Contenu connexe Similaire à 数式を綺麗にプログラミングするコツ #spro2013 (20) Plus de Shuyo Nakatani (20) 11. まずは一番簡単なパターンから
𝒘 = 𝚽 𝑇 𝚽 −1 𝚽 𝑇 𝒕 (PRML 3.15 改)
• 線形回帰のパラメータ推定の式
– 「線形回帰とは何か」などは一切気にせず、
この式を実装することのみ考える
12. 数式の「読み解き」
𝒘 = 𝚽 𝑇 𝚽 −1 𝚽 𝑇 𝒕 (PRML 3.15 改)
• 𝚽：N×M次元の特徴行列
– 「特徴行列とは?」は気にしない
– 「N×M次元の行列」ということだけ
• t：N次のベクトル(正解データ)
– 中身は気にしない(以下同様)
• w はベクトル？ 行列？ 何次の？
13. 掛け算した行列(ベクトル)のサイズ
𝒘 = 𝚽 𝑇
𝚽 −1
𝚽 𝑇
𝒕
M×1 ← (M×N N×M) M×N N×1
隣接する行列の列数と行数は一致。
そうでなければどこかが間違ってる
各行列のサイズ。
ベクトルは
1列の行列として
この段階で勘違いしていると実装できないので
丁寧に確認しておく
両端の行数・列数が
行列(ベクトル)のサイズ。
列数が1ならベクトル
14. numpy に「逐語訳」
𝒘 = 𝚽 𝑇 𝚽 −1 𝚽 𝑇 𝒕 (PRML 3.15 改)
# PHI = N×M次元の特徴行列
# t = N次のベクトル(正解データ)
w = numpy.linalg.solve(numpy.dot(PHI.T, PHI),
numpy.dot(PHI.T, t))
※ 逆行列のところで inv() を使ってもいいが
solve() の方がコードが短く、速度も速い
numpy.dot(PHI.T, PHI) numpy.dot(PHI.T, t)
𝑨−1 𝒃 = numpy.linalg.solve(𝑨, 𝒃)
15. R に「逐語訳」
𝒘 = 𝚽 𝑇 𝚽 −1 𝚽 𝑇 𝒕 (PRML 3.15 改)
# PHI = N×M次元の特徴行列
# T = N次のベクトル(正解データ)
w <- solve(t(PHI) %*% PHI, t(PHI) %*% T)
# crossprod(X) = t(X) %*% X 関数を使っても良い
w <- solve(crossprod(PHI), crossprod(PHI, T))
t(PHI) %*% PHI t(PHI) %*% T
𝑨−1 𝒃 = solve(𝑨, 𝒃)
17. 多クラスロジスティック回帰の
誤差関数の勾配
𝛻𝒘 𝑘
𝐸 𝑾 = 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 𝝓 𝑛
𝑁
𝑛=1
(k = 1, ⋯ , 𝐾)
(PRML 4.109 改)
• 𝒀 = 𝑦 𝑛𝑘 : N×K 次行列(予測値)
• 𝑻 = 𝑡 𝑛𝑘 : N×K 次行列(1-of-K 表現)
• 𝑾 = 𝒘1, … , 𝒘 𝐾 = (𝑤 𝑚𝑘) : M×K 次行列
• 𝚽 = 𝜙 𝑛𝑚 = 𝝓1, ⋯ , 𝝓 𝑁
𝑇
: N×M 次行列
– 𝝓 𝑛 = 𝝓 𝒙 𝑛 = 𝜙 𝑚 𝒙 𝑛
𝑇: M 次ベクトル
与
え
ら
れ
て
い
る
情
報
実装に関係する
のはサイズだけ
18. 「勾配」の扱い
𝛻𝒘 𝑘
𝐸 𝑾 = 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 𝝓 𝑛
𝑁
𝑛=1
• 右辺は M 次ベクトル
– 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 はただのスカラー
– 一般には先ほどの方法で次元を読み解けばいい
• だから左辺 𝛻𝒘 𝑘
𝐸 𝑾 も M 次ベクトル
– それが k=1,……,K 個あるだけ
• 「M×K次元の行列 𝛻𝐸 𝑾 」を求めると読み解く
– 「勾配」そのものは実装には関係ない
これ
20. R 版「逐語訳」
• 掛けて行列になるパターンは大きく3通り
– 上から要素積、行列積、直積
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 ⇔ C <- A * B
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗𝑘 ⇔ C <- A %*% B
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏𝑗 ⇔ C <- outer(a, b)
※直積は outer(a, b) の他に a %o% b という書き方もある
21. 式を書き換える (1)
𝛻𝒘 𝑘
𝐸 𝑾 = 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 𝝓 𝑛
𝑁
𝑛=1
• 行列の要素の式になおす
𝛻𝐸 𝑾 𝑚𝑘
= 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 𝜙 𝑛𝑚
𝑁
𝑛=1
(𝑚 = 1, ⋯ , 𝑀; 𝑘 = 1, ⋯ , 𝐾)
– 「求める行列𝛻𝐸 𝑾 」の (m, k) 成分の式にする
M次ベクトルの式
スカラー
22. 式を書き換える (2)
𝛻𝐸 𝑾 𝑚𝑘
= 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 𝜙 𝑛𝑚
𝑁
𝑛=1
• 注：右辺の添え字に未解決のものは残らない
– 左辺に現れる : m, k
– 右辺で解決 : n (総和で消える)
• ３種類の積のどれかに帰着するよう変形
– この場合、総和があるので 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗𝑘 に
23. 式を書き換える (3)
𝑨 = 𝑎 𝑛𝑘 = 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 とおくと(𝑁 × 𝐾 行列)
𝛻𝐸 𝑾 𝑚𝑘
= 𝑎 𝑛𝑘 𝜙 𝑛𝑚
𝑁
𝑛=1
= Φ 𝑇
𝑚𝑛 𝐴 𝑛𝑘
𝑁
𝑛=1
• ○mk＝Σn○mn○nk の形に調整
– 右辺の内側の添え字とΣは同じ n
– 添え字の順序を逆にしたければ転置
• 𝛻𝐸 𝑾 = 𝚽 𝑇
𝑨 であることがわかる
24. numpyに「逐語訳」
𝛻𝒘 𝑘
𝐸 𝑾 = 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 𝝓 𝑛 (k = 1, ⋯ , 𝐾)
𝑁
𝑛=1
𝑨 = 𝒀 − 𝑻, 𝛻𝐸 𝑾 = 𝚽 𝑇
𝑨
• ここまで簡単になれば、実装は一瞬
# PHI = N×M 次元の特徴行列
# Y, T = N×K 次元の行列
gradient_E = numpy.dot(PHI.T, Y - T)
式の書き換え
25. R に「逐語訳」
𝛻𝒘 𝑘
𝐸 𝑾 = 𝑦 𝑛𝑘 − 𝑡 𝑛𝑘 𝝓 𝑛 (k = 1, ⋯ , 𝐾)
𝑁
𝑛=1
𝑨 = 𝒀 − 𝑻, 𝛻𝐸 𝑾 = 𝚽 𝑇
𝑨
• 同様に R での実装例:
# PHI = N×M 次元の特徴行列
# Y, T = N×K 次元の行列
gradient_E <- t(PHI) %*% (Y - T)
