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統計的因果推論への招待 -因果構造探索を中心に-
- 1. 統計的因果推論への招待 - 因果構造探索を中心に - 滋賀大学 データサイエンス学部 大阪大学 産業科学研究所 理化学研究所 AIPセンター 清水昌平
- 2. 出発点 Correlation does not imply causation
- 3. 相関があるからと言って 因果関係があるとは限らない 3 Messerli, (2012), New England Journal of Medicine ノ ー ベ ル 賞 受 賞 者 の 数 相関係数: 0.79 P値 < 0.0001 チョコレート消費量
- 4. 相関関係と因果関係のギャップ 4 チョコ 賞 ?チョコ 賞 or GDP GDP チョコ 賞 or GDP 相関係数 0.79 P値 < 0.0001 複数の因果関係が 同じ相関関係を与える 賞 潜在共通原因 潜在共通原因 潜在共通原因 ギャップ
- 5. 相関と因果の違い • 相関関係 • チョコ消費量が多い国ほど、受賞者が多い • チョコ消費量が多い国と少ない国 の受賞者数を比較 • 異なる国の違い • 因果関係 • チョコ消費量を増やすと、受賞者が増える • 介入して、 ある国のチョコ消費を増やす場合とそのままの場合 の受賞者を比較 • 同じ国の違い • 介入効果 • チョコ消費量を増やすと、受賞者数がどのくらい増えるか (減るか) 5
- 9. • 重症かで投薬するかが決まり • 重症かで治癒するかも決まる • 相関関係と因果関係のギャップを生み出す • Correlation does not imply causation 重症度は共通原因 9 薬 治癒 重症度 潜在共通原因 誤差 誤差
- 10. 共通原因を観測して「調整」(層別） • 線形性を仮定 • 「治癒」を「薬」に単回帰 • 「薬」と「重症度」に重回帰するとゼロになる 10 X:薬 Y:治癒 Z:重症度 潜在共通原因 誤差 誤差yyz xxz ezy ezx 0 )var()var( var )var( ),cov( 2 xxz xzyz ez z x xy xz yz 回帰係数
- 11. 共通原因は複数あることが普通 • wとzを観測して調整 • 回帰の説明変数に入れる • vは入れなくていい • 因果グラフを基に、 どれを入れるか判断 • バックドア基準 • 因果構造を表すグラフが 因果グラフ 11 x y zw u v q 図を修正しました
- 12. 因果グラフが不明なことが多い • 事前知識が足りない • 仮説が十分ない • データの助けがほしい • データから因果グラフを推測: 因果構造探索 12 データ行列X 観測 変 数 推測 x4 x1 x5 x6 x3 x2 ＋仮定
- 13. トークの概要 • 統計的因果推論のフレームワーク • 因果関係を数式で表現 • 因果グラフを基にした介入効果の推定 • 因果グラフの推測 13
- 14. 因果推論の フレームワーク
- 15. 基本となる概念: 反事実 • もし○○だとしたらどうなる？ • 「もしも薬を飲ませたとしたら、治癒するか」 • 「もしも飲まないでもらったとしたら、治癒するか」 15 薬 治癒 治癒せずなし ゼウス ゼウス(個体)について、薬の治癒への介入効果あり
- 16. 因果推論の根本問題 (Holland, 1986, JASA) • 個体における因果は、一般には同定できない • 観測できるのはどちらか一方 16 薬 治癒 ?なし ゼウス 薬を飲ませてしまったら、 薬を飲まないでもらった場合にどうなるかは不明
- 17. 代わりに、集団における因果 • もし集団全員に薬を飲ませた場合 • もし集団全員に薬を飲まないでもらった場合 17 薬 治癒の 割合 治癒の 割合 なし ? 集団 やはり観測できるのはどちらか一方
- 19. Rubinの フレームワーク Imbens and Rubin, 2015
- 20. 新たな変数を導入 • 潜在反応モデル • 2つの場合に治癒するかを表す変数を導入 20 ゼウス 1xy ゼウス 0xy 薬 なしゼウス x=1 x=0 D. B. Rubin. Journal of Educational Psychology, 1974 潜在反応
- 21. 潜在反応の分布が違うか • 確率変数 (潜在反応) 21 1xyp 01 xx yy と 0xyp )(01 のひとつの原因はなら， yxypyp xx
- 22. 実際には両方のデータはとれない 22 x=1 x=0 ゼウス 欠測 アポロン 欠測 ⋮ ⋮⋮ は不明と 01 xx ypyp らが独立」が成り立つなとが独立」かつ「と「 xyxy xx 01 xypyp xypyp xx xx | | 00 11 欠測データ 欠測データから 推定可能 (ランダム化実験では成り立つ) 11 xy 00 xy
- 23. Pearlの フレームワーク J. Pearl. Causality, 2nd ed. 2009
- 24. doという介入を表す記号を導入 • 介入do(x=1)をした集団と • 介入do(x=0)をした集団を比較 24 )1(| xdoyp )0(| xdoyp )()1(|)1(| のひとつの原因はなら， yxxdoypxdoyp
- 25. 介入をした集団とは • 介入前のデータ生成過程を方程式で表す • 介入do(x=1)すると新しい集団ができる 25 ),,( , yy xx ezxgy ezgx x y xe ye z 構造方程式 因果グラフ ),,( 1 yy ezxgy x x yye z 構造方程式 因果グラフ 1 )1(| xdoyp
- 26. 定量化: 平均因果効果 • 変数xの値を0から1に変化させた時に、 変数yの値が平均的にどのくらい変化するか • 因果の大きさを知りたいなら 相関係数ではなく、平均因果効果を計算する 01:)( xx yEyE因果効果平均 26 0|1| xdoyExdoyE
- 27. 予測との目的の違い • 予測 • 何かを観測したとき、他の何かはどのくらいか？ • 薬を飲むのを観測した時、治癒する確率は？ • 推定したい量: • 条件付き期待値: E( 治癒 | 薬=飲む) • 因果 • 何かを変化させると、他の何かがどう変化するか • 薬を飲ませると、治癒する確率はどう変わる？ • 推定したい量： • 介入効果: E[ 治癒 | do( 薬 = 飲む ) ] – E[ 治癒 | do( 薬 = 飲まない ) ] 27
- 29. 対処したいこと: 交絡 • 交絡: 介入後の分布と条件付き分布が異なる • そのときは、平均も異なる • 交絡が起きるのはいつか • 潜在共通原因があるとき • 選択バイアス • 異質な集団の混合など 29 1|)1(| xypxdoyp 1|)1(| xyExdoyE
- 30. • 非巡回有向グラフを基に、どの変数で調整すべき かを判定するための基準 • 十分条件の例: xの親をすべて 観測して調整 よりどころ: バックドア基準 30 x:薬 y:治癒 z: 重症度 共通原因 み治癒する人の割合軽症の人の中で薬を飲軽症の人の割合 み治癒する人の割合重症の人の中で薬を飲重症の人の割合 重症度薬飲む治癒 の親 重症度 の親 ,| ,1|)1|( EE xxyEExdoyE x バックドア基準を基に変数を選び調整すると、 条件付き分布から介入した後の分布を推定可能
- 31. ランダム化実験の因果グラフ 1|1| xyExdoyE 31 • xの値はランダムに決めるため、親変数なし J. Pearl. Biometrika, 1995 M. H. Maathuis and D. Colombo. Annals of Statistics, 2015 バックドア基準の論文 共通原因 共通原因 (x=0の場合も同じ) x:薬 y:治癒 z: 重症度 x:薬 y:治癒 z: 重症度
- 32. 因果グラフの推測 因果探索 Spirtes, Glymour, Shceines, 2001 (2nd ed)
- 33. 基本アイデア • 因果グラフの構造に仮定をおく • 非巡回有向グラフ • 潜在共通原因なし(すべて観測されている) • その場合に、観測変数の分布に成り立つはずの 特性を理論的に導く • 実際にデータで成り立つ特性と照らし合わせて、 つじつまの(最も)合うグラフを推測 33
- 34. 非巡回有向グラフを探索 • 3変数の場合の因果グラフ候補 • 識別性 • データから正しいグラフを見つけられるのか？ • 計算負荷 • 総当たりで探すのは困難(8変数ぐらいで不可能に) 34
- 35. 35 因果的マルコフ条件 • 各変数 𝑥𝑖 は、親で条件付けると非子孫と独立 • 因果グラフの構造と条件付き独立性の対応 x3 x1 e3 e1 x2 e2 条件付き独立性 𝒙 𝟐と𝒙 𝟑が独立 | 𝒙 𝟏 のみ 因果グラフ J. Pearl and T. Verma. Proc. 2nd International Conference on Principles of Knowledge Representation and Reasoning, 1991.
- 36. 忠実性 • 変数間の独立性・条件付き独立性の 有無は、グラフ構造のみによって決まる • 「因果的マルコフ条件から導かれる独立性」 のみが成り立つことを保証: 「例外」の排除 36 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 -1 1 0),cov( 31 xx 3213 212 11 exxx exx ex
- 37. 因果的マルコフ条件を用いて探索 37 x3 x1 x2 成り立つ条件付き独立性 「 𝒙 𝟐と𝒙 𝟑が独立 | 𝒙 𝟏」 データXが 生成される x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 正 同じ条件付き独立性を 与える因果グラフを列挙 まとめる 復元できない (識別できない) ここまで が限界 のみ
- 38. 一意に決まる例 38 x3 x1 x2 データXが 生成される 正 復元できる (識別できる) x3 x1 x2 は独立」と「 32 xx ひとつだけ 成り立つ条件付き独立性 のみ 同じ条件付き独立性を 与える因果グラフを列挙 V字合流
- 39. 同じ条件付き独立性を与える 因果グラフの集合: 同値類 • 非巡回有向グラフ • 有向辺の有無は共通 • V字合流は共通 39 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x2 x1 V字合流 x2とx3は独立 しかし， x1で条件づける と従属
- 40. 2種類の探索アプローチ • 制約ベースの探索 • 制約: 観測変数の条件付き独立性 • 仮説検定で有無 • 制約を満たす因果グラフ • スコアベースの探索 • 制約を全体的に最も満たす因果グラフ • 情報量基準(BICなど)で評価 • 目的 • 正しい因果グラフを含む同値類を見つける 40 P. Spirtes and C. Glymour. Social Science Computer Review, 1991. D. M. Chickering. Journal of Machine Learning Research, 2002.
- 41. 拡張など • 巡回グラフを含めた同値類 (Richardson96UAI) • 潜在共通原因を含めた同値類 (Spirtes+95UAI) • 介入効果の範囲 41 x y ｆ w z x yw z x y ｆ1 w z ｆ2 F. Eberhardt CRM Workshop 2016より D. Malinsky and P. Spirtes, International J. Approximate Reasoning, 2017 M.H. Maathuis, M. Kalisch, and P. Bühlmann. Annals of Statistics, 2009
- 42. 因果探索 関数形にも仮定を入れてみる 線形性や加法性など 清水昌平, 2017 Chap. 7: S. Shimizu Chap. 8: K. Zhang and A. Hyvarinen
- 43. 関数形にも仮定を入れてみる • 因果的マルコフ条件以外にも利用可能な情報 • 条件付き独立性だけでなく分布の違いを利用 • 線形性＋非ガウス分布 43 x1 x2 x1 x2 観測変数x1,x2の 分布が違う (条件付き独立性に違いはない)
- 44. 44 • 非巡回有向グラフ • 関数形は線形 • 誤差変数𝑒𝑖は独立 • 誤差変数𝑒𝑖の分布が非ガウス連続分布 LiNGAMモデル Linear Non-Gaussian Acyclic Model (Shimizu+06JMLR) i xx jiji exbx ij )(pa x1 x2 x3 21b 23b13b 2e 3e 1e 因果グラフ 識別可能
- 45. 誤差変数𝑒𝑖の非ガウス性と独立性が どう役立つか？ 45 21212 11 exbx ex x1 x2 e1 e2 正しいモデル 結果x2を原因x1に回帰 原因x1を結果x2に回帰 2 1212 1 1 12 2 )1( 2 )var( ),cov( e xbx x x xx xr は独立と )1( 211 )( rex 残差 )var( var )var( ),cov( 1 )var( ),cov( 2 121 1 2 2121 2 2 21 1 )2( 1 x xb e x xxb x x xx xr はと )2( 121212 )( reebx 2e 従属 021 b ガウスだと 無相関＝独立
- 46. • は最初: どの変数の子にもならない • LiNGAMモデルにおいて 因果的順番が最初の変数の同定 (Shimizu et al., 2011, J. Machine Learning Research) 46 定理1: 「 は その残差 のどれとも独立 ( は 以外全部)」 「 は最初」 j j ji i j i x x xx xr )var( )cov( , jx jxi j jx x3 x1 x2 x3 x1 x2
- 47. 推定法の例 (Shimizu et al., 2011, J. Machine Learning Research) • 因果順序の上から下へ順に推定 • １番上を見つけて、残差を計算 • 残差もLiNGAMモデル • 因果関係は変わらない 47 2 1 3 2 1 3 2 1 3 03.10 005.1 000 e e e x x x x x x 0 0 0 0 0 0 00 2 1 )3( 2 )3( 1 )3( 2 )3( 1 03.1 00 e e r r r r 0 0 )3( 2r)3( 1rx3 x1 x2 0
- 48. 相互情報量の差=非ガウス性の差 (Hyvarinen & Smith, 2013, J. Machine Learning Research) • 正なら，𝑥1と𝑟2 (1) の方が𝑥2と𝑟1 (2) より独立 (𝑥1 𝑥2) • 負なら，反対 (𝑥1 ← 𝑥2) • 相互情報量の代わりに，1次元のエントロピーを計算 • Hを最大エントロピー近似 (Hyvarinen, 1999) 48 )( )( )( )(),(),( )2( 1 )2( 1 2)1( 2 )1( 2 1 )2( 12 )1( 21 rsd r HxH rsd r HxHrxIrxI
- 49. 49 • 「非線形＋加法誤差」のモデル • いくつかの非線形性と誤差変数の分布の組み合わせを 除いて識別可能 (Zhang+09UAI; Peters+14JMLR) • 下から推定 (Mooij+ICML09) 非線形モデル iiiii iiii i x jiji exffx exfx exfx i の親 の親 の親 1, 1 2, -- Hoyer+08NIPS -- Zhang+09UAI 1. 2. 3. -- Imoto+02; Buhlman+14AS
- 50. 拡張
- 51. 巡回性のあるLiNGAMモデル (Lacerda et al., UAI08) • モデル: • 識別性の条件 • B=[bij]の固有値の絶対値が１以下(平衡状態にある) • ループ(閉路)が交わらない • 自己ループなし x1 x2 e1 e2 x5 e5 x4e4 x3e3 51 i ij jiji exbx 例えば、二変数の場合は識別できる x1e1 x2e2
- 52. 時系列 • サブサンプリング: 低解像度データ • SVAR: 構造型自己回帰モデル (Swanson & Granger, 1997) • 非ガウス独立 (Hyvarinen et al., 2010, JMLR) • 「間」を復元 (Gong et al., ICML15) • 非定常 (Huang et al., IJCAI15) • 平均や係数が時間的に滑らかに変化 )()()( 0 ttt k exBx 52
- 53. i ij jij Q q qiqi exbfx 1 • 潜在共通原因 を追加 (非ガウス) 潜在共通原因がある場合の LiNGAMモデル (Hoyer+08IJAR) 53 ただし は独立(WLG)),,1( Qqfq qf x1 x2 2e1e 1f 2f • 推定 • 潜在共通原因の数を陽に (Hoyer+08IJAR;Henao+10JMLR) • 陰に (Shimizu+14JMLR)
- 54. 線形の場合は 独立としても一般性を失わない 独立な潜在共通原因 i ij jij Q q qiqii exbfx 1 54 x1 x2 2e1e 1f e 2f e x1 x2 2e1e 1 :1 f ef 2 :2 f ef 1f 2f 従属な潜在共通原因 2 1 2221 11 2221 11 2 1 00 2 1 f f aa a e e aa a f f f f
- 55. おわりに
- 56. 因果推論は介入効果を推定 • 介入効果予測の汎化誤差を最小に • 数理的フレームワーク: 因果関係を式で書く • 因果グラフが既知の場合の介入効果の推定 • 因果グラフの推測 • 今後: 潜在共通原因がある場合への対処 (本丸) • リンク集 (論文やコード) • https://sites.google.com/site/sshimizu06/home/lingam papers 56