1. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
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2. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
Dedicado a todos aquellos que hicieron posible la
confección y elaboración de este trabajo.
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3. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
El
objetivo
de
esta
monografía
es
analizar
las
características y aplicación de la Distribución “T” de
student, que aporta a nuestra formación profesional
información orientándolo a la aplicación al campo de la
educación, promoviendo y orientando la investigación.
En la siguiente monografía se empleó un diseño no
experimental y de tipo compilación de información con la
finalidad
de
examinar,
comprender
y
analizar
la
Distribución “T” de student.
Al finalizar el trabajo apoyado con diferentes fuentes de
información podríamos decir que la distribución t surge, en
la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando
la desviación típica de una población se desconoce y debe
ser estimada a partir de los datos de una muestra.
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4. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
Introducción………………………………………………….………………….……7
CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. Descripción de la realidad problemática……………………………………..8
1.2. Formulación del problema……………………………………………………..8
1.3. Objetivos de la investigación………………………………………..………...8
1.4. Justificación de la investigación………………………………………...…….9
1.5. Viabilidad de la investigación………………………………………...…….....9
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO
2.1. Antecedentes de la investigación…………………………………..……….10
2.2. Bases teóricas…………………………………………………………………10
A. Los usos para los cuales es idónea esta distribución………………………..11
B. Cararteristica de la distribucion de la T de student..…………………………11
C. Grados de libertad……………………………………………………………….11
D. Ccómo diferenciarla de las otras distribuciones ………………………...…...11
E. Teoría de pequeñas muestras …………………………….………….……….12
F. Distribución de probabilidad T de student .…………….……………………..13
F.1. Propiedades de las distribuciones t……………………………………...…14
G. Calculo de la distribución T de student ………….….……………….………..14
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5. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
H. Tabla T de student …………….….……………….……….............................19
H.1. Diferencia con otras tablas de distribución…..………..…21
H.2. Uso de la tabla de distribución T ……………..……...…...21
I. Ejercicio………………….……………..…………….………............................22
2.3. Definiciones conceptuales….……………………………………………..…23
CAPÍTULO III: IMPORTANCIA DEL ESTUDIO
3.1 Importancia del estudio de la distribucion de T …………...…………….…25
CONCLUSIÓN
FUENTES DE INFORMACIÓN
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6. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
La distribución t de Student se utiliza cuando nos
encontramos con Ia dificultad de no conocer Ia desviación
típica poblacional y nuestra muestra es menor de 30. Es
similar a Ia curva normal, pero Ia distribución t tiene mayor
área a los extremos y menos en el centro.
Esta fue descubierta por un especialista en estadística de
una empresa irlandesa, este señor cuyo nombre era William
S. Gossel hizo inferencias acerca de Ia media cuando Ia
desviación poblacional fuese desconocida: y ya que a los
empleados de dicha entidad no les era permitido publicar el
trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset
adoptó el seudónimo de “Student”.
Sus funciones se basan en establecer un intervalo de
confianza, utilizando un nivel de confianza y los grados de
libertad, obteniendo valores de una tabla dada con respecto
a estas variables y aplicarla en Ia formula.
De gran utilidad, reduce tiempo, costo y esfuerzos. Se utiliza
para probar hipótesis y también para saber si dos muestras
provienen de Ia misma población.
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7. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
1.1.
Descripción de la realidad problemática
En las estudios sobre la probabilidad y distribución de una muestra anteriores se
manejó el uso de la distribución z, la cual se podía utilizar siempre y cuando los
tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más
pequeñas si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o
las muestras son normales.
Cuando las muestras son pequeñas y cuando la distribución de donde proviene
la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar
las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, ji-cuadrada
y Fisher.
A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo,
ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande.
1.2.
Formulación del problema
¿Qué es y cómo se aplica la distribución “t” de student?
1.3.
Objetivos de la investigación
Analizar las características y aplicación de la Distribución “T” de student.
1.4.
Justificación de la investigación
Al hacer una investigación tenemos que efectuar una serie de operaciones con
respecto a nuestra población y muestra, pero en el caso que nuestra población
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8. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
sea pequeña por consiguiente nuestra muestra también lo será, es ahí donde la
distribución t se usa de manera extensa, en problemas que tienen que ver con
inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican
muestras comparativas (es decir, en casos donde se trata de determinar si las
medias de dos muestras son significativamente diferentes).
1.5.
Viabilidad de la investigación
Es factible realizar la investigación por que se cuenta con la informacion
necesaria diferentes fuentes de información, y tambien se dispone de recursos
materiales como papel, lapiceros, USB, base de datos adecuados para
desarrollar la investigacion como es debida.
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9. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
2.1.
Antecedentes de la investigación
La distribución t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908.
Gosset era un estadístico empleado por la compañía de cerveza Guinness
Irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados.
Para evadir esta prohibición,
publico su trabajo en secreto
bajo el nombre de “Student”.
En consecuencia la distribución
de T normalmente se llama
distribución de t de Student o
simplemente t. Lo interesante
del caso es que su trabajo
estaba enfocado al control de
calidad de la cerveza. En el pasado otros investigadores de la compañía
Guinness habían publicado artículos en los que se divulgaban secretos o
información confidencial sobre el proceso de la cerveza y por eso se obligó a
Gosset a aceptar la cláusula.
2.2.
Bases teóricas
En muchas ocasiones no se conoce 𝜎 y el número de observaciones en Ia
muestra es menor de 30. En estos casos. Se puede utilizar Ia desviación
estándar de Ia muestra S como una estimación de 𝜎, pero no es posible usar Ia
distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es
Ia distribución t. A veces es necesario hacer análisis de muestras pequeñas por
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10. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
razones de tiempo y reducción de costos, para ello fue descubierta Ia distribución
t por Wlliam Gosset, un especialista en estadística, que Ia publicó en 1908 con
el seudónimo de Distribución t Student.
Para determinar el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar Ia
media de una población a partir de muestras pequeña (n < 30).
Para probar hipótesis cuando una investigación se basa en muestreo
pequeño.
Para probar si dos muestras provienen de una misma población.
En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la
muestra n < 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la
muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z
como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución
t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una
media y una diferencia de medias (independiente y pareada).
Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad.
¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores
que podemos elegir libremente.
La distribución de T es similar a la distribución de Z, pues ambas son simétricas
alrededor de una media de cero. Ambas tiene distribuciones de campana pero la
distribución t es más variable debido a que tienen fluctuaciones en 2 cantidades.
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11. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
La distribución de T difiere de la de Z en que la varianza de T depende del tamaño
de la muestra n y siempre es mayor a 1, únicamente cuando n tiende a ∞ las dos
distribuciones serán iguales.
En probabilidad y estadística, Ia distribución-t o distribución t de Student es una
distribución de probabilidad que surge del problema de estimar Ia media de una
población normalmente distribuida cuando el tamaño de Ia muestra es pequeño.
A Ia teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del
muestreo, ya que también Ia podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño
grande.
Veremos un nuevo concepto necesario para poder entender la distribución t
Student. Este concepto es “grados de libertad”.
Para definir grados de libertad se hará referencia a Ia varianza maestral:
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12. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de probabilidad t o T de
Student con k grados de libertad, donde k es un entero positivo, si su función de
densidad es Ia siguiente:
La gráfica de esta función de densidad es simétrica, respecto del eje de
ordenadas, con independencia del valor de k, y de forma algo semejante a Ia de
una distribución normal:
Su valor medio y varianza son:
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13. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
La siguiente figura presenta Ia gráfica de varias distribuciones t. La apariencia
general de Ia distribución t es similar a Ia de Ia distribución normal estándar:
ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de Ia ordenada se alcanza
en Ia media µ = O. Sin embargo, Ia distribución t tiene colas más amplias que Ia
normal; esto es, Ia probabilidad de las colas es mayor que en Ia distribución
normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, Ia forma
límite de Ia distribución t es Ia distribución normal estándar.
Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
Cada curva t, está más dispersa que Ia curva normal estándar.
A medida que k aumenta, Ia dispersión de Ia curva t correspondiente
disminuye.
A medida que k-> ∞, la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva
normal estándar
La Prueba de Hipótesis para medias usando Distribución t de Student se usa
cuando se cumplen las siguientes dos condiciones:
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14. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT

Es posible calcular las media y la desviación estándar a partir de la
muestra.

El tamaño de la muestra es menor a 30.
El procedimiento obedece a los 5 pasos esenciales:
Plantear Hipótesis Nula (Ho) e Hipótesis Alternativa (Hi).

La Hipótesis alternativa plantea matemáticamente lo que queremos
demostrar.
La Hipótesis nula plantea exactamente lo contrario.
Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptación de hipótesis alternativa).
Se considera:
0.05 para proyectos de investigación.
0.01 para aseguramiento de calidad.
0.10 para encuestas de mercadotecnia y políticas.
Evidencia Muestral. Se calcula la media y la desviación estándar a partir de la
muestra.
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15. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
Se aplica la Distribución t de Student para calcular la probabilidad de error (P)
por medio de la fórmula:
En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hipótesis alternativa.

Si la probabilidad de error (P) es mayor que el nivel de significancia:
SE RECHAZA HIPÓTESIS ALTERNATIVA

Si la probabilidad de error (P) es menor que el nivel de significancia:
SE ACEPTA HIPÓTESIS ALTERNATIVA
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16. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una
calificación promedio de 62.1 con una desviación estándar de 5.83 Se
sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60.
¿Existe
suficiente evidencia para comprobar que no hay problemas de autoestima
en el grupo seleccionado?
Considera un nivel de significancia de 0.05
Paso 1:
Hipótesis Alternativa (Hi):
Lo que se quiere comprobar
El grupo no tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima mayor a 60.
Hipótesis Nula (Ho):
Lo contrario a la Hipótesis Alternativa
El grupo tiene problemas de autoestima. Valor de autoestima menor a 60.
Paso 2:
Determinar nivel de significancia:
Paso 3:
Evidencia Muestral
Paso 4:
Aplicando la Distribución de Probabilidad
Calculando t*:
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17. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
Buscando en la tabla de Distribución de t de Student, encuentras el valor del
área:
Pasó 5:
Resultados:
Por lo tanto: Se acepta Hipótesis Alternativa
Existe suficiente evidencia para demostrar que el grupo no tiene
problemas de autoestima
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19. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
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20. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y valores
de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10%,5%,2% y 1%)
Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la probabilidad de
que el parámetro de la población que está siendo estimado caiga dentro
del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que
ese parámetro no caiga dentro del intervalo de confianza
Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos de
especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.

Los grados de libertad de una t de Student se indicaran como v.

De manera análoga a la definición utilizada para la Normal, si X es una
tv,α de Student con v grados de libertad, entonces:

t
El valor v,α se busca en las tablas de la t de Student.
 La tabla que utilizamos recoge los valores de distintos cuantiles para distintos
grados de libertad.
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21. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
: con 5 grados de libertad, el cuantil 0.95 es 2.015
: si tenemos 12 grados de libertad, el cuantil 0.975 será 2.1788
Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio
requerido para realizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 16 mediciones
produce una media y una desviación estándar de 13 y 5.6 minutos
respectivamente.
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22. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
 t= Una confianza del 99% con (n-1) grados de libertad.
 GL=16-1=15
 n= 16
 X=13 minutos
 S= 5.6 minutos
x=x± t s .
√n
 t=2.947
∂=13±2.947(5.6/√16)
∂=13±4.12
∂1=17.12 minutos
∂2=8.88 minutos
Tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 8.88 y 17.12 minutos
con una certeza del 99%.
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23. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
2.3 Definiciones Conceptuales
Población: “Conjunto de elementos en los que se observa alguna
característica común”.
Observaciones: “Valores que toma la característica observada en cada
elemento de la población”.
Parámetro: “Característica numérica que describe una variable observada
en la población”
Muestra: “Conjunto de unidades representativas de una población”
Estadístico: “Función de los valores de la muestra”
La inferencia estadística está basada en el estudio de las muestras.
La muestra debe ser representativa de la población para extraer
conclusiones validas sobre esta población.
Grados de libertad: Podemos definirlos como el número de valores que
podemos elegir libremente.
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24. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
3.1 Importancia del estudio de la distribución T.
Si al aplicar muestreo no es posible extraer muestras mayores a 30 elementos,
la utilización de la distribución normal presenta grandes riesgos estadísticos.
Para ello, la teoría de pequeñas muestras presenta como alternativa a la
distribución t- student, en el entendido de que conforme el tamaño de la muestra
tienda a 30 elementos, la distribución t-student tiende a la distribución normal.
Por ello es importante el estudiar la distribución T de student ya que toda
inferencia estadística que se desee realizar con muestras pequeñas tiene más
validez si se hace con la distribución t-student.
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25. DISTRIBUCION “T” DE STUDENT
Es una distribución de probabilidad que se usa cuando
el tamaño de la muestra es menor de 30 datos, no se
conoce la desviación estándar de la población y
cuando la población de la que se extrae la muestra es
normal.
Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para
estimar y probar una media y una diferencia de medias
(independiente y pareada).
Es una distribución continua, tiene forma acampanada.
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Fuentes Bibliográficas
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Grupo Editorial International Thon Editores.
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McCLAVE, S., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería". Grupo
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
MENDELHALL, W., WACKERLY, D., ACHEAFFER, R. "Estadistica
Matemática con Aplicaciones". Segunda Edición. Grupo Editorial
Iberoamericana. México. 1994.
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MILLER, I., FREUND, J. E., JOHNSON, R. A. "Probabilidad y Estadística
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México. 1997.
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MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. "Probabilidad y Estadística
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Fuentes Electrónica
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http://www.mat.uda.cl/hsalinas/probabilidades.htm
http://www.upcomillas.es/personal/peter/investigacion/Tama%F1oDelEfecto.pdf
http://es.scribd.com/doc/39028492/Distribucion-T-de-Student-Scrib
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Matematicas/inferencia/
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/u0304.pdf
http://e-stadistica.bio.ucm.es/glosario2/distr_student.html
http://www.uv.es/ceaces/normaMu/t/t.htm
http://www.paginaspersonales.unam.mx/files/977/Distribucion_t_deStudent.pdf
http://www.raydesign.com.mx/psicoparaest/index.php?option=com_content&view=article&id=233
:t-student-dnr&catid=52:pruebaspara&Itemid=61
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