https://www.acmicpc.net/problem/1492 "합" 문제 풀이입니다.

1. acmicpc.net 1492번 풀이
장홍준
hongjun7@korea.ac.kr

2. • 1 𝐾
+2 𝐾
+3 𝐾
+…+𝑁 𝐾
를 1000000007로 나눈 나머지
• 1 ≤ 𝑁 ≤ 109
• 1 ≤ 𝐾 ≤ 50
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3. • 각 항을 모두 계산하는 O(NK)의 방법
• 𝑁𝐾 ≤ 5 × 1010
• 시간초과!
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4. • 만약에 K가 1이라면?...
• 1+2+3+…+N = N(N+1)/2
• 깔끔한 일반식이 등장했다.
• 만약에 K가 2라면?...
• 12
+22
+32
+…+𝑁2
=(N+1)(N+2)(2N+1)/6
• 일반식을 구해서 풀면 되겠다!
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5. • https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula
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6. 𝑓(𝑥) = 1 𝑥
+2 𝑥
+3 𝑥
+…+𝑁 𝑥
라고 하면,
𝑛 + 1 𝑘+1
− 1 =
𝑝=0
𝑘
𝑘 + 1
𝑝
𝑓 𝑝
𝑓 𝑘 =
𝑛 + 1 𝑘+1
− 1 − 𝑝=0
𝑘−1 𝑘+1
𝑝
𝑓 𝑝
𝑘+1
𝑘
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7. 𝑓 𝑥 를 1000000007로 나눈 나머지 값을 구해야 하는데
𝑓 𝑘 =
𝑛 + 1 𝑘+1 − 1 − 𝑝=0
𝑘−1 𝑘+1
𝑝
𝑓 𝑝
𝑘+1
𝑘
분모에 저 𝑘+1
𝑘
은 어떻게 할까?
곱셈의 역원을 곱해주자!
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8. p = 1000000007이 소수이므로 오일러의 정리에 의해서
P와 서로소인 정수 𝑎 에 대해 𝑎 𝑝−1
≡ 1(mod p)
따라서 𝑎 𝑝−2
을 X에 곱하면 X/ 𝑎 (mod p)가 구해지겠구나!
𝑓 𝑘 = 𝑛 + 1 𝑘+1
− 1 −
𝑝=0
𝑘−1
𝑘 + 1
𝑝
𝑓 𝑝 ×
𝑘 + 1
𝑘
𝑝−2
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9. 조합(Combination)은 파스칼 삼각형으로 구하면 편해요.
𝑎 𝑏을 빠르게 계산하기 위해 다음과 같은 방법을 쓰세요.
Power(a, b) {
if (b == 0) return 1;
if (b == 1) return a % mod;
x = Power(a, b/2);
if (b&1) return a*((x*x) % mod) % mod;
return (x*x) % mod;
}
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10. http://ideone.com/vP5eFY
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