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何もないところから数を作る
- 6. ピタゴラス教団のシンボル 1 黄金比 φ 👈 これも無理数ww ぐぬぬ…
- 9. 代数方程式の解としての「無理数」 ' : 1 = 1 : ' 1 , '(' 1) = 1 , '2 ' 1 = 0 ' = 1 ± p 5 2
- 14. 1X n=0 ( 1)n = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ... = (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + ... = 0 = 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)... = 1 0 = 1
- 16. コーシーとワイエルシュトラウスによって無限小や極限が定式化される。 → 理系大学生殺しの εδ 論法の完成！ 19世紀：数学の基礎と抽象化 "- オーギュスタン＝ルイ・コーシー （1789 ∼ 1857） カール・ワイエルシュトラス （1815 ∼ 1897）
- 19. 実数の公理 1. 四則演算（＋, , , ）ができる。 2. 実数同士で大小（ ）が比較できる。 3. 実数全体はつながっている。
- 20. 実数の公理 👆 この「連続性」が有理数との決定的な違い！ しかしこの事実を定式化するのはとても難しい… 1. 四則演算（＋, , , ）ができる。 2. 実数同士で大小（ ）が比較できる。 3. 実数全体はつながっている。
- 21. 「連続性」の定式化 • R の空でない有界な部分集合は上限を持つ。 • R の上に有界な単調増加数列は収束する。 • R の有界な数列は収束部分列を持つ。 • 中間値の定理、最大値の定理が成り立つ。 • … → 実は全部同値になる。これが「定理」ではなく「公理」なのだ。 この辺でだいたいみんな数学に見放された気分になる。
- 22. 難しい話はともかく…
- 23. 実数の公理 1. 四則演算（＋, , , ）ができる。 2. 実数同士で大小（ ）が比較できる。 3. 実数全体はつながっている。 → 実数とはこういうものだとして、さらに極限や連続なども粛々と定義 していけば、解析学は曖昧さや矛盾なく作り上げていくことができる。
- 24. うーん…
- 26. 【朗報】
- 28. じゃ有理数はどうやって作るの？
- 30. 整数は？
- 31. 整数は自然数を二つ繋げて作れる！
- 32. 自然数は？
- 33. 自然数は…
- 34. 「空集合」から作る！！！
- 37. 自然数の公理 1. 最初の数 0 N が存在する 2. 任意の a N にはその「次」 a+ が存在する 3. a+ = 0 なる a は存在しない（N は 0 から始まる） 4. a b ならば a+ b+ （a+ は単射） 5. N では数学的帰納法が成立する 以上を満たす集合 N を自然数系と呼ぶ
- 38. フォン・ノイマンによる自然数系の構成 として順に作っていく。 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a {a}
- 39. 復習：集合の合併 ＝{A, B, C} {D, E} {A, B, C, D, E} ＝{A, B, C} {} {A, B, C}
- 40. • 0 = {} • 1 = 0+ = 0 {0} = {0} • 2 = 1+ = 1 {1} = {0} {1} = {0, 1} • 3 = 2+ = 2 {2} = {0, 1} {2} = {0, 1, 2} • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a {a}
- 41. • 0 = {} • 1 = {0} • 2 = {0, 1} • 3 = {0, 1, 2} • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a {a}
- 42. • 0 = {} • 1 = {0} = { {} } • 2 = {0, 1} = { {}, { {} } } • 3 = {0, 1, 2} = { {}, { {} }, { {}, { {} } } } • ... 1. 0 = {} (空集合) 2. a+ = a {a}
- 43. ね、簡単でしょう？
- 44. → 難しい場合は、空集合を 猫 に置き換えて考えましょう。
- 45. • 0 = 🐱 • 1 = {0} = { 🐱 } • 2 = {0, 1} = { 🐱, { 🐱 } } 👈 さっきの写真 • 3 = {0, 1, 2} = { 🐱, { 🐱 }, { 🐱, { 🐱 } } } • ... 1. 0 = 🐱 (空集合) 2. a+ = a {a} 簡単でしょう？
- 48. • 0 = {} • 1 = {0} • 2 = {0, 1} • 3 = {0, 1, 2} • … 集合として 0 1 2 3 … となっている。 を とすれば自然数系には順序が入る。
- 49. • a + 0 = a • a + (b+) = (a + b)+ 和 a + b の定義
- 50. • a + 0 = a • a + (b+) = (a + b)+ 和 a + b の定義 3 + 2 = (3 + 1)+ = ((3 + 0)+ )+ = (3+ )+ = 4+ = 5
- 51. • a 0 = 0 • a (b+) = (a b) + a 積 a b の定義
- 52. 3 × 2 = (3 × 1) + 3 = ((3 × 0) + 3) + 3 = (0 + 3) + 3 = 3 + 3 = 6 積 a b の定義 • a 0 = 0 • a (b+) = (a b) + a
- 53. …何やってんの？w
- 56. struct N: Equatable, Printable { private let val: [Any] private init(_ val: [Any]) { self.val = val } static var zero: N { return N([]) } } postfix operator + {} postfix func +(n: N) -> N { return N(n.val + [n.val]) } func +(n: N, m: N) -> N { if(m.val.isEmpty) { return n } else { return (n + m-)+ } } func *(n: N, m: N) -> N { if(m.val.isEmpty) { return N.zero } else { return (n * m-) + n } } https://gist.github.com/taketo1024/d60e0b8ba479921f7b16
- 57. DEMO
- 59. 作れた後は 0 が空集合だとかいうことは 忘れて、普通の自然数として扱っていい。 （普段プログラミングするときに機械語のこと考えないようなモン） N0 1 2 3 4 5 6 7 …
- 60. 次、整数 Z を作ります。 （ Z はドイツ語の「数」を意味する Zahlen から）
- 61. N-N 0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 N を二つ 0 のところで貼り合わせて、 正負の場合に分けて演算を定義すればいいだけ。
- 62. もっとカッコイイやり方： N 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 N
- 63. 0 1 2 3 4 5 6 7 もっとカッコイイやり方： 7 6 5 4 3 2 1
- 64. 0 1 2 3 4 5 6 7 もっとカッコイイやり方： 7 6 5 4 3 2 1 x - y = 0 x - y = 1 x - y = 2 x - y = 3 x - y = 4 x - y = 5 x - y = 6 x - y = 7
- 65. 0 1 2 3 4 5 6 7 もっとカッコイイやり方： 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x - y = -1-1-2-3-4-5-6-7
- 66. もっとカッコイイやり方： 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1-2-3-4-5-6-7 「直線上に並ぶ点たち」をまとめて一つの整数とすればいい。 👈 (n, 0) が n 0 に対応 (0, n) が n 0 に対応 👉
- 67. こうすることで演算が簡単に定まる： 例） 5 - 8 = (5, 0) + (0, 8) = (5, 8) = (0, 3) = -3 例）3 (-2) = (3, 0) + (0, 2) = (3 0 + 0 2, 3 2 + 0 0) = (0, 6) = -6
- 68. Z0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 先ほどと同様、もうこの先は普通の真っ 直ぐな整数として扱っていい。 Z は ＋, , で閉じた「環」になる。
- 69. 次、有理数 Q を作ります。 （ Q はイタリア語の「商」を意味する Quoziente から）
- 70. Z (分子) Z (分母)
- 71. Z (分子) 1 Z (分母) 2 34 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = … 2 = 2/1 = 4/2 = 6/3 = … 1/2 「 (0, 0) と (p, q) を結ぶ直線上の点をまとめたもの」が p/q
- 72. Z (分子) Z (分母) (p, q) を q = 1 に射影したものが p/q と考えても良い。 Q (5, 4) 5/4
- 73. 演算は小学校で習った通りに定義する 例） 2/3 + 3/5 = (2, 3) + (3, 5) = (10, 15) + (9, 15) 👈 通分 = (19, 15) = 19/15 例）3/4 2/7 = (3, 4) (2, 7) = (3 2, 4 7) = (6, 28) = (3, 14) 👈 約分 = 3/14
- 74. Q は ＋, , , で閉じた「体」になる。 限りなく密に分布しているが、まだ無理数の穴が空いている。 Q
- 75. ではいよいよ、実数 R を作りましょう！ （ R はもちろん Real Number の R）
- 76. Q に空いている無理数の穴はどうやったら埋められるか？ Q ⇡ep 2 0 1 2 3 4
- 77. Q の中で目標の無理数に近づいていく数列を考える。 Q e 0 1 2 3 4
- 78. ex = 1X n=0 xn n! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + ... ほぼチートだが、テイラー展開：
- 79. ex = 1X n=0 xn n! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x4 24 + ... e = 1X n=0 1 n! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ... ほぼチートだが、テイラー展開： より、 x = 1 として、 👈 有理数の無限和
- 80. e = 1X n=0 1 n! = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ... なので、有限部分和を取れば、 a0 = 1 a1 = 2 a2 = 2.5 a3 = 2.666... a4 = 2.708... ...
- 81. a0 = 1 a1 = 2 a2 = 2.5 a3 = 2.666... a4 = 2.708... ... Q e 0 1 2 3 4 この数列は Q の中で e に近づいていくので、 この数列のことを e ってことにすればいい。
- 82. なんかずるい。
- 84. → それは知らない。 そもそも「無理数」であることが分かってる数も一部。 ee , e⇡ , ⇡e などは無理数かどうかまだ知られていない。
- 85. じゃあダメじゃん。
- 86. 人智を超えた「超越的」方法で作る このような有理数列の「全体」を考え、色々な近づき方 でも同じところに落ち着いていくものをまとめたものを、 ひとつの実数ってことにする。 Q e 0 1 2 3 4
- 88. 「デーデキント・カット」 Q の「切断」一つ一つを実数ということにする。 Q e 0 1 2 3 4 もうひとつのやり方 切断 リヒャルト・デーデキント （1831 ∼ 1916）
- 90. なぜこんなに難しいのか？
- 91. 実数の公理 👆 当たり前だと思ってたこの性質がそれだけ特別だから！ 1. 四則演算（＋, , , ）ができる。 2. 実数同士で大小（ ）が比較できる。 3. 実数全体はつながっている。
- 92. ちなみに R から 複素数 C を作るのは簡単。 R R に (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) となる掛け算を入れるだけ。 R iR C z w zw
- 93. まとめ φ < N < Z < Q <<< R 空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた！ しかし Q と R の間には、離散と連続の超えがたい壁があった。
- 94. まとめ φ < N < Z < Q <<< R 空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた！ しかし Q と R の間には、離散と連続の超えがたい壁があった。 👆 これはどうやって作るの？
- 95. 「空っぽの集合」は実在するのか？
- 96. → 公理論的集合論 (1908)
- 97. 公理ばっかりやん…
- 101. 公理系は自由に採用していい（作ってもいい）。 6 + 7 = 1 でも 1 / 0 = でも良い。