第３回複雑ネットワーク読書会資料

1. 第３回 複雑ネットワーク読書会
第４章 古典的なグラフ
Shintaro
TAKEMURA
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2. 4.1 完全グラフ[1]
• 完全グラフ(Complete
Graph)
A
– 全ての頂点対が隣隣接
• L=1, C=1 B
• <k>=N-1 E
– スモールワールド・ネット
L
ワークとは⾔言えない
• 枝が多すぎる
• M=N*(N-1)/2
– ネットワークを無視したもの k
が、平均場近似 スモールワールド・ネッ
トワークなら、平均次数
とともに平均最短経路路⻑⾧長
が急速に減少する

3. 4.1 完全グラフ[2]
• 部分グラフ(Subgraph)
A
– 頂点と枝がGのサブセットの C
グラフを、Gの部分グラフと
B
呼ぶ
E
• クリーク(Clique)
F
– 部分グラフかつ完全グラフ D
= Complete subgraph
– 右のグラフでいうABE

4. 4.2 空間に埋めこまれた格⼦子[1]
• ２次元格⼦子
– 平⾯面状に規則的に並べられた点からなるグラフ
– 碁盤⽬目上に並んだモデルを正⽅方格⼦子と呼ぶ
A B
• Z2と書かれる
– スモールワールドではない（Lが⼤大きい） C D
• L ∝ √N
– 対称性改善のため周期的境界条件を課すことも
– 正⽅方格⼦子の近傍をノイマン近傍と呼ぶ
– 斜めの点を含んだものがムーア近傍

5. 4.2 空間に埋めこまれた格⼦子[2]
• １次元格⼦子とサイクル
– １次元規則の無限グラフ A B E
• Z1と書かれる
• k=2, L ∝ N, C=0
– 周期的境界条件を課したものがサイクル A B
• CNと書くことも
– スモールワールドではない E
• L ≈ N/4
• ⼤大きいNに対してL ∝ √Nより⼤大きい
– 拡張１次元格⼦子・拡張サイクル A B E
• 次数をkとなるよう拡張したもの
• L ≈ N/2k

6. 4.2 空間に埋めこまれた格⼦子[3]
• ⼀一般の次元の格⼦子
– D次元の場合、超⽴立立⽅方格⼦子と呼ぶ
• ZDと書かれる
– 周期的境界条件を課したものがトーラス
– スモールワールドではない
• L ∝ N1/D
• Dが⼤大きくなるほどLが⼩小さくなる
• が、⼤大きいNに対してL ∝ √Nより⼤大きい
– ３次元以上の格⼦子を扱うことはあまりない

7. 4.3 ⽊木
• ⽊木(Tree)
– ４章では各頂点の次数が同⼀一のものを扱う
• ケーリー・ツリー、ベーテ格⼦子とも呼ばれる
– クラスター性は低い N = 1 + k + k (k − 1) +  + k (k − 1)
l −1
• C=0 l
1 − (k − 1) l
– 繰り返し数をlと定める = 1+ k ~ (k − 1)
1 − (k − 1)
• N ∝ (k-1)l
• l ∝ logN / log(k-1)
log N ⎛ N → +∞ ⎞
l~ ⎜
⎜ k : fixed ⎟
⎟
– lとLは、定数倍くらいの違い log(k − 1) ⎝ ⎠
• L ∝ logN 1
• Lは⼩小さい ln( k − 1)
1
k

8. 4.4 ランダム・グラフ[1]
• ランダム・グラフ
(Random
Graph)
p = 0.0 ; k = 0 N = 12
– Erdős and Renyi (1959)
• ⽣生成⼿手順
1. N個のノードを⽤用意する
2. 2個のノードを確率率率 p で p = 0.09 ; k = 1
ランダムに選択しリンク
で結ぶ
• 毎回異異なるグラフが⽣生成
– 典型的には
• k ≈ pN p = 1.0 ; k ≈ N
• M ≈ pN(N-1)/2

9. 4.4 ランダム・グラフ[2]
• 最⼤大連結成分(Largest
Component)
– 相転移の説明のための補⾜足資料料
p = 0.0 ; <k> = 0 p = 0.045 ; <k> = 0.5 p = 0.09 ; <k> = 1 p = 1.0 ; <k> ≈ ½N2
最⼤大連結成分⼤大きさ(Size of largest component)
1 5 11 12
最⼤大連結成分の直径(Diameter of largest component)
0 4 7 1
平均最短経路路⻑⾧長(Average path length between nodes)
0.0 2.0 4.2 1.0

10. 4.4 ランダム・グラフ[3]
• 相転移(Phase
Transi<on)
– pを操作することで、ネットワークに定性的な変化
• 最も頂点数の多い連結成分の⼤大きさに影響
– p < 1/N 最⼤大連結成分の直径
• ⼤大多数の点が孤⽴立立
– p = 1/N （相転移点）
1.0
• 最⼤大連結成分が出現
– p > 1/N ノード内の連
結成分の割合
• 連結成分が多く占める
– p > logN/N
• 全体が連結 0 1/N p
• 連結性における相転移点
相転移点

11. 4.4 ランダム・グラフ[4]
• ランダム・グラフの次数分布
– ⺟母関数による導出例例
k
p= k N − k −1
N −1 ⎛ N − 1⎞ k N − k −1 ⎛ N − 1⎞⎛ k ⎞ ⎛ k ⎞
N −1 p(k ) = ⎜
⎜ k ⎟ p (1 − p )
⎟ ⎜ k ⎟⎜ N − 1 ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜1 − ⎟
⎜ N − 1 ⎟
k ≡ ∑ kp(k ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k =0
N −1
母関数
lim G (x ) = exp( k (x − 1))
G (x ) = ∑ P(k )x k N → +∞
k =0
k N − k −1
+∞
− k
⎛ k k ⎞ k
⎛ N − 1⎞⎛ k ⎞
N −1 ⎛ k ⎞ = ∑e ⎜ ⎟ x
= ∑ ⎜ ⎜ k ⎟⎜ N − 1 ⎟
⎟⎜ ⎟
⎜1 − ⎟
⎜ N − 1 ⎟ xk k =0
⎜ k! ⎟
k = 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
N −1
⎧ k ⎫ N = 200
= ⎨1 + (x − 1)⎬ 2項分布
Poisson
⎩ N − 1 ⎭ k =4
分布へ
k 近づく
⎡ ∂ ⎤ k − k
p(k ) = ⎢ k lim G (x )⎥ = e
⎣ ∂x N →+∞ ⎦ k!

12. 4.5 複雑ネットワークに向けて
• ４章のグラフはスモールワールド性を満たさない
– ⼩小さい L
– ⼤大きい C （ランダムグラフは⼩小さいC）
– ⼤大きすぎる <k>
• ５章でスモールワールド性をもつモデルを紹介
– ⼩小さい <k>
• ６章でスケールフリー性をもつモデルを紹介
– 次数分布がべぎ則