecuaciones del valor que ayudan a seleccionar la oferta mas alta para el vendedor o la
mas baja para el comprador a largo plazo, tomando como fecha focal el tiempo 0.

24 12 2 0

REMPLAZO DE LAS OBLIGACIONES POR DOS PAGOS IGUALES
Se utiliza solo en el reemplazo de las obligaciones por do pagos iguales, se escoge la
fecha de pago como fecha focal.

MUÑOZ

TIEMPO EQUIVALENTE Ejm.: Encontrar el tiempo equivalente o
vencimiento promedio de las siguientes
Es el tiempo de vencimiento obligaciones: $1.000.000 a 1 año plazo;
promedio de dos o más deudas, 2.000.000 a 2 años y 6 meses de plazos; $
valores u obligaciones. 3.000.000 a 2 años y 9 meses de plazo.

1.000.000 (1)+2.000.000(2,5)+3.000.000(2.75)
M1 t1 + M2 t2 + M3 t3 + M4 t4…… T.E.=
T.E. = ------------------------------------------ 1.000.000 + 2.000.000 +3.000.000
M1 + M2 + M4…… --------------------------------------------------------
1.000.000 +5.000.000 + 8.250.000
6.000.000
T.E. = --------------------------------------------------------
14.2500.000
Es decir, es igual a la suma de los 6.000.000
diferentes montos multiplicados por T.E. = --------------------------
sus tiempos de vencimiento, divididas
por la suma de los respectivos montos, T.E. =2,375 años
por cuanto lo que se calcula es un 1 año ----------- 360 días
tiempo de vencimiento promedio. 0,375 años ----------- X
X= 135 días
T.E. = 2 años, 4 meses y 15 días.

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