El curso de probabilidades es importante en la cultura del estudiante universitario en las carreras de ingeniería industrial y sistemas para la aplicación e procesos de cálculo, control, prevención y antiscipación, este tema contiene muchos conceptos como dato, muestra, población, media, varianza, desviación estadar, hipótesis, análisis de confiavilidad, etc.

1. CB-402
Probabilidad
Condicional

2. CB-402
Cuatro tipos de probabilidad
Marginal
La probabilidad
de que ocurra
X
Unión
La probabilidad
de que ocurra
X o Y
Conjunta
La probabilidad
de que ocurra
X e Y
Condicional
La probabilidad
de que ocurra
X sabiendo que
ha ocurrido Y
Y
X Y
X
Y
X
P X
( ) P X Y
( )
∪ P X Y
( )
∩ P X Y
( | )

3. CB-402
Probabilidad condicional: “probabilidad de ocurrencia de un evento en un
escenario muy particular”
Ejemplo
Suponga que se lanza un dado.
Existe una clase de escenarios exhaustivos y no traslapados como son: “el
número del dado es par” y “el número del dado es impar”. Entonces bajo la
hipótesis de trabajar con esta clase de escenarios, uno se puede preguntar la
probabilidad de obtener algún determinado número bajo uno de estos
escenarios.
Específicamente:
¿Cuál es la probabilidad de obtener un tres bajo el escenario “el número del
dado es impar”?.
Es decir se está preguntando por la probabilidad de que ocurran ambas
situaciones, a saber : que ocurra el “tres” y que ocurra que “el número del
dado es impar”.

4. CB-402
A
B
A B
∩
Ω
A
B
A B
∩
Nuevo “universo”
referencial
{ } { }
{ }
A
A
B
A
B
Pr
Pr
/
Pr
∩
=
Probabilidad de cualquier suceso B condicionado al escenario A es:
Entonces, P(B | A) “mide” la probabilidad relativa de B con respecto al espacio reducido A

5. CB-402
Ejemplo:
Se tiran dos dados, uno rojo y uno azul, al azar. Se sabe que salió un
número 2 o 3 en el dado rojo. Probabilidad de que la suma de los dos dados
sea 7. Sea:
A = “en el dado rojo salió 2 o 3”
B = “la suma de los dados es 7”
Hallar P(B/A)
Solución
Como el suceso A ocurrió, el espacio muestral
Ω, el cual consta de 36 elementos, se reduce al
conjunto A, el cual consta de 12 elementos:
A = Ω’ = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3.6)}
Los casos favorables al suceso B en Ω’ son 2:
B = {(2,5), (3,4)}

6. CB-402
Influencia del Espacio restringido si B es
condición
A
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,10
B
A
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,08
B

7. CB-402
A
B
A
B
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0
Influencia del Espacio restringido si B es
condición

8. CB-402
Probabilidad condicionada
Una vez A ha ocurrido, ya es seguro:
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
|
( =
=
∩
=
A
P
A
P
A
P
A
A
P
A
A
P
Cuando A y B son excluyentes, una vez ha ocurrido A, B es
imposible:
0
)
(
0
)
(
)
(
)
|
( =
=
∩
=
A
P
A
P
B
A
P
A
B
P

9. CB-402
Probabilidad Condicional
Se respetan los axiomas básicos
i) P(B|A) ≥ 0
ii) P(Ω |A) = 1
iii) Sean B1, B2, … , Bn disjuntos Bi ∩ Bj = ∅ ∀ i ≠j
P( ∪Bi | A) = Σ P( Bi | A)

10. CB-402
Ejemplo
En un congreso hay 100 personas monolingües, 60 hablan inglés y 40 francés.
Casualmente dos personas se encuentran en la cafetería. ¿Qué probabilidad tienen
de entenderse?
Solución

11. CB-402
Regla de la multiplicación
Sea un lote de CD de los cuales se sabe que 10 son defectuosos y 90 sin
defectos. Se toman dos CD al azar, sin sustitución, ¿cuál es la probabilidad
de que ambos sean defectuosos?.
Ejemplo

12. CB-402
Generalización
La fórmula de la multiplicación de las probabilidades puede ser generalizada
al caso de más de dos sucesos. Sean entonces los sucesos A1, A2, …, An. Se
cumple que:

13. CB-402
De una baraja inglesa de 52 cartas se sacan al azar tres cartas
consecutivas, la probabilidad de sacar tres ases seguidos, sin devolución
es:
Ejemplo

14. CB-402
Una persona (o institución) es independiente de otra persona (o institución),
si las decisiones de la primera no son condicionadas por lo que haga o no
haga la segunda persona (o segunda institución). En términos intuitivos, dos
sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta
la ocurrencia del otro. En términos formales, tenemos la definición siguiente:
Independencia de Eventos

15. CB-402
Propiedad de dos eventos independientes
Si A y B son eventos independientes entonces:
a) A y Bc son independientes,
b) Ac y B son independientes,
c) Ac y Bc son independientes.

16. CB-402
Ejemplo
De una urna que contiene 4 bolas blancas y dos bolas rojas, se extraen dos
bolas con reemplazo. Sea A1 el evento. La primera bola es blanca, y A2 el
evento la segunda bola extraída es blanca. Ambos eventos son
independientes (la ocurrencia de un suceso no añade información en el otro
suceso).
Definición: Dos eventos serán dependientes si ellos son no independientes.

17. CB-402
Por lo tanto, puede concluirse que si un evento A es estadísticamente
independiente de B, entonces el evento B es independiente de A y se
verifican las tres relaciones siguientes:
1.- P(A/B)=P(A)
2.- P(B/A)=P(B), y
3.- P (A ∩ B)=P(A)P(B)
Experimentos independientes
DEFINICIÓN: Los eventos A1, A2,....Ak de un espacio muestral S son
estadísticamente independientes si y sólo si la probabilidad conjunta de cualquier
2,3...k de ellos es igual al producto de sus respectivas probabilidades marginales.
•De esta manera, los eventos A, B, y C son mutuamente independientes, sí y sólo
si:
1.- P (A B) = P(A).P(B)
2.- P (A C) = P(A).P(C)
3. -P (A C) = P(B).P(C) y
4. -P (A B C) = P(A).P(B).P(C)
∩
∩
∩
∩
∩
Extensión del concepto de independencia estadística:

18. CB-402
Ejemplo
Se demuestra a continuación que las tres primeras relaciones no implican la
cuarta relación. Sea un tetraedro regular el cual se tira al azar. El resultado lo
representa la cara que coincide con el plano del piso. El tetraedro está
pintado de colores blanco, rojo y azul, tal como muestra la figura:
Sean los sucesos:
A = ”sale color blanco”
B = “sale color azul”
C = ”sale color rojo”
Se tiene:

19. CB-402
Ejemplo
Una clínica tiene nueve pacientes en la sala de espera. De los cuales
3 son adultos, 3 son niños y 3 son ancianos. Cada paciente, de cada
grupo, tiene un número de turno que va de 1 a 3. Además, el paciente
adulto con el turno 1, el niño con el turno 2 y el anciano con el 3 son
del sexo masculino y los demás del sexo femenino.
Sean los sucesos:
A : un adulto
B : con el turno 1
C : de sexo masculino
Donde: P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
Entonces se pueden obtener las relaciones siguientes:
P( A ∩ B ) = 1/9 = P(A) . P(B) ∴ A y B son independientes entre sí
P( A ∩ C ) = 1/9 = P(A) . P(C) ∴ A y C son independientes entre sí
P( B ∩ C ) = 1/9 = P(B) . P(C) ∴ B y C son independientes entre sí
Son independientes en todos los pares posibles. Sin embargo, no son
independientes entre sí tomados los tres a la vez:

20. CB-402
El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis,
mientras que el suplente solo para 5. El portero suplente juega, por
termino medio, 15 minutos en cada partido (90 minutos). Si en un partido
se lanzan tres penaltis contra este equipo, ¿cuál es la probabilidad de que
se paren los tres?
Solución
Ejemplo

21. CB-402

22. CB-402
Una empresa que debe decidir si adquiere un determinado paquete de
acciones, solicita un informe a tres asesores financieros para que se
pronuncien de forma favorable o desfavorable a la compra. Por
experiencias anteriores en operaciones similares, se sabe que los tres
asesores tienen actitudes ante el riesgo diferente e independiente. Esta
situación se refleja en las probabilidades de aconsejar a compra de este tipo
de operaciones que son respectivamente 0.8, 0.5 y 0.3. Con esta
información a priori calcule:
a) La probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje la compra.
b) La probabilidad de que ninguno de ellos aconseje adquirir el paquete de
acciones.
Ejemplo

23. CB-402
Solución
Se definen los siguientes sucesos:

24. CB-402

25. CB-402
EJEMPLO:
Un sistema contiene cinco componentes que
se encuentran conectadas entre sí como se
muestra en la figura, donde las
probabilidades indican la seguridad de que la
componente funcione adecuadamente. Si se
supone que el funcionamiento de una
componente en particular es independiente
del de las demás, ¿Cuál es la probabilidad de
que el sistema trabaje?
A
B
C
D
E
P(B)=0,90 P(D)=0,93
P(C)=0,95 P(E)=0,97
P(A)=0,98
Solución
Establecida la suposición de independencia, el sistema puede trabajar si las
componentes A y B y/o C, y D y/o E lo hacen. De esta manera, la probabilidad
de que el sistema trabaje, P(F), puede expresarse como:
E)
P(D
C)
P(B
P(A)
P(F) ∪
∪
=

26. CB-402
Nótese que:
)
)
E
P(
)
D
P(
-
1
E)
P(D
C
P(
)
B
P(
-
1
C)
P(B
=
∪
=
∪
Por lo tanto,
0,973
5)(0,9979)
0,98)(0,99
(
E)
P(D
C)
P(B
P(A)
P(F) =
=
∪
∪
=
A
B
C
D
E
P(B)=0,90 P(D)=0,93
P(C)=0,95 P(E)=0,97
P(A)=0,98

27. CB-402
Ejercicio

28. CB-402
Ejercicio

29. CB-402
Ley de probabilidad total
A1
A2
A3
An
...
Ω =
Una partición de Ω
A
( )
Pr( ) Pr / Pr( )
i i
A A A A
= ⋅
1
n
i=
∑
Demostración
1
n
i
i
A A A A
=
⎛ ⎞
= ∩Ω = ∩⎜ ⎟
⎝ ⎠
U
1
( )
n
i
i
A A A
=
= ∩
U
( )
1
Pr( ) Pr
n
i
i
A A A
=
= ∩
∑
( )
1
Pr( ) Pr / Pr( )
n
i i
i
A A A A
=
= ⋅
∑

30. CB-402
Ejemplo:
En un salón de clase el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el
10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Qué
porcentaje de fumadores hay en total?

31. CB-402
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
0,7
0,1
0,2
0,3
0,8
0,9
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)
= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7
= 0,13 =13%
T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman
Un Sist. Exh. Excl.
De sucesos
Solución
M∩F
H∩F

32. CB-402
Teorema de Bayes
Supongamos ahora que B ocurre.
.
.
.
A1
A2
A3
An
B
1
Pr( )
A
2
Pr( )
A
3
Pr( )
A
Pr( )
n
A
1
Pr( / )
B A
2
Pr( / )
B A
3
Pr( / )
B A
Pr( / )
n
B A
w
¿Cuál de los sucesos Aj ha ocurrido?
De otra forma, ¿cuál es el valor de con j = 1, ...n?
Pr( / )
j
A B

33. CB-402
.
.
.
A1
A2
A3
An
B
1
Pr( )
A
2
Pr( )
A
3
Pr( )
A
Pr( )
n
A
1
Pr( / )
B A
2
Pr( / )
B A
3
Pr( / )
B A
Pr( / )
n
B A
w
Pr( ) Pr( / ) Pr( )
Pr( / )
Pr( ) Pr( )
j j j
j
A B B A A
A B
B B
∩ ⋅
= =
1
Pr( / ) Pr( )
Pr( / )
( / ) Pr( )
j j
j n
i i
i
B A A
A B
P B A A
=
⋅
=
⋅
∑
Medición del pasado, representado por el evento Aj
Teorema de Bayes

34. CB-402
Interpretación
“B ha ocurrido” se puede pensar que es un hecho determinístico, y por lo
tanto no tiene objeto calcular la probabilidad Pr(B), es decir si B ha
ocurrido entonces Pr(B) = 1. No obstante, el problema cambia
radicalmente si uno expresa “si B ocurre”, y esta es la interpretación
correcta. Por otro lado, las probabilidades asociadas a los eventos Ai son
de tipo a priori, y que a veces de manera arbitraria deben asignarse
puesto que no se tiene información sobre el “pasado”, y que se espera que
van a ser “mejoradas” con la información que puede entregar el suceso
B, de hecho las probabilidades Pr(Ai / B) son llamadas a posteriori.

35. CB-402
Ejemplo:

36. CB-402
Solución

37. CB-402
Cliente
con
corr
sin
equiv
corr
equiv
0,9
0,001
1
0,1
0
0,999
0,9 x 0,001
0,1 x 0

38. CB-402
Ejemplo:
En una sala de una clínica especializada solo se tratan tres tipos de
enfermedades. Se sabe que en promedio ingresan un 50% de pacientes
con la afección K, 30% con la enfermedad L y el resto con la afección M
(datos obtenidos con las estadísticas de los últimos dos años).
Realizando un relevamiento de historias clínicas se dedujo que un 70%
de los ingresados con la enfermedad K se curan, mientras que para L y
M, se obtuvieron 80% y 90% respectivamente. En la fecha, se dio de
alta a un paciente: ¿Cuál es la probabilidad que se haya internado por la
enfermedad K ?

39. CB-402
Solución
Con los datos anteriores se puede armar la tabla
la probabilidad de que el paciente dado de alta haya ingresado con la enfermedad K
es de 45,46%.

40. CB-402
cuadrado
del
Área
de
Área
)
(
B
B
P =
La Probabilidad Geométrica tiene sus inicios en la Francia del siglo XVIII,
desarrollado por el célebre naturalista George Louis Leclerc (1707-1788), mejor
conocido como el conde de Buffon. A la edad de 26 años presentó a los miembros
de la Academia de Ciencias de Paris otra forma de ver la Probabilidad usando
Geometría.
Otras definiciones de probabilidad:
Definición geométrica de probabilidad

41. CB-402
Genaro y Rigoberta se citan entre las 21 y las 22 horas. Ninguno de ellos tiene
la costumbre de ser puntual. Así que, el primero que llega esperará 20
minutos y se irá. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca el encuentro?
}
60
0
,
60
0
:
)
,
{( 2
1
2
1 ≤
≤
≤
≤
= x
x
x
x
E
20
20
20
1
2
2
1
1
2
≤
−
⇒
⎭
⎬
⎫
≤
−
≤
−
x
x
x
x
x
x
60 min
60 min
20 min
20 min
x1
x2
•
• •
•
20
1
2 +
= x
x
20
2
1 +
= x
x
A
9
5
60
40
60
)
(
)
(
)
( 2
2
2
=
−
=
=
E
S
A
S
A
P
Ejemplo:

42. CB-402
Ejemplo:
Solución

43. CB-402
Más ejemplos

44. CB-402
Solución

45. CB-402
Ejemplo

46. CB-402

47. CB-402
Un ladrón es perseguido por un patrullero y al llegar a un determinado cruce se encuentra tres
posibles calles por las que huir (A, B y C), de tal manera que las dos ultimas son tan estrechas
que por ellas no cabe el coche de policía, de lo cual el ladrón no se da cuenta
Si huye por la calle A le atrapan seguro puesto que la final de la misma hay otra patrulla de
policía. Si huye por la calle C se escapa seguro puesto que no está vigilada. Si huye por la
calle B se encontrará que esta se bifurca en dos callejuelas: la BA, que conduce a A y la BC
que conduce a C
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ladrón sea atrapado?
b) Sabiendo que escapó, ¿cuál es la probabilidad de que huyera por la C entrando por la B y
llegando a C por la callejuela BC?
Ladrón
A
B
C
Policía
BA
BC
Policía
Vía
libre
A
B
C
BA
BC
3
1
3
1
3
1 2
1
2
1
a)
Atrapado
Atrapado
Escapa
Escapa
Ejemplo

48. CB-402
[ ]
2
1
=
+
=
×
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
+
×
+
×
=
×
+
+
×
+
×
×
+
+
×
=
6
1
3
1
0
3
1
0
2
1
1
2
1
3
1
1
3
1
C)
en
atraparle
(
C)
(
BC)
en
atraparle
(
BC)
(
BA)
en
atraparle
(
BA)
(
B)
(
A)
en
atraparle
(
A)
(
atraparle)
(
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
b)
3
1
2
1
1
2
1
3
1
escapar)
(
C)
escapar
(
BC)
(
B)
(
BC)
por
escapar
( =
•
•
=
×
×
=
P
P
P
P
P
2
1
2
1
-
1
atrapado)
ser
(
-
1
escapar)
( =
=
= P
P

49. CB-402
Ejercicio
1.Un club consiste de ciento cincuenta miembros. Del total, 3/5 son
hombres y 2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres son no
profesionales.
1. Se elige al azar un socio del club:
a) ¿Qué probabilidad hay de que salga elegida una mujer?
b) Calcule la probabilidad de que sea hombre y profesional.
c) Calcule la probabilidad de que sea hombre, dado que es
profesional.
2. Se eligen cuatro socios al azar y resultan ser mujeres:
a) ¿qué probabilidad hay de que 2 sean NP?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la Sra. X y la Sra. Y no sean
escogidas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la Sra. X sea escogida y la Sra. Y
no sea escogida?