теория вероятностей учебное пособие

Соловьева Л.А.
Теория вероятностей
Учебное пособие
Самара, 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ВВЕДЕНИЕ
Данное учебное пособие предназначено для студентов высших и средних специальных учебных заведений.
Пособие состоит из 12 глав. В начале каждой главы приведена краткая сводка теоретических сведений и
формул, необходимых для решения задач, помещённых в главе. Задачи весьма различны по трудности. Среди
них есть как задачи, предназначенные для простого приобретения навыков применения готовых формул и тео-
рем, так и более сложные. Все задачи снабжены ответами, а многие и решениями.
Пособие составлялось с учётом требований государственного образовательного стандарта.
Для закрепления навыков по решению задач студенту необходимо внимательно изучить курс лекций по
теории вероятностей и в процессе работы использовать рекомендуемую литературу.
Список используемой литературы.
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986.
3. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа,
1982.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1987.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988.
6. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука, 1980.
7. Прохоров А.В., Ушаков В.Г. Задачи по теории вероятностей. - М.: Наука, 1986.
8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи по теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983.
9. Володин Б.Г., Ганин М.П. и др. Руководство для инженеров по решению задач теории вероятностей. - Л.:
Изд-во судостроительной промышленности, 1962.
10. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969.
Оглавление.
§1 Непосредственный подсчёт вероятностей.
§2 Теоремы сложения и умножения вероятностей.
§3 Формулы полной вероятности и Бейеса.
§4 Дискретные и непрерывные случайные величины, законы распределения и числовые характеристики.
§5 Биномиальное распределение и закон Пуассона.
§6 Нормальный закон распределения. Закон равномерной плотности.
§7 Системы случайных величин.
§8 Нормальный закон распределения системы двух случайных величин.
§9 Функции случайных аргументов, их числовые характеристики.
§10 Случайные функции, их характеристики.
§11 Линейные преобразования случайных функций, производная и интеграл от случайной функции.
§12 Стационарные случайные процессы, их основные характеристики. Спектральное разложение стационарного
процесса.

§1 Непосредственный подсчет
вероятностей.
Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к
общему числу n всех несовместных равновозможных исходов, т.е. P(A)=
m
n
. Это классическое определение ве-
роятности случайного события.
1.1. По линии связи передаются дискретные сообщения, состоящие из 3 символов -1,0,1. Принято
одно сообщение. Какова вероятность того, что это сообщение начинается с 1,если все сообщения равновероят-
ны?
РЕШЕНИЕ:
Событие А – сообщение начинается с 1.
Возможны 3 исхода:
1) сообщение начинается с -1
2) сообщение начинается с 0
3) сообщение начинается с 1
n=3. Благоприятствующий исход только один (m=1)
P(А)=
m
n
=
1
3
1.2. Буквы образующие слова «Теория вероятностей» перемешаны и наугад извлекается одна буква. Найти
вероятность того, что эта буква гласная.
РЕШЕНИЕ:
Событие А — буква гласная
Общее число исходов n=18 (число букв в словах).
Число благоприятствующих исходов m=9
Р(А) =
m
n
=
9
18
=
1
2
1.3. На приемник поступают кодовые комбинации, состоящие из двух знаков 0 и 1. Появления 0 и 1 счи-
таются равновероятными. Какова вероятность события А — в первой кодовой комбинации будет хотя бы один
0?
РЕШЕНИЕ:
Возможные исходы: 01, 10, 11, 00.
Общее число исходов n=4,
Благоприятствующих исходов m=3
P(A)=
m
n
=
3
4
.
1.4. Бросается игральная кость. Чему равны вероятности следующих событий: А – выпадет грань с 6 очка-
ми, В – выпадет грань с четным числом очков, С – выпадет грань с числом очков, делящимся на 3 ?
РЕШЕНИЕ:
На выпавшей грани может появится одно очко, два, три, четыре, пять, шесть. N=6. Событию А благопри-
ятствует только один исход, событию В – 3 исхода, событию С–2 исхода. Таким образом, Р(А)=
1
6
, P(B)=
3
6
=
1
2
,
P(С)=
2
6
=
1
3

1.5. Одновременно бросаются 2 игральные кости, определить вероятность того, что выпадет сумма
очков равная 5.
РЕШЕНИЕ:
Событие А- выпадет сумма очков равная 5.
Различных исходов в этой задаче n=36.
В интересующее нас событие А входят 4 исхода
Номер исхода 1 2 3 4
Очки на 1-й кости 1 2 3 4 , т.е. m = 4
Очки на 2-й кости 4 3 2 1
P(A)=
m
n
=
4
36
=
1
9
.
1.6. Наудачу выбирается 5-значное число. Какова вероятность следующих событий: а) число читается оди-
наково как слева направо, так и справа налево (как например: 15451); б) число кратно пяти; в) число состоит из
нечетных цифр.
РЕШЕНИЕ:
а) пятизначных чисел n=99999-9999=90000 (от 1 до последнего пятизначного числа 99999 чисел и от 1 до
последнего четырехзначного 9999). Первой может быть любая из 9 цифр: 1, 2,…,9, второй и третьей — любые
из 10 цифр: 0, 1, 2,…,9, а четвертая и пятая такие же, как вторая и первая соответственно, т.е.
m=9⋅10⋅10⋅1⋅1=900.
Р(А)=
m
n
=
900
90000
=
1
100
.
б) первая цифра любая из 9: 1, 2, 3,…9, вторая, третья и четвертая — любая из 10: 0, 1, 2,…,9; а пятая —
любая из двух: 5, 0. (по признаку делимости на 5), т.е. m=9⋅10⋅10⋅10⋅2=18000, Р(А)=
m
n
=
18000
90000
=
1
5
.
в) все 5 цифр числа — любые из 5 нечетных: 1, 3, 5, 7, 9
m=5⋅5⋅5⋅5⋅5=3125
P(A)=
m
n
=
3125
90000
=
5
144
.
1.7. В партии из 10 резисторов 4 бракованных. Какова вероятность того, что два наугад выбранных рези-
стора окажутся бракованными?
РЕШЕНИЕ:
Событие А — два резистора бракованные
Под исходом здесь следует понимать выбор двух резисторов из 10. Порядок выбора нас не интересует, по-
этому общее число исходов равно n=С2
10
Число исходов благоприятствующих данному событию А m=C2
4
Р(А)=
m
n
=
2222
2222
10
4
C
С
=
2
15
1.8. На 8 одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 8, 12, 7, 11, 13. Наугад берутся 2
карточки. Определить вероятность того, что из двух полученных чисел дробь сократима.
РЕШЕНИЕ:

Под исходом здесь следует понимать выбор 2 чисел из 8. Порядок выбора нас не интересует, поэтому об-
щее число исходов равно С2
8
Из 8 данных чисел сократимы пять: 2, 4, 6, 8, 12.
Следовательно число исходов благоприятствующих интересующему событию, равно С2
5 


8=5+3
2=2+0 и ис-
комая вероятность Р(A)=
C2
5
C2
8
=
5
14
1.9. Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, 5 второкурсников и 7
третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на предстоящую конференцию. Найти вероят-
ности следующих событий: А — будут выбраны одни третьекурсники, В — будет выбран следующий состав: 1
первокурсник, 2 второкурсника и 2 третьекурсника; С — все первокурсники попадут на конференцию; D — не
будет выбрано ни одного второкурсника.
РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь следует понимать выбор 5 человек из 15 (3+5+7).
Порядок выбора не интересует, поэтому общее число исходов n=C5
15
15=7+8
A: 5=5+0 mA = C5
7
P(A)=
mA
n
=
C5
7
C5
15
=
1
143
15=3+5+7
B: 5=1+2+2 mB = C1
3 ⋅C2
5 ⋅C2
7
P(B)=
mB
n
=
C3
1
5
2
7
2
15
5
⋅ ⋅C C
C
=
30
143
15=3+12
C: 5=3+2 mC = C3
3
⋅C2
12
=1⋅C2
12
= C2
12
P(C)=
C2
12
C2
15
=
2
91
15=5+10
D:5=0+5 mD = C5
10
P(D)=
mD
n
=
C5
10
C5
15
=
12
143
1.10. Владелец одной карточки лотереи ,,Спортлото,, (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность
того, что им будет угадано: а) все 6 номеров в очередном тираже; б) 5 или 6; в) по крайней мере 3 номера?
РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь понимаем выбор любых 6 номеров из 49. Порядок выбора нас не интересует, поэтому
общее число различных исходов равно С 6
49
=
49!
6! 43!
=13.983.816.
49=6+43
угадано 6 номеров: 6=6+0
угадано 5 номеров: 6=5+1
угадано 4 номера: 6=4+2

угадано 3 номера: 6=3+3
Событие А состоит из одного исхода (m1=1), событие В состоит из
1+С5
6
⋅С 1
43
=1+
6!⋅43
5!⋅
=259 (m2=259) исходов, событие С состоит из
1+258+С4
6⋅C 2
43+C3
6⋅C 3
43=1 + 258 + 13545 + 246820 = 260624 исходов
Вероятности интересующих нас событий будут:
Р(A)=
m1
n
=
1
C 6
49
=
1
13.983.816
≈ 0,00000007
Р(B)=
m2
n
=
1+C5
6
⋅C 1
43
C 6
49
=
259
13.983.816
=0,0000185
Р(C)=
m3
n
=
1+C5
6 ⋅C 1
43 +C4
6 ⋅C 2
43 +C3
6 ⋅C 3
43
C 6
49
=
260.624
13.983.816
≈0,0186
1.11. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня, что эти цифры различные,
набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь следует понимать появление упорядоченной выборки без повторений из 10 цифр (0,1,
... ,9) по 3. Число таких выборок
n=À3
10
=
10!
7!
=720. Благоприятствующий исход m=1.
P(A)=
m
n
=
1
720
.
1.12. Для испытания буквопечатающего телеграфного аппарата на линии в случайном порядке передают-
ся все знаки алфавита — 30 знаков. Знаки выбираются независимо и с равной вероятностью. Какова веро-
ятность того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово «радио»?
РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь следует понимать появление упорядоченной выборки без повторений из 30 по 5, по-
этому общее число исходов равно
n = А5
30 = 30⋅29⋅28⋅27⋅26=17100720.
Число исходов, благоприятствующих данному событию, m=1.
и Р(A)=
m
n
=
1
A5
30
=
1
17100720
.
1.13. Зенитная батарея, состоящая из n орудий производит залп по группе, состоящей из m самолетов.
Каждое из орудий выбирает себе цель независимо от остальных. Найти вероятность того, что все орудия вы-
стрелят по одному самолету.
РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь следует понимать выбор из m самолетов по n штук, причем важен порядок выбора и
элементы из m штук могут повторяться, поэтому общее число исходов равноАn
m
=mn
.
Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию - m (все выбрали 1 самолет, 2-ой и т.д.
m-ый).

P(A)=
m
An
m
=
m
mn =
1
mn-1 .
1.14. 10 студентов условились ехать определенным электропоездом, но не договорились о вагоне. Какова ве-
роятность того, что ни один из них не встретится с другим, если в составе электропоезда 10 вагонов. Предпола-
гается, что все возможные распределения студентов по вагонам равновероятны. РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь следует понимать выбор из 10 вагонов по 10, порядок выбора важен и вагоны могут
повторяться, поэтому общее число исходов равно А10
10
=1010
Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию m=А10
10 =P10=10!
Р(A)=
m
n
=
P10
A10
10
=
10!
1010 ≈ 0,00036
1.15. Какова вероятность того, что в группе из 24 студентов хотя бы у двоих совпадут дни рождения?
(Для простоты предполагается, что 29 февраля не является днем рождения.)
РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь следует понимать выбор из 365 дней в году по 24, порядок выбора имеет значение и
дни могут быть одинаковыми, поэтому общее число исходов равно A24
365
=36524
.
Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию m=A24
365 — A24
365
P(A)=
A24
365 - A24
365
A24
365
=1 -
A24
365
A24
365
=1 -
365!
341! 36524
1.16. Цифры 1,2,3,4,5 написаны на карточках и тщательно перемешаны. а) Случайным образом эти карточ-
ки разложены в ряд. Какова вероятность того, что получим четное число; б) наугад последовательно выбирают-
ся 3 карточки, и вынутые таким образом цифры становятся слева направо. Найти вероятность того, что полу-
ченное при этом трехзначное число будет четным.
РЕШЕНИЕ:
а) Под исходом здесь следует понимать число перестановок из 5 элементов, т.е. общее число исходов n=P5
=5!
Благоприятствующими будут следующие исходы:
1) последняя цифра 2, а остальные 4 могут быть из 4 оставшихся.
или
2) последняя - 4, а остальные 4 из 4 оставшихся, отсюда m=P4+P4=4!+4!
P(A)=
P4+P4
P5
=
4!+4!
5!
=
2⋅4!
5!
=
2
5
б) Под исходом здесь следует понимать число размещений без повторений из 5 по 3, т.е. n=A3
5
=5⋅4⋅3=60
Благоприятствующие исходы:
1) последняя цифра - 2, а 2 остальные из 4 оставшихся,
или
2) последняя цифра - 4, а 2 остальные из 4 оставшихся, т.е.
m=A2
4 +A2
4 =4⋅3+4⋅3=24
P(B)=
A2
4
+A2
4
A3
5
=
24
60
=
2
5
1.17. 10 книг на полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом 3 определенные книги
окажутся рядом.

РЕШЕНИЕ:
n=P10=10!
Чтобы подсчитать число благоприятствующих исходов, надо считать три определенные книги, которые
должны быть рядом, одной книгой, и тогда фактически мы переставляем не 10, а 8 книг; но 3 определенные
книги также можно переставлять P3 способами, получаем m=P3⋅P8=3!8!
P(A) =
m
n
=
P3⋅P8
P10
=
3! 8!
10!
=
1
15
1.18. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Л, И, Л, И, Я. Найти вероятность того, что, выкладывая
эти карточки случайным образом, получим слово «ЛИЛИЯ»
РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь следует понимать число перестановок с повторениями из 3 элементов (Л, И, Я)
n = P(2, 2, 1) =
(2+2+1)!
2! 2! 1!
=
5!
2⋅2
= 30 m = 1
P(A) =
1
P(2,2,1)
=
1
30
1.19. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что номера
состоят из 7 цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий:
А — четыре последние цифры телефонного номера одинаковы; В — все цифры различны; С — номер
начинается с цифры 5; D — номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2.
РЕШЕНИЕ:
Под исходом здесь следует понимать появление определенной выборки 7 цифр из 10 (0, 1, 2, 3, …, 9). Вы-
борка упорядоченная с возможными повторениями элементов. Число таких выборок n = A7
10
=107
.
Событие А наступит, когда 4 последних цифры номера одинаковы (любые из 10 возможных), а 3 первых
цифры образуют упорядоченную выборку с возможными повторениями элементов из 10 по 3. Отсюда mA=А3
10
⋅10⋅1⋅1⋅1=103
⋅10=104
.
Р(А) =
mA
n
=
A3
10 ⋅10
A7
10
=
104
107 = 0,001
Событие В наступит, когда все 7 цифр номера разные, т.е. повторений не может быть и mВ=А7
10 , Р(В)=
mB
n
=
А7
10
А7
10
=
10!
3!⋅107 ≈0,0605.
Событие С наступит, когда номер начинается с цифры 5, а 6 остальных образуют упорядоченную выборку
с возможными повторениями элементов
из 10 элементов по 6.
mC=А6
10 ,
Р(С)=
mC
n
=
А6
10
А7
10
=
106
107 =0,1.
Событие D наступит, когда номер образует перестановку с повторениями из цифр 5, 1 и 2, причем первых
3, вторых —2, третьих —2.
mD=Р(3, 2, 2)=
(3+2+2)!
3! 2! 2!
=210
Р(D)=
mD
n
=
210
107 =2,1⋅10-5
=0,000021

1.20. Бросили 2 игральные кости и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее: получить в сумме 7
или 8 очков?
ОТВЕТ: P1=
6
36
>P2=
5
36
1.21. Найти вероятность того, что, если из 14 дней: понедельник, вторник, среда, …, воскресенье, поне-
дельник, вторник, среда, …, воскресенье произвольным образом выбрать два соседних, то среди них будет
вторник.
ОТВЕТ:
4
13
1.22. Какова вероятность того, что в январе наудачу выбранного года окажется ровно 5 воскресений?
ОТВЕТ: P =
3
7
, указание: надо рассмотреть 7 случаев: 1 января — понедельник, 1 января — вторник… 1
января — воскресенье.
1.23. Известно, что в школе с 900 учащимися имеется 60 учеников, которые по всем предметам имеют от-
личные оценки, 180 учеников только по одному предмету имеют хорошую или удовлетворительную оценку, а
по остальным отличные, 150 учащихся не имеют ни одной отличной оценки, а 20 учащихся имеют отличные
оценки по всем предметам кроме одного, по которому у них оценка неудовлетворительная. Чему равны вероят-
ности встретить учащегося этой школы: А - увидеть отличника, В - учащегося, у которого хотя бы по одному
предмету имеется отличная оценка, С - учащегося, у которого только по одному предмету нет отличной оценки?
ОТВЕТ:
1
15
,
5
6
,
2
9
.
1.24. Задумано двузначное число, цифры которого различны . Найти вероятность того, что окажется равным
задуманному числу:
а) случайно названное двузначное число, б) случайно названное число, цифры которого различны.
ОТВЕТ:
1
90
,
1
81
.
1.25. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы и получил 2 вопроса, наудачу выбранных
из 25. Найти вероятность того, что студент: а) знает оба вопроса; б) знает один вопрос из двух предложенных; в)
не знает оба эти вопроса.
ОТВЕТЫ: а)
C2
20
C2
25
=
19
30
, б)
C1
20 ⋅C1
5
C2
25
=
1
3
, в)
C2
5
C2
25
=
1
30
.
1.26. В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные части. Какова
вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?
ОТВЕТ:
C5
10 C15
30
C20
40
=
1
39365040
1.27. В ящике имеются 10 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимаются 3 из них. Какой состав шаров по
цвету извлечь наиболее вероятно?
ОТВЕТ: наиболее вероятно появление двух белых и одного черного шара, Р=
C 2
10
⋅C1
5
C 3
15
≈0,494
1.28. Имеются 5 билетов стоимостью по одному рублю, 3 билета по 3 рубля и 2 билета по 5 рублей. Наугад
берутся 3 билета. Определить вероятность того, что: а) все три билета имеют разную стоимость; б) хотя бы 2 из
этих билетов имеют одинаковую стоимость; в) все три билета стоят 7 рублей.

ОТВЕТЫ: а)
С1
5
⋅C1
3
⋅C1
2
C3
10
=
1
4
, б)
C 3
10
- C1
5
⋅C1
3
⋅C1
2
C3
10
=
3
4
, в)
C1
5
⋅C2
3
+C2
5
⋅C1
2
C3
10
=
7
24
1.29. Из 10 билетов выигранными являются 2. Определить вероятности того, что среди взятых наудачу 5 би-
летов: а) 1 выигрышный; б) оба выигрышных; в) нет выигрышных.
ОТВЕТЫ: а)
С1
2
⋅C4
8
C5
10
=
5
9
б)
C5
10
3
8C
=
2
9
в)
C5
8
C5
10
=
2
9
1.30. Найти вероятность того, что произвольным образом выбранные из слова «АЗИМУТ» буквы в порядке
их следования составят слово «ЗИМА»?
ОТВЕТ:
1
A4
6
=
1
360
1.31. Пяти полевым радиостанциям разрешено во время учений работать на 6 радиоволнах. Выбор волны
на каждой станции производился наудачу. Найти вероятности следующих событий: А = {при одновременной
работе всех 5 радиостанций все волны совпадут}; В = {хотя бы две волны не совпадут}; С = {будут использо-
ваны различные радиоволны}.
ОТВЕТ: а)
6
A5
6
=
1
1296
б)
A5
6 - 6
A5
6
=
1295
1296
в)
6⋅P5
A5
6
=
5
54
1.32. 10 вариантов контрольной работы, написанные каждый на отдельной карточке, перемешиваются и
распределяются случайным образом среди 8 студентов, сидящих в одном ряду, причем каждый получает по од-
ному варианту. Найти вероятности следующих событий: А — варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользо-
ванными. В.— будут распределены последовательные номера вариантов.
ОТВЕТ: Р(А)=
Р8
А8
10
=
1
45
, Р(В)=
3⋅Р8
А8
10
=
1
15
.
Указание: возможны 3 случая: распределены варианты с 1 по 8, со 2 по 9 и с 3 по 10.
1.33. Код радиолокационной системы опознавания самолетов (свой—чужой) составляется в виде комбина-
ции из тире и точек, общее число которых берется одинаковым и равным 4. Определить вероятность подделки
кода противника, если установить на своем самолете наугад некоторую четырехзначную кодовую комбинацию
из тире и точек.
ОТВЕТ:
1
А4
2
=
1
16
.
1.34. На 6 одинаковых карточках написаны буквы а, н, а, н, а, с. Найти вероятность того, что выкладывая
эти карточки случайным образом, получим слово «АНАНАС»?
ОТВЕТ:
1
Р(3, 2,1)
=
1
60
.

§ 2 Теоремы сложения и умножения вероятностей
Для любых двух событий А и В справедливы формулы Р(А⋅В)=Р(А)⋅Р(В/А)=Р(В)⋅Р(А/В), где Р(В/А)—
условная вероятность события В относительно события А, т.е. вероятность наступления события В при условии,
что событие А произошло. Если событие А и В независимы, то
Р(А⋅В)=Р(А)⋅Р(В)
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А⋅В)
Если события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
2.1. При передаче текста 15% букв искажается и принимается неверно. Какова вероятность того, что все 5
букв данного сообщения будут приняты правильно?
РЕШЕНИЕ:
Введем обозначения событий: Аi — i-тая буква принята правильно ( 5,1=i ); события Аi - независимые. А -
все 5 букв данного сообщения приняты правильно.
Р(А)=Р(А1⋅А2⋅А3⋅А4⋅А5)=Р(А1)⋅Р(А2)⋅Р(А3)⋅Р(А4)⋅Р(А5)=(О,85)5
≈О,44.
2.2. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех по-
следовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элемен-
ты выходят из строя независимо один от другого соответственно с вероятностями 0,3; 0,4; 0,6. Как изменится
искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя?
РЕШЕНИЕ:
Обозначим через Аi-(i=1,2,3) событие, состоящее в том, что работает i элемент; Аi - независимые.
А— нет разрыва в цепи.
а) Р(А)=Р(А1⋅А2⋅А3)=Р(А1)⋅Р(А2)⋅Р(А3)=(1-Р(А1)).
(1-Р(А2))⋅(1-Р(А3))=(1-0,3)⋅(1-0,4)⋅(1-0,6)≈0,168.
б) Р(А1)=1.
Р (А) = Р (А1 ⋅А2 ⋅А3) = Р (А1) ⋅ Р (А2) ⋅ Р (А3) = 1 ⋅ (1-Р (А2)) (1-Р (А3)) = 1 ⋅ (1-0,4) ⋅ (1-0,6) =
0,24.
2.3. На некотором предприятии 96% изделий признается пригодными (событие А); из каждой сотни изде-
лий в среднем 75 оказывается первого сорта (событие В). Найти вероятность того, что изделие изготовленное на
этом предприятии, окажется первого сорта.
РЕШЕНИЕ:
ищется Р(А ⋅ В), так как для того, чтобы изделие было первосортным, надо, чтобы, оно было пригодным
(событие А) и первого сорта (событие В).
По условию задачи Р(А)=0,96, Р(В/А)=0,75.
Р(А⋅В)=Р(А)⋅Р(В/А)=0,96⋅0,75=0,72.
2.4. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы и получил 2 вопроса, наудачу выбран-
ных из 25. Найти вероятность того, что студент знает оба эти вопроса.
РЕШЕНИЕ:
Введем обозначения событий:
Аi — студент знает i-тый вопрос (i=1,2)

А — студент знает оба вопроса.
Р(А)=Р(А1⋅А2)=Р(А1)⋅Р(А2/А1)=
20
25
⋅
19
24
=
30
19
.
2.5. С помощью 6 карточек, на которых написано по одной букве составлено слово «КАРЕТА». Карточки
перемешиваются, а затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность, что в порядке поступления букв
образуется слово «РАКЕТА».
РЕШЕНИЕ:
Введем обозначения событий:
А1 — первой извлечена буква «P»,
А2 — второй извлечена буква «А»,
А3 — третьей - «К»,
А4 — четвертой - «Е»,
А5 — пятой - «Т»,
А6 — шестой - «А», Аi- события зависимые, i =16, .
А — образуется слово «РАКЕТА».
Р(А)=Р(А1⋅А2⋅А3⋅А4⋅А5⋅А6)=Р(А1)⋅Р(А2/А1)⋅Р(А3/А1А2).
Р(А4/А1А2А3)⋅Р(А5/А1А2А3А4)⋅Р(А6/А1А2А3А4А5)=
1
6
⋅
2
5
⋅
1
4
⋅
1
3
⋅
1
2
⋅1=
1
360
.
2.6. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии
является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверенных. Какова вероятность для данной
партии быть принятой, если она содержит 5% неисправных деталей.
РЕШЕНИЕ:
Найдем вероятность противоположного события А, которое заключается в том, что партия деталей будет
принята. Данное событие является произведением пяти событий. А=А1⋅А2⋅А3⋅А4⋅А5 , где АК={К - я проверенная
деталь доброкачественная} К=15, .
Р(А)=Р(А1)⋅Р(А2/А1)⋅Р(А3/А1⋅А2)⋅Р(А4/А1⋅А2⋅А3)⋅Р(А5/А1⋅А2⋅А3⋅А4)=
95
100
⋅
94
99
⋅
93
98
⋅
92
97
⋅
91
96
≈0,77
Искомая вероятность Р(А)=1-P(A)≈1-0,77≈0,23.
2.7. На станцию связи за день поступило 20 телеграмм, адресованных в 4 различных пункта (по 5 в каж-
дый пункт). Из всех телеграмм выбирается наугад 4. Найти вероятности событий: А={все телеграммы адресо-
ваны в разные пункты}, В={все телеграммы адресованы в один и тот же пункт}.
РЕШЕНИЕ:
Введем обозначение событий:
А1 — адрес первой телеграммы произволен (любой из 4 пунктов);
A2 — адрес второй телеграммы не такой, как у первой;
А3 — адрес третьей телеграммы не такой, как у первой и второй;
А4 — адрес четвертой телеграммы не такой, как у первой, второй и третьей.
Р(А)=Р(А1⋅А2⋅А3⋅А4)=Р(А1)⋅Р(А2/А1)⋅Р(А3/А1А2)⋅Р(А4/А1А2А3)=
20
20
⋅
15
19
⋅
10
18
⋅
5
17
≈0,13
Вi=адрес i-той телеграммы такой же, как у 1-ой (i=2,3,4)

Р(В)=Р(А1⋅В2⋅В3⋅В4)=Р(А1)⋅Р(В2/А1) Р(В3/А1В2) Р(В4/А1В2В3)=
20
20
⋅
4
19
⋅
3
18
⋅
2
17
≈0,004.
2.8. Общество, состоящее из 5 мужчин и 10 женщин, разбивается на 5 групп по 3 человека. Найти вероят-
ность того, что в каждой группе будет по одному мужчине.
РЕШЕНИЕ:
Аi — в i-той группе один мужчина (i=1,5).
А - в каждой из 5 групп по одному мужчине.
Р(А)=Р(А1А2А3А4А5)=Р(А1)⋅Р(А2/А1)⋅Р(А3/А1А2)⋅Р(А4/А1А2А3)⋅
Р(А5/А1А2А3А4)
15=5+10
А1:3=1+2
Для события А1 общее число исходов n1=С3
15
Число благоприятствующих данному событию исходов m1=C1
5
⋅C2
10
Р(А1)=
m1
n1
=
C1
5 ⋅C2
10
C3
15
12=4+8
(A2/A1): 3=1+2 n2=C3
12 , m2=C1
4 ⋅C2
8
P(A2/A1)=
m2
n2
=
C1
4 ⋅C2
8
C3
12
9=3+6
(A3/A1A2): 3=1+2 P(A3/A1A2)=
C1
3
⋅C2
7
C3
9
6=2+4
(A4/A1A2A3): 3=1+2 P(A4/A1A2A3) =
C1
2 ⋅C2
5
C6
3
3= 1+2
(A5/ A1A2A3A4): 3= 1+2 P(A5/ A1A2A3A4) = 1
P(A) =
C1
5
⋅C2
10
C3
15
⋅
C1
4
⋅C2
8
C3
12
⋅
C1
3
⋅C2
6
C3
9
⋅
C1
2
⋅C2
4
C3
6
⋅ 1≈0,08
2.9. Вытачивается деталь в виде прямоугольного параллелепипеда.
Деталь считается годной, если отклонение размера каждого из ребер от заданного чертежом не превышает
0,01. Вероятности отклонений, превышающих 0,01; составляют по длине - р1=0,08; по ширине р2=0,12; по высо-
те - р3=0,1. Найти вероятность непригодности детали:
РЕШЕНИЕ:
А - деталь непригодна, т.е. отклонение хотя бы одного из ребер от заданного чертежом превышает 0,01.
А- деталь годна, т.е. отклонения всех размеров не превышают 0,01.

Аi- отклонение i-того размера не превышает 0,01 (i=1,2,3)
1-ый размер -длина, 2-ой - ширина, 3-ий - высота.
Р(А)=1-Р(А)=1-Р(А1⋅А2⋅А3)=1-Р(А1)⋅Р(А2)⋅Р(А3)=1-(1-Р(А1))⋅(1-Р(А2))⋅(1-Р(А3))=1-(1-0,08)⋅(1-0,12)⋅(1-
0,1)=1-0,92⋅0,88⋅0,9≈0,27.
2.10. Какова вероятность того, что студенту потребуется не более трех попыток для сдачи экзамена, если
вероятность успеха при каждой попытке равна 0,7 независимо от номера попытки?
РЕШЕНИЕ:
А — студенту потребуется не более трех попыток для сдачи экзамена;
А — потребуется больше трех попыток;
Аi — i-тая попытка безуспешная, i=1,2,3
Р(А)=1-Р(А)=1-Р(А1⋅А2⋅А3)=1-Р(А1)⋅Р(А2)⋅Р(А3)=1-(1-Р(А1))⋅(1-Р(А2))⋅(1-Р(А3))=1-(1-О,7)3
=1-
О,33
=0,973.
2.11. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Найти вероятность
того, что ему придется звонить не более 3 раз. Как изменится искомая вероятность, если известно, что послед-
няя цифра нечетная?
РЕШЕНИЕ:
А - придется звонить не более 3 раз.
А - ошибка во всех 3 случаях.
Аi - ошибся при i-том звонке (i=1,2,3).
Р(А)=1-Р(А)=1-Р(А1⋅А2⋅А3)=1-Р(А1)⋅Р(А2/А1)⋅Р(А3/А1А2)=1-
9
10
⋅
8
9
⋅
7
8
=0,3.
В - придется звонить не более 3 раз, если известно, что последняя цифра нечетная.
Р(В)=1-Р(А1)⋅Р(А2/А1)⋅Р(А3/А1А2)=1-
4
5
⋅
3
4
⋅
2
3
=0,6.
2.12. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после
отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще только один вопрос?
РЕШЕНИЕ:
А - зачет сдан.
А - студент не ответил и на 1-ый, и на 2-ой вопросы.
Аi - студент не ответил на i-вопрос (i=1,2)
Р(А)=1-Р(А)=1-Р(А1⋅А2)=1-Р(А1)⋅Р(А2/А1)=1-
6
30
⋅
5
29
=1-
1
29
=
28
29
≈0,97.
2.13. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверен-
ным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей 0,95?
РЕШЕНИЕ:
А — выигрыш хотя бы на одну облигацию из n приобретенных.
А — все n облигаций проигрышные.
Аi — i-тая облигация проигрышная i =1,n .
Р(А)=1-Р(А)=1-Р(А1⋅А2…Аn)=1-Р(А1)⋅Р(А2)⋅Р(Аn)=1-(
1
2
)n
.

1-(
1
2
)n
>0,95, (
1
2
)n
<0,05, 2n
>20 n>log220 , n>
lg20
lg2
, n>
lg2+1
lg2
(lg2≈0,3)
n>4,3 т.е. n≥5.
2.14. Определить вероятность того, что партия из 100 изделий, среди которых 5 бракованных, будет при-
нята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракован-
ных изделий не более одного из 50.
РЕШЕНИЕ:
А - партия принята.
В - при испытании половины партии не получено ни одного бракованного изделия.
С - при испытании получено только одно бракованное изделие.
В и С - несовместные события.
100=5+95 n= С50
100
B:50=0+50
C:50=1+49 m1= С50
95 , m2=С49
95 ⋅С1
5 .
Р(А)=Р(В+С)=Р(В)+Р(С)=
m1
n
+
m2
n
=
C50
95
С50
100
+
С49
95 С1
5
С50
100
≈0,18.
2.15. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не ме-
нее, чем на 3 из 4 поставленных в билете вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
РЕШЕНИЕ:
А - зачет сдан, т.е. студент ответит на 3 или 4 вопроса.
В - студент ответит на 3 вопроса.
С - студент ответит на 4 вопроса.
25=20+5 n =С4
25 =12650, m1=C3
20 ⋅С1
5 =5700
В: 4 = 3+1 m2=C4
20
=4845
С: 4 =4+0
Р(А)=Р(В+С)=Р(В)+Р(С)=
m1
n
+
m2
n
=
C3
20 ⋅С1
5 +С4
20
С4
25
≈0,45+0,38≈0,83.
2.16. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров,
11 черных, 8 красных, а во второй соответственно 10,8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекаются по одному шару.
Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.
РЕШЕНИЕ:
А — оба шара одного цвета
В — оба шара белые
С — оба шара черные
D — оба шара красные
Вi — из i-ой урны взят белый шар
Сi — из i-ой урны взят черный шар
Di — из i-ой урны взят красный шар, i=1,2.
Р(А)=Р(В+С+D)=Р(В)+Р(С)+Р(D)=Р(В1⋅В2)+Р(С1⋅С2)+Р(D1⋅D2)=Р(В1)⋅Р(В2)+Р(С1)⋅Р(С2)+Р(D1)⋅Р(D2)=
5
24
⋅
10
24
+
11
24
⋅
8
24
+
8
24
⋅
6
24
=
186
576
≈0,32.

2.17. Два человека купили по одной карточке лотереи «Спортлото-6» и независимо друг от друга отметили
по 6 номеров. Найти вероятности событий: а) каждый получит минимальный выигрыш; б) каждый получит ка-
кой-либо выигрыш.
А - каждый получит минимальный выигрыш, т.е. угадает 3 номера из 6
Аi - i-ый угадает 3 номера
Вi - i-ый угадает 4 номера
Сi - i-ый угадает 5 номеров
Di - i-ый угадает 6 номеров, i=1,2
F - каждый получит какой-либо выигрыш.
Fi - i-ый получит какой-либо выигрыш.
49=6+43 n=С6
49
Аi: 6=3+ 3 m1=С3
6 ⋅С3
43
Bi: 6=4+2 m2 =С4
6
⋅С2
43
Ci: 6=5+1 m3 =C5
6 ⋅ C1
43
Di: 6=6+0 m4= C6
6
=1
Р(А)=Р(А1⋅А2)=Р(А1)⋅Р(А2)=
m1
n
⋅
m1
n
=





C3
6
⋅C3
43
C6
49
2
≈ 0,0003115
Р(F)=P(F1⋅F2)=P(F1)⋅P(F2)=P(A1+B1+C1+D1) ⋅
P(A2+B2+C2+D2)=(P(A1)+P(B1)+P(C1)+P(D1)) ⋅
(P(A2)+P(B2)+P(C2)+P(D2))= 2)2( 431
n
m
n
m
n
m
n
m
++++++++++++ =





C3
6 ⋅C3
43 +C4
6 ⋅C2
43 +C5
6 ⋅C1
43 +1
C6
49
2
≈ 0,0003473
2.18. В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся 6
монет. Какова вероятность того, что в сумме они составят не более одного рубля?
РЕШЕНИЕ:
А — 6 монет в сумме дадут не более одного рубля.
А — 6 монет в сумме дают больше одного рубля.
В — взяты 6 монет по 20 коп. (Σ=1,20)
С — взяты 5 монет по 20 коп. и одна по 15 коп. (Σ=1,15)
D — взяты 5 монет по 20 копеек и одна по 10 коп. (Σ=1,10)
Е — взяты 4 монеты по 20 коп. и 2 по 15 коп. (Σ=1,10)
F — взяты 4 монеты по 20 коп, одна по 10 и одна по 15 коп.(Σ=1,05)
G — взяты 3 монеты по 20 коп. и 3 по 15 коп. (Σ=1,05)
20 коп. 15 коп. 10 коп.
17 = 10 + 5 + 2
В: 6 = 6 + 0 + 0
С: 6 = 5 + 1 + 0
D: 6 = 5 + 0 + 1
E: 6 = 4 + 2 + 0
F: 6 = 4 + 1 + 1
G: 6 = 3 + 3 + 0

Р(А)=1-Р(А)=1-(Р(В)+Р(С)+P(D)+P(E)+P(F)+P(G))=1-
1
C6
17
(C6
10
+C5
10
•C1
5
+C5
10
⋅C1
2
+C4
10
⋅C2
5
+C4
10
⋅C1
5
⋅C1
2
+C3
10
⋅C3
5
)≈0,4.
2.19. Первый студент опаздывает в среднем 2 раза в неделю, второй 3 раза. Найти вероятности следующих
событий: в какой-нибудь день А - опоздают оба, В - опоздает ровно один, С - не опоздает ни один, D - опоздает
хотя бы один.
РЕШЕНИЕ:
Ei — опоздает i-тый студент.
P(A)=P(E1⋅E2)=P(E1)P(E2)=
2
6
⋅
3
6
=
1
6
P(B)=P(E1⋅E2+E1⋅E2)=P(E1)P( 2E )+P(E1)P(E2)=
2
6
⋅
6
3
+
4
6
⋅
3
6
=
1
2
P(C)=P(E1⋅E2)=P(E1)⋅P(E2)=
4
6
⋅
3
6
=
1
3
P(D)=1-P(D)=1-P(E1⋅E2)=1-
4
6
⋅
3
6
=
2
3
2.20. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула со-
держится в первом, втором, третьем справочнике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности следу-
ющих событий:
А - формула содержится во всех 3-х справочниках
В - формула содержится хотя бы в одном справочнике
C – формула содержится только в одном справочнике
D -формула содержится только в 2-х справочниках
Е - формула содержится не менее, чем в 2-х справочниках
РЕШЕНИЕ:
Аi — формула содержится в i-том справочнике, i=1,2,3.
P(A)=P(A1⋅A2⋅A3)=P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)=0,6⋅0,7⋅0,8=0,336
P(B)=1-P(B)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)=1-0,4⋅0,3⋅0,2=0,976.
P(D)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)=P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)+P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)+P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)=0,6⋅0,7⋅0,2
+0,6⋅0,3⋅0,8+0,4⋅0,7⋅0,8=0,452.
P(C)=P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)=P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)+P(A1)⋅
P(A2)⋅P(A3)+P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)=0,4⋅0,3⋅0,8+0,4⋅0,7⋅0,2+0,6⋅0,3⋅0,2=0,188.
P(E)=P(D+A)=P(D)+P(A)=0,452+0,336=0,788.
2.21. Касса продает билеты на 2 поезда в одном и том же направлении в количестве 30 билетов на первый и
36 на второй. Два пассажира друг за другом покупают по одному билету. Найти вероятности следующих собы-
тий: А - оба отправятся первым поездом; В - один первым, другой вторым; С - хотя бы один отправится вторым.
РЕШЕНИЕ:
Di — первый отправится i-тым поездом
Ei — второй отправится i-тым поездом, i=1,2.
P(A)=P(D1⋅E1)=P(D1)⋅P(E1/D1)=
30
66
⋅
29
65
=
29
143
P(B)=P(D1⋅E2+D2E1)=P(D1)⋅P(E2/D1)+P(D2)⋅P(E1/D2)=
30
66
⋅
36
65
+
36
66
⋅
30
65
=
72
143

P(C)=1-P(C)=1-P(A)=1-
143
29
=
143
114
2.22. Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из 3-х
задач. Для получения положительной оценки достаточно решить 2. Для каждой задачи зашифровано 5 различ-
ных ответов, из которых только один правильный. Студент Иванов плохо знает материал и поэтому выбирает
ответы наудачу. Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?
РЕШЕНИЕ:
А — Иванов получит положительную оценку, т.е. угадает ответы не менее 2 задач из 3.
В — Иванов угадает ответы только на 2 задачи
С — Иванов угадает ответы на 3 задачи
Di — угадает ответ на i-задачу; i=1, 2, 3
P(A)=P(B+C)=P(B)+P(C)=P(D1D2D3+D1D2D3+D1D2D3)+P(D1D2D3)=
P(D1)⋅P(D2)⋅P(D3)+P(D1)⋅P(D2)⋅P(D3)+P(D1)⋅P(D2)⋅P(D3)+P(D1)⋅P(D2)⋅P(D3)=
1
5
⋅
1
5
⋅
4
5
+
1
5
⋅
4
5
⋅
1
5
+
4
5
⋅
1
5
⋅
1
5
+
1
5
⋅
1
5
⋅
1
5
=
3⋅4
125
+
1
125
=
13
125
=0,104.
2.23. Вероятность получения билета, у которого равны суммы трех первых и трех последних цифр ше-
стизначного номера, равна p=0,05525.
Какова вероятность иметь такой билет среди двух взятых наудачу, если оба билета: а) имеют последова-
тельные номера; б) получены независимо один от другого.
РЕШЕНИЕ:
А — получен счастливый билет из двух взятых наудачу, если билеты имеют последовательные номера.
В —получен счастливый билет из двух взятых наудачу, если билеты получены независимо один от друго-
го.
Di — i-тый билет счастливый, i=1, 2.
P(A)=P(D1+D2)=P(D1)+P(D2)=2p=0,1105
P(B)=P(D1+D2)=P(D1)+P(D2)-P(D1⋅D2)=P(D1)+P(D2)-P(D1)⋅P(D2)=p+p-p⋅p=2p-p2
=0,1075.
2.24. Некоторое сообщение пе- редается через преобразователи 1
и 2, работающие последовательно. Для повышения надежности
предусмотрен второй дублирующий канал, устроенный аналогично.
Вероятности отказов преобразовате- лей 1 и 2 известны и составляют
р1 и р2. Какова вероятность того, что сигнал не будет передан?
РЕШЕНИЕ:
А — сигнал не будет передан
В — отказ верхнего канала
С — отказ нижнего канала
Вi — отказ i-того элемента верхнего канала
Сi — отказ i-того элемента нижнего канала; i=1,2
P(A)=P(BC)=P(B)⋅P(C)=P(B1+B2)⋅P(C1+C2)=((P(B1)+P(B2)-P(B1⋅B2))-(P(C1)+P(C2)-P(C1⋅C2))=(P(B1)+P(B2)-
P(B1)⋅P(B2))(P(C1)+P(C2)-P(C1)⋅P(C2))=(p1+p2-p1⋅p2)2
┌────┐ ┌────┐
┌─┤ 1' ├──────┤ 2' ├─┐
─┤ └────┘ └────┘ ├─
│ ┌────┐ ┌────┐ │
└─┤ 1" ├──────┤ 2" ├─┘
└────┘ └────┘

2.25. Электрическая схема состоит из элементов k1, k2, k3, k4, которые могут выйти из строя соответственно
с вероятностями q1, q2, q3, q4 (pi=1-qi, i=1 4, ). Какова вероятность того, что цепь не будет разомкнута?
30
A) ╔════╗
╔═╣ k2 ╠═╗
║ ╚════╝ ║
╔════╗ ║ ╔════╗ ║
═╣ k1 ╠══╬═╣ k3 ╠═╬═
╚════╝ ║ ╚════╝ ║
║ ╔════╗ ║
╚═╣ k4 ╠═╝
╚════╝
B) ╔════╗ ╔════╗
╔═╣ k1 ╠═╗ ╔═╣ k3 ╠═╗
═╣ ╚════╝ ╠══╣ ╚════╝ ╠═
║ ╔════╗ ║ ║ ╔════╗ ║
╚═╣ k2 ╠═╝ ╚═╣ k4 ╠═╝
╚════╝ ╚════╝
РЕШЕНИЕ:
А — цепь не разомкнута
Аi — выход из строя i-того элемента, i=1 4,
а) В — работает блок из элементов k2, k3, k4, т.е. работает хотя бы один из элементов k2,k3,k4.
P(A)=P(A1⋅B)=P(A1)⋅P(B)=P(A1)⋅(1-P(B))=P(A1)⋅(1-P(A2⋅A3⋅A4))=P(A1)⋅
(1-P(A2)⋅P(A3)⋅P(A4))=p1(1-q2⋅q3⋅q4)
в) С1 — работает блок из элементов k1 и k2, С2 — работает блок из элементов k3 и k4.
1) P(A)=P(C1⋅C2)=P(C1)⋅P(C2)=P(A1+A2)⋅P(A3+A4)=(P(A1)+P(A2)-P(A1⋅A2))(P(A3)+P(A4)-
P(A3⋅A4))=(P(A1)+P(A2)-P(A1)⋅P(A2))⋅(P(A3)+P(A4)-P(A3)⋅P(A4))=(p1+p2-p1⋅p2)⋅(p3+p4-p3⋅p4).
2)P(A)=P(C1)⋅P(C2)=(1-P(C1))⋅(1-P(C2))=(1-P(A1)⋅P(A2))⋅(1-P(A3)⋅P(A4))=
(1-q1q2)(1-q3q4).
2.26. На рисунках а) и в) показаны 2 способа дублирования изделия а) - «общее», в - «раздельное». Пола-
гая, что вероятности безотказной работы всех элементов одинаковы и равны 0,7; определить какой способ дуб-
лирования эффективнее.
A) ╔═══╗
╔═══╗ ╔═╣ 2 ╠═╗
╤══╣ 1 ╠═╣ ╚═══╝ ╠════╤═
│ ╚═══╝ ║ ╔═══╗ ║ │
│ ╚═╣ 3 ╠═╝ │
│ ╚═══╝ │
│ ┌───┐ │
│ ┌───┐ ┌─┤ 2'├─┐ │
└──┤ 1'├─┤ └───┘ ├────┘
└───┘ │ ┌───┐ │
└─┤ 3'├─┘
└───┘
B) ┌───┐
┌───┐ ┌─┤ 2'├─┐
┌──┤ 1'├┐│ └───┘ │
│ └───┘││ ╔═══╗ │
│ ╔═══╗│╔═╣ 2 ╠═╗
╘══╣ 1 ╠╧╣ ╚═══╝ ╠═
╚═══╝ ║ ╔═══╗ ║
╚═╣ 3 ╠═╝
│ ╚═══╝ │
│ ┌───┐ │
└─┤ 3'├─┘
└───┘
РЕШЕНИЕ:
Найдем вероятность безотказной работы недублированного изделия.
Аi — работа i элемента, i=1 3,
Bi — работа i дублирующего элемента i=1 3,
D — работа блока из элементов 2 и 3
С — безотказная работа недублированного изделия.
P(C)=P(A1⋅D)=P(A1)⋅P(D)=P(A1)⋅(1-P(D))=P(A1)⋅(1-P(A2⋅A3))=P(A1)(1-P(A2)⋅P(A3))=0,7⋅(1-0,32
)=0,673.
A — безотказная работа при общем дублировании ( а))
Е1 — работа блока из элементов 1, 2, 3.

Е2 — работа блока из элементов 1’, 2’, 3’
D2 — работа блока из элементов 2’ и 3’.
P(A)=1-P(A)=1-P(E1⋅E2)=1-P(E1)⋅P(E2)=1-(1-P(E1))⋅(1-P(E2))=1-(1-P(A1D))(1-P(B1⋅D2))=1-(1-
P(A1)⋅P(D))(1-P(B1)⋅P(D2))
P(D1)=1-P(D1)=1-P(A2⋅A3)=1-P(A2)⋅P(A3)=1-0,3⋅0,3=1-0,32
P(D2)=1-P(D2)=1-P(B2⋅B3)=1-P(B2)⋅P(B3)=1-0,32
P(A)=1- (1-0,7(1-0,32
))2
=0,868.
B — безотказная работа при раздельном дублировании ( в)
F1 — работа блока 1, 1’
F2 — работа блока 2, 2’, 3, 3’.
P(B)=P(F1⋅F2)=P(F1)⋅P(F2)=(1-P(F1))(1-P(F2))=(1-P(A1⋅B1)
(1-P(A2⋅A3⋅B2⋅B3))=(1-0,32
)(1-0,34
)=0,907.
Сравним отношения
P(A)
P(C)
=
0,868
0,637
≈1,36,
P(B)
P(C)
=
0,907
0,637
≈1,41.
Достигаемый при этом выигрыш в %.
P(A)-P(C)
P(C)
⋅100=36%
P(B)-P(C)
P(C)
⋅100=43%
способ в) выгоднее.
2.27. Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме приведенной на рисунке. Выход из
строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятности:
элемент К1 К2 L1 L2 L3
Вероятность 0,6 0,5 0,4 0,7 0,9
┌────┐
┌──┤ L1 ├──┐
│ └────┘ │
┌────┐ │ ┌────┐ │ ┌────┐
M ───┤ K2 ├───┼──┤ L2 ├──┼───┤ K2 ├─── N
└────┘ │ └────┘ │ └────┘
│ ┌────┐ │
└──┤ L3 ├──┘
└────┘
Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим через Аi (i=1,2) событие, состоящее в выходе из строя элемента Кi, через А - выход из строя хо-
тя бы одного элемента Кi, а через В - выход из строя всех трех элементов Lj (j=1, 2, 3). Тогда искомая вероят-
ность
р=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)⋅P(B) т.к.
P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1)⋅P(A2)=0,6+0,5-0,6⋅0,5=0,8.
P(B)=P(L1)⋅Р(L2)⋅Р(L3)=0,4⋅0,7⋅0,9=0,252, то
p=0,8+0,252-0,8⋅0,252=0,85.

2.28. При эксплуатации данной радиостанции возможны выходы из строя ламп с вероятностью рл и неза-
висимо от этого механические повреждения с вероятностью рм. Рассчитать а) вероятность того, что радиостан-
ция исправна; б) вероятность выхода из строя радиостанции из-за неисправных ламп и механических повре-
ждений; в) вероятность выхода из строя радиостанции из-за неисправных ламп; г) вероятность выхода из строя
радиостанции из-за механических повреждений.
ОТВЕТЫ: а) (1-рл)(1-рм) б) рл⋅рм в) (1-рм)⋅рл г) рм⋅(1-рл)
2.29. Символы двоичного дискретного источника появляются независимо от символов ранее переданных,
причем Р(1)=0,8, Р(0)=0,2. Написать вероятности для всех реализаций 3-символьных сочетаний источника.
ОТВЕТЫ: P(000)=0,23
P(001)=P(100)=P(010)=0,8⋅0,22
P(110)=P(101)=P(011)=0,2⋅0,82
P(111)=0,83
2.30. По каналу связи передается цифровой текст, содержащий только 3 цифры 1, 2, 3, которые могут по-
являться в тексте с равной вероятностью. Каждая передаваемая цифра в силу наличия шумов принимается пра-
вильно с
вероятностью р и с вероятностью
1
2
(1-р) принимается за какую-либо другую
цифру. Предполагается, что цифры искажаются независимо.
Найти вероятность того, что было передано 111, если принято 123.
ОТВЕТ: p⋅
1
2
(1-p)⋅
1
2
⋅(1-p).
2.31. Найти вероятность того, что цифры 1, 0, 0, 0, расположенные в произвольном порядке образуют чис-
ло 1000.
ОТВЕТ:
1
4
⋅1⋅1⋅1=
1
4
.
2.32. Найти вероятность того, что четыре произвольным образом выбранных из слова «ученик» буквы в
порядке их следования составляют слово «неуч».
ОТВЕТ:
1
6
⋅
1
5
⋅
1
4
⋅
1
3
=
1
360
.
2.33. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Л, И, Л, И, Я. Найти вероятность того, что выкладывая
эти карточки случайным образом получим слово «лилия».
ОТВЕТ:
2
5
⋅
2
4
⋅
1
3
⋅
1
2
=
1
30
2.34. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Найти вероятность того,
что 1 и 2 июля будет ясная погода.
ОТВЕТ:
25
31
⋅
24
30
=
20
31
.
2.35. В цехе работает 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека.
Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
ОТВЕТ:
7
10
⋅
6
9
⋅
5
8
=
7
24
.
2.36. На приемник поступают кодовые комбинации, состоящие из двух знаков: 0 и 1. Появление 0 и 1 счи-
тается равновероятным. Какова вероятность того, что в первой кодовой комбинации хотя бы один 0?
ОТВЕТ: 1-
1
2
⋅
1
2
=
3
4
.

2.37. В мастерской работают 3 станка. За смену 1-ый станок может потребовать наладки с вероятностью
0,15. Для 2-ого станка эта вероятность =0,1, и для 3-го - 0,12. Считая, что станки не ломаются одновременно,
найти вероятность того, что за смену хотя бы один станок потребует наладки.
ОТВЕТ: 1-0,85⋅0,9⋅0,88=0,37.
2.38. Вероятность того, что каждая из 4 телекамер исправна, равна 0,9 (момент времени произвольный).
Определить вероятность того, что в данный момент времени исправна хотя бы одна телекамера.
ОТВЕТ: 1-0,14
=0,9999.
2.39. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероят-
ность попадания в цель при одном выстреле, если все попадания равновероятны.
ОТВЕТ: р=0,8.
2.40. При данной мощности мешающей станции вероятность сбоя связи противника равна 0,5. Определить
сколько таких станций нужно включить одновременно, чтобы вероятность сбоя связи была не меньше 0,9.
ОТВЕТ: n≥4 (1-0,5n
≥0,9).
2.41. Вероятность того, что деталь окажется бракованный, равна 0,2. Определить какое количество дета-
лей необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что хотя бы одна из них является
доброкачественной.
ОТВЕТ: n≥3 (1-0,2n
>0,99), lg 5≈0,7.
2.42. Два пассажира независимо друг от друга садятся в электричку, каждый может сесть в любой из 12 ва-
гонов. Найти вероятность того, что: а) оба окажутся в одном вагоне; б) один в 6-ом, другой во 2-ом; в) ни один
не сядет в 1-й вагон; г) хотя бы один сядет в первый вагон.
ОТВЕТЫ: а)
1
12
⋅
1
12
=
1
144
, б)2
1
12
⋅
12
1
=
72
1
в)
11
12
⋅
11
12
=
121
144
, г)1-
121
144
=
23
144
.
2.43. Каждое из трех несовместных событий может произойти с вероятностью 0,01; 0,006; 0,002 соответ-
ственно. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.
ОТВЕТ: 0,01+0,006+0,002=0,018.
2.44. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что, изделие стандартно, равна 0,8.
Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.
ОТВЕТ: 0,8⋅0,2+0,8⋅0,2=0,32.
2.45. По каналу связи, состоящему из передатчика, ретранслятора и приемника, передаются 2 сигнала:
единица и нуль. Вследствие воздействия помех сигналы могут искажаться.
На участке передатчик-ретранслятор «1» переходит в «1» с вероятностью р1=0,9 и в «0» с вероятностью 1-
р1=0,1, «0» в «0» с вероятностью q1=0,8 и в «1» с вероятностью 1-q1=0,2. На участке ретранслятор-приемник
вероятность указанных событий соответственно равны - p2=0,7; 1-p2=0,3; q2=0,6; 1-q2=0,4. Определить вероят-
ность следующих событий:
А — кодовая комбинация 10, посланная передатчиком, принята без искажений
В — передана комбинация 10, а принято 2 одинаковых символа.
ОТВЕТ:
P(A)=P(T11)⋅P(T00)=[p1p2+(1-p1)(1-q2)][q1q2+(1-q1)(1-p2)]≈0,36.
P(B)=P(T11)⋅P(T01)+P(T10)⋅P(T00)=[p1p2+(1-p1)(1-q2)][q1(1-q2)+p2(1-q1)]+[p1(1-p2)+(1-p1)q2][q1q2+(1-q1)(1-
p2)]≈0,49.

2.46. Кодовая комбинация состоит из 10 импульсов трех форм: А, В и С, причем в каждой кодовой комби-
нации три импульса имеют форму А, 2 импульса - форму В и 5 импульсов - форму С. Требуется рассчитать: а)
вероятности прихода импульсов каждой формы; б) вероятность прихода первым импульса форм А или В; в)
вероятности прихода первыми двух импульсов в следующей последовательности: АВ, СА, СВ; г) вероятности
прихода первыми трех импульсов в следующей последовательности: АВС, САВ, СВА.
ОТВЕТЫ: а) 0,3; 0,2;0,5
б) 0,3+0,2=0,5.
в) P(AB)=
3
10
⋅
2
9
=
1
15
P(CA)=
5
10
⋅
3
9
=
1
6
P(CB)=
5
10
⋅
2
9
=
1
9
г) P(ABC)=
3
10
⋅
2
9
⋅
5
8
=
1
24
P(CAB)=
5
10
⋅
3
9
⋅
2
8
=
1
24
P(CBA)=
5
10
⋅
2
9
⋅
3
8
=
1
24
2.47. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и
второй вопрос равны 0,9, на третий - 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого
необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на два вопроса.
ОТВЕТЫ: а) 0,9⋅0,9⋅0,8=0,648,
б) 1-(0,9⋅0,1⋅0,2+0,1⋅0,9⋅0,2+0,1⋅0,1⋅0,8+0,1⋅0,1⋅0,2)=0,954.
2.48. На конечную остановку автобуса подходят два пассажира. Первому подходят автобусы №2, 42, 44, а
второму №42, 44. Независимо друг от друга они садятся в автобус. Найти вероятность того, что: а) оба окажутся
в автобусе №42; б) хотя бы один окажется в автобусе №42; в) оба окажутся в одном и том же автобусе.
ОТВЕТ: а)
1
3
⋅
1
2
=
1
6
, б)
1
3
+
1
2
-
1
3
⋅
1
2
=
2
3
, в)
1
3
⋅
1
2
+
1
3
⋅
1
2
=
1
3
.
2.49. Противник срывает работу данной линии радиосвязи двумя мешающими станциями А и В. Вероят-
ность того, что действие станции А приведет к сбою связи, составляет 0,5, а станции В - 0,9. Какова вероятность
того, что связь будет сорвана, если будут включены обе мешающие станции одновременно?
ОТВЕТ: 0,5+0,9+0,9⋅0,5=0,95.
2.50. Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и выходом. Предполага-
ется, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надеж-
ность рk k - того элемента (соответственно qk=1-pk - вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приво-
дит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность каждой из
схем.
┌───┐ ┌───┐ ┌───┐ ┌───┐ ┌───┐
a)┌─┤ 1 ├─┐ b)┌┤ 1 ├─┤ 2 ├─┤ 3 ├┐ c) ┌─┤ 2 ├─┐
│ └───┘ │ ─┤└───┘ └───┘ └───┘├─ ┌───┐│ └───┘ │┌───┐
│ ┌───┐ │ │┌───┐ ┌───┐ ┌───┐│ ┤ 1 ├┤ ├┤ 4 ├
─┼─┤ 2 ├─┼─ └┤ 4 ├─┤ 5 ├─┤ 6 ├┘ └───┘│ ┌───┐ │└───┘
│ └───┘ │ └───┘ └───┘ └───┘ └─┤ 3 ├─┘
│ ┌───┐ │ └───┘
└─┤ 3 ├─┘
└───┘
ОТВЕТЫ: а) 1-q1q2q3
b) 1-(1-p1p2p3)(1-p4p5p6) с) p1p4(p2+p3-p2p3)=p1p4(1-q2q3).

§3 Формулы полной вероятности и Бейеса.
Пусть событие А может наступить только при появлении одного из попарно несовместных, образующих пол-
ную группу событий kH (гипотез) данного опыта ),1( nk = . Тогда вероятность события А находится по фор-
муле полной вероятности
∑ ∑= =
=⋅=
n
k
n
k
kkk HPгдеHAPHPAP
1 1
1)(),/()()(
Если до опыта вероятности гипотез были )(),...(),( 21 HnPHPHP , а в результате опыта произошло собы-
тие А, то с учетом этого можно "переоценить" вероятности гипотез, т.е. найти условные вероятности
)/( AHP K , по формуле Бейеса ,
)(
)/()(
)/(
AP
HAPHP
AHP KK
K
⋅
=
nk ,1=
3.1 Противник стремится сорвать связь, создавая помехи в двух частотных диапазонах со средними частотами
1f и 2f , с этой целью мешающий передатчик настраивается попеременно на частоты 1f и 2f через равные
промежутки времени. Вероятность сбоя от помехи на частоте 1f составляет 0,3; а на частоте 1f -0,6. Какова
вероятность того, что связь будет сорвана?
РЕШЕНИЕ:
Пусть события kH - передатчик настроен на частоту ;kf к=1,2.
События kH попарно не совместны и образуют полную группу.
2
1
)()( 21 == HPHP (приемник настроен на частоты 1f и 2f через равные промежутки времени).
А={связь сорвана}; 6,0)/(;3,0)/( 21 == HAPHAP ;
По формуле полной вероятности
∑=
=⋅+⋅=⋅=
2
1
45,06,0
2
1
3,0
2
1
)/()()(
k
kk HAPHPAP
3.2 передатчик на одной из позиций импульсного кода может передать "1" (импульс) с вероятностью
5
1
и "0"
(отсутствие импульса) с вероятностью
5
4
. Найти вероятность того, что эту позицию приемник воспримет как
"1", если вероятность преобразования помехами "1" в "0" равна 0,1; а "0" в "1" -0,3.
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы: 1H - передатчик передавал "1"
2H -передатчик передавал "0"
Событие А = {приемник принял "1"}
5
1
)( 1 =HP 9,0)/( 1 =HAP ("1" не преобразовался в "0")
5
4
)( 2 =HP 3,0)/( 2 =HAP ("0" преобразовался в "1")
∑=
==⋅+⋅=⋅=
2
1
42,0
50
21
3,0
5
4
9,0
5
1
)/()()(
k
kk HAPHPAP
3.3 Три автомата штампуют детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности первого, вто-
рого и третьего автоматов относятся как 2:3:5. Вероятности изготовления бракованной детали первым, вторым
и третьем автоматами равны 0,05; 0,1; 0,2. С конвейера наугад взята деталь. Найти вероятность того, что она
небракованная.
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы: kH - деталь изготовлена к - тым автоматом, к-1, 2, 3.
Событие А= {деталь не бракованная}
т.к. производительности автоматов относятся как 2:3:5
10
2
)( 1 =HP

95,005,01)/( 1 =−=HAP
10
3
)( 2 =HP 9,01,01)/( 2 =−=HAP
10
5
)( 3 =HP 8,02,01)/( 3 =−=HAP
∑
=
=⋅+⋅+⋅=⋅=
3
1
86,08,05,09,03,095,02,0)/()()(
k
kk HAPHPAP
3.4 Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие,
взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй пар-
тии. Найти вероятность того, что изделие, извлеченное из второй партии будет бракованным.
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы : Н1-из первой партии переложено во вторую бракованное изделие;
Н2-из первой партии переложено во вторую небракованное ;
12
1
)( 1 =HP
12
11
)( 2 =HP
А- изделие извлеченное из второй партии бракованное
11
2
)/( 1 =HAP (к 10 изделиям, среди которых 1 бракованное , добавилось 1 бракованное)
11
1
)/( 2 =HAP (к 10 изделиям, среди которых 1 бракованное, добавилось одно небракованное)
∑=
=⋅+⋅=⋅=
2
1 132
13
11
1
12
11
11
2
12
1
)/()()(
k
KK HAPHPAP
3.4 15 экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Студент может отве-
тить только на 25 вопросов. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно отве-
тить на 2 вопроса из одного билета или на 1 вопрос одного билета и на указанный вопрос из другого билета?
РЕШЕНИЕ:
Пусть событие KH (к=0,1,2)означает, что студент знает к вопросов взятого билета.
KH попарно несовместные и образуют полную группу.
k
k
к
n
m
НР =)( 2
30Cnk =
(Из 30 вопросов студент может ответить на 25)
30=25+5
0H : 2=0+2
2
50 Cm =
1H : 2=1+1
1
5
1
251 CCm ⋅=
2H : 2=2+0
2
252 Cm =
29
20
!30!23!2
!28!2!25
)(
87
25
!30
!28!2525525
)(
87
2
!30!3!2
!28!2!5
)(
2
30
2
25
2
2
30
2
30
1
5
1
25
1
2
30
2
5
0
=
⋅⋅
⋅⋅
==
=
⋅⋅⋅
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅⋅
⋅⋅
==
C
C
HP
CC
CC
HP
C
C
HP
Событие А= {экзамен будет сдан} 0)/( 0 =HAP 1)/( 2 =HAP
7
6
28
24
)/( 1 ==HAP (осталось 28 вопросов, на 24 из которых студент может ответить).
53,0
609
325
1
87
25
7
6
87
25
0
87
2
)/()()(
2
0
≈=⋅+⋅+⋅=⋅= ∑
=k
kk HAPHPAP

3.6 На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой,
а с вероятностью 0,2 - только помеха.Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует
наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7;
Если только помеха- то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сиг-
нала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.
РЕШЕНИЕ:
До опыта возможны две гипотезы:
Н1- на вход устройства поступил сигнал с помехой,
Н2- поступила только помеха.
Наблюдалось событие А= {зарегистрирован какой-то сигнал}.
8,0)( 1 =HP 7,0)/( 1 =HAP
2,0)( 2 =HP 3,0)/( 2 =HAP
По формуле Бейеса :
903,0
31
28
3,02,07,08,0
7,08,0
)/()(
)/()(
)/( 2
1
11
1 ≈=
⋅+⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∑=k
kk HAPHP
HAPHP
AHP
3.7 60% учащихся в школе- девочки, 80% девочек и 75% мальчиков имеют билеты в театр. В учительскую при-
несли кем -то потерянный билет. Какова вероятность того, что этот билет принадлежал девочке.
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы: Н1-ученик - девочка
Н2 -ученик- мальчик
Р(Н1)=0,6 (60% из 100% учеников -девочки) Р(Н2)=0,4
А= {у ученика есть билет}
P(A/H1)=0,8 (80% девочек имеют билеты)
P(A/H2)=0,75 (75% имеют билеты)
По формуле Бейеса:
13
8
75,04,08,06,0
8,06,0
)/()(
)/()(
)/(
2
1
11
1 =
⋅+⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∑
=k
kk HAPHP
HAPHP
AHP =0.62
3.8 Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и "тире."
Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем сообщений
5
2
"точка" и сообщений "тире".
Известно, что среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в соотношении 5:3. Определить веро-
ятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал "точка"; б) принят сигнал "тире".
РЕШЕНИЕ:
Пусть событие А -принят сигнал "точка", а событие В- принят сигнал "тире".
Можно сделать две гипотезы:
H1-передан сигнал "точка",
H2-передан сигнал "тире".
По условию P(H1) : P(H2)=5;3, кроме того, P(H1)+P(H2)=1
Поэтому P(H1)=5/8; P(H2).=3/8 Известно что P(A/H1)=3/5; P(A/H2)=1/3;
P(B/H1)=2/5; P(B/H2)=2/3.
Вероятности событий А и В находим по формуле полной вероятности
∑∑∑∑
====
====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
2
1 2
1
3
1
8
3
5
3
8
5
)/()()(
l
ii HAPHPAP
∑∑∑∑
====
====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====
2
1 2
1
3
2
8
3
5
2
8
5
)/()()(
l
ii HBPHPBP
Искомые вероятности будут
4
3
2
1
5
3
8
3
)(
)/()(
)/( 11
1 =
⋅
=
⋅
=
AP
HAPHP
AHP

2
1
2
1
3
2
8
3
)(
)2/()2(
)/( 2 =
⋅
=
⋅
=
BP
HBPHP
BHP
3.9 В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен, имеется 10 отличников, 7 подготовленных хорошо, 5-
удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены . Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо
подготовленные- 20, подготовленные удовлетворительно-15 и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов.
Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса . Найти вероятности следующих событий:
1S = {студент подготовлен отлично или хорошо}; 2S = {студент подготовлен удовлетворительно}; 3S = {сту-
дент подготовлен плохо}.
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы:
H1- студент подготовлен отлично
H2 -студент подготовлен хорошо
H3 -студент подготовлен удовлетворительно
H4 -студент подготовлен плохо.
P(H1)=10/25, P(H2)=7/25,P(H3)=5/25, P(H4)=3/25
А= {студент ответил на два заданных вопроса}.
P(A/H1)=1, B k - студент ответит на к-тый вопрос, к-1,2.
30
19
24
19
25
20
)/()()()/( 121212 =⋅=⋅=⋅= BBPBPBBPHAP
20
7
24
14
25
15
)/()()()/( 121213 =⋅=⋅=⋅= BBPBPBBPHAP
20
3
24
9
25
10
)()/( 214 =⋅=⋅= BBPHAP
По формуле Бейеса:
6,0
499
300
20
3
25
3
20
7
25
5
30
19
25
7
1
25
10
1
25
10
)/()(
)/()(
)/(
4
1
11
1
≈=
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅
=
∑ ⋅
⋅
=
=k
kk HAPHP
HAPHP
AHP
03,0
998
27
750
499
20
3
25
3
)(
)/()(
)/()(
11,0
998
105
750
499
20
7
25
5
)(
)/()(
)/()(
87,0)/()/()(
27,0
499
133
750
499
30
19
25
7
)(
)/()(
)/(
)
750
499
)/()())((
44
43
33
32
211
22
2
4
1
≈=
⋅
=
⋅
==
≈=
⋅
=
⋅
==
≈+=
≈=
⋅
=
⋅
=
=⋅= ∑
=
AP
HAPHP
AHPSP
AP
HAPHP
AHPSP
AHPAHPSP
AP
HAPHP
AHP
HAPHPAP
k
kk
3.10 Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность
того, что отказали 1-й и 2-й элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответ-
ственно равны .3,0;4,0;2,0 321 === ppp
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы: 1H -3-ий элемент отказал

2H -3-ий элемент работает.
7,0)(;3,0)( 21 == HPHP
А= {отказали два элемента}, Вк = {к-тый элемент работает} к=1,2
.08,04,02,0)()()()/(
44,06,02,04,08,0
)()()()()()/(
21212
212121211
=⋅=⋅=⋅=
=⋅+⋅
=⋅+⋅=⋅+⋅=
BPBPBBPHAP
BPBPBPBPBBBBPHAP
По формуле Бейеса
47
14
188,0
056,0
08,07,044,03,0
08,07,0
)/()(
)/()(
)/(
2
1
22
2 ==
⋅+⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∑
=k
kk HAPHP
HAPHP
AHP
3.11 При приеме импульсных кодовых комбинаций, состоящих из импульсов форм А и В, установлено, что
из каждых 10 равновероятных комбинаций три образуются сочетанием ААВ, пять - сочетанием АВ и два- АВВ.
а) Какова вероятность того, что один принятый импульс имеет форму А? б) Найти вероятность того, что приня-
тая комбинация относится ко второй группе, если один из принятых импульсов имеет форму А.
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы: 1H - принята комбинация ААВ
−2H принята комбинация АВ
−3H принята комбинация АВВ
10
2
)(,
10
5
)(,
10
3
)( 321 === HPHPHP
С= {один принятый импульс имеет форму А}
3
2
)/( 1 =HCP (из 3 импульсов ААВ, 2 импульса А)
2
1
)/( 2 =HCP
3
1
)/( 3 =HCP
а) ∑
=
=⋅+⋅+⋅=⋅=
3
1 60
31
3
1
10
2
2
1
10
5
3
2
10
3
)/()()(
k
kk HCPHPCP
б)
31
15
60
31
2
1
10
5
)(
)/()(
)/( 22
2 =
⋅
=
⋅
=
CP
HCPHP
CHP
3.12В студенческом стройотряде две бригады первокурсников и одна второкурсников. В каждой бригаде пер-
вокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юноши и 4 девушки. По жеребьевке из отря-
да выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город.
а) Какова вероятность того, что выбран юноша? б) Какова вероятность того, что он первокурсник?
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы: kH - выбрана к бригада, к=1,2,3
3
1
)( =kHP
А={выбран юноша}
2
1
8
4
)/(
8
5
)/()/(
3
21
==
==
HAP
HAPHAP
12
7
2
1
3
1
8
5
3
1
8
5
3
1
)/()()(
3
1
=⋅+⋅+⋅=⋅= ∑
=k
kk HAPHPAP

14
5
12
7
8
5
3
1
)(
)/()(
)/()/( 11
21 =
⋅
=
⋅
==
AP
HAPHP
AHPAHP
В - выбран первокурсник
7
5
14
5
14
5
)/()/()( 21 =+=+= AHPAHPBP
3.13 По каналу связи может быть передана одна из последовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС. Известно,
что вероятности каждой из последовательностей соответственно равны 0,3:0,4:0,3. В результате шумов буква
принимается правильно с вероятностью 0,6. Вероятность того, что переданная буква будет принята за каждую
из двух оставшихся, равна 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероят-
ность того, что предано АААА, если на приемном устройства получено АВСА.
РЕШЕНИЕ:
Гипотезы: 1H - передали АААА
2H -передали ВВВВ
3H -передали СССС
.3,0)(;4,0)(;3,0)( 321 === HPHPHP
D={получено АВСА}, кЕ -к-ая буква передана правильно 4,1=k
.0048,02,06,02,02,0)()/(
0048,02,02,06,02,0)()/(
0144,06,02,02,06,0
)()()()()()/(
43213
43212
432143211
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
EEEEPHDP
EEEEPHDP
EPEPEPEPEEEEPHDP
По формуле Бейеса
16
9
0048,03,00048,04,00144,03,0
0144,03,0
)/()(
)/()(
)/(
3
1
11
1
=
⋅+⋅+⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
∑
=k
kk HDPHP
HDPHP
DHP
3.14 Радиолампа, поставленная в телевизор может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями
25,0;5,0;25,0 321 === ррр . Вероятности того, что лампа проработает заданное количество часов, для этих
партий соответственно равных 0,1;0,2 и 0,4 . Определить вероятность того, что лампа проработает заданное
число часов.
ОТВЕТ: 0,225.
3.15 В продажу поступают телевизоры 3 заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со
скрытым дефектом, второго-10% и третьего- 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в
магазин поступило- 30 % телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% с третьего.
ОТВЕТ: 0, 895.
3.16 Два датчика посылают сигнал в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигна-
лов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика 0,06, от второго- 0,03. Какова
вероятность получить искаженный сигнал в общем канале связи?
ОТВЕТ: 0,05.
3.17 В урне 5 белых и 4 черных шара. Наудачу извлекают один шар, затем другой. Найти вероятность того, что
во втором случае вынут белый шар (шары в урну не возвращаются).
ОТВЕТ: 5/9.
3.18 В группе из 24 студентов 5 отличников. Вероятность того, что отличник получит хорошую оценку на эк-
замене, равна 0,9. Для остальных студентов эта вероятность равна 0,65. Вызванный наугад студент получил хо-
рошую оценку. Какова вероятность того, что он отличник?
ОТВЕТ: 90/337.

теория вероятностей учебное пособие

теория вероятностей учебное пособие

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (17)

En vedette

En vedette (7)

Similaire à теория вероятностей учебное пособие

Similaire à теория вероятностей учебное пособие (20)

Plus de Иван Иванов

Plus de Иван Иванов (20)

теория вероятностей учебное пособие